medidas indirectas propagacion de errores o incertidumbres

MEDIDAS INDIRECTAS
En muchas situaciones experimentales la magnitud de interés no es
medible en forma directa (sino indirecta).
PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES
Y= f(X)
X=<X> ± Δ X
Como para poder expresar Y = f(<X>) ± Δ Y (o f)
PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES
Una variable
Supongamos que la magnitud z se calcula a partir de la magnitud medida x
(medición indirecta):
z = z(x)
X= xm ± Δ x
¿Cuánto valdrá Δ z?
Es decir, ¿cómo se propaga el error que se cometió al medir x en el resultado
del cálculo de z?
Por ejemplo, veamos qué pasa si z(x) = x2:
z ± Δ z = (x ± Δ x)2 = x2 ± 2x Δ x + (Δ x)2
Si Δ x es pequeño con respecto a x, (Δ x)2 lo es aún más
Δ z = 2x Δ x
PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES
Determinar el volumen de una esfera:
V=(4/3) π (D/2)3 y medimos D (con su error D)
¿Cómo podremos determinar en este caso el mejor valor y la incertidumbre de
V?
En primera aproximación:
V±ΔV=(1/6)π (D± Δ D)3
V± Δ V=(1/6) π[D3±3D2 Δ D+3D (Δ D)2±(Δ D)3]
Δ D/D«1 (Δ D es muy pequeño)
V± Δ V=(1/6)π (D3±3D2 Δ D)
El mejor valor de V estará dado por: (1/6)π (el mejor valor de D)3
y por Δ V=(1/2) π D2 Δ D
PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES
LA MAGNITUD A DETERMINAR DEPENDE DE UNA SOLA VARIABLE
• ¿Cómo nos manejaremos en esa situación?
Buscaremos alguna expresión general que nos permita determinar el mejor valor
y la incertidumbre, independientemente de la complejidad de la función
matemática
¿ Como?
Si una función f y todas sus derivadas (de cualquier orden) están bien
definidas en un punto, xo , podemos expresar el valor de la función en el
entorno de dicho punto a partir de una serie (llamada Serie de Taylor)
De manera general una buena estimación de z se obtiene a partir del desarrollo
en serie de Taylor de z(x):
PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES
Varias variable
Supongamos:
z= x+y
X= xm ± Δ x e y= ym ± Δ y
Z± Δz=( xm ± Δ x) +( ym ± Δ y)
Posicion mas pesimista:
Δ z= Δ x+Δ y
Caso general que z=z(x,y)
PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES
Casos simples (distribucion)
ΔY = c ⋅ Δ X
Y = c⋅ X
Y = X1 ± X 2
ΔY =
Y = X1 ⋅ X 2
X
Y =
X
Y = X
ΔY = Y
1
(ΔX 1 )2 + (ΔX 2 )2
⎛ ΔX 1
⎜⎜
⎝ X1
2
⎞
⎛ ΔX 2
⎟⎟ + ⎜⎜
⎠
⎝ X2
⎞
⎟⎟
⎠
2
n
ΔY
ΔX
= n⋅
Y
X
•El periodo de un péndulo
La expresión del error Δg de la variable dependiente g
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2
Cada uno de los términos de la expresión anterior nos informa cómo
contribuye o se propaga el intervalo de incertidumbre σxn de cada una de
las variables (MEDIDAS DIRECTAMENTE), en el intervalo de incertidumbre σu de
la magnitud derivada (MEDIDA INDIRECTAMENTE).
Estadística
µ= valor esperado
s=SQRTs2
Error medio, desviacion estandar
ERROR DEL VALOR MEDIO
PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES