descripción del movimiento. estado de deformaciones

Descripción del movimiento. Estado de deformaciones
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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO. ESTADO DE
DEFORMACIONES1
1. DESCRIPCIONES DEL MOVIMIENTO. FORMULACIONES
LAGRANGIANA Y EULERIANA
En la descripción del movimiento (o desplazamiento) y deformaciones (y por lo tanto para el
cálculo de tensiones) de los cuerpos, es fundamental la elección de un sistema de referencia
para describir el mismo. En el cálculo lineal no existe distinción entre la configuración inicial
(no deformada) y la configuración temporal (o deformada) ya que las características
geométricas y mecánicas son invariantes. Ésta es la característica fundamental que diferencia
el cálculo lineal del no lineal.
Desde el punto de vista de la Mecánica de Medios Contínuos (MMC) un sólido es un
conjunto infinito de partículas que ocupan una posición en el espacio. Estas posiciones son
variables en el tiempo, a la posición de todas ellas en un instante dado se le denomina
configuración.
En el desarrollo que sigue a continuación se denotan con letras mayúsculas los estados
referidos a la configuración inicial y con minúsculas los referidos a la configuración temporal
(o deformada).
P(X1, X2, X3)
u
p(x1, x2, x3)
El vector desplazamiento, Pp, vendrá dado por
1
Resumen basado en ‘Fundamentals of Structural Engineering’. Keith D. Hjelmstad. Prentice Hall. 1997
A. Carnicero.
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u = Pp = xi − X I
si se conociesen los vectores posición X y x para cualquier instante, estaría perfectamente
definido el movimiento del cuerpo. En Mecánica de Medios Continuos, se supone que estas
funciones con contínuas y biunivocas, por la tanto, es posible escribir
xi = xi ( X 1 , X 2 , X 3 ) i=1,2,3
o bien,
X I = X I ( x1 , x 2 ,x 3 )
I=1,2,3
Las componentes del vector u es posible escribirlas en función de la posición inicial
(formulación lagrangiana)
U I = U I ( X 1 , X 2 , X 3 ) = xi ( X 1 , X 2 , X 3 ) − X I
o de la posición temporal (fomulación euleriana)
u i = u i ( x1 ,x 2 ,x 3 ) = xi − X I ( x1 ,x 2 ,x 3 )
(1.1)
Se podría decir que la formulación Lagrangiana se ocupa de lo que le sucede al sólido
mientras que la formulación Euleriana se ocupa de lo que le sucede a una zona del espacio.
En el caso de un ensayo de tracción se define la deformación como
ε=
l − lo
lo
Esta deformación se suele llamar deformación ingenieril y corresponde a una descripción
Lagrangiana del problema. Por el contrario, si se realiza un enfoque Euleriano del mismo
surge el concepto de deformación real como
ε=
A. Carnicero.
l − lo
l
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Como se puede ver la diferencia entre los dos estriba en comparar el alarmiento con la
longitud inicial o con la longitud en el instante considerado.
2. GRADIENTES DE DEFORMACIÓN Y DESPLAZAMIENTO
Considérese dos puntos infinitamente próximos de un sólido sometido a un estado de
deformación. Las proyecciones de un elemento diferencial de la configuración deformada en
función de la configuración inicial son
dxi =
∂xi
∂X 1
dX 1 +
∂xi
∂X 2
dX 2 +
∂xi
∂X 3
dX 3
(1.2)
que se puede expresar matricialmente como
dx = FdX
(1.3)
donde F es la matriz jacobiana de la transformación. Esta matriz se denomina gradiente de
deformación y transforma vectores en el entorno de un punto de la configuración de
referencia a la configuración temporal,
F=
∂xi
∂X J
Sustituyendo (1.1) en (1.2) se tiene
dxi =
∂ (ui + X I )
∂X 1
dX 1 +
∂ (ui + X I )
∂X 2
dX 2 +
∂ ( ui + X I )
∂X 3
dX 3
Por lo que la ecuación (1.3) se puede escribir
dx = ( I + D ) dX
de donde se deduce que el tensor gradiente de deformación se puede descomponer en suma de
dos:
F =I+D
A. Carnicero.
(1.4)
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El tensor D, recibe el nombre de gradiente de desplazamiento.
3. TENSORES DE DEFORMACIÓN GREEN Y CAUCHY
Una comparación posible entre los estados deformado y no deformado es comparar el
cuadrado de longitudes deformadas y no deformadas:
ds 2 = dxt ⋅ dx
dS 2 = dX t ⋅ dX
dado que
dx = FdX
ds 2 = dxt ⋅ dx = ( FdX ) ⋅ FdX = dX t F t FdX
t
El término F t F se denomina tensor de Cauchy.
La diferencia entre cuadrados será
ds 2 − dS 2 = dX t F t FdX − dX t dX = dX t ( F t F − I ) dX
El término entre paréntesis sirve para definir el tensor de deformación de Green o tensor
lagrangiano de deformación
E=
1 t
1
F F − I ) = (C − I )
(
2
2
(1.5)
Este tensor mide la diferencia entre los cuadrados de elementos diferenciales
ds 2 − dS 2 = 2dX t EdX
Sustituyendo la ecuación (1.4) en (1.5)
E=
A. Carnicero.
1
1
1
t
I + D ) ( I + D ) − I  = ( D + Dt ) + ( D t D )
(
 2
2
2
(1.6)
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el primer término es lineal mientras que el segundo es no lineal. Así se define el tensor de
deformaciones infinitesimales como la parte lineal, es decir,
ε=
∂u j 
1
1  ∂u
D + D t ) ; ε ij =  i +

