Clase 1

TEMA1
1
COMPORTAMIENTO DE LOS CIRCUITOS RC ANTE UNA SEÑAL
SINUSOIDAL
Circuito RC pasa alto
Estudiemos el comportamiento estacionario ante una excitación sinusoidal.
Figura 1. Circuito RC pasa alto
C1
1nF
Vo
V1
-1/1V
R1
1k
100kHz
La función de transferencia de este circuito esta dada por la siguiente
expresión:
Vo ( jω )
Vi ( jω )
=
R1
(1)
1
R1 − j
ωC1
De manera que el módulo de la función de transferencia es:
Vo ( jω )
Vi ( jω )
=
1
(2)
1
1+
(ωR1C1 )2
Y la fase es:
1 

 ωR1C1 

θ = arctan
(3)
La ecuación (2) muestra que ante una onda sinusoidal el circuito aumenta la
salida a medida que se aumenta la frecuencia y existe una frecuencia para la
cual la razón
Vo ( jω )
Vi ( jω )
es igual a
1
, a esta se le conoce como frecuencia de
2
corte inferior de 3 dB y de (2) se deduce que esta dada por:
ωc =
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1
R1C1
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2
Figura 2. Magnitud de la función de transferencia del circuito RC pasa alto (RC=1uS)
A: vo
25.00 dB
0.000 dB
-25.00 dB
-50.00 dB
-75.00 dB
-100.0 dB
-125.0 dB
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
1.000MHz
10.00MHz
De acuerdo a la ecuación (3), el ángulo de fase esta limitado dentro del
rango 0° ≤ θ ≤ 90°, de manera que para ω ⟨⟨
mientras que para ω ⟩⟩
1
el ángulo obtenido es 90°,
R1C1
1
el ángulo es de 0°.
R1C1
Figura 3. Fase de la función de transferencia del circuito RC pasa alto (RC=1uS)
A: vo
90.00 Deg
70.00 Deg
50.00 Deg
30.00 Deg
10.00 Deg
-10.00 Deg
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
1.000MHz
10.00MHz
La figura siguiente muestra, en el dominio del tiempo, dos ejemplos de lo
expuesto anteriormente. En la figura del lado izquierdo se observa que el
ángulo de fase se acerca a 90° con RC=1uS, en esta se observa también la
atenuación que sufre la onda, mientras que en la figura del lado derecho las
ondas de salida y entrada se confunden en una sola, pues la constante de
tiempo RC es tal que no existe atenuación apreciable ni defasaje.
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3
V( t ) := Vm⋅ sin ( ω⋅ t)
1
Vo( t) :=
1+
2
 1 

