guia de trabajo

U.E. Colegio Los Arcos
múltiplo
Matemáticas
Guía #27B Sexto grado Mínimo común
GUIA DE TRABAJO
Materia: Matemáticas Guía # 27B.
Tema: Mínimo común múltiplo. Problemas.
Fecha: ____________
Profesor: Fernando Viso
Nombre del alumno:___________________________________________
Sección del alumno:____________________________________________
CONDICIONES:






Trabajo individual.
Sin libros, ni cuadernos, ni notas.
Sin celulares.
Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para
resolver cada problema.
No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo.
No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni
calculadoras prestadas.
Marco Teórico:
Definición: Múltiplo común de dos números es todo número que contiene exactamente
a cada uno de ellos.
Así, 40 es múltiplo común de 20 y de 8 porque 40 contiene a 20 dos veces y a 8 cinco
veces.. También, 90 es múltiplo común de 45, 18 y 15 porque 90  45  2, 90 18  5, y
90 15  6, sin que exista residuo en ningún caso.
Mínimo común múltiplo:
Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un
número exacto de veces a cada uno de ellos. Se designa por las iniciales m.c.m.
Ejemplo #1: 36 contiene exactamente a 9 y a 6, como también 18 contiene exactamente
a 9 y a 6. ¿Hay algún número menor que 18 que contenga a 9 y a 6?.
Solución:
No. Entonces, 18 es el m.c.m. de 9 y 6.
Ejemplo #2: 60 es divisible por 2, 3 y 4; 48 también; 24 también y 12 también.
Como no hay un número menor que 12 que sea divisible por 2, 3 y 4 tendremos que 12
es el m.c.m. de 2, 3 y 4.
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Mínimo común múltiplo por inspección:
La teoría del mínimo común múltiplo es de gran importancia por sus múltiples
aplicaciones. Cuando se trata de encontrar el m.c.m. de números pequeños, éste puede
ser encontrado por simple inspección, de este modo:
Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo del mayor de ellos, se
mira primero si el mayor de los números dados contiene a todos los demás. Si es así,
el mayor de los números dados es también el m.c.m. Si no los contiene, se busca cuál
es el menor múltiplo del número mayor que contiene a los otros exactamente y éste
es entonces el m.c.m. buscado.
Ejemplo #3: Hallar el m.c.m. de 8 y 4.
Solución: Como el número mayor 8 contiene exactamente a 4, 8 es el m.c.m. de 8 y 4.
Ejemplo #4: Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4.
Solución: El número 8 contiene exactamente a 4 pero no a 6. Empezamos a buscar de
menor a mayor y encontramos que de los múltiplos de 8 el número 24 contiene
exactamente a 8, 6 y 4; por lo tanto, 24 es el m.c.m. de 8, 6 y 4.
Ejemplo #5: Hallar el m.c.m. de 10, 12 y 15.
Solución: El número 15 no contiene a los demás. Buscando ahora entre los múltiplos de
15, de menor a mayor, el número 30 y el número 45 no contienen a los demás; pero el
múltiplo 60 si los contiene, por lo que 60 será el m.c.m. de 10, 12 y 15.
METODOS PARA HALLAR EL M.C.M.
Cuando no es fácil hallar el m.c.m. por simple inspección, éste puede ser hallado por los
siguientes métodos:
1.- Utilizando el m.c.d.
2.- Por descomposición en factores primos.
M.C.M. de dos números por el m.c.d.
El m.c.m. de dos números es igual al producto de los dos números dividido por el
m.c.d.
Ejemplo #6: Hallar el m.c.m. de 84 y 120, por el m.c.d.
Solución: Se halla primero el mc.d. de ambos números, como sigue:
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120
36
1
84
12
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2
36
0
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3
12
El m.c.d. = 12
Entonces, de acuerdo con la regla enunciada arriba, el mc.m. será:
m.c.m. 
120  84
 120  7  840
12
Ejemplo #7: Hallar el m.c.m. de 238 y 340.
Solución: Se halla primero el m.c.d. de ambos números, como sigue:
340
102
1
238
34
2
102
0
3
34
El m.c.d. =34.
Entonces, el m.c.m. será:
m.c.m. 
238  340
 238 10  2.380.
34
Caso especial:
Si los dos números dados son primos entre si, el m.c.m. es el producto de ambos
números. Así, el m.c.m. de 15
y 16, los cuales son primos entre si, es
m.c.m.  15 16  240. También, el m.c.m., de 12 y 143 es m.c.m.  123 143  17.589.
M.C.M. de dos o más números utilizando el M.C.D.
Esta regla se fundamenta en que el m.c.m. de varios números no se altera si se sustituyen
dos de ellos por su m.c.m.
La regla es la siguiente:
 m.c.m.1 ; luego se
halla el m.c.m. entre otro de los números y el  m.c.m.1  , encontrándose el  m.c.m.2 ; y
se continua así sucesivamente hasta agotar todos los números y encontrar el  m.c.m.n , el
Se halla primero el m.c.m de dos de los números, el cual llamaremos
cual sería el m.c.m. de todos los números dados.
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Ejemplo #8: Hallar el m.c.m. de los números 18, 54, 180, 360 y 400.
Solución:
Como 18 es divisor de 54 y 180 es divisor de 360, podemos prescindir de ellos y se
encontrará entonces el m.c.m. de 54, 360 y 400 solamente.
Hallaremos primero el m.c.m., de 360 y 400 por el método del m.c.d.
1
360
0
400
40
9
40
El m.c.d. = 40
400  360
 10  360  3.600
40
Se hallará ahora el m.c.m. de 3.600 y 54:
Entonces:
 m.c.m.1 