(
2
2  ∂X j ∂X i 
Cuando las deformaciones son pequeñas, el término no lineal se desprecia (es un término de
segundo orden) y el tensor de Green y el de deformaciones infinitesimales coinciden.
4. DEFORMACIONES EN FUNCIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Para muchos problemas es conveniente describir la deformación en término de
desplazamientos en la configuración no deformada. EL campo de deformaciones puede
escribirse como
φ (X ) = X +u(X )
El gradiente de la deformación vendrá dado por
F = I + ∇u
donde ( ∇u )ij =
∂ui
. El tensor de deformación de Cauchy es
∂X j
C = F t F = I + ∇u + ∇u t + ∇u t ∇u
y el tensor de Green
E=
1
1
( C − I ) = ( ∇u + ∇u t + ∇u t ∇u )
2
2
donde se puede apreciar claramente la parte lineal y la no lineal, así
Elineal =
A. Carnicero.
1
∇u + ∇u t )
(
2
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5. EJEMPLOS2
5.1 Tracción simple
Figura 1 - 1. Desplazamientos con tracción simple
La relación entre la configuración deformada y la configuración sin deformar es,
x1 = ( 1 + β ) X 1
x2 = X 2
x3 = X 3
Por lo que el gradiente de deformación será,
1 + β
F =  0
 0
0 0
1 0 
0 1
En este caso, los tensores de Cauchy y de Green son,
( 1 + β ) 2

C= 0
 0

0 0

1 0
0 1

2 β + β 2
1
E=  0
2
 0

0 0

0 0
0 0 
Como se puede, el término al cuadro será despreciable cuando las deformaciones sean
infinitesimales., y el tensor de Green coincidirá con el tensor de deformaciones infinitesimale.
2
Ejemplos tomados de ‘Fundamentals of Structural Engineering’. Keith D. Hjelmstad. Prentice Hall. 1997
A. Carnicero.
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5.2 Esfuerzo cortante
Figura 1 - 2. Desplazamientos con esfuerzo cortante
La relación entre la configuración deformada y sin deformar es
x1 = X 1 + β X 2
x2 = X 2
x3 = X 3
Por lo que el gradiente de deformación será,
1 β 0 
F = 0 1 0 
0 0 1
Como se puede ver este tensor deforma (alarga) y rota vectores paralelos tanto al eje 1 como
al eje 2.
Los tensores de Cauchy y Green son,
1
C =  β
 0
β
1+ β
0
2
0
0 
1
0
1
E = β
2
 0
β
β
0
2
Como se puede ver el tensor de deformaciones infinitesimales es
0
1
D = β
2
 0
A. Carnicero.
β
0
0
0
0 
0 
0
0 
0 
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que corresponde con el estudia en teoría de elasticidad en pequeñas deformaciones.
5.3 Esfuerzo cortante y tracción
Figura 1 - 3. Desplazamientos bajo un campo combinado de tracción y esfuerzo cortante
La relación entre la configuración deformada y sin deformar es
x1 = X 1 + β X 1 X 2
x2 = X 2 + β X 1 X 2
x3 = X 3
Por lo que el gradiente de deformación será,
1 + β X 2
F =  β X 2
 0
β X1
1+ β X1
0
0
0 
1
La acción de este tensor sobre un vector paralelo al eje 1, es una translación mientras que un
vector paralelo al eje 2, es además rotado
A. Carnicero.
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5.4 Flexión pura
Figura 1 - 4. Desplazamientos bajo flexión pura
Consideremos el caso de flexión pura dado por
x1 = ( 1 − X 2 ) sin X 1
x 2 = 1 − ( 1 − X 2 ) cos X 1
(1.7)
x3 = X 3
Por lo que el gradiente de deformación será,
( 1 − X 2 ) cos X 1

