Trigonometría LICEO TAJAMAR Providencia

LICEO TAJAMAR
Providencia
SECTOR:
Matemática. P.común
PROFESOR(A): Lautaro Opazo
UNIDAD TEMÁTICA:
Trigonometría
CONTENIDO: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Conocer y aplicar las relaciones trigonométricas en la
resolución de ejercicios.
TRIGONOMETRIA:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos
AB : hipotenusa
AC y BC catetos
α y β : ángulos agudos
Si prolongamos los lados
A B y A C,
y unimos algunos puntos de dichas
prolongaciones mediante segmentos paralelos a B C , obtenemos entonces otros
triángulos rectángulos semejantes al triángulo ABC
1
ABC  ADE  AFG  AHJ
Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:
 ABC
 ADE
 AFG
 AHJ
c atetoBC
hipotenus aA B

DE
AD

FG
AF

HJ

AH
c ateto A C
hipotenus aA B

AE
AD

AG
AF

AJ

AH
K2
CONSTANTE
c atetoBC
c atetoA C

DE
AE

FG
AG

HJ

AJ
K3
CONSTANTE
K1
CONSTANTE
En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la
razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un valor
constante
Respecto al ángulo agudo  de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene que:
(A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno
de , y se abrevia sen
(B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de , y se le abrevia cos
(C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de , y se la abrevia tg
Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las
calculadoras científicas usan esta última abreviatura
En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene:
FUNCIÓN
DEFINICIÓN
RAZÓN ABREVIACIÓN
Seno
de α
c at. opues to
hipotenus a
a
c
sen α
Coseno
de α
c at. adyac ente
hipotenus a
b
c
cos α
Tangente
de α
c at. opues to
c at. adyac nte
a
b
tg α
Cotangente
de α
c at. adyac ente
c at. apues to
b
a
cotg α
Secante
de α
hipotenus a
c at. adyac ente
c
b
sec α
Cosecante
de α
hipotenusa
cat. opuesto
c
a
cosec α
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
senα  cos( 90º α )
cos ecα  sec( 90º α )
cos α  sen(90º α )
sec α  cos ec(90º α )
tgα  cot g(90º α )
cot gα  tg (90º α )
2
Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal,
considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto
observado esté por sobre o bajo esta última.
Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen
ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º
3
30º
1
2
45º
60º
2
2
cos α
3
2
2
2
3
2
1
2
tg α
3
3
senα
2
1
3
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (α : 0º  α  90º )
3
1.
sen α  cos ec α  1
4.
2.
cos α  sec α  1
5.
3.
tgα  cot gα  1
6.
senα
cos α
cos α
cot gα 
senα
2
sen α  cos 2 α  1
tgα 
1: En el triángulo rectángulo de la figura, tg es igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
1  p2
p
p
1  p2
1  p2
p
p
1  p2
1
1  p2
2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado un triángulo
ABC donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces sen=
3
A)
34
5
B)
4
3
C)
4
5
D)
34
3
E)
5
3: Dada la siguiente figura:
Es verdadero que:
I ) senα 
II ) cos α 
5
29
2
29
5
III ) tan α 
2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
4
4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de elevación de
70°. Si la distancia del ratón al árbol es 12 m, determinar la distancia entre el águila y el
ratón.
12
A)
tan 70 º
12
B)
cos 70 º
12
C)
sen70 º
cos 70 º
D)
12
sen70 º
E)
12
5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la tierra, es de
20 3 metros. El cable forma un ángulo de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros de la
tierra está fijo el cable en el poste?
A) A 10 3 metros
B) A 10 6 metros
C) A 30 metros
D) A 40 metros
E) A 60 metros
6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se
muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de
despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros?
A) 750 metros
B) 3.000 metros
C) 1.000 3 metros
D) 750 3 metros
E) 1.500 3 metros
7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de la escalera de la
figura?
1,2
I)
metros
sen 20º
12
II )
metros
cos 70º
III ) 1,2  cos 70º metros
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
5
8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) ?
I) tg  = 2
II) sen  + cos =
4 5
5
III) tg  + tg = 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P, NP = 1 cm y su área es
entonces tg=
1
A)
3
2
B)
3
3
C)
2
3
D)
4
4
E)
3
2
cm2,
3
10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm, entonces el coseno del
ángulo menor es:
5
A)
13
12
B)
13
5
C)
12
12
D)
5
13
E)
12
6
11: Si  es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y senα 
tgα  cos α =
3
, entonces
5
1
20
3
20
1
20
11
15
8
15
A) 
B)
C)
D)
E)
12: Con los datos de la figura, la expresión sen α – cos α es igual a:
ac
A)
b
ca
B)
b
ab
C)
c
ba
D)
c
ac  ab
E)
bc
13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del edificio P de 12 m de altura, observa
a otra persona, de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 18 m de altura con un
ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?
A ) 6  tg 40º
6
B)
tg 40 º
6
C)
sen 40 º
6
D)
cos 40 º
E ) 6  sen 40 º
14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si la hipotenusa es 1, ¿cuál(es) de
las siguientes expresiones representa(n) el perímetro del triángulo?
I) sen  + sen  + 1
II) cos  + cos  + 1
III) sen  + cos  + 1
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
7
-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes
opciones es verdadera?
b
A ) senα 
c
c
B ) cos α 
a
a
C ) cos β 
c
b
D ) senβ 
c
a
E ) tg α 
b
Instrucciones:
a. Estudia en profundidad todos los teoremas relacionados con la materia.
b. Trata de memorizar las fórmulas para que las puedas aplicar en la resolución de
ejercicios.
c. Realiza todos los ejercicios.
d. La fecha de entrega será publicada a través de la plataforma.
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