movimiento ondulatorio

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MOVIMIENTO ONDULATORIO
1. Movimiento ondulatorio.
“ Todo movimiento ondulatorio consiste en la propagación por
el espacio de energía y cantidad de movimiento de las
perturbaciones producidas en un punto, sin que haya
transporte neto de materia”.
En todos los casos, la perturbación se produce en un punto llamado “foco”, y
esa perturbación se propaga por el espacio. El origen de la perturbación es variado:
deformación elástica del medio (compresión y expansión de un muelle, o de la tierra
para producir ondas sísmicas), variaciones de la presión (para producir sonidos),
variaciones de campos eléctricos y magnéticos (la luz). En todos los casos hay
propagación de energía y cantidad de movimiento, sin transporte de materia.
Clasificación de las ondas
Las ondas se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios:
Según el tipo de energía que se propaga se clasifican en:
- Ondas mecánicas: sólo se transmiten por medios materiales; como por
ejemplo el sonido.
- Ondas electromagnéticas: se transmiten en ciertos materiales y en el vacío;
como por ejemplo la luz.
Según la forma en que se transmite la perturbación se clasifican en:
- Ondas longitudinales: son aquellas en las que la dirección de propagación
coincide con la dirección de vibración; como por ejemplo en un muelle que
se comprime longitudinalmente.
- Ondas transversales: son aquellas en las que la dirección de propagación
es perpendicular a la dirección de la perturbación; por ejemplo la
propagación horizontal de una onda de una cuerda que se agita
verticalmente. Las ondas electromagnéticas son transversales.
Según las dimensiones de propagación se clasifican en:
- Ondas unidimensionales: como las que se propagan por una cuerda tensa.
- Ondas bidimensionales: como las que se propagan por la superficie del agua.
- Ondas tridimensionales: como las ondas acústicas.
1
Se denomina frente de onda al lugar geométrico de aquellos puntos que
poseen el mismo estado de vibración, es decir, aquellos puntos que son alcanzados
por la vibración en el mismo instante.
El frente de ondas de una onda bidimensional es circular, mientras que el de
una onda tridimensional es esférico. A medida que se produce un alejamiento del foco
que produce la perturbación, el frente de ondas va siendo cada vez menos curvo.
Si la perturbación es instantánea se genera una única onda denominada pulso.
Si la perturbación es continua se genera un tren de ondas, que suele denominarse
ondas viajeras.
Magnitudes características de las ondas.
Las ondas se caracterizan por una serie de magnitudes:
•
Longitud de onda (λ).
Es la distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en idéntico
estado de perturbación. Por lo tanto, es la distancia que se ha propagado la onda en
un período. Puede evidenciarse al representar la perturbación en función de la
dirección de la propagación. Su unidad en el S.I. es el metro.
λ
Cresta
A
Amplitud
x
−A
•
Valle
Período (T).
Es el tiempo que tarda un punto en
T
A
repetir un estado de vibración; es decir, en
realizar una oscilación completa. Se puede
t
visualizar en un representación de la onda
en función del tiempo. Su unidad en el S.I.
es el segundo.
2
−A
•
Frecuencia (f o ν).
Es el número de oscilaciones que se producen por unidad de tiempo. Su
unidad en el S.I. es el s-1 o Hz.
•
Número de onda (k)
En el movimiento ondulatorio se define como el número de longitudes de onda
que contiene una longitud 2π. Su unidad es m-1.
•
Velocidad de propagación.
Es la velocidad con que se propaga la onda. La velocidad de propagación
depende de las propiedades del medio, manteniéndose constante mientras no
cambien sus propiedades. Su unidad en el S.I. es el m/s.
No debe confundirse con la velocidad con la que se mueve cada partícula
material del medio por el que se propaga la onda. La velocidad de vibración de estas
partículas vendrá dada por la expresión correspondiente al M.A.S.
•
Amplitud.
Es la separación máxima de un punto con respecto a la posición de equilibrio.
Se mide en metros.
Entre las magnitudes anteriores existen algunas relaciones:
T =
1
f
k=
2π
λ
=
2π
ω
=
v ⋅T v
v = λ ⋅f
Ecuación del movimiento ondulatorio.