 ω⋅ R1⋅ C1 
2
⋅ Vm⋅ sin  ω⋅ t + atan 

1

 ω⋅ R1⋅ C1  
2
Voltaje de salida y entrada con RC=100uS
Voltaje de salida y entrada para RC=1uS
1
1
Vo( t )
V( t )
Vo( t )
V( t )
0
0
1
1
2
t
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2
t
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TEMA1
4
Circuito RC pasa bajo
Estudiemos el comportamiento estacionario ante una excitación sinusoidal.
Figura 5. Circuito RC pasa bajo
R1
1k
Vo
V1
-1/1V
C1
1nF
100kHz
La función de transferencia de este circuito esta dada por la siguiente
expresión:
Vo ( jω )
Vi ( jω )
1
jωC1
=
1
R1 +
jωC1
(4)
De manera que el módulo de la función de transferencia es:
Vo ( jω )
Vi ( jω )
=
1
(5)
1 + (ωR1C1 )
2
Y la fase es:
θ = − arctan(ωR1C1 )
(6)
La ecuación (5) muestra que, ante una onda sinusoidal, el circuito reduce la
salida a medida que se aumenta la frecuencia y existe una frecuencia para la
cual la razón
Vo ( jω )
Vi ( jω )
es igual a
1
, a esta se le conoce como frecuencia de
2
corte superior de 3 dB y de (6) se deduce que esta dada por:
ωc =
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R1C1
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5
Figura 6. Magnitud de la función de transferencia del circuito RC pasa bajo (RC=1uS)
A: vo
5.000 dB
-5.000 dB
-15.00 dB
-25.00 dB
-35.00 dB
-45.00 dB
100.0mHz
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
1.000MHz
10.00MHz
De acuerdo a la ecuación (6) el ángulo de fase esta limitado dentro del rango 0° ≤ θ ≤ 90°,
ω ⟨⟨
de manera que para ω ⟩⟩
1
el ángulo obtenido es -90°, mientras que para
R1C1
1
el ángulo es de 0°.
R1C1
Figura 7. Fase de la función de transferencia del circuito RC pasa bajo (RC=1uS)
A: vo
10.00 Deg
-10.00 Deg
-30.00 Deg
-50.00 Deg
-70.00 Deg
-90.00 Deg
100.0mHz
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
1.000MHz
10.00MHz
La figura siguiente muestra, en el dominio del tiempo, dos ejemplos de lo expuesto
anteriormente. En la figura del lado derecho se observa que el ángulo de fase se acerca a 90° con RC=10uS, en esta se observa también la atenuación que sufre la onda, mientras
que en la figura del lado izquierdo las ondas de salida y entrada se confunden en una sola
pues la constante de tiempo RC es tal que no existe atenuación apreciable ni defasaje.
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6
V( t ) := Vm⋅ sin ( ω⋅ t)
Vo( t) :=
1
1 + ( ω⋅ R1⋅ C1)
2
2
⋅ Vm⋅ sin ( ω⋅ t − atan ( ω⋅ R1⋅ C1) )
2
Voltaje de salida y entrada con RC=10uS
Voltaje de salida y entrada con RC=0.1uS
1
Vo( t )
1
V( t )
0
Vo( t )
V( t )
0
1
1
2
2
t
t
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7
DEFORMACIÓN LINEAL DE ONDAS
Como se pudo observar en los casos anteriores la onda de salida de
los circuitos RC estudiados conserva la misma forma que la señal
de entrada y la influencia del circuito sobre la señal está
completamente especificada por el cociente entre las amplitudes de
salida y entrada y por la diferencia de fase entre ambas ondas. Por
lo tanto la única forma de onda que no sufre deformación en un
circuito lineal es la sinusoidal. Ninguna otra onda periódica
conserva su forma precisa, y por lo general las señales de entrada y
salida pudieran no parecerse en nada entre si. Este proceso, por el
cual se altera la forma de una onda no sinusoidal al ser
transmitida por una red lineal, se denomina Deformación lineal
de onda.
Entrada en escalón
Figura 9. Circuito RC pasa alto ante un escalón
C1
100nF
Vo
V1
0/1V
R1
1k
1 Hz
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8
−t
B1 + B2⋅ e
Vo( t)
τ
REGIMEN PERMANENTE
B1
Vf
CONDICIONES INICIALES t=0
−0
Vi
Vf + B2⋅ e
B2
( Vi − Vf)
τ
FINALMENTE LA ECUACION GENERAL RESULTA:
−t
Vo( t)
Vf + ( Vi − Vf) ⋅ e
τ
PARA EL CIRCUITO PASO ALTO
Vf := 0
Vi := 1
−6
τ := 100⋅ 10
−t
Vo( t) := Vi⋅ e
τ
Figura 10. Respuesta transitoria del circuito RC pasa alto ante un escalón
A: v1_1
B: vo
1.000 V
0.800 V
0.600 V
0.400 V
0.200 V
0.000 V
0.000us
100.0us
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200.0us
300.0us
400.0us
500.0us
600.0us
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9
Entrada en pulso
Figura 11. Circuito RC pasa alto ante un pulso de duración tp
C1
100nF
Vo
V1
0/1V
R1
10k
1 Hz
tp=tiempo del pulso
para 0<t<=tp
−t
τ
Vo( t) := V⋅ e
para t=tp-
− tp
Vo( t)
τ
V⋅ e
Al final del pulso la entrada cae bruscamente en un valor de V
y la salida debe hacer lo mismo pues el condensador no puede
cambiar su voltaje bruscamente. Por lo tanto para t=tp+:
− tp
Vo( t)
V⋅ e
τ
−V
Para t>tp:
 − tp
 − ( t −tp )
 τ
τ
Vo( t) V⋅  e
− 1 ⋅ e
Figura 12. Respuesta transitoria del circuito RC pasa alto ante un pulso
A: v1_1
B: vo
1.000 V
0.750 V
Vp
0.500 V
0.250 V
0.000 V
-0.250 V
-0.500 V
0.000ms
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0.250ms
0.500ms
0.750ms
1.000ms
1.250ms
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10
Entrada en onda cuadrada
Figura 13. Circuito RC pasa alto ante una onda cuadrada.
C1
100nF
Vo
V1
0/1V
R1
10k
1 Hz
− T1
V1!
R⋅ C
V1⋅ e
V1! − V2
V
V1 − V2!
V
− T2
V2!
R⋅ C
V2⋅ e
SI T1=T2=T/2:
V1
−V2
−V2!
V1!
DE MANERA QUE LAS 4 ECUACIONES SE RESUMEN A LAS DOS SIGUIENTES:
V
V1
V1!
−T
1+ e
2⋅ R⋅ C
V
T
1+ e
2⋅ R⋅ C
Figura 14. Respuesta transitoria del circuito RC pasa alto ante una onda cuadrada
A: v1_1
B: vo
Vmax
1.500 V
V1
V1
V1!
1.000 V
0.500 V
Vmin
0.000 V
V2!
V2!
V2
-0.500 V
0.000us
0.500us
T1
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1.000us
1.500us
2.000us
2.500us
T2
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11
Entrada en rampa
Figura 15. Circuito RC pasa alto ante una onda rampa.
C1
100nF
Vo
V1
0/1V
R1
10k
1 Hz
Vi Vc + Vo
Vi
q
C
+ Vo
TOMANDO LA DERIVADA CON RESPECTO AL TIEMPO EN AMBOS MIEMBROS
d
Vi
dt
d
Vi
dt
d
Vi
dt
d
q
dt
I
C
d
Vo
dt
+
C
d
Vo
dt
+
Vo
d
Vo
dt
+
R⋅ C
SI Vi = α t
α
Vo
R⋅ C
d
Vo
dt
+
LA SOLUCION A ESTA ECUACION ES DE LA FORMA:
−t 


