MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. Movimiento ondulatorio. “ Todo movimiento ondulatorio consiste en la propagación por el espacio de energía y cantidad de movimiento de las perturbaciones producidas en un punto, sin que haya transporte neto de materia”. En todos los casos, la perturbación se produce en un punto llamado “foco”, y esa perturbación se propaga por el espacio. El origen de la perturbación es variado: deformación elástica del medio (compresión y expansión de un muelle, o de la tierra para producir ondas sísmicas), variaciones de la presión (para producir sonidos), variaciones de campos eléctricos y magnéticos (la luz). En todos los casos hay propagación de energía y cantidad de movimiento, sin transporte de materia. Clasificación de las ondas Las ondas se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios: Según el tipo de energía que se propaga se clasifican en: - Ondas mecánicas: sólo se transmiten por medios materiales; como por ejemplo el sonido. - Ondas electromagnéticas: se transmiten en ciertos materiales y en el vacío; como por ejemplo la luz. Según la forma en que se transmite la perturbación se clasifican en: - Ondas longitudinales: son aquellas en las que la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración; como por ejemplo en un muelle que se comprime longitudinalmente. - Ondas transversales: son aquellas en las que la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de la perturbación; por ejemplo la propagación horizontal de una onda de una cuerda que se agita verticalmente. Las ondas electromagnéticas son transversales. Según las dimensiones de propagación se clasifican en: - Ondas unidimensionales: como las que se propagan por una cuerda tensa. - Ondas bidimensionales: como las que se propagan por la superficie del agua. - Ondas tridimensionales: como las ondas acústicas. 1 Se denomina frente de onda al lugar geométrico de aquellos puntos que poseen el mismo estado de vibración, es decir, aquellos puntos que son alcanzados por la vibración en el mismo instante. El frente de ondas de una onda bidimensional es circular, mientras que el de una onda tridimensional es esférico. A medida que se produce un alejamiento del foco que produce la perturbación, el frente de ondas va siendo cada vez menos curvo. Si la perturbación es instantánea se genera una única onda denominada pulso. Si la perturbación es continua se genera un tren de ondas, que suele denominarse ondas viajeras. Magnitudes características de las ondas. Las ondas se caracterizan por una serie de magnitudes: • Longitud de onda (λ). Es la distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en idéntico estado de perturbación. Por lo tanto, es la distancia que se ha propagado la onda en un período. Puede evidenciarse al representar la perturbación en función de la dirección de la propagación. Su unidad en el S.I. es el metro. λ Cresta A Amplitud x −A • Valle Período (T). Es el tiempo que tarda un punto en T A repetir un estado de vibración; es decir, en realizar una oscilación completa. Se puede t visualizar en un representación de la onda en función del tiempo. Su unidad en el S.I. es el segundo. 2 −A • Frecuencia (f o ν). Es el número de oscilaciones que se producen por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el s-1 o Hz. • Número de onda (k) En el movimiento ondulatorio se define como el número de longitudes de onda que contiene una longitud 2π. Su unidad es m-1. • Velocidad de propagación. Es la velocidad con que se propaga la onda. La velocidad de propagación depende de las propiedades del medio, manteniéndose constante mientras no cambien sus propiedades. Su unidad en el S.I. es el m/s. No debe confundirse con la velocidad con la que se mueve cada partícula material del medio por el que se propaga la onda. La velocidad de vibración de estas partículas vendrá dada por la expresión correspondiente al M.A.S. • Amplitud. Es la separación máxima de un punto con respecto a la posición de equilibrio. Se mide en metros. Entre las magnitudes anteriores existen algunas