Cuando se comunica un movimiento oscilatorio a una partícula de un medio
elástico, la perturbación se propaga a los demás puntos del medio con una velocidad v.
Un ejemplo de esto es la propagación de una perturbación a lo largo de una
cuerda. Si se le aplica un movimiento de vaivén al extremo de la cuerda, se producirá
la propagación a lo largo de la dirección perpendicular a dicho movimiento de vaivén.
Con el objeto de usar la misma notación, se considerará que la propagación se
realiza a lo largo del eje x y la vibración de las partículas del medio en el eje y.
La ecuación de una onda será una expresión matemática que permita conocer
el estado de vibración de cualquier partícula del medio a una distancia x y en el tiempo
t; por lo tanto, será una función de ambas magnitudes:
3
y = f ( x,t )
Para simplificar el problema de la obtención de la ecuación del movimiento, se
consideran las siguientes condiciones:
-
Se supone un foco puntual.
-
La vibración del foco se considera que sigue un M.A.S.
-
En el instante inicial el foco se encuentra en la posición de equilibrio.
-
Se supone que la onda es lineal y que el medio no absorbe energía de la
onda; es decir, la amplitud de la onda permanece constante.
Si se tienen en cuenta las consideraciones anteriores, el movimiento vibratorio
del foco (x = 0) vendrá dado por:
y ( 0, t ) = A ⋅ sen( ωt )
A medida que la perturbación avanza, los puntos del medio van adquiriendo el
mismo movimiento armónico del foco. Por lo tanto, el estado de vibración de cualquier
punto x del medio se puede representar con la misma ecuación que la del foco, pero
teniendo en cuenta que lleva menos tiempo vibrando. La vibración llega con un cierto
retraso con respecto al foco.
Si se considera que la perturbación tarda un tiempo t’ en recorrer la distancia
desde el foco hasta el punto x, la ecuación de la elongación será la misma que para el
foco pero para un tiempo (t – t’):
y ( x , t ) = A ⋅ sen[ω( t − t' )]
como la velocidad de propagación de la onda (v) es constante, el valor de t’ se puede
calcular como:
v=
x
t'
→
t' =
x
v
x
y ( x , t ) = A ⋅ sen ω ⋅  t − 
  v 
⇒
Esta es la expresión de la ecuación o función de onda, que también puede
expresarse de las siguientes formas:
2 ⋅π
y ( x , t ) = A ⋅ sen 
 T
 t − x  = A ⋅ sen 2 ⋅ π



 v 
t
x
⋅  −
T v ⋅T
 = A ⋅ sen 2 ⋅ π



t x
⋅  − 
 T λ 
o bien:
2 ⋅π ⋅t 2 ⋅π ⋅ x
 2 ⋅ π ⋅ t − 2 ⋅ π ⋅ x  = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x )
y ( x , t ) = A ⋅ sen 
−
=
A
⋅
sen
 T
v ⋅ T 
λ 
 T
Resumiendo:
y ( x , t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π

t x
⋅  − 
 T λ 
y ( x , t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x )
4
NOTA:
Hay que tener en cuenta hacia donde se desplaza la onda. Si su sentido es hacia la
derecha (sentido positivo del eje x), la ecuación de onda llevará signo negativo:
y ( x , t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x ) . Si su sentido es hacia la izquierda (sentido negativo del
eje x), la ecuación llevará signo positivo: y ( x , t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t + k ⋅ x ) .
Estas ecuaciones representan ondas armónicas, pues es una función sinusoidal.
También pueden aparecer en función del coseno y con los términos del paréntesis con
el orden cambiado.
Fase y oposición de fase.