R⋅ C
Vo α ⋅ R⋅ C⋅  1 − e

LA FUNCION EXPONENCIAL SE PUEDE APROXIMAR POR UNA SERIE ASI :
e
x
2
1 + x+
x
2!
3
+
x
3!
+ ....
−t
e
R⋅ C
1−
t
R⋅ C
+
t
2
2 2
2⋅ R ⋅ C
t
−
3
3 3
+ ....
6⋅ R ⋅ C
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12
De manera que para RC >> t el voltaje en la salida se aproxima a:
Vo
α ⋅ t⋅  1 −

t
2⋅ R⋅ C
+ ....

Con las siguientes ecuaciones se graficará para diferentes valores de RC
Voa( t) := α ⋅ t⋅  1 −

t

2⋅ R⋅ C 
−t 


R⋅ C
Vo( t) := α ⋅ R⋅ C⋅  1 − e

Vi( t) := α ⋅ t
Salida del pasa alto en rampa (RC=0.1mS)
Salida del pasa alto en rampa (RC=1mS)
0.001
0.001
Vo( t )
Vo( t )
Voa( t )
4
5 .10
Vi( t )
Voa( t )
4
5 .10
Vi( t )
0
0
5 .10
t
0
4
0
0.001
Vo( t )
Vo( t )
Voa( t )
4
5 .10
Vi( t )
Voa( t )
4
5 .10
Vi( t )
0
5 .10
t
4
4
Salida del pasa alto en rampa (RC=100mS)
Salida del pasa alto en rampa (RC=10mS)
0.001
0
5 .10
t
0
0
5 .10
t
4
Figura 16. Respuesta transitoria del circuito RC pasa alto ante una onda rampa
Concluyendo, para grandes valores de RC con respecto al periodo de la
rampa la linealidad mejora, mientras que para valores de RC bajos el error
de linealidad se hace mas notable aproximandose la salida al valor de αRC.
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TEMA1
13
Circuito RC pasa alto como Derivador
Si la constate de tiempo en el circuito RC pasa alto es muy pequeña en
comparación al tiempo que le toma a la señal de entrada realizar un cambio
apreciable, el circuito se denomina Derivador
La caída de tensión en la resistencia es muy pequeña en comparación con la
caída de tensión en C. De manera que se puede considerar que toda la señal
de entrada se refleja en C y se puede considerar la corriente solo producto de
la capacitancia, por lo que se puede escribir como
C
dvi
, y la señal de
dt
salida:
dvi
vo = RC dt
De manera que la salida es proporcional a la derivada de la entrada.
La derivada de una onda cuadrada es una señal nula excepto en las
discontinuidades, en donde una derivación exacta daría impulsos alternos de
amplitud infinita y de ancho cero. Para una onda rampa vi = α .t la salida del
pasa alto sería vo = αRC . Si suponemos que un flanco de un pulso se puede
reemplazar por una rampa, se puede medir la velocidad de elevación del
pulso por medio de un derivador, midiendo la tensión pico de salida por
medio de un osciloscopio y dividiendo por el valor de RC para obtener α.
Si se aplica una onda sinusoidal al circuito, para una derivación correcta
debería salir cosωt, en otras palabras el ángulo de adelanto debería ser 90°, y
esto solamente es posible si RC=0, pero si 1/ωRC=100 el ángulo resulta en
89.4° que es próximo a 90°.
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TEMA1
A: v1_1
B: vo
14
1.000 V
0.500 V
0.000 V
-0.500 V
-1.000 V
0.000us
0.500us
1.000us
1.500us
2.000us
2.500us
Figura 17. Efecto derivativo del circuito RC pasa alto ante una onda cuadrada (RC=1nS)
A: v1_1
B: vo
10.00mV
5.000mV
0.000mV
-5.000mV
-10.00mV
0.000us
0.500us
1.000us
1.500us
Figura 18. Efecto derivativo del circuito RC pasa alto ante una onda triangular (RC=1nS)
A: v1_1
B: vo
10.00mV
5.000mV
0.000mV
-5.000mV
-10.00mV
0.000us
1.000us
2.000us
3.000us
Figura 19. Efecto derivativo del circuito RC pasa alto ante una onda sinusoidal (RC=1nS)
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