La corriente y la resisitencia La corriente eléctrica

La corriente y la resisitencia
Al aplicar una diferencia de potencial a los extremos, se establece una dirección preferente de movimiento, ver la figura 1b. Si la batería mantiene una diferencia de potencial, V , constante, a través del conductor de longitud L se establece un campo eléctrico
V /L, que da lugar al movimiento de los electrones en
la dirección opuesta a E.
Si una carga neta, dq, pasa a través de cualquier
superficie (dentro del conductor) en un intervalo de
tiempo dt, se dice que se ha establecido una corriente
eléctrica i, donde
dq
i=
(1)
dt
dq es la carga que pasa a través de la sección transversal en el tiempo dt.
En el SI la unidad de medida de la corriente es el
ampere (abreviación A). De (1) se tiene
Hasta ahora, se han estudiado muchos casos de
la electrostática. Ahora se estudiará la corriente
eléctrica que consiste en considerar a las cargas en
movimiento.
La corriente eléctrica
A los electrones libres en un conductor metálico y
aislado, se encuentran en movimiento aleatorio, como las moléculas de un gas en un contenedor, ver la
figura 1a
1 ampere = 1 coulomb/segundo
La carga neta que pasa a través de la superficie un
cualquier intervalo de tiempo:
Z
q=
i dt
(2)
y si i es constante en el tiempo, entonces
Figura 1:
i = q/t.
1
(3)
Aquí se considera que la corriente eléctrica i es la
misma para todas las secciones transversales de un
conductor, aun cuando el área de la sección transversal pudiera ser diferente en puntos diferentes, y
se indica mediante una flecha (que no es un vector).
Aunque los portadores de carga pueden ser positivos o negativos la dirección de la corriente es la
dirección que tendrían los portadores de carga positivos, aun cuando estos fuesen negativos.
Si los portadores de carga son negativos, simplemente se mueven en la dirección contraria al de la
flecha de la corriente, ver la figura 1b.
La corriente eléctrica obedece sólo al álgebra convencional, como puede verse en la figura 2.
cionada con la corriente, a saber, la densidad de corriente j:
j = i/A.
(4)
el vector j tiene la misma dirección que la del movimiento de los portadores de carga positivos. En la
figura 3, j es un vector constante que apunta hacia
la izquierda, en tanto que los electrones se mueven
hacia la derecha. En general
Figura 3:
Z
i=
j · dA,
(5)
Figura 2:
A pesar de que están sometidos a una fuerza ejercida por E, los electrones se mueven con velocidad
constante (velocidad de desplazamiento vd ), debido
a las colisiones.
La densidad de la corriente
La corriente es una característica de cada conductor
en particular. Existe una cantidad microscópica rela2
En la figura 3, el número de electrones de conducción en una longitud L del alambre es nAL, donde n
es el número de electrones de conducción por unidad
de volumen y AL es el volumen en la longitud L del
alambre. A través de este segmento del alambre pasa
una carga
q = (nAL)e
El alambre compuesto porta un acorriente estable i
de 1.3 A. ¿Cuál es la densidad de corriente en cada
alambre?
La densidad de corriente es
j=
La sección transversal de área A en el alambre de
aluminio es
en un tiempo
t=
L
1
AAl = πd 2 = (π/4)(2.5×10−3 m2 = 4.91×10−6 m2
4
vd .
La corriente es, entonces,
por lo que
q
nALe
i= =
= nAe vd .
t
L/ vd
jAl =
Y resolviendo para vd
vd =
j
i
= .
nAe ne
1.3 A
= 2.6 × 105 A/m2 = 26 A/cm2 .
4.91 × 10−6 m2
Para el Cu, la sección transversal es 2.54 × 10−6 m2 ,
por lo que
(6)
jCu =
de donde
j = −nevd .
i
A
(7)
1.3 A
= 5.1 × 105 A/m2 = 51 A/cm2 .
2.54 × 10−6 m2
Ejercicio 2. ¿Cuál es la velocidad de desplazamiento de los electrones de conducción en el alambre
de cobre del Ejercicio 1?
La velocidad de desplazamiento está dada por
que, como se observa en la figura 3, ambos vectores
tienen direcciones opuestas.
Ejercicio 1. Un extremo de un alambre de aluminio
cuyo diámetro es 2.5 mm está soldado a un extremo
de un alambre de cobre cuyo diámetro es 1.8 mm.
vd =
3
j
ne
En el cobre, existe aproximadamente un electrón
de conducción por átomo, en promedio. El número
n de electrones por unidad de volumen es el mismo
que el número de átomos por unidad de volumen y
está dado por
efecto de incrementar mucho n, el número de portadores de carga (electrones, en este caso) por unidad
de volumen, si se compara con el valor del silicio puro. En este caso, n =8.0×1021 m−3 . (a) ¿Cuál es la
densidad de corriente en la placa? (b) ¿Cuál es la velocidad de desplazamiento?
De la ecuación (4) se tiene
n
ρm
átomos/m3
masa/m3
=
o
=
.
NA
M
átomos/mol masa/mol
donde ρm es la densidad de masa del cobre, NA es el
número de Avogadro y M es la masa molar del cobre.
Así que
NA ρm
n=
M
j=
i
190 × 10−3 A
=
wd (3.2 × 10−3 m)(250 × 10−6 m)
j = 2.4 × 105 A/m2
y, de la ecuación (6)
(6.02 × 1023 electrones/mol)(8.96 × 103 kg/m3 )
n=
63.5 × 10−3 kg/mol
vd =
n = 8.49 × 1028 electrones/m3
2.4 × 105 A/m2
(8.0 × 1021 m−3 )(1.60 × 10−19 C)
vd = 190 m/s.
