Capıtulo 7 Sucesiones

Capı́tulo
7
Sucesiones
7.1. Introducción
Las sucesiones aparecen de manera natural en muchos cálculos que responden a un es2
6
2 1
quema iterativo. Por ejemplo, al dividir 2 entre 3 obtenemos D
C
, igualdad que
3
10
3 10
podemos usar ahora para obtener
2 1
6
2 1
6
6
6
1
2
;
D
C
C
D
C 2C
3
10
10
3 10 10
10
3 102
10
y de nuevo
2
6
6
D
C 2C
3
10
10
6
2 1
C
10
3 10
6
6
2 1
6
1
D
:
C 2C 3C
2
10
3 103
10
10
10
Y así podemos continuar tantas veces como queramos, obteniendo para cada n 2 N la igualdad:
n
2 X 6
2 1
D
:
C
3
3 10n
10k
kD1
n
X
2 1
6
2
xn D
. Observa que, aunque los nútenemos que 0 <
k
3
3 10n
10
kD1
meros xn son todos ellos distintos de 2=3, dada una cota de error arbitrariamente pequeña,
2 1
" > 0, y tomando n0 2 N de manera que
< " , deducimos que para todo número
3 10n0
natural n>n0 se verifica que jxn 2=3j < " , lo que se expresa escribiendo 2=3 D lKım fxn g.
Escribiendo xn D
n!1
325
Introducción
326
El ejemplo anterior está relacionado con la expresión decimal de 2=3 que, como todos
sabemos, es un decimal periódico con período igual a 6, lo que suele escribirse 2=3 D 0; b
6
igualdad en la que, según se dice a veces, el símbolo 0; b
6 debe interpretarse como que el 6
se repite infinitas veces. ¿Qué quiere decir esto? Lo que está claro es que, por mucho tiempo
y paciencia que tengamos, nunca podremos escribir infinitos 6 uno detrás de otro... bueno,
podríamos escribir algo como
2
D 0; b
6 D 0; 6666666:::. infinitos 6/
3
lo que tampoco sirve de mucho pues seguimos sin saber cómo se interpreta esta igualdad. Pues
bien, para dar un significado matemático a lo que se quiere expresar con esa igualdad hay que
recurrir al concepto de límite de una sucesión tal como hemos hecho antes.
Veamos otro ejemplo en esta misma línea. Vamos a intentar calcular aproximaciones raciop
p
10 p
nales de 10. Si partimos inicialmente de un número x > 10, tendremos que
< 10 < x.
x
p
10
1
xC
. Entonces, en virtud de la desigualdad de las medias, 10 < y,
Pongamos y D
2
x
p
y como también y < x , deducimos que y está más cerca de 10 que x. Podemos ahora
p
repetir este proceso sustituyendo x por y obteniendo una nueva aproximación mejor de 10.
Nótese que si x es racional también lo será
que, partiendo de
y. Esto sugiere
un valorinicial,
1
10
10
1
por ejemplo x1 D 4, calculemos x2 D
x1 C
x2 C
, y después x3 D
, y así
2
x1
2
x2
podemos continuar tantas veces como queramos, obteniendo para cada n 2 N un número xn
tal que
10
1
xn C
xnC1 D
2
xn
con x1 D 4. Con una calculadora manual obtenemos enseguida los valores x2 D3; 25;
x3 D3; 1634615 I x4 D3; 1622779 con seis cifras decimales exactas:
p
x 2 10
x 2 10
0; 000005
1
<
< 6
10 D 4 p < 4
6
6
10
x4 C 10
p
p
es decir, x4 coincide con 10 hasta la sexta cifra decimal. De hecho, como xn > 10 tenemos
que:
p
p
p
p
10
1p
1
1
1
0 < xnC1
xn C
10 D
10 < xn C
10
10 D .xn
10/
2
xn
2
2
2
0 < x4
p
p
1
1
10 < n .x1
10/ < n , por tanto, dado cualquier
2
2
n0 < ", deducimos que para todo número natural n>n se
" > 0, y tomando np
0 2 N tal que 2
0
p
verifica que jxn
10 j < ", lo que simbólicamente se expresa escribiendo 10 D lKım fxn g.
de donde se sigue que 0 < xnC1
n!1
En los ejemplos anteriores hemos dado por supuesto que ya tienes cierta familiaridad con
los conceptos de “sucesión” y de “límite de una sucesión” de los cuales vamos a ocuparnos a
continuación con detalle.
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Sucesiones de números reales
327
7.2. Sucesiones de números reales
7.1 Definición. Sea A un conjunto no vacío. Una sucesión de elementos de A es una aplicación
del conjunto N de los números naturales en A. En particular, una sucesión de números reales
es una aplicación del conjunto N de los números naturales en el conjunto R de los números
reales.
Por ahora, solamente consideraremos sucesiones de números reales por lo que nos referiremos a ellas simplemente como “sucesiones”.
Notación. Dada una sucesión, ' W N ! R , suele emplearse una notación especial para representarla. Para n 2 N suele representarse el número real '.n/ en la forma xn D '.n/ (naturalmente la letra “x” nada tiene de especial y puede sustituirse por cualquier otra). La sucesión
misma se representa por ' D fxn gn2N , es decir, el símbolo fxn gn2N debe interpretarse como
la aplicación que a cada n 2 N hace corresponder el número real xn . Cuando no hay posibilidad
de confusión, escribimos simplemente fxn g en vez de fxn gn2N .
Conviene insistir en que fxn g es, por definición, la aplicación de N en R dada por n 7! xn .
~ No hay que confundir la sucesión fxn g, que es una aplicación, con su conjunto imagen, que es
el subconjunto de R formado por todos los números xn , el cual se representa por fxn W n 2 Ng.
Por ejemplo, f. 1/n g y f. 1/nC1 g son sucesiones distintas con el mismo conjunto imagen.
El número xn se llama término n-ésimo de la sucesión; para n D 1; 2; 3 se habla respectivamente de primero, segundo, tercer término de la sucesión. Una forma apropiada de considerar
una sucesión es como un vector con infinitas componentes (los términos de la sucesión), de
esta forma no te quedará duda de que las sucesiones f. 1/n g y f. 1/nC1 g son distintas pues se
corresponden con los vectores . 1; 1; 1; 1; : : : / y .1; 1; 1; 1; : : : /.
7.2.1. Sucesiones convergentes
7.2 Definición. Una sucesión fxn g se dice que converge a un número real x si, dado cualquier
número real " > 0, existe un número natural m" tal que si n es cualquier número natural mayor
o igual que m" se cumple que jxn xj < ". Simbólicamente:
8" > 0 9m" 2 N W n > m" ) jxn
xj < "
(7.1)
Se dice también que el número x es límite de la sucesión fxn g, y se escribe lKım fxn g D x o,
n!1
simplemente, lKımfxn g D x e incluso, si no hay posibilidad de confusión, fxn g ! x.
Teniendo en cuenta que la desigualdad jxn xj < " equivale a la doble desigualdad
x " < xn < x C " o, lo que es igual, xn 2x "; x C "Œ, la definición anterior lo que dice es
que fxn g converge a x cuando, dado cualquier intervalo abierto x "; x C "Œ, se verifica que
todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante están en dicho intervalo.