relaciones: T = 1 f k= 2π λ = 2π ω = v ⋅T v v = λ ⋅f Ecuación del movimiento ondulatorio. Cuando se comunica un movimiento oscilatorio a una partícula de un medio elástico, la perturbación se propaga a los demás puntos del medio con una velocidad v. Un ejemplo de esto es la propagación de una perturbación a lo largo de una cuerda. Si se le aplica un movimiento de vaivén al extremo de la cuerda, se producirá la propagación a lo largo de la dirección perpendicular a dicho movimiento de vaivén. Con el objeto de usar la misma notación, se considerará que la propagación se realiza a lo largo del eje x y la vibración de las partículas del medio en el eje y. La ecuación de una onda será una expresión matemática que permita conocer el estado de vibración de cualquier partícula del medio a una distancia x y en el tiempo t; por lo tanto, será una función de ambas magnitudes: 3 y = f ( x,t ) Para simplificar el problema de la obtención de la ecuación del movimiento, se consideran las siguientes condiciones: - Se supone un foco puntual. - La vibración del foco se considera que sigue un M.A.S. - En el instante inicial el foco se encuentra en la posición de equilibrio. - Se supone que la onda es lineal y que el medio no absorbe energía de la onda; es decir, la amplitud de la onda permanece constante. Si se tienen en cuenta las consideraciones anteriores, el movimiento vibratorio del foco (x = 0) vendrá dado por: y ( 0, t ) = A ⋅ sen( ωt ) A medida que la perturbación avanza, los puntos del medio van adquiriendo el mismo movimiento armónico del foco. Por lo tanto, el estado de vibración de cualquier punto x del medio se puede representar con la misma ecuación que la del foco, pero teniendo en cuenta que lleva menos tiempo vibrando. La vibración llega con un cierto retraso con respecto al foco. Si se considera que la perturbación tarda un tiempo t’ en recorrer la distancia desde el foco hasta el punto x, la ecuación de la elongación será la misma que para el foco pero para un tiempo (t – t’): y ( x , t ) = A ⋅ sen[ω( t − t' )] como la velocidad de propagación de la onda (v) es constante, el valor de t’ se puede calcular como: v= x t' → t' = x v x y ( x , t ) = A ⋅ sen ω ⋅ t − v ⇒ Esta es la expresión de la ecuación o función de onda, que también puede expresarse de las siguientes formas: 2 ⋅π y ( x , t ) = A ⋅ sen T t − x = A ⋅ sen 2 ⋅ π v t x ⋅ − T v ⋅T = A ⋅ sen 2 ⋅ π t x ⋅ − T λ o bien: 2 ⋅π ⋅t 2 ⋅π ⋅ x 2 ⋅ π ⋅ t − 2 ⋅ π ⋅ x = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x ) y ( x , t ) = A ⋅ sen − = A ⋅ sen T v ⋅ T λ T Resumiendo: y ( x , t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π t x ⋅ − T λ y ( x , t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x ) 4 NOTA: Hay que tener en cuenta hacia donde se desplaza la onda. Si su sentido es hacia la derecha (sentido positivo del eje x), la ecuación de onda llevará signo negativo: y ( x , t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x ) . Si su sentido es hacia la izquierda (sentido negativo del eje x), la ecuación llevará signo positivo: y ( x , t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t + k ⋅ x ) . Estas ecuaciones representan ondas armónicas, pues es una función sinusoidal. También pueden aparecer en función del coseno y con los términos del paréntesis con el orden cambiado. Fase y oposición de fase. Dos puntos del medio se encuentran en concordancia de fase cuando presentan el mismo estado de vibración, con la misma elongación y la misma velocidad. En este caso la diferencia de fase entre ellos es 2π o un múltiplo de esta cantidad, por lo tanto: ( ω ⋅ t − k ⋅ x1 ) − ( ω ⋅ t − k ⋅x 2) = 2 ⋅ π ⋅ n para n = 0, 1, 2, 3,... operando con esta expresión, se obtiene la distancia entre ambos puntos: − k ⋅ x1 + k ⋅ x2 = 2 ⋅ π ⋅ n por tanto: → k ⋅ ( x2 − x1 ) = 2 ⋅ π ⋅ n → 2⋅π λ ⋅ ( x2 − x1 ) = 2 ⋅ π ⋅ n x2 − x1 = n ⋅ λ ; es decir, para que dos puntos estén en concordancia de fase, la diferencia entre sus distancias al foco debe ser un número entero de longitudes de onda. Dos puntos están en oposición de fase cuando la