Estrella binaria

Estrella binaria
Con un telescopio se observa la luz procedente de un sistema denominado binaria
espectroscópica compuesto por dos estrellas idénticas que rotan alrededor del centro
de masas común y con el plano de la órbita conteniendo la lı́nea visual. La luz
procedente del Sol contiene una frecuencia de 4, 5679 · 1014 Hz correspondiente al
hidrógeno gaseoso, mientras que en la luz procedente de una de las estrellas que
componen la binaria espectroscópica se observa que la misma lı́nea espectral oscila
entre las frecuencias 4, 5685 · 1014 Hz y 4, 5661 · 1014 Hz con un periodo de 90 dı́as.
Determinar la velocidad a la que se aleja este sistema estelar, la velocidad orbital
de las estrellas, el radio de su órbita y su masa.
Solución
Datos:
f0 = 4, 5679 · 1014 Hz
f1 = 4, 5685 · 1014 Hz
f2 = 4, 5661 · 1014 Hz
T = 90 dı́as
c = 2, 9979 · 108
1
m
s
N · m2
Kg 2
Sea S el sitema de referencia terrestre y S’ el que se mueve con el centro de masas
de las estrellas que forman la binaria espectroscópica. Llamemos u1 al módulo de la
velocidad máxima con que se ve acercarse una de las estrellas a la Tierra, entonces
debido al efecto Doppler la frecuencia f1 que se observa es
r
c + u1
f0
f1 =
c − u1
G = 6, 6726 · 10−11
donde f0 es la misma lı́nea espectral observada en el Sol. De esta fórmula se despeja
que
u1 =
2, 9979 · 108 (4, 56852 − 4, 56792 )
c (f12 − f02 )
m
=
= 3, 9375 · 104
2
2
2
2
f1 + f0
4, 5685 + 4, 5679
s
Si u2 es la velocidad máxima con que se aleja una de las estrellas, la frecuencia que
se observa ahora es
r
c (f02 − f22 )
2, 9979 · 108 (4, 56792 − 4, 56612 )
c − u2
5 m
f2 =
f0 ⇒ u2 =
=
=
1,
1816·10
c + u2
f02 + f22
4, 56792 + 4, 56612
s
Seguidamente utilizaremos estos valores hallados u1 y u2 para calcular la velocidad v a la que es aleja el sistema S’. Para ello llamaremos u0 al módulo de la
velocidad orbital de las estrellas respecto del sitema S’ y usaremos la transformación
de Lorentz de velocidades
u−v
V0 =
1 − uv
c2
poniendo V 0 = −u0 y u = −u1 se tiene
−u0 =
−u1 − v
1 + uc12v
poniendo V 0 = u0 y u = u2 se tiene
u0 =
u2 − v
1 − uc22v
eliminando u0 entre estas dos expresiones, encontramos
u1 + v
u2 − v
u1 v =
1 + c2
1 − uc22v
de donde se despeja la velocidad con que se aleja el sistema estelar
p
p
c4 − c2 (u21 + u22 ) + u1 u2 − c2 + u1 u2
c4 − c2 (u21 + u22 ) + u1 u2 −c2 + u1 u2
v=
=
+
=
u1 − u2
u1 − u 2
u1 − u 2
q
(2, 9979 · 108 )4 − (2, 9979 · 108 )2 (3, 9375 · 104 )2 + (1, 1816 · 105 )2 + (3, 9375 · 1, 1816 · 109 )2
=
+
3, 9375 · 104 − 1, 1816 · 105
2
2
+
− (2, 9979 · 108 ) + 3, 9375 · 1, 1816 · 109
4 m
=
3,
9393
·
10
3, 9375 · 104 − 1, 1816 · 105
s
La velocidad orbital la hallamos sustituyendo en
2
(u2 − v) c2
(1, 1816 · 105 − 3, 9393 · 104 ) (2, 9979 · 108 )
m
u = 2
=
= 7, 8767 · 104
2
8
9
c − u2 v
s
(2, 9979 · 10 ) − 1, 1816 · 3, 9393 · 10
0
Si T 0 es el periodo orbital respecto del sistema S 0 , la velocidad orbital se puede
poner
2πR
u0 =
T0
siendo R el radio de la órbita. Desde la Tierra el periode se ve dilatado
T0
T =q
1−
v2
c2
con lo que
2πR
u0 = q
T 1−
q
uT 1−
0
⇒R=
2π
v2
c2
7, 8767 · 104 · 90 · 24 · 60 · 60
=
2π
s
1−
v2
c2
=
(3, 9393 · 104 )2
10
2 = 9, 7481 · 10 m
8
(2, 9979 · 10 )
que es aproximadamente 32 de la distancia de la Tierra al Sol.
La masa de las estrellas la obtenemos igualando la fuerza gravitatoria con la
fuerza centrı́peta
2
m (u0 )2
(u0 )2 4R
(7, 8767 · 104 ) · 4 · 9, 7481 · 1010
Gm2
=
⇒
m
=
=
= 3, 6255·1031 Kg
4R2
R
G
6, 6726 · 10−11
que corresponde a unas 18 veces la masa solar.
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