El número natural m" , cuya existencia se afirma en la definición anterior, cabe esperar que
dependa del número " > 0, lo que explica la notación empleada. Lo usual es que m" tenga que
ser tanto más grande cuanto más pequeño sea el número " > 0. Conviene observar que si p es
un número natural tal que p > m" , entonces para p, al igual que para m" , se verifica que si
n es cualquier número natural mayor o igual que p se cumple que jxn xj < ". Es decir, si
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Sucesiones convergentes
328
fxn g converge a x, entonces para cada " > 0 dado hay, de hecho, infinitos números naturales
m" para los que se satisface la condición 7.1.
La definición 7.2 es típica del Análisis pues en ella se está definiendo una igualdad, a saber,
lKımfxn gDx , en términos de desigualdades: jxn xj < " siempre que n>m" . Observa también
que, de la definición dada, se deduce enseguida que fxn g ! x es lo mismo que fxn xg ! 0.
Veamos con unos sencillos, pero importantes ejemplos, cómo se usa la definición 7.2 para
probar que una sucesión converge.
7.3 Ejemplo. La sucesión f1=ng es convergente a cero.
Para probarlo, dado " > 0, tenemos que encontrar un m 2 N tal que para todo n > m se
verifique que j1=n 0j D 1=n < ". Como 1=n 6 1=m siempre que n > m, bastará tomar como
número m cualquier natural que verifique que 1=m < ", es decir, m > 1=". Que, efectivamente,
hay números naturales, m, que verifican la condición m > 1=" cualquiera sea el número " > 0
dado, es justamente lo que dice la propiedad arquimediana (5.9) del orden de R. Pues bién,
cualquier m 2 N tal que m > 1=" nos sirve como apropiado m" , pero parece razonable tomar
el más pequeño de todos ellos que será la parte entera de 1=" más una unidad, es decir, m" D
E.1="/ C 1 . Hemos demostrado así que lKımf1=ng D 0.
7.4 Ejemplo. Dado un número real x 2
x, fx n g, converge a cero.
1; 1Œ, se verifica que la sucesión de las potencias de
En efecto, como jxj < 1 podemos escribir jxj en la forma jxj D 1=.1 C / para conveniente
> 0 (de hecho D 1 jxjjxj pero eso no interesa ahora). Dado " > 0, puesto que
1
1
1
6
<
n
.1 C /
1 C n
n
1
1
bastará tomar un m" tal que m
< ", por ejemplo, m" D E "
C 1, para garantizar que
"
jx n 0j < " siempre que n > m" .
jx n
0j D jxjn D
1; 1Œ, se verifica que la sucesión f1 C x C x 2 C C x n g, llamada
1
serie geométrica de razón x, converge a
.
1 x
En efecto, como
ˇ
ˇ
ˇ
1 ˇˇ jxjnC1
ˇ1 C x C x 2 C C x n
D
ˇ
1 xˇ
1 x
7.5 Ejemplo. Dado x 2
poniendo, igual que antes, jxj D 1=.1 C / para conveniente > 0, y teniendo en cuenta que
0 < 1 jxj 6 1 x, y el ejemplo anterior deducimos que:
ˇ
ˇ
ˇ
1 ˇˇ
1
1
jxj
ˇ1 C x C x 2 C C x n
jxjn D jxjn < 2
6
ˇ
1 x ˇ 1 jxj
n
por lo que, dado " > 0 para todo n > m" D E "12 C 1 se verifica que
ˇ
ˇ
ˇ
1 ˇˇ
ˇ1 C x C x 2 C C x n
< ":
ˇ
1 xˇ
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Sucesiones convergentes
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Si demostrar, aplicando la definición 7.2, que una sucesión dada es convergente puede
ser complicado, suele serlo todavía más probar, usando dicha definición, que una sucesión no
converge.
7.6 Ejemplo. La sucesión f. 1/n g no es convergente.
En efecto, sea x 2 R y definamos "x D mKaxfj1 xj=2; j1 C xj=2g. Claramente "x > 0.
Puesto que j. 1/2m xjD j1 xj, j. 1/2mC1 xjD j1C xj y alguno de estos números es
mayor que "x deducimos que, dado x 2 R, se verifica que existe un número "x > 0, tal que
cualquiera sea m 2 N se verifica que hay algún natural n, por ejemplo n D 2m o n D 2m C 1,
mayor que m y para el que no se verifica que j. 1/n xj < "x . Es decir, hemos probado que
f. 1/n g no converge a x. Puesto que en nuestro razonamiento x puede ser cualquier número
real concluimos, finalmente, que f. 1/n g no es convergente.
Conviene precisar algunas expresiones de uso frecuente al tratar con sucesiones.
Cuando se dice que una cierta propiedad se satisface por todos los términos de una sucesión fxn g a partir de uno en adelante, lo que se quiere decir es que existe m 2 N; tal
que para todo n > m el número xn satisface dicha propiedad.
Cuando se dice que una cierta propiedad se satisface por infinitos términos de una sucesión fxn g, lo que se quiere decir es que el conjunto de todos los números naturales n,
tales que xn satisface dicha propiedad, es infinito.
Cuando se dice que una cierta propiedad se satisface por un número finito de términos
de una sucesión fxn g, lo que se quiere decir es que el conjunto de todos los números
naturales n, tales que xn satisface dicha propiedad, es finito.
El siguiente resultado, muy sencillo, es también muy útil.
7.7 Proposición. Sea fxn g una sucesión y x un número real. Equivalen las siguientes afirmaciones:
i) fxn g converge a x.
ii) Para todo intervalo abierto I que contiene a x se verifica que todos los términos de la
sucesión fxn g a partir de uno en adelante están en I .
Demostración. Que ii) implica i) es consecuencia inmediata del comentario que sigue a la
definición 7.2. Probaremos que i) implica ii). Dado un intervalo abierto I tal que x 2 I , existirá
un número " > 0 (que dependerá del intervalo I ) tal que x "; x C "Œ I . Para dicho
" > 0 existe, por hipótesis, un número natural m tal que para todo n > m se verifica que
xn 2x "; x C "Œ y, por tanto, xn 2 I .
2
Observa que en la definición 7.2 no se exige que el límite sea único, por ello si fxn g converge a x es lícito preguntar si puede haber otro número real y distinto de x tal que fxn g también
converja a y. La respuesta es que no. En efecto, si fxn g ! x, dado y ¤ x, hay intervalos
abiertos I , J tales que x 2 I , y 2 J e I \ J D Ø (por ejemplo las semirrectas  ; xCy
2 Πy
xCy
 2 ; !Œ). Sabemos, por la proposición anterior, que todos los términos de fxn g a partir de
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Sucesiones convergentes y estructura de orden de R
330
uno en adelante están en I , por tanto sólo puede haber un número finito de términos en J .
Concluimos, en virtud de la misma proposición, que fxn g no converge a y. Hemos probado
que si fxn g es convergente, el número real lKımfxn g está determinado de manera única.
7.8 Proposición. Una sucesión convergente tiene un único límite.
Para estudiar la convergencia de una sucesión dada no suele ser lo más aconsejable usar, de
entrada, la definición 7.2. Es preferible intentar primero otros caminos. Generalmente lo que
suele hacerse en la práctica consiste en relacionar dicha sucesión con otras más sencillas o que
ya han sido previamente estudiadas y deducir de dicha relación si nuestra sucesión es o no es
convergente y, cuando lo sea, el valor de su límite. Por ello son de gran utilidad los resultados
que siguen en los que se estudia cómo se comportan las sucesiones convergentes respecto de
las estructuras algebraica y de orden de R.