Dos puntos del medio se encuentran en concordancia de fase cuando
presentan el mismo estado de vibración, con la misma elongación y la misma
velocidad. En este caso la diferencia de fase entre ellos es 2π o un múltiplo de esta
cantidad, por lo tanto:
( ω ⋅ t − k ⋅ x1 ) − ( ω ⋅ t − k ⋅x 2) = 2 ⋅ π ⋅ n
para n = 0, 1, 2, 3,...
operando con esta expresión, se obtiene la distancia entre ambos puntos:
− k ⋅ x1 + k ⋅ x2 = 2 ⋅ π ⋅ n
por tanto:
→
k ⋅ ( x2 − x1 ) = 2 ⋅ π ⋅ n
→
2⋅π
λ
⋅ ( x2 − x1 ) = 2 ⋅ π ⋅ n
x2 − x1 = n ⋅ λ ; es decir, para que dos puntos estén en concordancia de
fase, la diferencia entre sus distancias al foco debe ser un número entero de
longitudes de onda.
Dos puntos están en oposición de fase cuando la diferencia de fase entre
ellos es (2n+1)·π radianes:
( ω ⋅ t − k ⋅ x1 ) − ( ω ⋅ t − k ⋅x 2) = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ π
− k ⋅ x1 + k ⋅ x2 = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ π
por tanto:
x2 − x1 = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅
λ
2
→
2 ⋅π
λ
para n = 0, 1, 2, 3,...
⋅ ( x2 − x1 ) = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅ π
; es decir, para que dos puntos estén en oposición
de fase, la diferencia entre sus distancias al foco debe ser un número impar de
semilongitud de onda.
5
Energía transmitida por ondas armónicas.
Como ya se ha comentado, las ondas propagan energía. Vamos a considerar
que las ondas son mecánicas y armónicas.
Para analizar el trasporte de energía, se va a tener en cuenta el número de
dimensiones de propagación:
•
Energía en una onda armónica unidimensional.
Un oscilador armónico unido a un extremo de una cuerda puede producir una
onda armónica que se desplace por dicha cuerda.
Durante la propagación de la onda cada punto de la cuerda efectúa
movimientos armónicos simples que oscilan verticalmente. La energía que hace que
cada punto de la cuerda oscile con cierta amplitud proviene del oscilador que perturba
el estado de la cuerda y se transmite por toda ella, pues todos los puntos acaban
oscilando.
La energía total del oscilador armónico es:
E = 21 ⋅ K ⋅ A2 = 21 ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ A2 = 2 ⋅ m ⋅ π 2 ⋅ f 2 ⋅ A2
es decir, la energía transmitida es proporcional al cuadrado de la frecuencia y la
amplitud. Si no se disipa la energía en el medio de transmisión de la onda, su amplitud
permanece constante. En caso contrario, la amplitud de la onda resultaría amortiguada.
Si se aplica la expresión anterior a un elemento de cuerda, de longitud dx y
masa dm, resulta:
dE = 2 ⋅ π 2 ⋅ f 2 ⋅ A2 ⋅ dm
A partir de la definición de densidad lineal (µ) se puede escribir:
µ=
dm
dx
dm = µ ⋅ dx
→
Además, considerando que la perturbación se propaga con una velocidad v:
dx = v ⋅ dt
Sustituyendo ambas expresiones en la ecuación diferencial de la energía de un
elemento de cuerda, se obtiene:
dE = 2 ⋅ π 2 ⋅ µ ⋅ f 2 ⋅ A2 ⋅ v ⋅ dt
Como se produce una propagación de energía durante un cierto tiempo, es
corriente considerar la energía transmitida por unidad de tiempo o potencia.
P=
dE
= 2 ⋅ π 2 ⋅ µ ⋅ f 2 ⋅ A2 ⋅ v
dt
por tanto la potencia de una onda armónica es directamente proporcional a su
velocidad de propagación y al cuadrado de la amplitud y frecuencia.
6
•
Energía transmitida en las ondas circulares.
Se va a realizar el mismo estudio para ondas bidimensionales, considerando el
caso clásico de una onda circular que se propaga en un medio isótropo, como es el
caso de ondas producidas al lanzar una piedra a un estanque de agua, en la que se
observa que a medida que se produce un alejamiento del foco emisor, la amplitud
disminuye.
Considérese que las ondas son generadas por un oscilador armónico en el
punto “O”. Con respecto a ese punto se tendrán, de forma concéntrica, los diferentes
frentes de onda. En las ondas circulares, los frentes de onda son circunferencias que
unen las crestas o los valles.