diferencia de fase entre ellos es (2n+1)·π radianes: ( ω ⋅ t − k ⋅ x1 ) − ( ω ⋅ t − k ⋅x 2) = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ π − k ⋅ x1 + k ⋅ x2 = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ π por tanto: x2 − x1 = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ λ 2 → 2 ⋅π λ para n = 0, 1, 2, 3,... ⋅ ( x2 − x1 ) = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ π ; es decir, para que dos puntos estén en oposición de fase, la diferencia entre sus distancias al foco debe ser un número impar de semilongitud de onda. 5 Energía transmitida por ondas armónicas. Como ya se ha comentado, las ondas propagan energía. Vamos a considerar que las ondas son mecánicas y armónicas. Para analizar el trasporte de energía, se va a tener en cuenta el número de dimensiones de propagación: • Energía en una onda armónica unidimensional. Un oscilador armónico unido a un extremo de una cuerda puede producir una onda armónica que se desplace por dicha cuerda. Durante la propagación de la onda cada punto de la cuerda efectúa movimientos armónicos simples que oscilan verticalmente. La energía que hace que cada punto de la cuerda oscile con cierta amplitud proviene del oscilador que perturba el estado de la cuerda y se transmite por toda ella, pues todos los puntos acaban oscilando. La energía total del oscilador armónico es: E = 21 ⋅ K ⋅ A2 = 21 ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ A2 = 2 ⋅ m ⋅ π 2 ⋅ f 2 ⋅ A2 es decir, la energía transmitida es proporcional al cuadrado de la frecuencia y la amplitud. Si no se disipa la energía en el medio de transmisión de la onda, su amplitud permanece constante. En caso contrario, la amplitud de la onda resultaría amortiguada. Si se aplica la expresión anterior a un elemento de cuerda, de longitud dx y masa dm, resulta: dE = 2 ⋅ π 2 ⋅ f 2 ⋅ A2 ⋅ dm A partir de la definición de densidad lineal (µ) se puede escribir: µ= dm dx dm = µ ⋅ dx → Además, considerando que la perturbación se propaga con una velocidad v: dx = v ⋅ dt Sustituyendo ambas expresiones en la ecuación diferencial de la energía de un elemento de cuerda, se obtiene: dE = 2 ⋅ π 2 ⋅ µ ⋅ f 2 ⋅ A2 ⋅ v ⋅ dt Como se produce una propagación de energía durante un cierto tiempo, es corriente considerar la energía transmitida por unidad de tiempo o potencia. P= dE = 2 ⋅ π 2 ⋅ µ ⋅ f 2 ⋅ A2 ⋅ v dt por tanto la potencia de una onda armónica es directamente proporcional a su velocidad de propagación y al cuadrado de la amplitud y frecuencia. 6 • Energía transmitida en las ondas circulares. Se va a realizar el mismo estudio para ondas bidimensionales, considerando el caso clásico de una onda circular que se propaga en un medio isótropo, como es el caso de ondas producidas al lanzar una piedra a un estanque de agua, en la que se observa que a medida que se produce un alejamiento del foco emisor, la amplitud disminuye. Considérese que las ondas son generadas por un oscilador armónico en el punto “O”. Con respecto a ese punto se tendrán, de forma concéntrica, los diferentes frentes de onda. En las ondas circulares, los frentes de onda son circunferencias que unen las crestas o los valles. La energía transmitida por las ondas será: E = 21 ⋅ K ⋅ A2 = 21 ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ A2 = 2 ⋅ m ⋅ π 2 ⋅ f 2 ⋅ A2 si se considera la densidad frente B µ, la masa lineal frente A correspondiente a un frente de onda de radio r será: m = µ ⋅(2 ⋅π ⋅ r ) rA rB O Así, si se aplica el principio de conservación de la energía entre los frentes de onda A y B, teniendo en cuenta que la frecuencia es constante ya que se considera una onda armónica: E A = 4 ⋅ π 3 ⋅ µ ⋅ rA ⋅ f 2 ⋅ AA2 EB = 4 ⋅ π 3 ⋅ µ ⋅ rB ⋅ f 2 ⋅ AB2 E A = EB ⇒ rA ⋅ AA2 = rB ⋅ AB2 = L = r ⋅ A2 = cte Por tanto, a medida que una onda circular se propaga y se aleja del foco emisor, su amplitud decrece según el inverso de la raíz cuadrada del radio: A∝ • 1 r Energía transmitida en las ondas armónicas esféricas. Considérese ahora un foco emisor que crea una frente B perturbación que se propaga en las tres dimensiones del