7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden de R
La siguiente estrategia, útil para probar desigualdades, se usa con frecuencia.
7.9 Estrategia. Sean x e y números reales. Equivalen las siguientes afirmaciones:
a) x 6 y.
b) Para todo número z > y se verifica que x < z.
c) Para todo número " > 0, se verifica que x < y C ".
Demostración. Es evidente que a) ÷ b) ÷ c). Probemos que c) ÷ a). Supuesto que para
todo número " > 0, se verifica que x < y C " debe ocurrir que x 6 y pues, en otro caso, si
fuera y < x, tomando " D x y debería verificarse que x < y C " D y C .x y/ D x, esto
es, x < x lo que es contradictorio.
2
7.10 Proposición. Supongamos que lKımfxn g D x , lKımfyn g D y y que existe m 2 N tal que
para todo n > m se tiene que xn 6 yn . Entonces se verifica que x 6 y.
Demostración. Sea " > 0, probaremos que x < y C ". Por hipótesis existen números naturales
m1 y m2 tales que para todo p > m1 se tiene que x "=2 < xp < x C "=2 y todo q > m2
se tiene que y "=2 < yq < y C "=2. Tomando un número natural n > mKax fm; m1 ; m2 g, se
verifican las dos desigualdades anteriores y también la del enunciado, luego:
x
"=2 < xn 6 yn < y C "=2 ÷ x < y C ":
Como queríamos probar.
2
Respecto al resultado anterior, conviene advertir que aunque las desigualdades sean es~ trictas no puede asegurarse que lKımfxn g D x sea estrictamente menor que lKımfyn g D y. Por
ejemplo, si xn D 0 e yn D1=n, es claro que xn < yn para todo n 2 N pero x D 0 D y.
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Sucesiones monótonas
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7.11 Proposición (Principio de las sucesiones encajadas). Supongamos que fxn g, fyn g, fzn g
son sucesiones tales que lKımfxn g D lKımfzn g D ’ y existe un número natural m0 tal que para
todo n>m0 se verifica que xn 6yn 6zn , entonces la sucesión fyn g es convergente y lKımfyn gD’.
Demostración. Sea " > 0. Por hipótesis existen m1 ; m2 tales que para todo p > m1 y todo
q > m2
’ " < xp < ’ C "
y
’ " < zq < ’ C "
(7.2)
Sea m3 DmKaxfm0 ; m1 ; m2 g. Para todo n>m3 las desigualdades (7.2) se cumplen para pDqDn.
Además como n > m0 se tiene que xn 6 yn 6 zn . Deducimos que, para todo n > m3 se verifica
que:
’ " < xn 6 yn 6 zn < ’ C ";
y, por tanto, ’
" < yn < ’ C ". Hemos probado así que lKımfyn g D ’.
2
Una consecuencia inmediata de este resultado es que si cambiamos arbitrariamente un número finito de términos de una sucesión, la nueva sucesión así obtenida es convergente si lo era
la de partida y con su mismo límite. Esto es lo que dice el siguiente resultado.
7.12 Corolario. Sean fxn g e fyn g sucesiones cuyos términos son iguales a partir de uno en
adelante, es decir, hay un número natural m0 tal que para todo n > m0 es xn D yn . Entonces
fxn g converge si, y sólo si, fyn g converge en cuyo caso las dos sucesiones tienen igual límite.
El principio de las sucesiones encajadas es de gran utilidad y se usa con mucha frecuencia.
Naturalmente, cuando apliquemos dicho principio a un caso concreto, la sucesión fyn g del
enunciado será la que queremos estudiar y tendremos que ser capaces de “inventarnos” las
sucesiones fxn g y fzn g de manera que se cumplan las condiciones del enunciado. Veamos un
ejemplo.
p
7.13 Ejemplo. La sucesión f n ng es convergente a 1.
p
Pongamos yn D n n. La elección de fxn g es inmediata: xn D 1. Un poco más difícil es la
elección de fzn g. Para ello apliquemos la desigualdad de las medias a los números x1 D x2 D
p
D xn 2 D 1; xn 1 D xn D n para obtener que para todo n > 2 es:
p
p
2
n 2C2 n
n
<1C p :
(7.3)
n6
n
n
2
Por tanto tomando zn D 1 C p , es inmediato que lKımfzn g D 1 y concluimos, por el principio
n
p
de las sucesiones encajadas, que lKımf n ng D 1.
7.2.3. Sucesiones monótonas
7.14 Definición. Una sucesión fxn g se dice que es:
Mayorada o acotada superiormente si su conjunto imagen está mayorado, es decir, si hay un
número 2 R tal que xn 6 para todo n 2 N.
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Sucesiones monótonas
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Minorada o acotada inferiormente si su conjunto imagen está minorado, es decir, si hay un
número 2 R tal que 6 xn para todo n 2 N.
Acotada si su conjunto imagen está mayorado y minorado, equivalentemente, si hay un número
M 2 RC tal que jxn j 6 M para todo n 2 N.
Creciente si xn 6 xnC1 para todo n 2 N.
Estrictamente creciente si xn < xnC1 para todo n 2 N.
Decreciente si xn > xnC1 para todo n 2 N.
Estrictamente decreciente si xn > xnC1 para todo n 2 N.
Monótona si es creciente o decreciente.
Estrictamente monótona si es estrictamente creciente o decreciente.
Observa que si una sucesión fxn g es creciente (resp. decreciente) entonces se verifica que
xm 6 xn (resp. xm > xn ) siempre que m 6 n.
Conviene advertir que cuando se dice que una sucesión es monótona no se excluye la posibilidad de que, de hecho, sea estrictamente monótona. Es por ello que, en general, suele
hablarse de sucesiones monótonas y tan sólo cuando tiene algún interés particular se precisa si
son estrictamente monótonas.
7.15 Proposición. Toda sucesión convergente está acotada.
Demostración. Supongamos que lKımfxn g D x. Todos los términos de fxn g a partir de uno en
adelante estarán en el intervalo x 1; x C 1Œ, es decir, hay un número m 2 N tal que para
todo n > m se verifica que jxn xj < 1, lo que implica que
jxnj 6 jxn
xj C jxj < 1 C jxj
para todo n > m.
Tomando M D mKaxf1Cjxj; jx1 j; ; jxm jg, tenemos que jxn j 6 M para todo n 2 N.
2
La proposición anterior es útil a veces para probar que una sucesión no es convergente:
para ello basta probar que no está acotada.
7.16 Ejemplo. La sucesión fHn g definida para todo n 2 N por:
Hn D
no es convergente.
n
X
1
kD1
k
D1C
1
1
1
C C C
2
3
n
Para todo n 2 N tenemos que:
2n
X
1
1
1
1 1
1 1 1 1
1
D 1C C C C C C C C C n
C C n >
k
2
3 4
5 6 7 8
2
1
2
kD1
1 1
1
n
1
1 1 1 1
1
(7.4)
> 1C C C C C C C C C n C C n D1C
2
4 4
8 8 8 8
2
2
2
˚Pn
de donde se deduce que la sucesión
kD1 1=k no está mayorada. Esta sucesión recibe el
nombre de serie armónica.