La energía transmitida por las ondas será:
E = 21 ⋅ K ⋅ A2 = 21 ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ A2 = 2 ⋅ m ⋅ π 2 ⋅ f 2 ⋅ A2
si
se
considera
la
densidad
frente B
µ, la masa
lineal
frente A
correspondiente a un frente de onda de radio r será:
m = µ ⋅(2 ⋅π ⋅ r )
rA
rB
O
Así, si se aplica el principio de conservación de la
energía entre los frentes de onda A y B, teniendo en
cuenta que la frecuencia es constante ya que se considera
una onda armónica:
E A = 4 ⋅ π 3 ⋅ µ ⋅ rA ⋅ f 2 ⋅ AA2 

EB = 4 ⋅ π 3 ⋅ µ ⋅ rB ⋅ f 2 ⋅ AB2 
E A = EB
⇒
rA ⋅ AA2 = rB ⋅ AB2 = L = r ⋅ A2 = cte
Por tanto, a medida que una onda circular se propaga y se aleja del foco
emisor, su amplitud decrece según el inverso de la raíz cuadrada del radio:
A∝
•
1
r
Energía transmitida en las ondas armónicas esféricas.
Considérese ahora un foco emisor que crea una
frente B
perturbación que se propaga en las tres dimensiones del espacio.
En este caso los frentes de onda serán superficies esféricas
concéntricas.
Ahora se hablará de densidad superficial: ρ =
m
;
4 ⋅π ⋅ r2
sustituyendo la masa y aplicando el principio de conservación de
la energía:
7
frente A
E A = 8 ⋅ π 3 ⋅ ρ ⋅ rA2 ⋅ f 2 ⋅ AA2 

EB = 8 ⋅ π 3 ⋅ ρ ⋅ rB2 ⋅ f 2 ⋅ AB2 
E A = EB
⇒
rA2 ⋅ AA2 = rB2 ⋅ AB2 = L = r 2 ⋅ A2 = cte
Por tanto, a medida que una onda esférica se propaga y se aleja del foco
emisor, su amplitud decrece según el inverso del radio:
1
r
A∝
En resumen, tanto en la propagación de ondas circulares como en el caso de
ondas esféricas, al aumentar r, es decir, a medida que la onda se aleja del foco
emisor, la amplitud decrece y la onda se amortigua. Esto se debe a que la misma
energía se reparte, en cada frente de onda, entre mayor número de partículas. A este
fenómeno se le llama atenuación y surge de la exigencia de la conservación de la
energía. Este fenómeno es diferente de la absorción de una onda, que consiste en
que parte de la energía de la onda es absorbida por las partículas del medio material a
causa del rozamiento.
Intensidad de onda
Para determinar la energía que transporta una onda mecánica, se define una
nueva magnitud, denominada intensidad de onda.
“Se define intensidad de onda como la energía que llega por
unidad de tiempo a una unidad de superficie perpendicular a la
dirección de propagación”.
También se puede expresar como la potencia que atraviesa una unidad de
superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
Ι =
dE
P
=
S ⋅ dt S
Su unidad en el S.I. es J·s-1·m-2 ó W·m-2.
Sustituyendo en la expresión anterior:
Ι =
1
⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ A2
E
=
= 2
S ⋅t
4 ⋅π ⋅ r2 ⋅t
1
2
⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2 ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2
=
4 ⋅π ⋅ r2 ⋅t
2⋅t
por lo tanto, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, y como la
amplitud es proporcional a
1
r
, entonces:
Ι ∝
1
r2
Si se considera el caso de la propagación de una onda tridimensional:
Energía (de la onda en el frente 1) = Energía (de la onda en el frente 2)
Ι 1 ⋅ S1 = Ι 2 ⋅ S2
→
Ι1 ⋅ 4 ⋅π ⋅ r = Ι 2 ⋅ 4 ⋅π ⋅ r
2
1
2
2
8
Ι 1 r22
=
Ι 2 r12
Absorción de una onda.
