comandos - Ingeniería en Automatización y Control Industrial

I NGENIER ÍA EN AUTOMATIZACI ÓN Y C ONTROL I NDUSTRIAL
Control Automático II
U.N.Q.
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Comandos de M ATLAB para el capı́tulo de Álgebra Lineal
En este apunte se encuentran los comandos de M ATLAB que resultan útiles para los problemas de la práctica
de Álgebra Lineal. recomendamos que estos comandos sean utilizados para verificación y no como método
de resolución hasta no tener la práctica suficiente. Recordemos que para ingresar los vectores columnas
ingresamos v=[v1;v2;...;vn] y para ingresar matrices de m × n, ingresamos los elementos por fila:
A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...,a2n;....;am1,am2,...,amn], donde las comas (o espacios) delimitan las columnas y los punto y comas las filas. Una vez ingresada una matriz o un vector
definamos los comandos para operar con ellos:
* B=A’: devuelve la matriz transpuesta conjugada, que también se utiliza para vectores. En caso de querer
solo la matriz transpuesta, sin conjugar, utilizamos A.’.
* (n,m)=size(A): devuelve la dimensión de A, siendo n la cantidad de filas y m las columnas.
* I=eye(n): devuelve la matriz identidad de n x n.
* Z=zeros(n,m): devuelve una matriz de dimensión n x m cuyos elementos son todos nulos.
* tr=trace(A): devuelve la traza de la matriz A, es decir la suma de los elementos de la diagonal: ∑ni=1 aii .
* d=det(A): devuelve el determinante de la matriz cuadrada A.
* B=inv(A): devuelve la matriz inversa de la matriz cuadrada A, también se puede calcular como B = A−1 .
* r=rank(A): devuelve el rango A.
* Q=orth(A): devuelve una base ortonormal de dimensión el rango de A (Q’*Q=I).
* Espacio nulo
- z=null(A): devuelve una base ortonormal de para el espacio nulo tal que Z*Z’=I y A*Z tiene elementos despreciables. La nulidad de A viene dada por size(Z,2)
- z=null(A,’r’) es una base ”racional”del espacio nlo y A*Z=0
* Norma de un vector
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- norm(v,p) : obtiene la norma p del vector v, es decir ∑ni=1 (|vi | p ) p . Cunado p=2, se trata de norma
euclı́dea y puede omitirse norm(v).
- norm(v,inf): obtiene la norma infinita del vector v, es decir max(|vi |)
* Norma de una matriz
- norm(A)=nor(A,2)=max(svd(A)).
- norm(A,1) devuelve la mayor suma de columna, equivale a max(sum(abs(A))).
- norm(A,inf) devuelve la mayor suma de fila, equivale a max(sum(abs(A’))).
* Autovalores y matriz diagonalizable
- E=eig(A): devuelve un vector que contiene los autovalores de la matriz cuadrada A.
- [Q,D]=eig(A): devuelve una matriz diagonal D de autovalores y una matriz Q cuyas columnas son los
correspondientes autovectores para que A*Q=Q*D.
* jordan(A): calcula la forma canónica de Jordan de la matriz cuadrada A. [Q,J]=jordan calcula la
transformación de semejanza Q tal que inv(Q)*A*Q=J y donde las columnas de Q son autovectores
generalizados.
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* expm(A): devuelve la exponencial matricial de A. En cambio exp(A) calcula la exponencial elemento a
elemento de la matriz A.
* X=lyap(A,B,C): resuelve la ecuación de Lyapunov AX + XB = −C.
* Descomposición en valores singulares
- s=svd(A): devuelve un vector cuyos elementos son los valores singulares de la matriz A.
- [U,S,V]=svd(A): devuelve una matriz diagonal S de la misma dimensión que A y con elementos no
negativos en orden decreciente, y matrices ortonormales talque A=U*S*V’.
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