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Sucesiones monótonas
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La proposición recíproca de la anterior no es cierta: la sucesión f. 1/n g es acotada y no es
convergente. No obstante, hay un caso especial muy importante en que sí es cierta la recíproca.
7.17 Teorema. Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Más concretamente, si una
sucesión fxn g es:
i) Creciente y mayorada, entonces lKımfxn g D ˇ, donde ˇ D supfxn W n 2 Ng.
ii) Decreciente y minorada, entonces lKımfxn g D ˛, donde ˛ D Kınffxn W n 2 Ng.
Demostración. Probaremos i/ quedando la demostración de i i/ como ejercicio. La hipótesis de
que fxn g es mayorada garantiza, en virtud del principio del supremo, la existencia del número
real ˇ D supfxn W n 2 Ng. Dado " > 0, tiene que existir un término xm de la sucesión tal que
ˇ " < xm . Puesto que la sucesión es creciente para todo n > m se verificará que xm 6 xn , y
por tanto ˇ " < xn . En consecuencia ˇ " < xn < ˇ C " para todo n > m. Hemos probado
así que lKımfxn g D ˇ.
2
2n
X
1
, es convergente.
7.18 Ejemplo. La sucesión fxn g definida por xn D
k
kDnC1
En efecto, como
xnC1
xn D
1
1
C
2n C 2 2n C 1
1
1
1
>
C
n C 1 2n C 2 2n C 2
1
D0
nC1
se sigue que xnC1 > xn para todo n 2 N, es decir, es una sucesión creciente. Además
xn 6
1
1
n
.n
C C
D
<1
nC1
nC1 nC1
por lo que también está mayorada. Concluimos, por el teorema anterior, que dicha sucesión es
convergente.
7.2.3.1.
El número e
1 n
es creciente y que la
En el ejercicio 30 hemos probado que la sucesión xn D 1 C
n
nC1
1
sucesión yn D 1 C
es decreciente. Como 0 < yn , se sigue que fyn g es convergente.
n
Puesto que
1 1
n
x n D yn 1 C
D yn
n
nC1
se sigue que fxn g también es convergente y lKımfxn g D lKımfyn g. El valor común de este límite
es un número real que se representa con el símbolo e. Como consecuencia del teorema 7.17, se
verifica que:
(
)
1 mC1
1 n
W n 2 N D Kınf
1C
W m2N
e D sup 1 C
n
m
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Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R
334
En particular, para todos n; m 2 N se verifica que:
1 mC1
1 n
<e< 1C
1C
n
m
(7.5)
7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R
En los resultados anteriores han intervenido de manera esencial las propiedades de la estructura de orden de R. Vamos a estudiar ahora el comportamiento de las sucesiones convergentes respecto de la adición y el producto de números reales. Los resultados que vamos a
obtener, conocidos tradicionalmente con el nombre de álgebra de límites, son básicos para el
estudio de la convergencia de sucesiones.
Dadas dos sucesiones fxn g e fyn g, se define su suma como la sucesión fxn C yn g y su
producto como la sucesión fxn yn g.
7.19 Proposición. El producto de una sucesión convergente a cero por una sucesión acotada
es una sucesión convergente a cero.
Demostración. Sea lKımfxn g D 0, e fyn g acotada. Sea c > 0 tal que jyn j6c para todo n 2 N.
Dado " > 0, existe un número natural m tal que para todo n> m se verifica que jxn j < "=c.
"
Deducimos que, para todo n>m, se verifica que jxn yn j D jxn jjyn j < c D ", lo que prueba
c
que lKımfxn yn g D 0.
2
7.20 Proposición (Álgebra de límites). Supongamos que lKımfxn gDx y lKımfyn gDy. Entonces
se verifica que:
lKımfxn C yn g D x C y; lKımfxn yn g D xy :
Si además suponemos que y ¤ 0, entonces lKımfxn =yn g D x=y.
Demostración. Dado " > 0, por hipótesis existen m1 ; m2 tales que
x
"=2 < xp < x C "=2
y
y
"=2 < yq < y C "=2
(7.6)
para todo p > m1 y todo q > m2 . Sea m0 D mKaxfm1 ; m2 g. Para todo n > m0 las desigualdades (7.6) se cumplen para pDqD n, por lo que, sumándolas término a término, deducimos que
x Cy " < xn Cyn < x Cy C" cualquiera sea n>m0 , lo que prueba que lKımfxnCyn gDx Cy.
Teniendo en cuenta que, por las proposiciones 7.15 y 7.19, se verifica que lKımf.xn x/yn gD
lKımfx.yn y/g D 0, y la igualdad
xn yn
deducimos que lKımfxn yn
xy D .xn
x/yn C x.yn
y/
xyg D 0, es decir, lKımfxn yn g D xy.
Finalmente, para probar que lKımfxn =yn g D x=y, probaremos que la sucesión
xn x
x n y yn x
D
yn y
yn y
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Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass
335
converge a cero, para lo cual, teniendo en cuenta que lKımfxn y yn xg D xy yx D 0, bastará probar que la sucesión f1=yn g está acotada. Puesto que lKımfyn g D y, se deduce de la
desigualdad
jjyn j jyjj 6 jyn yj
que lKımfjyn jg D jyj. Existirá, por tanto, un número m0 2 N tal que para todo n > m0 es
jyn j > jyj=2. Pongamos
2
1
1
1
;
;
;:::;
:
K D mKax
jy1 j jy2 j
jym0 j jyj
1
6 K para todo n 2 N. Hemos probado así que la sucesión f1=yn g
jyn j
está acotada, lo que concluye la demostración del teorema.
2
Se tiene entonces que
7.21 Observación. Hay que leer con atención las hipótesis del teorema anterior para no hacer
un uso incorrecto del mismo. En particular, no hay que olvidar que la suma de dos sucesio~ nes no convergentes puede ser una sucesión convergente. Por ejemplo, las sucesiones xn Dn,
ynD n, no son convergentes pues no están acotadas, pero su suma xnCynD0 es, evidentemente, convergente. Por tanto, antes de escribir lKımfxnCyn gDlKımfxn gClKımfyn g, hay que asegurarse
de que estos últimos límites existen, es decir, que las sucesiones fxn g, fyn g convergen, pues
pudiera ocurrir que la sucesión fxn Cyn g fuera convergente y no lo fueran las sucesiones fxn g,
fyn g. Análogamente, basta considerar las sucesiones xn Dyn D. 1/n , para convencerse de que
el producto de dos sucesiones no convergentes puede ser una sucesión convergente y, en consecuencia, antes de descomponer una sucesión como producto de otras dos, debes asegurarte
de que estas sucesiones convergen.
7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass
7.22 Definición. Sea fxn g una sucesión de números reales; dada una aplicación WN ! N
estrictamente creciente, la sucesión que a cada número natural n hace corresponder el número
real x .n/ se representa por fx .n/g y se dice que es una sucesión parcial o una subsucesión
de fxn g. Observa que fx .n/g no es otra cosa que la composición de las aplicaciones fxn g y ,
esto es, fx .n/g D fxn g ı .
Se dice que un número real x es un valor de adherencia de la sucesión fxn g si hay alguna
sucesión parcial de fxn g que converge a x.
7.23 Ejemplo. Sea, como de costumbre, E.x/ el mayor entero menor o igual que x. La sucesión fxn g dada por xn D n=5 E.n=5/ para todo n 2 N, tiene a 0; 1=5; 2=5; 3=5 y 4=5, como
valores de adherencia.
