Demostración de que la expresión dada para la normal es una
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Demostración de que la expresión dada para la normal es una función de densidad f (x) = √ (x−µ)2 1 e− 2σ2 , 2π σ −∞ < x < ∞ Para que sea función de densidad debe verificar: 1. f (x) ≥ 0, lo cual se deduce de la propia definición. Z +∞ 2. f (x)dx = 1. En efecto, llamando I a la integral anterior y haciendo el cambio −∞ de variable z= se tiene Z 1 I=√ 2π +∞ e 2 − z2 −∞ x−µ , σ dx σ dz = 2 dz = √ 2π Z +∞ z2 2 e− 2 dz = √ I1 . 2π 0 Calculemos el valor de I1 . Para ello, tengamos en cuenta lo siguiente: Z I1 I1 = I12 Z +∞ = e −y 2 /2 dy 0 Z +∞ e −x2 /2 +∞ Z +∞ dx = e 0 0 −(x2 +y 2 ) 2 dxdy = (∗) 0 realizando un cambio a polares 2 2 2 ¯ x +y =r ¯ cos θ −rsenθ |J| = ¯¯ senθ r cos θ x = r cos θ dx = cos θdr − rsenθdθ y = rsenθ dy = senθdr + r cos θdθ ¯ ¯ ¯=r ¯ resulta Z π/2 Z (∗) = re 0 Z π/2 = Por tanto, I1 = I = 1. π = 2 −r2 /2 dr dθ = Z i+∞ h −r2 /2 dθ = −e π/2 0 √ +∞ dθ 0 0 Z π/2 0 0 r Z +∞ r e−r 2 /2 dr = 0 π/2 dθ = [θ]0 = π . 2 2π , de donde, finalmente, se tiene que la integral buscada, 2 1
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