66
54
18
3600
36
1
36
0
2
18
El m.c.d. = 18.
Entonces:
 m.c.m.2 
3.600  54
 10.800.
18
Luego, 10.800 es el m.c.m. de 18, 54, 180,
360 y 400.
Caso especial:
Si los números dados son primos dos a dos, el m.c.m. de todos ellos es el producto de
todos los números.
Ejemplo #9: Hallar el m.c.m. de 2, 3, 5 y 17.
Solución:
m.c.m.  2  3  5 17  510.
M.C.M. por descomposición de factores:
Se descomponen los números dados en sus factores primos y el m.c.m. se forma con el
producto de los factores primos comunes y no comunes afectados por su mayor
exponente.
Ejemplo #10: Hallar el m.c.m. de 50, 80,
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120 y 300.
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Solución:
50
25
5
1
2
5
5
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
300
150
75
25
5
1
Resumiendo:
50   2    5 
2
80   2   5
4
120   2    3   5 
3
300   2    3   5 
3
2
m.c.m.   2   3   5   1.200
4
2
Ejemplo # 11: Hallar el m.c.m. de 24, 48,
56 y 168.
Solución: Hay que darse cuenta de que 24 es divisor de 48 y 56 es divisor de 168, por lo
que se puede prescindir de 24 y 56 y trabajar solo con 48 y 168.
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
168
84
42
21
7
1
2
2
2
3
7
Resumiendo:
48   2    3 
4
168   2    3   7  
3
m.c.m.   2    3   7   336.
4
Entonces, 336 es el m.c.m. de 24, 48, 56 y 168.
Método abreviado:
El m.c.m. por descomposición de factores puede hallarse más rápidamente por el
llamado método abreviado. El método consiste en dividir cada uno de los números
dados por su menor divisor; lo propio se hace con los cocientes, hasta obtener que los
cocientes sean 1. El m.c.m. es el producto de todos los divisores primos.
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2
3
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Ejemplo #12: Hallar el m.c.m. de 30, 60 y 190.
Solución: Prescindimos de 30 por ser divisor de 60. Se trabaja entonces con 60 y 190.
60
30
15
5
1
190
95
95
95
19
1
2
2
3
5
19
m.c.m.   2    3   5  19   1.140.
2
Ejemplo #13. Hallar el m.c.m. , por el método abreviado, de los siguientes números:
360, 480, 500 y 600.
360
180
90
45
45
45
15
5
1
480
240
120
60
30
15
5
5
1
500
250
125
125
125
125
125
125
25
5
1
600
300
150
75
75
75
25
25
5
1
2
2
2
2
2
3
3
5
5
5
PREGUNTAS:
1.- Con 10 ctvs., ¿podré comprar un número exacto de lápices de 3ctvs. y de 5ctvs.
Solución: No se puede comprar un número exacto. Siempre sobrará dinero. 10 no es
múltiplo de 3.
2.- Con 30 ctvs. ,¿podré comprar un número exacto de lápices de 3ctvs,, 5 ctvs y 6
ctvs.?.
Solución: 30 ctvs. es el m.c.m. de los número s dados, si se puede. Una solución es:
3  5  ctvs.  1  6tvs.  3  3  ctvs.  15  6  9  30  ctvs. .
Otra
alternativa
es:
3  5  ctvs.  2  6  ctvs.  1 3  ctvs.  15  12  3  30  ctvs.
3.- ¿Con qué cantidad menor que 40 ctvs. podré comprar un número exacto
manzanas de a 4 ctvs., 6 ctvs y 9 ctvs.?.
de
Solución: Por simple inspección, el m.c.m. de 4, 6 y 9 es 36, por lo tanto se debe buscar
varias combinaciones de números y precios cuyos productos sumen 36, como:
3  4  ctvs.  1 6  ctvs   2  9  ctvs.  12  6  18  36.
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También:
1 3  ctvs.  4  6  ctvs.  1 9  ctvs.  3  24  9  36
Además, como 39 es menor que 40, podemos decir:
2  3  ctvs   4  6  ctvs   1 9  ctvs.  39  ctvs.
4.- ¿Puede usted tener 50 ctvs. en piezas de cinco, diez y veinte centavos?.
Solución: Si se puede y de varias maneras. La única limitación es que en todos los casos
no puede haber más de una moneda de 20 ctvs.
1 20  ctvs.  110  ctvs.  4  5  ctvs.  20  10  20  50  ctvs.
1 20  ctvs.  2 10  ctvs.  2  5  ctvs.  20  20  10  50  ctvs.
5.- ¿ Cuál es la menor suma de dinero que se puede tener en piezas de cinco, diez y
veinte centavos?.
Solución: Si no es necesario incluir todas simultáneamente, la menor suma de dinero es
20 centavos (el m.c.m.); pero, si es necesario incluir todas, la menor suma de dinero es 35
centavos Una de cada una).
6.- ¿Cuál es la menor suma de dinero que se puede tener en billetes de a $2, de a $5 y
de a ·20 y cuántos billetes de cada denominación en cada caso harían falta?.
Solución:
2
1
2
5
1
5
20
10
5
1
2
2
5
m.c.m.   2    5  20.
Entonces, $20 es el m.c.m. y por tanto la menor suma de dinero que se puede tener.
2
Los casos pueden ser:
1 20  $   20  $  .
4  5  $   20  $ 
10  2  $   20  $ 
2  5  $   5  2  $   20  $  .
7.- Hallar la menor distancia que se puede medir con una vara de 2 cms., de 5 cms o de
8 cms. de largo.
Solución: Prescindimos de 2 porque es divisor de 8. Además 5 y 8 son primos enrtre si,
entonces, el m.c.m. = 40 cms.
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8.- ¿Cuál es la menor suma de dinero con que se puede comprar un número exacto de
libros de a $3, $4, $5 y u $8 cada uno y cuántos libros de cada precio puedo comprar
con esa suma?.
Solución: Prescindimos de $4 por ser divisor de $8. Como el resto de los números son
primos entre si, el mínimo común múltiplo es:
m.c.m.   3   5  8  120  $  .
Se pueden comprar, según el precio:
120  $ 
120  $ 
120  $ 
120  $ 
 40  libros  ;
 30  libros  ;
 24  libros  ;
 15  libros 
 $ 
 $ 
 $ 
 $ 
3
4
5
8