En efecto, basta considerar que para cada j 2 f0; 1; 2; 3; 4g, la sucesión parcial fx5n
viene dada por x5n D 0, para j D 0, y x5n j D 1 j =5 para j D 1; 2; 3; 4.
j gn2N
Es fácil probar por inducción que si es una aplicación estrictamente creciente de N en N
entonces se verifica que .n/ > n para todo n 2 N.
Sea lKımfxn g D x, y fx .n/g una sucesión parcial de fxn g. Dado " > 0, existe m0 2 N tal
que para todo n>m0 se verifica que jxn xj < ". Puesto que .n/>n, deducimos que para
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Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass
todo n>m0 se tiene .n/>m0 , y por tanto, jx .n/
resultado.
336
xj < ". Hemos probado así el siguiente
7.24 Proposición. Si lKımfxn g D x, toda sucesión parcial de fxn g también converge a x. En
particular, una sucesión convergente tiene como único valor de adherencia su límite.
7.25 Estrategia. Como consecuencia de la proposición anterior, para probar que una sucesión
no converge, es suficiente probar que tiene alguna sucesión parcial no convergente o que tiene
dos sucesiones parciales que convergen a límites diferentes.
Por ejemplo, para la sucesión xn D . 1/n se tiene que x2n D 1 y x2n
dicha sucesión no es convergente.
1
D 1. Por tanto
Observa que hay sucesiones, la de los números naturales por ejemplo, que no tienen ningún
valor de adherencia. También puede ocurrir que una sucesión tenga un único valor de adherencia y no sea convergente. Por ejemplo, la sucesión dada por xn D .1C . 1/n /n C 1=n para
todo n 2 N, no es convergente y tiene a 0 como único valor de adherencia. Vamos a ver a
continuación que estos comportamientos no pueden darse con sucesiones acotadas.
7.26 Lema. Toda sucesión tiene una sucesión parcial monótona.
Demostración. Sea fxn g una sucesión y definamos
A D fn 2 N W xn > xp para todo p > ng
Podemos visualizar el conjunto A como sigue. Consideremos en el plano los segmentos de
extremos .n; xn / y .n C 1; xnC1 /, n D 1; 2; 3; : : :
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Figura 7.1. Puntos de sol y de sombra
Resulta así una línea poligonal infinita y podemos imaginar que dicha línea es el perfil de
una cordillera cuyas cumbres y valles son los puntos .n; xn /. Imaginemos ahora que los rayos
de luz del Sol, paralelos al eje de abscisas, iluminan dicha cordillera por el lado derecho (el Sol
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Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass
337
estaría, pues, situado en el infinito del eje de abscisas positivo). Pues bien, un número natural
n pertenece al conjunto A si el punto .n; xn / está iluminado y no pertenece a A si dicho punto
está en sombra.
Supongamos que A es infinito. Entonces podemos definir una aplicación W N ! N
estrictamente creciente y tal que .N/ D A de la siguiente forma:
.1/ D mKın.A/
.n C 1/ D mKınfp 2 A W .n/ < pg para todo n 2 N
es decir la aplicación va eligiendo los elementos de A de menor a mayor empezando por el
primero. Resulta ahora evidente que la sucesión parcial fx .n/g es decreciente, porque todos
los puntos . .n/; x .n/ / están iluminados y, por tanto, ninguno de ellos puede hacerle sombra
a uno anterior.
Si A es finito podemos suponer que ADØ. En tal caso, para todo n 2 N hay algún p > n tal
que xn < xp (pues todo punto .n; xn / está en sombra). Podemos definir ahora una aplicación
W N ! N estrictamente creciente de la siguiente forma:
.1/ D 1
.n C 1/ D mKınfp 2 N W .n/ < p y x .n/ < xp g para todo n 2 N
Es evidente que la sucesión parcial fx .n/g es creciente, pues cada punto . .n/; x .n/ / deja en
la sombra al anterior.
2
El siguiente resultado es uno de los más importantes en la teoría de sucesiones de números
reales.
7.27 Teorema (Teorema de Bolzano - Weierstrass). Toda sucesión acotada de números reales
tiene alguna sucesión parcial convergente.
Demostración. Sea fxn g una sucesión acotada. En virtud el lema anterior, hay una sucesión
parcial de fxn g que es monótona, dicha sucesión parcial está acotada por estarlo fxn g y, por
tanto, es convergente.
2
Si volvemos a leer la definición de sucesión convergente, parece que para estudiar la convergencia de una sucesión fxn g debemos ser capaces de “adivinar”, de alguna manera, su posible
límite. De hecho, una idea bastante extendida consiste en pensar que es lo mismo probar la
convergencia de una sucesión que calcular su límite. Esto no es del todo correcto; son relativamente pocas las sucesiones convergentes cuyo límite puede efectivamente calcularse. Cuando
se estudia la convergencia de una sucesión fxn g, la mayoría de las veces, lo que conocemos es,
justamente, la sucesión y, naturalmente, se desconoce su posible límite el cual pudiera, incluso,
no existir. Por ello interesa tener criterios de convergencia intrínsecos a la sucesión, es decir,
que no hagan intervenir a un objeto en principio extraño a ella como es su posible límite. Conocemos ya un criterio de convergencia intrínseco para sucesiones monótonas. Usando dicho
criterio hemos probado en el ejemplo 7.18 la convergencia de una sucesión sin necesidad de
conocer su límite.
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Condición de Cauchy. Teorema de completitud de R
338
7.2.6. Condición de Cauchy. Teorema de completitud de R
A continuación vamos a establecer un criterio intrínseco de convergencia para sucesiones
que es más general pues puede aplicarse a cualquier sucesión. Este criterio fué formulado
por Bolzano en 1817 y también, independientemente, por Cauchy en 1821, y establece una
condición necesaria y suficiente para la convergencia de una sucesión. Dicha condición se
conoce con el nombre de condición de Cauchy.
7.28 Definición. Se dice que una sucesión fxn g satisface la condición de Cauchy, si para cada
número positivo, " > 0, existe un número natural m" , tal que para todos p; q 2 N con p>m" y
q>m" se verifica que jxp xq j < ".
7.29 Teorema (Teorema de completitud de R). Una sucesión de números reales es convergente si, y sólo si, verifica la condición de Cauchy.
Demostración. Supongamos que fxn g verifica la condición de Cauchy. Probemos primero que
fxn g está acotada. La condición de Cauchy implica que hay m0 2 N tal que jxp xm0j < 1
para todo p > m0 , y como jxp j 6 jxp xm0j C jxm0j, deducimos que jxp j < 1 C jxm0j para
p > m0 . En consecuencia si definimos M D mKaxfjx1 j; jx2 j; : : : ; jxm0j; 1Cjxm0jg, obtenemos
que jxn j 6 M para todo n 2 N.
El teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza que hay un número real x y una sucesión
parcial fx .n/g que converge a x. Probaremos que fxn g también converge a x. Dado " > 0,
existe no 2 N tal que jxp xq j < "=2 siempre que p; q > no . También existe n1 2 N tal que
jx .n/ xj < "=2 siempre que n > n1 . Sea m D mKaxfno ; n1 g. Para todo n > m se tiene que
.n/ > n > m por lo que
jxn
xj 6 jxn
x .n/ j C jx .n/
xj <
"
"
C D"
2
2
lo que prueba que lKım fxn g D x.
n!1
Recíprocamente, si fxn g es convergente y lKımfxn g Dx, dado " > 0, hay un número m" 2 N
tal que para todo número natural n > m" se tiene que jxn xj < "=2. Deducimos que si p; q
son números naturales mayores o iguales que m" entonces
jxp
xq j 6 jxp
xj C jx
xq j < "=2 C "=2 D ":
Por tanto la sucesión fxn g verifica la condición de Cauchy.
2
7.30 Observación. La condición de Cauchy para sucesiones dada en la definición 7.28, puede
también expresarse de una manera equivalente, aunque formalmente distinta, como sigue.
Una sucesión fxn g satisface la condición de Cauchy, si para cada número positivo, " > 0,
existe un número natural m" , tal que para todo p>m" y para todo número natural h, se verifica
que jxpCh xp j < ".
Equivalentemente, una sucesión fxn g verifica la condición de Cauchy si, y sólo si, la sucesión fn g dada para todo n 2 N por:
n D supfjxnCh
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xn j W h 2 Ng
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Límites superior e inferior de una sucesión
339
converge a cero.
Puesto que, evidentemente, para cada h 2 N se tiene que jxnCh xn j 6 n para todo
n 2 N, si fxn g satisface la condición de Cauchy entonces se verifica que lKım fxnCh xn g D 0
n!1
~ para cada h 2 N. Es importante observar que una sucesión fxn g puede verificar esta última
condición y no ser convergente, es decir, no satisfacer la condición de Cauchy. Un
Pnejemplo
de ello lo proporciona la serie armónica, esto es, la sucesión fHn g dada por Hn D kD1 1=k.
Hemos visto en el ejemplo 7.16 que dicha sucesión no es convergente y, por tanto, no verifica
la condición de Cauchy. Sin embargo, fijado un número natural h 2 N, tenemos que
0 < HnCh
y, como lKım
n!1
n o
h
n
Hn D
1
1
C
nCh
nCh
D 0, deducimos que lKım fHnCh
n!1
Observa que si hacemos h D 22.mCn/
dad 7.4, H2p > 1 C p=2, tenemos:
HnCh
Hn D H22.mCn/
C C
1
h
<
nC1
n
Hn g D 0.
n entonces, como consecuencia de la desigual-
Hn > H22.mCn/
lo que prueba que el conjunto fHnCh
n 2 N.
1
n>1CmCn
nDmC1
Hn W h 2 Ng ni siquiera está mayorado para ningún
7.2.7. Límites superior e inferior de una sucesión
Acabaremos esta parte del capítulo, esencialmente teórica, introduciendo dos conceptos,
que también tienen un interés principalmente teórico, que usaremos más adelante para formular
algunos criterios de convergencia para series.
Sea fxn g una sucesión acotada y definamos para cada n 2 N:
An Dfxp Wp>ng D fxn ; xnC1 ; xnC2 ; : : :g
El conjunto An está formado por todos los términos de la sucesión a partir del que ocupa el
lugar n-ésimo. Como An A1 y, por hipótesis, A1 es un conjunto acotado, An también está
acotado. Pongamos
˛n D Kınf.An/;
ˇn D sup.An/:
Como AnC1 An se tiene que ˛n 6 ˛nC1 , ˇnC1 6 ˇn . Por tanto la sucesión f˛n g es creciente
y fˇn g es decreciente. Además ˛1 6 ˛n 6 ˇn 6 ˇ1 , para todo n 2 N y, por el teorema 7.17,
concluimos que ambas sucesiones son convergentes. El número ˛ D lKımf˛n g se llama límite
inferior de la sucesión fxn g y se representa por lKım inffxn g y también lKımfxn g. El número
ˇ D lKımfˇn g se llama límite superior de la sucesión fxn g y se representa por lKım supfxn g y
también por lKımfxn g. Nótese que ˛6ˇ y además ˛ y ˇ vienen dados por ˛ D supf˛n Wn 2 Ng,
ˇ D Kınffˇn Wn 2 Ng.
7.31 Teorema. Una sucesión acotada es convergente si, y sólo si, su límite superior y su límite
inferior son iguales, en cuyo caso ambos coinciden con el límite de la sucesión.
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Ejercicios propuestos
340
Demostración. Sea fxn g acotada, ˛ D lKım inffxn g; ˇ D lKım supfxn g. Supongamos que fxn g
es convergente con lKımfxn g D x. Dado " > 0, existe m0 2 N tal que para todo p > m0 es
x "=2 < xp < x C "=2. Por tanto x "=2 es un minorante de Am0 D fxp W p > m0g y, en
consecuencia, x "=2 6 ˛m0 . También, por análogas razones, ˇm0 6 x C "=2. Como además
˛m0 6 ˛ 6 ˇ 6 ˇm0 , resulta que:
x
"=26˛m0 6 ˛ 6 ˇ 6 ˇm0 6 x C "=2:
(7.7)
De donde se sigue que ˇ ˛ 6". Hemos probado que para todo " > 0 es ˇ 6˛ C" lo que, como
ya sabemos, implica que ˇ6˛ y, en consecuencia ˛Dˇ. Deducimos ahora de las desigualdades
(7.7) que, para todo " > 0, x "=2 6 ˛ D ˇ 6 x C "=2 y, por tanto, x 6 ˛ D ˇ 6 x, o sea,
x D ˛ D ˇ.
Recíprocamente, supongamos que ˛ D ˇ. Dado " > 0, todos los términos de cada una de
las sucesiones f˛n g y fˇn g estarán en el intervalo ˛ "; ˛ C "ŒDˇ "; ˇ C "Œ a partir de uno
de adelante. Luego ˛ " < ˛m0 6 ˇm0 < ˛ C " para algún m0 2 N. Puesto que para n>m0
se verifica que ˛m0 6 xn 6 ˇm0 , concluimos que ˛ " < xn < ˛ C " para todo n>m0 . Hemos
probado así que fxn g es convergente y lKımfxn g D ˛ D ˇ.
2
7.2.8. Ejercicios propuestos
312. Dado " > 0, calcula m" 2 N tal que para todo n>m" se verifique jxn
xn , x vienen dados en cada caso por:
xj < " donde
p
p
2n C 3
2
3
; xD I
b/ xn D n C 1 3 n ; x D 0
3n 50
3
p
1 n
n
c/ xn D a .a > 0/; x D 1I
d / xn D p
; xD0
2
p
p
n
n C 1 n n ; x D 0I f / xn D n2 an .jaj < 1/; x D 0
e/ xn D n
a/ xn D
Sugerencia. Como consecuencia del binomio de Newton, para x 1 > 0 se verifica que
x n D.1C.x 1//n >1Cn.x 1/. Esta desigualdad, convenientemente usada, permite
resolver con facilidad los casos b), c), d) y e).
313. Sea A un conjunto no vacío y mayorado de números reales. Prueba que un número real,
ˇ, es el supremo de A si, y sólo si, ˇ es un mayorante de A y hay alguna sucesión de
puntos de A que converge a ˇ.
314. Supuesto que lKımfxn gDx, prueba que el conjunto ADfxn Wn 2 Ng[fxg tiene máximo y
mínimo.