F =  ( 1 − X 2 ) sin X 1

0


− sin X 1
cos X 1
0
0

0

1

La acción de este tensor sobre una fibra paralela al eje 1 es deformarla hasta convertirla en
una circunferencia perfecta. Evidentemente, esto sólo es posible si la longitud de las fibras
varía, esto se puede apreciar, mediante el tensor de Cauchy
( 1 − X 2 ) 2

C = FtF = 
0

0


0 0

1 0

0 1

Se puede ver como una fibra paralela al eje horizontal se transforma en una circunferia de
centro 1. Para ello necesitamos la inversa de (1.7), es decir
A. Carnicero.
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 x 
X 1 = actag  1 
 1 − x2 
X 2 = 1 − x12 + ( 1 − x2 )
2
X 3 = x3
la curva que queremos deformar es X2=c, y para simplificar, podemos tomar X1=0. Por lo
tanto, la ecuación resultante es
x12 + ( 1 − x2 ) = ( 1 − c )
2
2
que es la ecuación de una circunferencia con centro en (0,1).
5.5 Movimiento de sólido rígido
En el caso del movimiento de sólido rígido descrito en la figura se dan las siguientes
relaciones entre la configuración deformada y la configuración inicial,
x1 = u + X 1 cos θ − X 2 sin θ
x 2 = v + X 1 sin θ + X 2 cos θ
x3 = X 3
Figura 1 - 5. Movimiento de sólido rígido
Por lo que el gradiente de deformación será,
cos θ
F =  sinθ
 0
A. Carnicero.
− sinθ
cos θ
0
0
0 
1
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El tensor de Cauchy es
1 0 0 
C = F F = 0 1 0 
0 0 1
t
Ya que la longitud de cualquier fibra antes del movimiento y despues es la misma. Es
interesante comparar qué sucede si el problema se linealiza (es decir si consideramos
pequeños desplazamientos tal y como se hace en la teoría de la elasticidad en pequeñas
deformaciones). En ese caso
 1 −θ
F = θ 1
 0 0
0
0 
1 
Por lo que el tensor de Cauchy es
1 + θ 2

C = FtF =  0
 0

0
1 +θ
0
2
0

0
1 
En el caso de que los desplazamientos no sean infinitesimales y los consideremos como tales,
se ve que se introduce en el problema una deformación irreal. Este error proviene de
considerar como deformaciones movimientos que son en realidad de sólido rígido. El tensor
de Green es
θ 2 0
1
E =  0 θ2
2
0 0

