FRACCION GENERATRIZ

FRACCION GENERATRIZ
Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción,
llamada fracción generatriz , de las formas que indicamos:
Pasar de decimal exacto a fracción
Si
la fracción es decimal
exacta ,
la fracción tiene
como numerador el númerodado sin
la
coma,
y
por denominador,
la unidad seguida de tantos ceros comocifras decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si
la fracción es periódica
pura ,
la fracción
generatriz tiene
como numeradorel número dado sin la coma, menos la parte entera, y
por denominador un númeroformado por tantos nueves como cifras tenga el
período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si
la fracción es periódica
mixta ,
la fracción
generatriz tiene
como numeradorel número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de
las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado
por tantos nuevescomo cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como
cifras tenga la parte decimal no periódica.
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
La potenciación es el producto de
varios factores iguales. Para
abreviar la escritura, se escribe el
factor que se repite y en la parte
superior derecha del mismo se
coloca el número de veces que se
multiplica. La operación inversa de la
potenciación se denomina radicación.
Cuando se multiplica un número natural por
sí mismo, por ejemplo,
, hay otra
manera de expresar ese producto:
Y se lee "3 al cuadrado", o "3 a la 2".
La costumbre de decir "3 al cuadrado" es
muy antigua, y la razón por la cual se dice
así, tiene que ver con la geometría.
Si se tiene un cuadrado cuyo lado mide 3
unidades, su área es :
El área de cualquier cuadrado es igual al lado multiplicado por sí mismo, es decir, al
cuadrado de la medida de su lado.
En los tiempos de la Grecia Antigua, gran parte de las ideas matemáticas eran
estudiadas a través de la Geometría, y por eso, cuando se quería encontrar una
representación geométrica de algo tan sencillo como el producto de dos números,
digamos, , lo que hacían era dibujar un rectángulo de lados y , y así, veían el
producto como el área del rectángulo que acababan de dibujar.
De la misma manera, el producto
era visto como el área de un cuadrado de lado ,
y esta manera de ver las cosas continuó por mucho tiempo, de manera que el
número
, se siguió llamando "el cuadrado de 5", o "5 al cuadrado".
También se tiene que , que es igual a
, se lee: "2 al cubo", y la razón para
esto proviene también de la visión que tenían los griegos de la Matemática asociada a
la Geometría.
Si tenemos un cubo de arista 2:
su volumen es igual a
elevado al cubo''.
. Es por esto que aún hoy se lee "2 al cubo", o " 2
El proceso de multiplicar a un número por sí mismo una cierta cantidad de veces, se
llama potenciación.
En el caso de , se tiene que es llamado la BASE, y es el número que se multiplica
por sí mismo.
es el EXPONENTE, el número de veces que se multiplica a la base por sí misma.
Debe
observarse
con
cuidado
que
:
pues
y
La potenciación tiene unas propiedades muy importantes que se estudiarán a
continuación.
Propiedad 1
Si se multiplican dos potencias con igual
base, como por ejemplo:
se está realizando lo siguiente:
Como el producto es asociativo, esto se
puede expresar así:
y esto es igual a
que
Por eso, se puede decir
Propiedad 2
La segunda propiedad se refiere a la
potencia de una potencia, es decir, la
operación de elevar un número a una
potencia, y el resultado se eleva a otra
potencia, por ejemplo:
Según la primera propiedad ya vista,
En resumen,
Propiedad 3
Al realizar el siguiente producto, elevado a
una potencia:
se tiene que la última igualdad es cierta
porque el producto es conmutativo y
asociativo, y finalmente
De manera que se tiene:
Propiedad 4
La propiedad que sigue ahora es muy
sencilla, pero muy importante:
Todo número elevado al exponente es
igual a . Por ejemplo:
No importa cuál sea la base, si el
exponente es , se obtiene como
resultado.
La razón es muy sencilla: si debe
cumplirse
siempre la propiedad 1, entonces , por
ejemplo:
Es decir, multiplicar a por es lo
mismo que multiplicarlo por , porque al
final se obtiene como resultado el mismo
número . Eso quiere decir que
.
Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se multiplican potencias con distintas
bases y distintos exponentes.
En este caso, no hay ninguna propiedad especial de la potenciación que permita
escribir este producto de potencias de otra manera que facilite el cálculo.