 libro 
 libro 
 libro 
 libro 
9.- Para comprar un número exacto de docenas de pelotas de a 80 ctvs. la docena o un
número exacto de docenas de lápices a 60 ctvs. la docena, ¿cuál es la menor suma de
dinero necesaria?.
Solución: Se busca el m.c.m. entre 80 y 60.
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
m.c.m.   2    3   5  240  ctvs.  $2, 40.
4
10.- ¿ Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto
de trajes de a $30, de a $ 45 o de $50 si quiero que en cada caso me sobren $25?.
Solución: Se busca el m.c.m. de 30, 45 y 50 y luego se le suma 25.
30
15
5
5
1
45
45
15
5
1
50
25
25
25
5
1
2
3
3
5
5
m.c.m.   2    3   5   450  $  
2
2
 450  25  475  $ 
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11.- ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número
exacto de minutos por cualquiera de tres llaves que vierten:
1).- 12 litros por minuto; 2). 18 litros por minuto y la ·). 20 litros por minuto?.
Solución:
12
6
3
1
18
9
9
3
1
20
10
5
5
5
1
2
2
3
3
5
m.c.m.   2    3   5  180  litros  .
2
2
12.- ¿Cuál es la capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de
segundos por cualquiera de tres llaves que vierten:
1).- 2 litros por segundo; 2)..- 30 litros en 2 segundos y 3).- 48 litros en 3 segundos.?.
Solución:
Se buscará el m.c.m. de: 2;
2
1
15
15
15
15
15
5
1
30
48
 15;  16
2
3
16
8
4
2
1
2
2
2
2
3
5
m.c.m.   2    3   5  240  litros 
4
13.- Hallar la menor capacidad posible de un depósito que se puede llenar en un número
exacto de minutos abriendo simultáneamente tres llaves que vierten:
1).- 10 litros por minuto; 2). 12 litros por minuto y la 3).- 30 litros por minuto, y
cuántos minutos tardaría en llenarse.
Solución: Las tres llaves se abren simultáneamente; entonces el caudal del conjunto de
las tres llaves es igual a la suma de los caudales individuales; o sea:
 l 
10  12  30  52 
 . El menor tiempo de llenado será 1 min. Por lo que la capacidad
 min. 
menor será 52 litros.
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14.- ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en pedazos de 8
cms., 9 cms., o 15 cms. de longitud sin que sobre ni falte nada y cuántos pedazos de
cada longitud se podrán sacar de esa varilla?.
Solución: Se encontrará el m.c.m. de 8, 9 y 15.
8
4
2
1
9
9
9
9
3
1
15
15
15
15
5
5
1
2
2
2
3
3
5
m.c.m.   2    3   5  360  cms.
Pedazos de cada longitud:
3
2
360
360
360
 45  pedazos  ;
 40  pedazos  ;
 24  pedazos 
8
9
15
15.- Hallar el menor número de bombones necesario para repartir entre tres clases de 20
alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de manera que cada alumno reciba un número
exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de cada clase.
Solución: Se hallará el m.c.m. de 20, 25 y 30.
20
10
5
5
1
25
25
25
25
5
1
30
15
15
5
1
2
2
3
5
5
m.c.m.   2    3   5  300  bombones  .
2
2
Bombones por clase:
300
 bombones 
1. 
 15 