0

0
0 
Si recordamos que este tensor nos da la diferencia entre el cuadrado de longitudes en las
configuraciones sin deformar y deformada, se ve claramente el error que se comete.
A. Carnicero.
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5.6 Cambio de volumen
Como comentario previo se van a recordar un par de propiedades que son necesarias para
cálcular los cambios de volumen y de área.
Sean u,v y w, tres vectores no colineales en un espacio de R3, se tiene que
A ( u,v ) = u × v
V ( u,v,w ) = ( u × v ) o w
permiten calcular el área definida por los vectores u y v; y el volumen definido por los tres
vectores. Sea, T un tensor de segundo orden que opera sobre vectores de R3. Se tiene que
(Tu × Tv ) o Tw = det (T ) ( u × v ) o w = det (T ) ⋅V ( u,v,w)
T t (Tu × Tv ) = det (T )( u × v ) = det (T ) ⋅ A ( u,v )
Definidas estas relaciones pasamos a calcular el cambio de volumen y el cambio de área.
Consideremo tres vectores ortonormales
[ n1 ,n2 ,n3 ]
sobre los que se toman longitudes
infinitesimales de arco ds1 ,ds2 y ds3 . Bajo un campo de deformaciones caranterizado por un
gradiente de deformación F, los vectores ortonormales se transforman en otros (que ya no lo
son) [ Fn1 ,Fn2 ,Fn3 ] , el diferencial de volumen valdrá
dV = ( n1 × n2 ) o n3 ds1 ds2 ds3
dv = ( Fn1 × Fn2 ) o Fn3 ds1ds2 ds3 = det ( F ) dV
con det ( F ) > 0 .
A. Carnicero.
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5.7 Cambio de área
Consideremos dos vectores ortogonormales [ n1 ,n2 ] tangentes a dos curvas sobre la superficie
considerada. Sobre estos se toman longitudes infinitesimales de arco ds1 y ds2 . Bajo un
campo de deformaciones caranterizado por un gradiente de deformación F, los vectores
ortonormales se transforman en otros (que ya no lo son)
[ Fn1 ,Fn2 ] .
Caracterizamos el
elemento diferencial de área por el vector normal asociado (observar que el cambio de área es
más complejo que el cambio de volumen considerado anteriormente ya que cambia el valor
del área y la orientación del vector normal asociado.
Los vectores normales a los elementos de área en los sólidos no deformado y deformado son
N=
n=
n1 × n2
n1 × n2
Fn1 × Fn2
≠ FN
Fn1 × Fn2
y los correspondientes elementos de área
dA = n1 × n2 ds1ds2
da = Fn1 × Fn2 ds1ds2
Describiendo el área como el producto del área por el vector normal (área orientada), se tiene
A. Carnicero.
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NdA =
nda =
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n1 × n2
n1 × n2 ds1ds2 = ( n1 × n2 ) ds1 ds2
n1 × n2
Fn1 × Fn2
Fn1 × Fn2 ds1 ds2 = ( Fn1 × Fn )2 ds1 ds2
Fn1 × Fn2
Premultiplicando la segunda ecuación por Ft.
F t nda = F t ( Fn1 × Fn2 ) ds1 ds2 = det ( F )( n1 × n2 ) ds1ds2 = det ( F ) NdA
por lo tanto
nda = det ( F ) ( F t ) NdA
−1
La expresión anterior se denomina transformación de Piola y permite obtener el área orientada
en la configuración deformada.
5.7.1 Ejemplo
Considerar el estado de deformaciones definido por
x1 = X 1 + X 2 β
x2 = X 2
x3 = X 3
Se tiene que
1 β 0 
F = 0 1 0 
0 0 1
y
A. Carnicero.
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det ( F ) ( F
)
t −1
 1
=  − β
 0
0 0
1 0 
0 1
Claramente se ve que como det(F)=1, no existe cambio de volumen como corresponde a un
estado de cortadura).
Consideramos la variación de área de un elemento lateral caracterizado por los vectores
( 0,1,0 )
t
y ( 0,0,1) que dan como vector normal el ( 1,0,0 ) (área lateral). El área deformada
t
t
valdrá
nda = det ( F ) ( F
)
t −1
NdA = ( F
)
t −1
 1
 1 
 


 0  dX 2 dX 3 =  − β  dX 2 dX 3
0 
 0 
 


Consideremos ahora un elemento de área asociado al cilindro. El vector normal vendrá dado
por ( cos θ ,senθ ,0 ) . Por lo que el área deformada valdrá
t
nda = det ( F ) ( F
A. Carnicero.
)
t −1
NdA = ( F
)
t −1
cos θ
 cos θ 






 senθ  dθ dX 2 =  − β cos θ + senθ  dθ dX 2
 0 


0