Sin embargo, hay casos de multiplicación de potencias de distinta base, en los cuales sí
se puede aplicar alguna propiedad de la potenciación, como el siguiente:
Aún siendo distintas las bases, una de ellas es potencia de la otra (
), entonces
la expresión sí se puede escribir de una manera más sencilla, utilizando las
propiedades de la potenciación:
Ahora te invitamos a que tomes una hoja de papel y escribas las siguientes
expresiones de manera distinta a la dada, usando las propiedades de la potenciación
estudiadas hasta ahora:
Se han visto hasta ahora propiedades de la potenciación que se refieren a productos
de potencias. Se mostró cómo una expresión se puede escribir de una manera más
sencilla usando estas propiedades. Es muy natural que se puedan hacer esos cambios,
porque la potenciación no es más que una forma abreviada de expresar una
multiplicación, y al multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar productos, es
decir se está siempre multiplicando.
En cambio, cuando se combina la potenciación con la suma o la resta, se están
realizando operaciones diferentes y NO siempre se puede aplicar alguna de las
propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:
Si se quieren sumar dos potencias de igual base:
Se
observa
que
esta
operación
indica
lo
siguiente:
Aquí están expresadas dos operaciones: la suma y el producto. La manera más sencilla
y directa de realizar estas operaciones es simplemente calcular primero las potencias
y luego sumarlas. De manera que la expresión más sencilla para la operación anterior
es
tal como se escribió al principio.
Otro caso en el que debe tenerse cuidado es en la suma de potencias como las
siguientes:
Es muy
importante convencerse
para
siempre
de
que
La manera más segura de convencerse es calculando ambas operaciones:
Por
otro
lado
Es
evidente,
entonces,
que
,
pues
.
Un argumento geométrico útil para convencerse de que
es el siguiente:
Se tiene un cuadrado de lado 3 y un
cuadrado
de
lado
7.Se suman sus áreas
Esta
suma
es
igual
a
.
Ahora, a esta figura se le añade lo que hace falta para obtener un cuadrado de
lado
, de la siguiente manera:
¿Qué se obtiene? El cuadrado nuevo tiene lado
y su área, como se sabe ,
es igual a
.
Se han tenido que añadir rectángulos a la figura original, cuya área es
, para
obtener un área igual a
, y eso asegura que estas dos cantidades no son
iguales.
La potenciación y sus propiedades tienen gran importancia en las Matemáticas. Hay
una leyenda muy interesante acerca del inventor del ajedrez que muestra lo inmensa
que puede ser una cantidad obtenida a través de la potenciación.
Para reflexionar:
¿Podrías terminar de llenar el tablero usando sólo números que son potencia de 2?
Explica.
El número de granos requeridos por Sessa es igual a la suma de todos los números
que aparecen en el tablero que acabas de llenar.
Veamos ahora cómo podemos calcular la suma de todos los números del tablero de
ajedrez.
Según lo que hemos visto hasta ahora, podemos escribir:
Los puntos suspensivos significan que se seguirán sumando todas las demás potencias
de
2,
hasta
llegar
a
.
¿Sabes por qué la igualdad anterior es cierta?
Si no puedes responder alguna de las preguntas anteriores regresa al tablero que
llenaste y lee de nuevo cuidadosamente lo que hemos observado después. Es
importante tener claro lo hecho hasta aquí para comprender con facilidad lo que sigue.
Ahora podemos calcular la suma de los números del tablero. Como:
Y la cantidad que está dentro del paréntesis es exactamente la suma de los números
del tablero, eso quiere decir que:
es el número siguiente a
Por lo tanto, el número de granos que Sessa le pidió al Rey es igual a:
Para calcular
, usaremos las propiedades de la potenciación.
En primer lugar,
¿Por qué? Además, usando la misma propiedad de nuevo tenemos:
Por
lo
tanto:
Calcula ahora sin utilizar la calculadora, pero usando la propiedad que usamos ya
dos
veces.
Comprueba ahora que:
Explica cómo se calculó la potencia
lado derecho de la igualdad anterior.
y señala por qué aparecieron los factores del
En definitiva, para ahorrarte este cálculo final, que es realmente largo, te diremos que:
Por lo tanto, la cantidad de granos de trigo que pidió Sessa al Rey es:
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en
cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y
, entonces
un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente
constante (o término independiente) y a el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1,
al polinomio se le llama Mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una
variable. Por ejemplo los monomios:
En detalle el último de ellos
es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las
tres letras x, y y z ), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
GRADO DE UN POLINOMIO
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un
polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2 x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2 x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son
polinomios de grado cero.
OPERACIONES DE POLINOMIOS.
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios
semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de
los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios:
y
, entonces el producto es:
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a
menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de
los polinomios
y
y el polinomio producto
:
(*)
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se
define convencionalmente que
(junto con la operación
) por lo que
la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.
FUNCIONES POLINOMICAS
Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un
polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada a él dado substituyendo la
variable x por un elemento del anillo:
La funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables
(tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son
muy sencillos de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis
numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una
manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades
importantes de la matriz. Enteoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las
distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando xcolores.