Aunque se ha estudiado que la amplitud decrece cuando la onda se aleja del
foco emisor mediante un proceso conocido como atenuación, en la realidad se
observa que la disminución es mayor que la producida sólo por dicho fenómeno. Lo
que ocurre es que las partículas del medio, debido al rozamiento entre ellas, absorben
parte de la energía de la onda, disminuyendo la intensidad de la onda.
“Absorción es el fenómeno que se produce cuando parte de la
energía que transporta la onda es absorbida por el medio
material que atraviesa”
Experimentalmente se sabe que la disminución de intensidad es directamente
proporcional a la intensidad que tiene la onda y al espesor del medio que atraviesa:
dΙ = − β ⋅ Ι ⋅ dx
→
Ι
∫Ι
o
dΙ
Ι
x
= − β ⋅ ∫ dx
0
→
Ι = Ι o ⋅ e− β ⋅x
En dicha expresión Ιο representa la intensidad con la que llega la onda, x el
espesor del medio material que atraviesa y β es el coeficiente de absorción del
medio, cuya valor depende tanto de las características de la onda como de las del
medio.
Superposición de ondas. Interferencias.
El principio de superposición puede enunciarse de la siguiente forma:
“La perturbación producida en un punto por dos o más ondas
es igual a la suma algebraica de las perturbaciones producidas
en dicho punto por cada una de las ondas consideradas de
modo aislado”
Se verá a continuación que dos ondas pueden llegar a combinar sus efectos en
un punto de dos modos: reforzándose o anulándose. En ambos casos se dirá que las
ondas interfieren; en el primero, de manera constructiva y, en el segundo, destructiva.
Interferencia de ondas armónicas.
Como se ha indicado, se habla de interferencia cuando a un punto llegan
simultáneamente dos o más ondas. En este caso se suma el efecto de todas las ondas
que concurren en cada punto del espacio donde se produzca la interferencia.
Después de interferir, las ondas no sufren modificaciones y siguen
propagándose con la misma dirección y sentidos que tenían antes de encontrarse.
9
El caso más sencillo será la interferencia de ondas armónicas de la misma
amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero que pueden diferir en la fase, y que se
encuentran viajando en un medio y en la misma dirección.
y1 = A ⋅ sen( ωt − kx ) 

y 2 = A ⋅ sen( ωt − kx − δ ) 
y = y1 + y 2 = A ⋅ [sen( ωt − kx ) + sen( ωt − kx − δ )]
 a − b  ⋅ sen a + b , donde :



 2 
 2 
aplicando: sen a + sen b = 2 ⋅ cos 
resulta:
y = 2 ⋅ A ⋅ cos
 a = ωt − kx

b = ωt − kx − δ
δ
δ
⋅ sen ωt − kx − 
2
2

De esta expresión se deducen las siguientes conclusiones:
-
la onda resultante es también armónica y tienen la misma longitud de onda
y frecuencia.
-
La amplitud de la onda resultante es A' = 2 ⋅ A ⋅ cos
δ
2
; por tanto, depende
de la diferencia de fase de las ondas que interfieren.
Se puede analizar lo que ocurre en función de la diferencia de fase entre las
ondas que se superponen:
•
Interferencia constructiva.
Cuando dos ondas en consonancia de fase (desfase nulo) interfieren entre sí,
lo hacen de manera constructiva sumándose las amplitudes.
Si δ = 0, entonces A' = 2 ⋅ A ⋅ cos
0
= 2 ⋅ A y la ecuación de la onda vendrá
2
dada por: y = 2 ⋅ A ⋅ sen( ωt − kx ) .
El valor de la amplitud de la onda resultante es el máximo posible 2·A, ya que
la amplitud depende del valor del coseno y cuando están en fase el coseno toma el
valor máximo, cos 0 = 1.
Lo mismo ocurre cuando el desfase es δ = 2π, 4π, ...
La condición para que dos ondas coherentes, emitidas por focos en fase,
produzcan una interferencia constructiva máxima, considerando que sus amplitudes
son iguales, es: y1 = y2. Y como se vio, anteriormente en este tema, para que dos
puntos estén en concordancia de fase, la diferencia entre sus distancias al foco debe
ser un número entero de longitudes de onda.
es decir:
x2 − x1 = n ⋅ λ ; siendo n = 0, 1, 2, 3,...
