Modelo de Matriz de Pago (Modelo de decisión para problemas en

I Unidad: Introducción a al Investigación de Operaciones.
Contenidos:
1. Breve reseña histórica de la l. De O.
2. Concepto de la l. De O.
3. Objeto de Estudio de la l. De O.
4. Introducción a la teoría de decisiones
5. Modelo de Matriz de Pago
6. Criterios para la toma de decisiones
Objetivos del tema I
 Dar una introducción sobre la asignatura IO
 Familiarizar al estudiante con las características y aplicación del modelo de matriz
de decisiones
1. Breve reseña histórica de la I. O.
Las raíces de la I. de O, se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros
intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin
embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se
atribuye a los servicios militares prestados a principios de la Segunda Guerra Mundial.
Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a
las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación en la forma
más efectiva. '
Por esto las administraciones militares americanas y británica hicieron un llamado a un
gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros
problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre
operaciones (militares).
Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas
generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión
industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y
especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a
ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que
habían trabajado con o para los equipos de la I. O, durante la guerra, que estos problemas
eran en esencia los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto
diferente. Al inicio de la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la
investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces se
ha desarrollado con rapidez.
2. Concepto de la Investigación de Operaciones.
La Investigación de Operaciones es la aplicación de procedimientos, técnicas y
herramientas científicas a problemas operativos con el objetivo de desarrollar y evaluar
soluciones. La I. de O. Es una disciplina que intenta ayudar en la toma de decisiones
mediante la aplicación de un enfoque científico a problemas administrativos que involucran
factores cuantitativos.
3. 0bjeto de estudio de la Investigación de Operaciones.
El objeto de estudio de la I.de O, Es la toma de decisiones óptimas y del modelado de
sistemas determinísticos y probabilísticos que se originan en la vida real.
4. Introducción a la teoría de decisiones
En la explicación de esta teoría, en primer lugar se supondrá que el que toma la decisión
está en condiciones de definir todas las opciones o estrategias que se están considerando.
La toma de decisiones se puede considerar como un proceso en el que se busca alternativas
de acción para la solución de un problema. Por ejemplo una compañía que logró desarrollar
un chip de computadora podría definir las siguientes opciones:
1. Producir computadoras
2 .Vender los derechos del chip
En segundo lugar, suponemos que el que toma la decisión puede definir los llamados
estados de la naturaleza, los cuales representan varias condiciones que pueden repercutir en
las consecuencias de la alternativa escogida. En el caso de la compañía de computadoras,
entre los estados de la naturaleza podrían contarse los siguientes:
1. Demanda promedio de computadoras
2. Demanda superior al promedio
Los estados de la naturaleza pueden ser categóricos o numéricamente específicos. En este
ejemplo son categorías de la demanda, pero podrían haberse identificado determinadas
cantidades de demanda.
En tercer lugar se supone que los encargados de la toma de decisión pueden estimar las
consecuencias (beneficios o costos) de escoger algunas de las opciones y de hacer que
ocurra cualquier estado de la naturaleza. Estas consecuencias deberían ser cuantificables y
suelen representar un criterio con que, el que toma una decisión mide el desempeño de la
organización. Estas consecuencias se muestran en una tabla o matriz de pagos (resultados).
Tabla 1 Pagos de la compañía (Utilidades Anuales en Dólares)
Fabricar Computadoras
Estado de la naturaleza
Demanda
Demanda superior al
promedio
promedio
9000000
24000000
Vende el Chip
15000000
Alternativa
15000000
5. Modelo de Matriz de Pago
Una matriz de decisión o matriz de pago es una tabla formada por renglones que
representan cada alternativa de decisión, por columnas en las que se indican los estados de
la naturaleza y los pagos (resultados) incluidos en el cuerpo de tabla.
Estructura de la Matriz de Pagos:
a) Objetivo que se desea alcanzar: En términos generales será: Maximizar la ganancia o
minimizar el costo.
b) Alternativas de solución: Son los diferentes cursos de acción o estrategias a
disposición de quien toma la decisión. Se representan como: Al, A2, A3... Ai
c) Eventos o estados de la naturaleza: Son factores que ocurren y que están fuera del
control de quien toma la decisión. Se representan como: El, E2, E3...Ej
d) Resultados: Son las consecuencias posibles combinaciones de alternativas y eventos. Se
representan como: Rll, R12, R13...Rmn
Al
A2
…
Am
Tabla de matriz de decisión o de pago
El
E2
Rll
R12
R2l
R22
...
…
Rml
Rm2
…
…
…
…
…
En
Rln
R2n
…
Rmn
6. Categorías de la toma de decisiones:
a) Toma de decisiones en condiciones de certidumbre. En esta situación existe la
certidumbre total por parte del que toma la decisión respecto a cuál estado de la
naturaleza va a ocurrir.
b) Toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. En esta situación el encargado
de tomar la decisión no conoce la probabilidad de que se realicen varios estados de la
naturaleza.
c) Toma de decisiones en condiciones de riesgo. En esta situación, el encargado de la
toma de decisiones tiene suficiente conocimiento sobre los estados de la naturaleza para
asignar la probabilidad de la posibilidad de que ocurran.