315.
a) Sea fxn g una sucesión y supongamos que hay números 20; 1Œ; p 2 N, tales que
para todo n > p es jxnC1 j 6 jxn j . Prueba que lKımfxn g D 0.
jxnC1 j
b) Sea fxn g una sucesión de números no nulos verificando que lKım
D , donde
jxn j
0 6 < 1. Prueba que lKımfxn g D 0.
Aplicación. Dados a 2
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1; 1Œ; k 2 N, prueba que lKım fnk an g D 0.
n!1
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Ejercicios propuestos
341
316. Estudia la convergencia de las sucesiones siguientes.
2n C . 1/n .n C 2/
1 C . 1/n n
b/ xn D n
a/ xn D
3
7n C3n
p
1
C
n
n
c/ xn D n2
d / xn D an C b n .a > 0; b > 0/
3n
n
X
1
xn
.x 2 R/
e/ xn D
f / xn D
p
n!
k C n2
kD1
p
p
p
p p
g/ xn D n2 C 3n C 2
n h/ xn D n2 C n n
n C 1 C 2n
Sugerencia. En algunos casos puede usarse el principio de las sucesiones encajadas o el
ejercicio anterior.
317. Sea xn D
1 3 5 .2n 1/
1
. Prueba que xn < p
. Deduce que lKımfxn g D 0.
2 4 6 2n
2n C 1
Sugerencia. Relaciona
k
kC1
con
kC1
.
kC2
p
1 C an
318. Supongamos que fan g ! 0. Justifica, usando derivadas, que lKım
an
1
1
D .
2
319. Sean a0 ; a1 ; : : : ; ap números reales cuya suma es igual a cero. Justifica que
n p
o
p
p
p
lKım a0 n C a1 n C 1 C a2 n C 2 C C ap n C p D 0
n!1
Sugerencia. Saca factor común
p
n, resta a0 C a1 C C ap y usa el ejercicio anterior.
320. Estudia la convergencia de la sucesión:
p
xn D 2 n
n
X
kD1
1
p
k
321. Prueba que la sucesión dada por x1 D 0 y para n > 2:
xn D log.log n/
n
X
kD2
1
k log k
es convergente y su límite es menor o igual que log.log 2/.
322. Dados 0 < a1 < b1 , definamos para todo n 2 N:
p
an C bn
; anC1 D an bn :
2
Justifica que las sucesiones así definidas son monótonas y convergen al mismo número
(que se llama media aritmético-geométrica de a1 y b1 ).
bnC1 D
323. Dados 0 < a1 < b1 , definamos para todo n 2 N:
bnC1 D
an C bn
2an bn
:
; anC1 D
2
an C bn
Justifica que las sucesiones así definidas son monótonas y convergen al mismo número
(que se llama media aritmético-armónica de a1 y b1 ).
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Ejercicios propuestos
342
324. Dados a; b 2 R con 0 < a < b, definamos:
a1 D a; a2 D b;
anC2 D
2anC1 an
:
anC1 C an
a) Prueba que las sucesiones fa2n g y fa2n 1 g son monótonas.
b a
b) Prueba que ja2n a2n 1 j 6 n 1 .
2
c) Justifica que fan g converge y calcula su límite.
325. Estudia la convergencia de las siguientes sucesiones.
p
a) x1 D 1, xnC1 D 3xn .
3 C 3xn
.
b) x1 D 3, xnC1 D
3 C xn
4 C 3xn
.
c) x1 D 1, xnC1 D
3 C 2xn
xn 2
.
2; 1Œ, definimos x1 D a, xnC1 D
xn C 4
p
p
Dado a > 0, definimos x1 D a, xnC1 D a C xn .
1
.
x1 D 0, xnC1 D
3 xn2
a
1
2xn C 2 .
Dado a > 0 y a ¤ 1, definimos x1 D a, xnC1 D
3
xn
1
Dado a 2 R, definimos x1 D a, xnC1 D C .xn /2 .
4
Dado a 2 2; 1Œ, definimos x1 D a, 3xnC1 D 2 C .xn /3 .
d) Dado a 2
e)
f)
g)
h)
i)
Sugerencia. Estudia en cada caso monotonía y acotación. La convergencia puede depender del valor inicial de a.
326. Para cada n 2 N sea
1
1
xn D1C C C
2
n
log.n/;
yn D xn
1
:
n
Prueba que fxn g es estrictamente decreciente e fyn g es estrictamente creciente. Deduce
que ambas sucesiones convergen a un mismo número. Dicho número se llama la constante de Euler, se representa por la letra griega ”.
1 C 1=2 C C 1=n
D 1.
n!1
log.n/
1
1
1
C
C C
D log 2:
b) Justifica que lKım
n!1 n C 1
nC2
2n
(
)
1
1 1
. 1/nC1
c) Justifica que lKım 1
C
C C
D log 2:
n!1
2
3 4
n
a) Deduce que lKım
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Ejercicios propuestos
343
327. Sea fxn g una sucesión y supongamos que hay dos sucesiones parciales fx .n/g y fxs.n/ g
que convergen a un mismo número x y tales que .N/ [ s.N/ D N. Prueba que fxn g
converge a x.
328. Sea fxn g una sucesión tal que las sucesiones parciales fx2n g, fx2n
vergentes. Prueba que fxn g es convergente.
1g
y fx3n g, son con-
329. ¿Puede existir alguna sucesión acotada, fxn g, verificando que jxn
que n ¤ m? Razona tu respuesta.
xm j>10
75
siempre
330. Sea fxn g una sucesión de números reales y supongamos que hay números 20; 1Œ,
M > 0 y p 2 N tales que jxnC1 xn j 6 Mn para todo n > p. Prueba que fxn g es
convergente.
Sugerencia. Teniendo en cuenta que para todos n; h 2 N se verifica que:
nCh
1
C nCh
2
C C n <
n
1
deduce que fxn g verifica la condición de Cauchy.
331. Sea fxn g una sucesión de números reales y supongamos que existen 20; 1Œ; p 2 N,
tales que jxnC1 xn j 6 jxn xn 1 j para todo n > p. Prueba que fxn g es convergente.
Sugerencia. Justifica que jxnC1
de n.
xn j 6 Mn donde M es una constante independiente
332. Sea I un intervalo cerrado (puede ser I D R); f W I ! R una función, y supongamos
que hay un número ˛ 20; 1Œ tal que:
jf .x/
f .y/j 6 ˛jx
yj;
para todos x; y en I :
(7.8)
Se dice entonces que f es una función contractiva en I . Supongamos además que
f .x/ 2 I para todo x 2 I . Dado un punto a 2 I , definamos fxn g por x1 D a; y xnC1 D
f .xn / para todo n 2 N.
a) Prueba que fxn g converge a un punto x 2 I que es el único punto fijo de f , es decir,
f .x/ D x.
b) Justifica que si la función f es derivable en I y se verifica que hay un número ˛ 20; 1Œ
tal que jf 0 .x/j 6 ˛ para todo x 2 I , entonces f es contractiva en I .
333. Estudia la convergencia de las sucesiones definidas para todo n 2 N por:
a/ x1 D 1; xnC1 D
1
I
1 C xn
b/ x1 D
p
2; xnC1 D
p
2
xn :
334. Supongamos que la ecuación x 2 D bx C a tiene dos raíces reales distintas ˛ y ˇ. Dados
dos números reales y , definamos fxn g por:
x1 D C ; x2 D ˛ C ˇ; xnC2 D bxnC1 C axn
Prueba que xn D ˛ n
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1
C ˇn
1
para todo n 2 N.