10
onda resultante de la interferencia
1,5y
En el caso general en el que
1
las amplitudes de las ondas que
0,5
interfieren no sean iguales, la amplitud
0
-0,5
de la onda resultante será la suma de
ambas: A’ = A1 + A2.
x
0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
7 ,8 5
9 ,4 2
1 0,9 9
1 2 ,5 6
1 4 ,1 3
1 5 ,7
1 7 ,2 7
1 8 ,8 4
2 0,4 1
2 1 ,9 8
2 3 ,5 5
-1
-1,5
•
Interferencia destructiva.
Cuando dos ondas en oposición de fase interfieren entre sí, lo hacen de
manera destructiva, restándose las amplitudes.
Las ondas están en oposición de fase si δ = π, entonces A' = 2 ⋅ A ⋅ cos
π
2
=0 y
la ecuación de la onda vendrá dada por: y = 2 ⋅ A ⋅ sen( ωt − kx ) = 0 .
(se recuerda que esta expresión es válida para el caso de que ambas ondas
tengan amplitudes iguales).
El valor de la amplitud de la onda resultante es el mínimo posible, ya que la
amplitud depende del valor del coseno y cuando están en oposición de fase el coseno
toma el valor cero, cos π/2 = 0.
La condición para que dos ondas coherentes, produzcan una interferencia
destructiva máxima, considerando que sus amplitudes son iguales, es: y1 = − y2. ; y
esto se consigue cuando las ondas se encuentran en oposición de fase. Y tal como se
vio anteriormente, para que dos puntos estén en oposición de fase, la diferencia entre
sus distancias recorridas debe ser un número impar de media longitud de onda.
es decir:
x2 − x1 = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅
λ
2
; n = 0, 1, 2, 3,...
onda resultante de la interferencia
1,5 y
En el caso general en el que
las amplitudes de las ondas que
1
la
0,5
amplitud de la onda resultante será
0
interfieren
no
sean
iguales,
la resta de ambas: A’ = A1 − A2.
-0,5
-1
-1,5
11
0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
7 ,8 5
9 ,4 2
1 0,9 9
1 2 ,5 6
1 4 ,1 3
1 5 ,7
1 7 ,2 7
1 8 ,8 4
2 0,4 1
2 1 ,9 8
2 3 ,5 5
2 5 ,1 2
2 5 ,1 2
Cuando
las
ondas
que
interfieren están en una situación
1
distinta de las anteriores; es decir, no
0,5
están ni en concordancia, ni en
0
oposición de fase, la amplitud de la
onda
resultante
tendrá
un
valor
intermedio entre 0 y 2·A.
onda resultante de la interferencia
1,5y
x
0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
7 ,8 5
9 ,4 2
1 0,9 9
1 2 ,5 6
1 4 ,1 3
1 5 ,7
1 7 ,2 7
1 8 ,8 4
2 0,4 1
2 1 ,9 8
-0,5
-1
-1,5
Pulsaciones.
Cuando las ondas armónicas que se superponen no tienen la misma
frecuencia, aunque tengan la misma velocidad de propagación, la onda resultante ya
no será sinusoidal, sino que se origina una onda compleja. Este hecho da lugar a un
fenómeno conocido como pulsaciones o batidos, en el que la onda resultante no
tiene una amplitud constante sino que su amplitud aumenta y disminuye con el tiempo.
y = y1 + y 2 = A1 ⋅ sen( ω1 ⋅ t − k ⋅ x1 ) + A2 ⋅ sen( ω2 ⋅ t − k ⋅ x2 )
Ondas estacionarias.
Cuando en un medio interfieren dos ondas armónicas de la misma frecuencia,
amplitud, velocidad y naturaleza, que se propagan en la misma dirección y sentidos
opuestos, se forma una onda estacionaria.
Hay que aclarar que si las ondas tienen la misma naturaleza y la frecuencia de
ambas es la misma, las longitudes de onda serán iguales, siempre que el medio sea
homogéneo.