Una matriz de pago es un modelo de decisión para problemas en condiciones de riesgo.
Según los datos del problema se puede elaborar una matriz de utilidades, una matriz de
pérdidas o una matriz de costo.
7. Criterios para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre:
Se basan sólo en factores económicos, es decir en los resultados
a) Criterio Maximax: Este criterio es adecuado para el tomador de decisiones optimista,
quien primero identifica el pago máximo asociado a la selección de cada alternativa y
después escoge la alternativa (renglón) relacionada con el máximo de estos pagos
máximos.
Para el ejemplo de la compañía la tabla 2 indica los pagos máximos de cada alternativa. El
criterio Maximax escoge la opción relacionada con el mayor de estos pagos máximos, que
es $ 24000000.
Tabla 2. Criterio Maximax y Maximin
Alternativa
Demanda
promedio
Estado de la naturaleza
Demanda superior
Máximo de
al promedio
renglón
Mínimo de
renglón
Fabricar
Computadoras
9000000
24000000
24000000
9000000
Vender el Chip
15000000
15000000
15000000
15000000
b) Criterio Maximin: Este criterio es adecuado para el tomador de decisiones pesimista,
quien primero identifica el pago mínimo (peor pago) asociado a la selección de cada
alternativa y después escoge la alternativa relacionada con el máximo de estos pagos
mínimos.
Para el ejemplo de la compañía en la tabla 2 se indica los pagos mínimos de cada
alternativa. El criterio Maximin escoge la opción relacionada con el mayor de estos pagos
mínimos, que es $ 9000000
c) Criterio minimax: Este criterio se aplica cuando los resultados de la matriz de pago
representan pérdidas o costos que se desean minimizar. Primero se identifica el pago
máximo asociado a cada alternativa y después elegir la alternativa relacionada con el
mínimo de estos pagos máximos.
8. Criterios para la tomas de decisiones en condiciones de riesgo:
Para la aplicación de estos criterios cada evento o estado de la naturaleza que pueda ocurrir
tiene asignado una probabilidad de ocurrencia. Aunque se cuenta con diversos criterios para
evaluar estos tipos de decisiones los más conocidos son los siguientes:
a) Decisiones basadas sólo en probabilidades:
Se calcula el valor esperado de los eventos (esperanza del evento): Se elige la alternativa
que está más próxima al valor esperado del evento.
n
E (X) = ∑ X i P(X i)
i=1
b) Decisiones basadas en el valor monetario esperado (VME).
Este criterio combina los factores económicos con sus respectivas probabilidades,
representa un beneficio que deberá esperarse a largo plazo.
Se calcula es valor esperado de cada alternativa y la decisión óptima corresponde a la
alternativa con el máximo VME cuando el problema es de maximizar .
E (A 1 ) = P 1 R 11 + P 2 R 12 + . .. + P n R 1n
E (A 2 ) = P 1 R 21 + P 2 R 22 + . .. + P n R 2n
...
E (A n ) = P 1 R n1 + P 2 R n2 + . .. + P n R mn
Las decisiones también se pueden basar en las pérdidas que pueden ocurrir por no haber
alcanzado la mejor acción posible. En este caso se elabora una matriz de pérdida de
oportunidad. Los pagos corresponden a la cantidad de ganancia que se pierde por tomar una
decisión particular en lugar de la óptima.
Para este caso el criterio se denomina: Pérdida de oportunidad esperada (POE) y la
alternativa óptima corresponde a la que tiene el valor de la POE más pequeña.
La pérdida relativa esperada asociada a la decisión óptima es llamada costo de la
incertidumbre.
El costo de la incertidumbre es la cantidad máxima que se está dispuesto a pagar a cambio
de conseguir un predictor perfecto sobre el estado de la naturaleza que ocurrirá.
Valor esperado de la información perfecta: Es la cantidad que se pierde por la presencia de
condiciones de incertidumbre que afectan las consecuencias de una decisión.
VEIP = VME (certeza) - VME (incertidumbre)
Ejemplo de toma de decisiones en condiciones de riesgo
Para el siguiente problema elaborar una matriz de pago y aplicar los criterios de decisión en
condiciones de riesgo
Considerar la situación en que un minorista vende un solo producto. Adquiere el producto
de un proveedor a un consto de $10 por unidad y cada unidad la vende a $16. Supongamos
que el producto es perecedero: si no se vende el primer día pierde su valor, es decir no
puede venderse. Y el minorista tiene que adsorber el costo del producto como una pérdida
de $ 10.
Se han reunido datos históricos de la demanda diaria la cual se resume en una distribución
discreta de probabilidad. El detallista quiere decidir cuantas unidades almacenar en un día
determinado, con el objetivo de maximizar la utilidad diaria esperada.
