Variables aleatorias discretas

1
VARIABLES ALEATORIAS
Variable: Característica de los individuos u objetos
Definiciones
Aleatoria: Azar
1. Una variable aleatoria ( v.a.) es una función que asigna un número real a cada
resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.
2. Notación: - Las v.a. se denotan con una letra mayúscula tal como X ( Usualmente
X,Y,Z ) y el valor posible de X se denota con una letra minúscula x ( o bien X=x )
3. El conjunto de posibles valores de la v.a. X recibe el nombre de Rango de X.
2
Ejemplos
1.
Llamadas telefónicas recibidas por una Cía. en un día determinado
Sea X: Número de llamadas ( X∈{0,1,2,3,...,n}, n: conocido)
2.
Lanzar una moneda hasta que salga cara por primera vez
Sea X: Número de sellos ( X∈{0,1,2,3,...} )
3.
Largo del cable de un artefacto eléctrico ( por ej. Plancha )
Sea X: “ El largo del cable ” ( X∈ Intervalo, si hay especificaciones técnicas )
3
Variables Aleatorias Discretas ( v.a.d.)
Es una v.a. con un rango finito ( ejemplo 1 ) o infinito numerable ( ejemplo 2 )
Distribución de probabilidades
Es la forma de resumir las probabilidades en una “Tabla“. Su esquema es el siguiente:
x
x1
P( X = x)
P( x1 )
x2
P( x2 )
…
xk
… P( xk )
La función de probabilidad
Es la regla ( o fórmula ) que asigna probabilidades a los valores de las v.a.
k
Nota: P(x k ) ≥0 y å P ( xi ) = 1
i =1
4
Ejemplo 4
Experimento: Se lanzan dos monedas honestas.
Ω = { ss , cs , sc , cc }
Sea X: N° de caras ( X∈{0,1,2} ) y P(X=0) = 1/4 , P(X=1) = 1/2 , P(X=2) = 1/4 .
G
G
La distribución de Probabilidad es: ( “ La tabla “ )
x
0
1
2
P(X=x)
1/4
1/2
1/4
La función de Probabilidad es: ( “ La regla o fórmula “ )
æ2ö
P(X = k) = ç ÷
èkø
æ1ö
ç ÷
è 2ø
2
, k = 0,1,2.
5
La Función de Distribución Acumulada ( F.D.A.)
Se define la F.D.A. de una v.a. X como
FX (k) = P(X ≤ k) =
å P(xi)
xi ≤ k
Propiedades:
1° 0 ≤ FX (k) ≤ 1
2° Si p ≤ q Þ = FX (p) ≤ FX (q) ( No decreciente )
3° FX (x) es contínua por la derecha
6
... cont. Ejemplo 4
La F. D. A. está dada por:
FX(k) = P( X≤k )
X=k
P(X=k)
0
1/4
1
1/2
1/4+1/2 = 3/4
2
1/4
1/4+1/2+1/4 = 1
1/4
Otra manera de escribir la F.D.A. es:
ì 0
ï 1/4
ï
FX (x) = í
ï3/4
ïî 1
;
x<0
; 0 ≤ x <1
; 1≤ x < 2
;
x≥2
7
Gráficamente La F.D.A. en nuestro ejemplo es:
8
Valor esperado o Esperanza de una v.a. X
La esperanza se puede interpretar como el centro de gravedad
E( X ) = å k P(X = k)
k
Propiedades
1° E( c X ) = c E( X ), donde c es constante
2° E( X + Y ) = E( X ) + E( Y )
3° Si X1,X2,...,Xn son v.a. Entonces
n
n
i =1
i =1
E( å X i ) = å E( X i )
4° E( g(X) ) = å g(k) P(X = k)
k
9
Varianza de una v.a. X
La varianza trata de describir la dispersión de los datos
(
VarX = E ( X - EX ) 2
)
Propiedades
1° Var X = E( X2 ) - { E(X) }2
2° Var( c ) = 0 , c : constante
2° Var( a X + b ) = a 2 Var X , con a y b constantes
Definición
Se llama desviación estándar de una v.a. X a la siguiente expresión:
σX = +
VarX
También mide la dispersión de los datos y tiene la misma unidad de medida que
la v.a. X.
10
Modelos para v.a.d.
Modelo Bernoulli
Se llama experimento de Bernoulli a un experimento con las siguientes
Características:
1° Se realiza un experimento con dos resultados posibles: w0 y w1 tal que:
P( w0 ) = p y P( w1 ) = q = 1 – p
2° La repetición del experimento no altera las probabilidades de w0 y w1
Sea X una v.a. se dice que X es Bernoulli ( Notación : X~ Bern(p) )
ì1 ; si ocurre w 0
Si X = í
î0 ; e.o.c.
La función de probabilidad está dada por: P(X=x) = p x q 1 – x x = 0, 1.
EX = p ,
Var X = p q
11
Modelo Binomial
Si se repite un experimento Bernoulli n veces, se llama v.a. Binomial
( o modelo Binomial ) a:
X : N° de veces que ocurre w0 y la probabilidad asociada está dada por :
æ nö x n - x
P(X= x)= ç ÷ p q
, x= 0,1,2,..., n.
è xø
E X = n p , Var X = n p q
Notación: X ~ Bin( n,p )
Observación: Bern(p) ≡ Bin ( 1, p ).
12
Ejemplo
Sea X: Número de varones en una familia de tres hijos y sea el evento
V: “Ser varón” , con P(V)=p ( y el evento M: ”Ser mujer” , con P(M)= q =1-p )
Calcular P( X=2 ) .
Solución
1ª Forma ( Intuición )
X=2 Þ V V M o V M V o M V V
P(X=2) =
p p q + p q p + q p p = 3 p2 q
2ª Forma ( Modelo Binomial )
- Cumple las hipótesis del modelo Binomial
( Dos casos. Se asume que la probabilidad no se altera, n=3)
æ3ö 2
- P( X = 2) = ç ÷ p ( 1 - p )3-2 = 3 p 2 q
è 2ø
13
Modelo Geométrico
Si se repite un experimento Bernoulli indefinidamente, se llama v.a. Geométrica
( o modelo Geométrico ) a:
X : N° de la repetición en la cual se obtiene w0 por primera vez y la probabilidad
asociada está dada por :
P(X = x) = q x -1 p ; x = 1, 2,3,...
E X = 1/p , Var X = q / p2
Notación: X ~ Geo( p )
14
Ejemplo
Se lanza una moneda. Calcular la probabilidad que salga cara por primera
vez en el 3ª lanzamiento.
( P( C ) = p, P( S ) = q = 1-p )
Solución
1ª Forma ( Intuición )
S S C Þ P( pedida ) = q q p = q 2 p
2ª Forma ( Modelo Geométrico )
- Cumple las hipótesis del modelo Geométrico
( Dos casos. Se asume que la probabilidad no se altera hasta que ocurra éxito por
primera vez en el tercer lanzamiento )
- P( X = 3) = ( 1 - p )3 - 1 p = ( 1 - p) 2 p = q 2 p
15
Modelo Hipergeométrica
Un conjunto de N objetos contiene
K objetos clasificados como éxitos y
N – K objetos clasificados como fallas
Se toma una muestra de tamaño n, al azar y (sin reemplazo) de entre N objetos, donde
K ≤ N y n ≤ N. Sea X: Número de éxitos en la muestra, entonces X tiene distribución
Hipergeométrica y la función de probabilidad es
æK öæN -kö
÷
ç ÷ç
èx øèn - x ø
P(X = x) =
, x = 0,1,2,...,
N
æ ö
ç ÷
èn ø
Notación : X ~ HG(N,K,n)
E X = n p, Var X = n p q [ (N-n) / (N-1) ], donde p= K / N
mín(K, n)
16
Ejemplo
300 Fumadores
Población = 1000 personas
,
m.a.( 3 )
700 No Fumadores
Sea X: Número de fumadores. Calcular la probabilidad de que una persona fume
Solución
1ª Forma ( Intuición )
X=1 Þ F NF NF
P(X=1) = 300*700*699
1000*999*998
o
+
NF F NF
o
700*300*699 +
1000*999*998
2ª Forma ( Modelo Hipergeométrico )
Cumple las hipótesis del modelo Hipergeométrico
æ 300 ö æ 700 ö
ç
֍
÷
1
2
è
øè
ø
P(X = 1) =
æ1000 ö
ç
÷
3
è
ø
NF NF F
700*699*300
1000*999*998
17
Modelo Poisson
Si el número promedio de ocurrencias en un intervalo de tiempo o en una región
específica es λ >0. La v.a. X que es igual al número de ocurrencias en el
Intervalo o región tiene una distribución de Poisson con tasa λ.
La función de probabilidad de la v.a. X está dada por :
λ x e -λ
P(X = x) =
, x = 0,1,2,3,....
x!
Notación : X ~ P( λ )
E X = λ , Var X = λ
Obs: Si X ~ Bin(n,p) con n→∞ y p≈0 , entonces X ~ P( λ ) con λ = n p
18
Ejemplo
El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante
un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. Calcule la probabilidad de que
entren 6 partículas al contador en un milisegundo determinado
Solución
Sea X : Número de partículas que entran al contador en un milisegundo determinado
Þ X ~ P( 4 )
Se pide la probabilidad que X=6.
Luego:
4 6 e -4
P( X = 6) =
= 0.1042
6!