espacio. En este caso los frentes de onda serán superficies esféricas concéntricas. Ahora se hablará de densidad superficial: ρ = m ; 4 ⋅π ⋅ r2 sustituyendo la masa y aplicando el principio de conservación de la energía: 7 frente A E A = 8 ⋅ π 3 ⋅ ρ ⋅ rA2 ⋅ f 2 ⋅ AA2 EB = 8 ⋅ π 3 ⋅ ρ ⋅ rB2 ⋅ f 2 ⋅ AB2 E A = EB ⇒ rA2 ⋅ AA2 = rB2 ⋅ AB2 = L = r 2 ⋅ A2 = cte Por tanto, a medida que una onda esférica se propaga y se aleja del foco emisor, su amplitud decrece según el inverso del radio: 1 r A∝ En resumen, tanto en la propagación de ondas circulares como en el caso de ondas esféricas, al aumentar r, es decir, a medida que la onda se aleja del foco emisor, la amplitud decrece y la onda se amortigua. Esto se debe a que la misma energía se reparte, en cada frente de onda, entre mayor número de partículas. A este fenómeno se le llama atenuación y surge de la exigencia de la conservación de la energía. Este fenómeno es diferente de la absorción de una onda, que consiste en que parte de la energía de la onda es absorbida por las partículas del medio material a causa del rozamiento. Intensidad de onda Para determinar la energía que transporta una onda mecánica, se define una nueva magnitud, denominada intensidad de onda. “Se define intensidad de onda como la energía que llega por unidad de tiempo a una unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación”. También se puede expresar como la potencia que atraviesa una unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Ι = dE P = S ⋅ dt S Su unidad en el S.I. es J·s-1·m-2 ó W·m-2. Sustituyendo en la expresión anterior: Ι = 1 ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ A2 E = = 2 S ⋅t 4 ⋅π ⋅ r2 ⋅t 1 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2 ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2 = 4 ⋅π ⋅ r2 ⋅t 2⋅t por lo tanto, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, y como la amplitud es proporcional a 1 r , entonces: Ι ∝ 1 r2 Si se considera el caso de la propagación de una onda tridimensional: Energía (de la onda en el frente 1) = Energía (de la onda en el frente 2) Ι 1 ⋅ S1 = Ι 2 ⋅ S2 → Ι1 ⋅ 4 ⋅π ⋅ r = Ι 2 ⋅ 4 ⋅π ⋅ r 2 1 2 2 8 Ι 1 r22 = Ι 2 r12 Absorción de una onda. Aunque se ha estudiado que la amplitud decrece cuando la onda se aleja del foco emisor mediante un proceso conocido como atenuación, en la realidad se observa que la disminución es mayor que la producida sólo por dicho fenómeno. Lo que ocurre es que las partículas del medio, debido al rozamiento entre ellas, absorben parte de la energía de la onda, disminuyendo la intensidad de la onda. “Absorción es el fenómeno que se produce cuando parte de la energía que transporta la onda es absorbida por el medio material que atraviesa” Experimentalmente se sabe que la disminución de intensidad es directamente proporcional a la intensidad que tiene la onda y al espesor del medio que atraviesa: dΙ = − β ⋅ Ι ⋅ dx → Ι ∫Ι o dΙ Ι x = − β ⋅ ∫ dx 0 → Ι = Ι o ⋅ e− β ⋅x En dicha expresión Ιο representa la intensidad con la que llega la onda, x el espesor del medio material que atraviesa y β es el coeficiente de absorción del medio, cuya valor depende tanto de las características de la onda como de las del medio. Superposición de ondas. Interferencias. El principio de superposición puede enunciarse de la siguiente forma: “La perturbación producida en un punto por dos o más ondas es igual a la suma algebraica de las perturbaciones producidas en dicho punto por cada una de las ondas consideradas de modo aislado” Se verá a continuación que dos ondas pueden llegar a combinar sus efectos en un punto de dos modos: reforzándose o anulándose. En ambos casos se dirá que las ondas interfieren; en el primero, de manera constructiva y, en el segundo, destructiva. Interferencia de ondas armónicas. Como se ha indicado, se habla de interferencia cuando a un punto llegan simultáneamente dos o más ondas. En este caso se suma el efecto de todas las ondas que concurren en cada punto del espacio donde se produzca la interferencia. Después de interferir, las ondas no sufren modificaciones y siguen propagándose con la misma dirección y sentidos que tenían antes de encontrarse. 