8 Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 162 38 Pág. 1 En el recibo de la luz aparece esta información: CONSUMO: 1 400 kWh PRECIO DEL kWh: 0,2 € a) ¿Cuánto cobrarán por la energía consumida? b) Haz una gráfica y escribe la ecuación de la relación consumo-coste. Utiliza estas escalas: Eje horizontal 8 1 cuadradito = 100 kWh Eje vertical 8 1 cuadradito = 20 € c) Si, además, nos cobran al mes 20 € por el alquiler del equipo, ¿cómo queda la relación consumo-coste? Represéntala junto a la anterior y escribe su ecuación. d) ¿Qué transformación sufre el precio si añadimos el 18% de IVA? ¿Cómo se transforma el alquiler del equipo? Representa, junto a las otras, la gráfica de la función resultante y escribe su ecuación. a) 1 400 · 0,2 = 280 € Por 1 400 kWh cobrarán 280 €. b) y = 0,2 · x 360 COSTE (€) y = 23,2 + 0,232x 320 y = 20 + 0,2x y = 0,2x 280 240 200 160 120 80 58 40 CONSUMO 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 c) y = 20 + 0,2x d) Coste de 1 kWh: 0,2 · 1,16 = 0,232 € Coste del alquiler del equipo: 20 · 1,16 = 23,2 € Ecuación: y = 23,2 + 0,232 · x Unidad 8. Funciones lineales (kwh) 8 Soluciones a “Ejercicios y problemas” ■ Problemas “+” 39 Pág. 2 Un tornillo de 8 cm de longitud de rosca penetra 1,5 cm por cada tres vueltas que se le hace girar. Para colocar uno de estos tornillos en una viga de madera, se le ha dado, previamente, un martillazo, con el que ha penetrado 0,5 cm. a) Haz una tabla que relacione el número de vueltas que se le da al tornillo, x, con la longitud que penetra, y. Construye la gráfica de dicha relación. b) ¿Cuál es la expresión analítica? ¿Cuál es el paso de rosca del tornillo (longitud que penetra por cada vuelta? ¿Cuántas vueltas habrá que darle hasta que todo el tornillo esté hundido en la viga? c) Supongamos que se ha seguido el mismo procedimiento para atravesar un listón de 5 cm de grosor. ¿Después de cuántas vueltas empezará el tornillo a asomar por el otro lado del listón? a) N.º DE VUELTAS (x) LONGITUD QUE ENTRA (y) 0 3 6 9 0,5 2 3,5 5 l (cm) 6 5 4 3 2 1 N.º DE VUELTAS 3 6 9 b) y = 0,5 + 05x 8 En cada vuelta penetra 0,5 cm. Estará totalmente hundido para un número de vueltas x tal que: 7,5 = 0,5 + 0,5x 8 x = 14 vueltas c) Después del martillazo quedan 4,5 cm de grosor por recorrer. Por tanto: 4,5 = 0,5 + 0,5x 8 x = 8 vueltas 40 Una empresa que fabrica detergente líquido debe decidir sobre dos tipos de grifos para llenar los envases con su producto. Los envases son de paredes rectas, de 40 cm de altura, y se llenan de forma uniforme. El grifo A comienza a verter líquido en el mismo instante en que se abre el mecanismo, y llena el envase en unos 20 segundos. Recibe el siguiente envase, se completa en 20 segundos, y así sucesivamente. Cuando el grifo B recibe un envase, tarda 4 segundos en abrirse, y lo llena en unos 10 segundos. Llega otro envase, hay una pausa de 4 segundos y, de nuevo, 10 segundos hasta completarse. Unidad 8. Funciones lineales 8 Soluciones a “Ejercicios y problemas” a) Construye las gráficas que relacionan el tiempo de vertido, t, con la altura del líquido en el envase, a, para cada grifo, durante los 20 primeros segundos. ¿Cuáles son las expresiones analíticas para ambas relaciones? b) ¿En qué momento los dos grifos consiguen la misma altura del líquido en los envases? ¿Qué altura es esa? c) ¿Cuántos envases llena cada grifo por minuto? ¿Qué grifo es más rentable? a) ALTURA (cm) 40 B) A) Grifo A: y = 2x 30 Grifo B: Pasa por (4, 0) y (14, 40) 40 = 4 8 y = 0 + 4(x – 4) 14 – 4 20 m= 10 y = 4x – 16 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 TIEMPO (s) b) Tendrán la misma altura cuando 2t = 4t – 16. t = 8 (a los 8 segundos de abrirse el grifo A) La altura será y = 2 · 8 = 16 cm ( c) El grifo A llena 3 envases por minuto 60 = 3 20 ( ) El grifo B llena 4 envases por minuto 60 = 4,28 14 Es más rentable el B. 41 ) Juan quiere contratar una póliza a todo riesgo para su vivienda. Estudia dos ofertas. La compañía A le cobraría 400 € el primer año, con un descuento de 50 € por año durante los cinco siguientes y, a partir de ahí, la cuota sería fija. La compañía B le cobraría 300 € el primer año, con un descuento de 25 € por año, hasta el cuarto y, a partir de este, no habría más reducciones. Juan quiere investigar qué oferta le es más ventajosa para los próximos 10 años. a) Construye las tablas que relacionan el tiempo transcurrido, t, con el coste de la póliza, C, para los próximos 10 años. Dibuja las gráficas para ambos casos, en los mismos ejes. b) Encuentra la expresión analítica que relaciona t con C en ambos casos. ¿En qué momento se igualan ambas cuotas? c) Calcula cuánto pagaría Juan durante los 10 primeros años en cada compañía. ¿Cuál debe elegir? Unidad 8. Funciones lineales Pág. 3 8 Soluciones a “Ejercicios y problemas” a) t (años) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CA (€) 400 350 300 250 200 150 150 150 150 150 150 t (años) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CB (€) 300 275 250 225 200 200 200 200 200 200 200 COSTE (€) 400 300 200 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 °400 – 50t b) CA = ¢ £150 si 0 ≤ t ≤ 5 si t>5 °300 – 25t CB = ¢ £200 si 0 ≤ t ≤ 4 si t>4 t (años) La cuota es igual cuando 400 – 50t = 300 – 25t 8 t = 4 años. A los 4 años. c) En la compañía A pagará durante los 10 años 2 400 €. En la compañía B pagará durante los 10 años 2 450 €. Debe elegir la A. Unidad 8. Funciones lineales Pág. 4