20
 alumno 
2. 
300
 bombones 
 12 

25
 alumno 
3. 
300
 bombones 
 10 

30
 alumno 
16.- Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero
tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero 12
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Guía #27B Sexto grado Mínimo común
segundos, ¿ al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas
vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo?.
Solución: Se busca el m.c.m. de todos los tiempos dados:
10
5
5
5
1
11
11
11
11
11
1
12
6
3
1
2
2
3
5
11
m.c.m.   2    3   5  11  660  seg.
2
Vueltas por galgo en los 660 segundos:
660  seg.
 66  vueltas 
1 . 
 seg. 
10 

 vuelta 
660  seg.
 60  vueltas 
 2. 
 seg. 
11

 vuelta 
660
 55  vueltas 
 3 . 
12
17.- Tres aviones salen de una misma ciudad, el 1º cada 8 días, el 2º cada 10 días y el 3º
cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero, ¿cuále4s serán las dos
fechas en que volverán a salir juntos, si el año no es bisiesto, ¿.
Solución: Se busca el m.c.m. de 8, 10 y 20.
8
4
2
1
10
5
5
5
1
20
10
5
5
1
2
2
2
5
m.c.m.   2   5  40  dias 
Para calcular las fechas, hay que recordar que enero tiene 31 días y febrero 28 días,
entonces la primera fecha será 11 de febrero y la segunda fecha será 23 de marzo.
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FVR (26/09/2011)
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