9 El caso más sencillo será la interferencia de ondas armónicas de la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero que pueden diferir en la fase, y que se encuentran viajando en un medio y en la misma dirección. y1 = A ⋅ sen( ωt − kx ) y 2 = A ⋅ sen( ωt − kx − δ ) y = y1 + y 2 = A ⋅ [sen( ωt − kx ) + sen( ωt − kx − δ )] a − b ⋅ sen a + b , donde : 2 2 aplicando: sen a + sen b = 2 ⋅ cos resulta: y = 2 ⋅ A ⋅ cos a = ωt − kx b = ωt − kx − δ δ δ ⋅ sen ωt − kx − 2 2 De esta expresión se deducen las siguientes conclusiones: - la onda resultante es también armónica y tienen la misma longitud de onda y frecuencia. - La amplitud de la onda resultante es A' = 2 ⋅ A ⋅ cos δ 2 ; por tanto, depende de la diferencia de fase de las ondas que interfieren. Se puede analizar lo que ocurre en función de la diferencia de fase entre las ondas que se superponen: • Interferencia constructiva. Cuando dos ondas en consonancia de fase (desfase nulo) interfieren entre sí, lo hacen de manera constructiva sumándose las amplitudes. Si δ = 0, entonces A' = 2 ⋅ A ⋅ cos 0 = 2 ⋅ A y la ecuación de la onda vendrá 2 dada por: y = 2 ⋅ A ⋅ sen( ωt − kx ) . El valor de la amplitud de la onda resultante es el máximo posible 2·A, ya que la amplitud depende del valor del coseno y cuando están en fase el coseno toma el valor máximo, cos 0 = 1. Lo mismo ocurre cuando el desfase es δ = 2π, 4π, ... La condición para que dos ondas coherentes, emitidas por focos en fase, produzcan una interferencia constructiva máxima, considerando que sus amplitudes son iguales, es: y1 = y2. Y como se vio, anteriormente en este tema, para que dos puntos estén en concordancia de fase, la diferencia entre sus distancias al foco debe ser un número entero de longitudes de onda. es decir: x2 − x1 = n ⋅ λ ; siendo n = 0, 1, 2, 3,... 10 onda resultante de la interferencia 1,5y En el caso general en el que 1 las amplitudes de las ondas que 0,5 interfieren no sean iguales, la amplitud 0 -0,5 de la onda resultante será la suma de ambas: A’ = A1 + A2. x 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0,9 9 1 2 ,5 6 1 4 ,1 3 1 5 ,7 1 7 ,2 7 1 8 ,8 4 2 0,4 1 2 1 ,9 8 2 3 ,5 5 -1 -1,5 • Interferencia destructiva. Cuando dos ondas en oposición de fase interfieren entre sí, lo hacen de manera destructiva, restándose las amplitudes. Las ondas están en oposición de fase si δ = π, entonces A' = 2 ⋅ A ⋅ cos π 2 =0 y la ecuación de la onda vendrá dada por: y = 2 ⋅ A ⋅ sen( ωt − kx ) = 0 . (se recuerda que esta expresión es válida para el caso de que ambas ondas tengan amplitudes iguales). El valor de la amplitud de la onda resultante es el mínimo posible, ya que la amplitud depende del valor del coseno y cuando están en oposición de fase el coseno toma el valor cero, cos π/2 = 0. La condición para que dos ondas coherentes, produzcan una interferencia destructiva máxima, considerando que sus amplitudes son iguales, es: y1 = − y2. ; y esto se consigue cuando las ondas se encuentran en oposición de fase. Y tal como se vio anteriormente, para que dos puntos estén en oposición de fase, la diferencia entre sus distancias recorridas debe ser un número impar de media longitud de onda. es decir: x2 − x1 = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ λ 2 ; n = 0, 1, 2, 3,... onda resultante de la interferencia 1,5 y En el caso general en el que las amplitudes de las ondas que 1 la 0,5 amplitud de la onda resultante será 0 interfieren no sean iguales, la resta de ambas: A’ = A1 − A2. -0,5 -1 -1,5 11 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0,9 9 1 2 ,5 6 1 4 ,1 3 1 5 ,7 1 7 ,2 7 1 8 ,8 4 2 0,4 1 2 1 ,9 8 2 3 ,5 5 2 5 ,1 2 2 5 ,1 2 Cuando las ondas que interfieren están en una situación 1 distinta de las anteriores; es decir, no 0,5 están ni en concordancia, ni en 0 oposición de fase, la amplitud de la onda resultante tendrá un valor intermedio entre 0 y 2·A. onda resultante de la interferencia 1,5y x 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0,9 9 1 2 ,5 6 1 4 ,1 3 