Entonces
vd = 3.8 × 10−5 m/s = 14 cm/h.
La resistencia, la resistividad y la conductividad
Ejercicio 3. Una placa de silicio, de anchura w=3.2
mm y espesor d = 250 µm, porta una corriente i =
190 mA. EL silicio es un semiconductor tipo n, que
ha sido contaminado con una cantidad controlada
de impurezas de fósforo. La contaminación tiene el
Si se aplica la misma diferencia de potencial entre los
extremos de barras de cobre y madera geométricamente similares, se obtienen corrientes muy diferentes. La característica que entra en juego es la resistencia, que se determina aplicando una diferencia de
4
potencial V entre dos puntos y midiendo la corriente
i que resulte:
R = V /i
(8)
V está en volt, i en ampere y R en ohm (Ω), por lo
que
1 ohm = 1 volt/ampere.
A un conductor cuya función en un circuito es proporcionar un aresistencia específica se le conoce como resistor.
La resistividad, ρ está relacionada con la resistencia, que es una característica del material más que de
un especimen en particular y se define por
ρ=
E
j
(9)
Figura 4:
con unidad de medida Ω·m. Dado que E y j son vectores (ver la figura 3)
E = ρj.
La resistividad tiene su inverso que es la conductividad, σ , definida como
(10)
σ = 1/ρ.
Las ecuaciones (9) y (10) son válidas sólo para materiales isotrópicos, cuyas propiedades eléctricas son
las mismas en todas las direcciones. La Tabla 1 muestra la resistividad de algunos materiales.
(11)
que se puede escribir también como
j = σ E.
5
(12)
La resistencia y la resistividad se relacionan como
se describe a continuación. En la figura 4 se muestran las condiciones en las que se encuentra un cilindro conductor. Si el las secciones transversales del
que se aplica sólo a conductores homogéneos, isotrópicos de sección transversal uniforme y sujetos a
cmapos eléctricos uniformes.
Ejercicio 4. Un bloque rectangular de hierro tiene
dimensiones 1.2 cm × 1.2 cm × 15 cm. (a) ¿Cuál es
la resistencia del bloque si ésta se mide entre sus caras cuadradas? (b) ¿Cuál es la resistencia entre dos
caras rectangulares y opuestas? La resistividad del
hierro a temperatura ambiente es 9.68×10−8 Ω·m.
(a) De la ecuación (13)
Figura 5:
R=ρ
cilindro en los extremos son superficies equipotenciales, el campo eléctrico y la densidad de corriente
son constantes para todos los puntos en el cilindro
L
(9.68 × 10−8 Ω · m)(0.15 m)
= 100 µΩ
=
A (1.2 × 10−2 m)(1.2 × 10−2 m)
(b) De nuevo, de la ecuación (13)
R=ρ
V
i
E=
y j= .
L
A
L (9.68 × 10−8 Ω · m)(0.012 m)
=
= 0.65 µΩ
A
(1.2 × 10−2 m)(0.15 m)
La ley de Ohm
La resistividad es
Un dispositivo conductor obedece a la ley de ohm si
la resistencia entre cualquier par de puntos es independiente de la magnitud y polaridad de la diferencia
de potencial aplicada.
Un conductor obedece a la ley de Ohm si la gráfica
V vs. i es lineal. El equivalente microscópico de la
ley de Ohm es E=ρj.
E V /L
.
ρ= =
j
i/A
Pero V /i es la resistencia, por lo que
L
R=ρ .
A
(13)
6
La transferencia de energía en un circuito eléctrico
de la caja es
dU = Vab dq = Vab i dt.
La figura 6 muestra un circuito que consiste de una
batería B conectada a una ”caja negra”.
Entonces la tasa de la energía transferida o potencia
P es
dU
P=
= iVab
(14)
dt
Si el dispositivo dentro de la caja es un resistor,
la energía aparece en el resistor en forma de energía
interna.
Para un resistor se tiene
Figura 6:
P = i2 R
(15)
V2
.
R
(16)
o
A través del circuito circula una corriente estable
i y a través de las terminales a y b hay una diferencia de potencial estable Vab . La terminal a tiene un
potencial mayor que la terminal b. La energía potencial de una carga dq que se mueve a través de la caja desde a hast b decrece en Vab dq. El principio de
conservación de la energía nos dice que esta energía
se convierte en la caja de energía eléctrica en alguna
otra forma, que depende de lo que haya dentro de la
caja. En el tiempo dt la energía dU transferida dentro
P=
Ejercicio 5. Se tiene un trozo de alambre hecho
de una aleacion de niquel-cromo-hierro que tiene una
resistencia R de 72 Ω. Sus extremos están conectados
a una diferencia de potencial de 120 V. ¿En qué caso
el alambre disipará más calor (a) considerando toda
su longitud o (b) partiendo a la mitad el alambre y
conectando los extremos de los dos trozos en paralelo
a la diferencia de potencial? (a) La potencia disipada
7
por todo el alambre es
P=
V 2 (120V )2
=
= 200 W.
R
72 Ω
(b) La potencia para el par de mitades es
P=
(120V )2
V2
=
= 400 W.
1
36 Ω
2R
Pregunta 7. Se aplica una diferencia de potencial
a un alambre de cobre de diámetro d y longitud L.
¿Cuál es el efecto sobre la velocidad de desplazamiento de los electrones si (a) se duplica V , (b) se
duplica L y (c) se duplica d? Responda cada pregunta por separado.
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