Demanda Diaria de
productos (x)
Distribución de Probabilidad
Número de días
observados
5 Docenas
6 Docenas
7 Docenas
Número Total de días
70
100
30
200
Probabilidad de x
P(x)
70/200 = 0.35
100/200 = 0.50
30/200 = 0.15
1.00
Las decisiones referentes a las existencias de inventario se basan en las demandas que han
ocurrido y definen las alternativas o estrategias de la siguiente manera:
A1: Almacenar o mantener una existencia de 5 docenas del producto
A2: Almacenar o mantener una existencia de 6 docenas del producto
A3: Almacenar o mantener una existencia de 7 docenas del producto
Los posibles niveles de demanda que pueden ocurrir, corresponden a los eventos o estados
de la naturaleza definidos de la siguiente manera:
E1: Ocurre una demanda de 5 docenas
E2: Ocurre una demanda de 6 docenas
E3: Ocurre una demanda de 7 docenas
Nótese que para este ejemplo las decisiones referentes a la existencia y a las posibilidades
discretas de demandas son exactamente iguales.
La siguiente tabla presenta una matriz de pago para el problema en cuestión, la cual puede
también llamarse tabla de utilidades condicionales. La matriz sintetiza las ganancias diarias
que se obtendrían con la selección de cierto nivel de demanda.
Alternativas de
inventario (doc.)
5
6
7
Matriz de Pago
Demanda Posible por docena y su Probabilidad
P(5) = 0.35 P(6) = 0.50
P(7) = 0.15
VME
5
6
7
360
360
360
360
240
432
432
364.8
120
312
504
273.6
Los valores de las utilidades se determinan al calcular la utilidad total que se obtiene de las
unidades vendidas y al restarles las pérdidas que deberán ser absorbidas a causa del exceso
de inventario. Observamos en la tabla que la decisión de mantener siempre un inventario de
5 docenas produce una utilidad de $ 360. Esta cantidad se logra al vender 5 docenas de
productos en inventario con una utilidad de 16 – 10 = 6 por unidad. Es decir R11= (5) (12)
(6) = 360
Si la demanda es de 6 docenas (R12 = 360). Si la demanda es de 7 docenas (R13 = 360) estos
resultados no varían porque el minorista no tiene suficiente existencia en el inventario y
siempre se venderán las 5 docenas almacenadas.
Ahora, si la decisión del minorista es almacenar 6 docenas de productos y ocurre una
demanda de 5 docenas, estas se venderán en su totalidad, obteniéndose una ganancia de $
360. Sin embargo, como el minorista tiene un exceso de una docena en inventario, se
tendría que absorber el costo de la docena que no se vende (pérdida de $ 10 por unidad) lo
que conlleva a una disminución en la ganancia.
En consecuencia el resultado sería R21 = 360 – (1) (12) (10) = 240 lo cual corresponde a la
ganancia total que se obtendría.
Si se almacenan 6 docenas de productos y hay una demanda de 6 docenas, la ganancia sería
$ 432, es decir: R22 = 6 (12) (6) = 432. Y si hay una demanda de 7 docenas (R23 = 432) se
venderán las 6 docenas en inventario y se obtiene la misma ganancia.
Si el minorista decide almacenar 7 docenas de productos y se demandan 5 docenas, la
ganancia que se obtendría en las 5 docenas sería de $ 360 pero como hay un exceso de 2
docenas en inventario restamos la pérdida que seria 2 (12) (10) = 240. En consecuencia el
resultado que se obtendría sería: R31 = 360 – 240 = 120.
Si se almacena 7 docenas y se demanda 6 docenas, la ganancia que se obtendría por las 6
docenas demandadas sería de $ 432, pero habría que restarle el exceso de inventario que es
de 1 docena. En consecuencia la ganancia sería: R32 = 432 – 1 (12) (10) = 312.
Si la decisión en almacenar 7 docenas y se demandan las 7 docenas la ganancia es de $ 504
que se obtiene de: R33 = 7 (12) (6) = 504.
La decisión según criterio Maximax sería la alternativa A3: Almacenar 7 docenas
La decisión según criterio Maximin sería la alternativa A1: Almacenar 5 docenas
La decisión basada sólo en probabilidades sería:
E (x) = 0.35 (5) + 0.50 (6) + 0.15 (7)
E (x) = 5.8 docenas, aproximadamente 6 docenas
Decisión basada en el valor monetario esperado (VME)
La utilidad diaria esperada de cada decisión de inventario puede determinarse ponderando
cada utilidad condicional por su probabilidad de ocurrencia
E (A1) = 0.35 (360) + 0.5 (360) + 0.15 (360) = 360
E (A2) = 0.35 (240) + 0.5 (432) + 0.15 (432) = 364.8
E (A3) = 0.35 (120) + 0.5 (312) + 0.15 (504) = 273.6
Basándose en el VME, la mejor alternativa o decisión de inventario sería la que tiene el
VME más alto. Para nuestro ejemplo sería A2: mantener una existencia de 6 docenas de
productos todos los días, con lo cual se consigue una utilidad diaria esperada (promedio) de
$ 364.8
Bibliografía:
 Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales.
Frank S. Budnick