1 5 ,7 1 7 ,2 7 1 8 ,8 4 2 0,4 1 2 1 ,9 8 -0,5 -1 -1,5 Pulsaciones. Cuando las ondas armónicas que se superponen no tienen la misma frecuencia, aunque tengan la misma velocidad de propagación, la onda resultante ya no será sinusoidal, sino que se origina una onda compleja. Este hecho da lugar a un fenómeno conocido como pulsaciones o batidos, en el que la onda resultante no tiene una amplitud constante sino que su amplitud aumenta y disminuye con el tiempo. y = y1 + y 2 = A1 ⋅ sen( ω1 ⋅ t − k ⋅ x1 ) + A2 ⋅ sen( ω2 ⋅ t − k ⋅ x2 ) Ondas estacionarias. Cuando en un medio interfieren dos ondas armónicas de la misma frecuencia, amplitud, velocidad y naturaleza, que se propagan en la misma dirección y sentidos opuestos, se forma una onda estacionaria. Hay que aclarar que si las ondas tienen la misma naturaleza y la frecuencia de ambas es la misma, las longitudes de onda serán iguales, siempre que el medio sea homogéneo. Considérese el caso particular de las ondas estacionarias que se producen en una cuerda: Si se agita el extremo de una cuerda (serviría también cualquier muelle) mientras se mantiene fijo el otro, se propagará una onda desde el extremo agitado al fijo, en donde se reflejará y regresará al punto de partida. Si se hace que la cuerda siga vibrando, será recorrida por ondas y en ambos sentidos y la onda producida 1,5 que se mueve en un sentido interferirá Onda incidente 1 con la reflejada que lo hace en sentido 0,5 contrario. 0 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 Cuando la cuerda vibra con la o 0,5 las frecuencias adecuadas, se produce el fenómeno de producción de ondas -1 Onda reflejada 1,5 12 1 0,9 9 1 2 ,5 6 1 4 ,1 3 1 5 ,7 2 3 ,5 5 2 5 ,1 2 estacionarias. Este fenómeno se caracteriza porque hay puntos que vibran con una gran amplitud, denominados vientres y otros donde la amplitud es nula, denominados nodos. Cada uno de estos puntos de la cuerda, excepto los nodos, se mueven según un M.A.S., con amplitud diferente en función de su posición, esto es una diferencia fundamental de una onda normal. Una característica de las ondas estacionarias es el valor de la amplitud. Ésta depende exclusivamente de la localización de las partículas del medio. En las ondas estacionarias no se produce transporte de energía de un punto a otro del medio, a diferencia de las ondas viajeras. En una situación real, en el medio estacionario se perderá energía por rozamiento, por lo que el foco que produce la perturbación debe seguir proporcionando energía, cumpliéndose que la energía que recibe el medio que vibra con una onda estacionaria sea igual a la que pierde por rozamiento. Aunque en el ejemplo de la cuerda, se ha considerado que las ondas estacionarias se forman al interferir una onda con su reflejada, esto no es estrictamente necesario; basta con que la interferencia se produzca entre dos ondas de las mismas características: amplitud, frecuencia y velocidad, que lleguen a un punto propagándose en sentidos contrarios y con un desfase de π radianes. y1 = A ⋅ sen( ω ⋅ t + k ⋅ x ) → y 2 = A ⋅ sen( ω ⋅ t − k ⋅ x + π ) y = y1 + y 2 = A ⋅ [sen( ω ⋅ t + k ⋅ x ) + sen( ω ⋅ t − k ⋅ x + π )] considerando que sen ( α + π ) = −sen α , la expresión anterior resulta: y = A ⋅ [sen( ω ⋅ t + k ⋅ x ) − sen( ω ⋅ t − k ⋅ x )] y aplicando la relación trigonométrica: a + b a − b , donde : sen a − sen b = 2 ⋅ cos ⋅ sen 2 2 a = ωt + kx b = ωt − kx resulta: y = 2 ⋅ A ⋅ sen( k ⋅ x ) ⋅ cos( ω ⋅ t ) que es la ecuación de la onda estacionaria, que tiene la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas originales y cuya amplitud que depende de la posición de la partícula y no del tiempo es: Ar = 2·A·sen(k·x). 13 • Localización de los nodos. Estos puntos son los de amplitud mínima, con un valor cero: 2 ⋅π ⋅ x sen ( k ⋅ x ) = sen =0 λ • ⇒ 2 ⋅π ⋅ x λ = 0, π , 2π , ... → x = n⋅ λ 2 n = 0, 1, 2, ... Localización de los vientres. En estos puntos la amplitud es máxima: 2⋅π ⋅ x sen ( k ⋅ x ) = sen = ±1 ⇒ λ 2⋅π ⋅ x λ 14 = π 3π 2 , 2 , ... → x = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ λ 4 n = 0, 1, 2, ...