Considérese el caso particular de las ondas estacionarias que se producen en
una cuerda:
Si se agita el extremo de una cuerda (serviría también cualquier muelle)
mientras se mantiene fijo el otro, se propagará una onda desde el extremo agitado al
fijo, en donde se reflejará y regresará al punto de partida. Si se hace que la cuerda
siga vibrando, será recorrida por ondas
y
en ambos sentidos y la onda producida 1,5
que se mueve en un sentido interferirá
Onda incidente
1
con la reflejada que lo hace en sentido 0,5
contrario.
0
0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
7 ,8 5
9 ,4 2
Cuando la cuerda vibra con la o 0,5
las frecuencias adecuadas, se produce
el fenómeno de producción de ondas
-1
Onda reflejada
1,5
12
1 0,9 9
1 2 ,5 6
1 4 ,1 3
1 5 ,7
2 3 ,5 5
2 5 ,1 2
estacionarias. Este fenómeno se caracteriza porque hay puntos que vibran con una
gran amplitud, denominados vientres y otros donde la amplitud es nula, denominados
nodos. Cada uno de estos puntos de la cuerda,
excepto los nodos, se mueven según un M.A.S., con
amplitud diferente en función de su posición, esto es
una diferencia fundamental de una onda normal. Una
característica de las ondas estacionarias es el valor
de la amplitud. Ésta depende exclusivamente de la
localización de las partículas del medio.
En las ondas estacionarias no se produce transporte de energía de un punto a
otro del medio, a diferencia de las ondas viajeras. En una situación real, en el medio
estacionario se perderá energía por rozamiento, por lo que el foco que produce la
perturbación debe seguir proporcionando energía, cumpliéndose que la energía que
recibe el medio que vibra con una onda estacionaria sea igual a la que pierde por
rozamiento.
Aunque en el ejemplo de la cuerda, se ha considerado que las ondas
estacionarias se forman al interferir una onda con su reflejada, esto no es
estrictamente necesario; basta con que la interferencia se produzca entre dos ondas
de las mismas características: amplitud, frecuencia y velocidad, que lleguen a un punto
propagándose en sentidos contrarios y con un desfase de π radianes.
y1 = A ⋅ sen( ω ⋅ t + k ⋅ x ) 
→
y 2 = A ⋅ sen( ω ⋅ t − k ⋅ x + π )
y = y1 + y 2 = A ⋅ [sen( ω ⋅ t + k ⋅ x ) + sen( ω ⋅ t − k ⋅ x + π )]
considerando que sen ( α + π ) = −sen α , la expresión anterior resulta:
y = A ⋅ [sen( ω ⋅ t + k ⋅ x ) − sen( ω ⋅ t − k ⋅ x )]
y aplicando la relación trigonométrica:
a + b
 a − b , donde :
sen a − sen b = 2 ⋅ cos
 ⋅ sen

 2 
 2 
a = ωt + kx

b = ωt − kx
resulta:
y = 2 ⋅ A ⋅ sen( k ⋅ x ) ⋅ cos( ω ⋅ t )
que es la ecuación de la onda estacionaria, que tiene la misma frecuencia y longitud
de onda que las ondas originales y cuya amplitud que depende de la posición de la
partícula y no del tiempo es: Ar = 2·A·sen(k·x).
13
•
Localización de los nodos.
Estos puntos son los de amplitud mínima, con un valor cero:
2 ⋅π ⋅ x 
sen ( k ⋅ x ) = sen
=0
 λ 
•
⇒
2 ⋅π ⋅ x
λ
= 0, π , 2π , ... →
x = n⋅
λ
2
n = 0, 1, 2, ...
Localización de los vientres.
En estos puntos la amplitud es máxima:
2⋅π ⋅ x 
sen ( k ⋅ x ) = sen
 = ±1 ⇒
 λ 
2⋅π ⋅ x
λ
14
=
π 3π
2
,
2
, ... →
x = ( 2 ⋅ n + 1) ⋅
λ
4
n = 0, 1, 2, ...
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