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Ejercicios propuestos
344
Aplicaciones. i) La sucesión fxn g definida para todo n 2 N por:
x1 D x2 D 1; xnC2 D xnC1 C xn
se llama sucesión de Fibonacci. Calcula explícitamente xn .
ii) Estudia la convergencia de la sucesión definida para todo n 2 N por:
1
x1 D a; x2 D b; xnC2 D .xnC1 C xn /:
2
iii) Dados a; b 2 RC , estudia la convergencia de la sucesión definida por:
a1 D a; a2 D b;
xnC2 D
p
xnC1 xn :
335. Prueba que para todo n 2 N se verifica la desigualdad
.n C 1/n
.n C 1/nC1
< en <
:
n!
n!
Sugerencia. Recuerda la definición del número e.
336. a) Prueba que la sucesión fun g definida para todo n 2 N por:
2
3
n
1
1C 2
1 C 2 1 C 2
un D 1 C 2
n
n
n
n
es convergente.
b) Justifica que para todo x > 0 se verifica que:
x
x2
6 log.1 C x/ 6 x:
2
c) Utiliza dicha desigualdad para calcular lKım fun g.
n!1
337. a) Justifica, para x >
1, la desigualdad
p
x
< 1Cx
2Cx
1<
b) Usa dicha desigualdad para calcular el límite de la sucesión xn D
x
.
2
r
n
X
kD1
338. Dado 0 < < 1, estudia la convergencia de la sucesión un D
Sugerencia. La desigualdad de las medias puede ser útil.
339. Sea xn D 1 C . 1/n C . 1/n
sup.A/ e Kınf.A/.
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n
Y
k
1C 2
n
!
1 .
.1 C k /.
kD1
1
y A D fxn W n 2 Ng. Calcula lKım supfxn g, lKım inffxn g,
n
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Ejercicios resueltos
345
7.2.9. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 152 Dado " > 0, calcula m" 2 N tal que para todo n > m" se verifique
jxn xj < " donde xn , x vienen dados en cada caso por:
p
p
2n C 3
2
3
; xD I
b/ xn D n C 1 3 n ; x D 0
3n 50
3
p
1 n
n
c/ xn D a .a > 0/; x D 1I
d / xn D p
; xD0
2
p
p
n
n C 1 n n ; x D 0I f / xn D n2 an .jaj < 1/; x D 0
e/ xn D n
a/ xn D
Sugerencia. Como consecuencia del binomio de Newton, para x 1 > 0 se verifica que
x n D.1C.x 1//n >1Cn.x 1/. Esta desigualdad, convenientemente usada, permite
resolver con facilidad los casos b), c), d) y e).
Solución. Como regla general, en este tipo de ejercicios hay que “trabajar hacia atrás”,
esto es, se calcula y simplifica jxn xj y se convierte la desigualdad jxn xj < " en
otra equivalente a ella de la forma n > '."/ donde '."/ es un número que depende
de ".
Basta entonces tomar m" como la parte entera de '."/ más 1, m" D E '."/ C 1, con lo
cual para todo n > m" se tiene que n < '."/ y, por tanto, jxn xj < ".
Este procedimiento admite muchos atajos. Hay que tener en cuenta que no se pide calcular el m" “óptimo”, es decir, el menor valor posible de m" para el cual se verifica que
n > m" ÷jxn xj < ", sino que se pide calcular cualquier valor de m" para el cual sea
cierta dicha implicación. Para ello es suficiente con obtener, a partir de la desigualdad
jxn xj < ", otra desigualdad del tipo n > '."/ de forma que se verifique la implicación
n > '."/÷jxn xj < ".
En este procedimiento hay que quitar valores absolutos. Esto siempre puede hacerse
porque la desigualdad jxn xj < " equivale a las dos desigualdades " < x n x < ".
Con frecuencia, el número xn x es siempre positivo o siempre negativo para todo n>n0 ,
lo que permite quitar directamente el valor absoluto y sustituirlo por la correspondiente
desigualdad.
Por supuesto, en estos ejercicios hay que trabajar con un valor genérico de " > 0, es
decir, no está permitido considerar valores particulares de " porque se trata de probar que
una cierta desigualdad es válida para todo " > 0.
La verdad es que se tarda más en escribir lo anterior que en hacer el ejercicio porque las
sucesiones que se dan son muy sencillas y la sugerencia muy útil.
a) Tenemos que
jxn
ˇ
ˇ 2n C 3
xj D ˇˇ
3n 50
ˇ ˇ
ˇ
2 ˇˇ ˇˇ 109 ˇˇ
D
:
3 ˇ ˇ 9n 150 ˇ
El denominador es positivo para todo n > 17. Pongamos n D 17 C k donde k 2 N.
Entonces
109
109
13
109
D
<
< :
jxn xj D
9n 150
3 C 9k
9k
k
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Ejercicios resueltos
346
Deducimos que para que se tenga jxn xj < " es suficiente que tomar n D 17 C k donde
13
k se elige de forma que 13
< ", es decir, k > 13
" . Por tanto, poniendo m" D 18 C E. " /
k
podemos asegurar que para todo n > m" se verifica que jxn xj < ".
109
< 109
< 13
no son imprescindibles; de hecho,
Observa que las acotaciones 3C9k
9k
k
109
podemos despejar k de la desigualdad 3C9k < ", pero las acotaciones hechas facilitan
este paso (aunque se obtiene un valor de k mayor).
b) Tenemos que:
0D
0 < xn
Pongamos zn D
r
3
1C
p
3
1
n
nC1
Deducimos que:
xn D
m" D 1 C E
3
1 p
1
3 3 n
1
.
27"3
1 :
p
1 1
1 1
3
6 p :
n zn 6 p
3 3 n2 3 3 n
< " se verifica para todo n >
Observa que la acotación
1
1C
n
1
1
> 1 C 3zn ÷ zn 6
n
3n
1 1
p < " ÷ xn < " ÷ jxn
3 3n
La desigualdad
!
r
p
nD 3 n
1. Tenemos que zn > 0 y, usando la sugerencia dada:
.1 C zn /3 D 1 C
Por tanto:
p
3
0j D xn < "
1
.
27"3
Por tanto, es suficiente tomar
1 p
1
1 1
p
3 3 n2 6 3 3 n no es imprescindible; de hecho, podemos des1 p1
3 3 n2 < ", pero la acotación anterior facilita este paso (aunque
pejar n en la desigualdad
se obtiene un valor mayor para n).
p
c) Sea a > 1. Entonces 1 < n a. Pongamos zn D jxn
1j D
.1 C zn /n D a > 1 C nzn ÷ zn <
p
n
a
a
1 > 0. Tenemos que:
1
n
Deducimos que:
a
1
n
< " ÷ zn D jxn
La desigualdad a n 1 < " se verifica para todo n >
m" D 1 C E a " 1 .
Si 0 < a < 1, poniendo b D
0<1
1
a
1j < "
a 1
" .
Por tanto, es suficiente tomar
y usando lo ya visto, tenemos que:
p
n
aD
p
n
p
b 1
n
p
< b
n
b
1<
b
n
De donde se sigue que podemos tomar m" D 1 C E 1a"a .
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1
D
1
a1
a n
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Ejercicios resueltos
e) Sea xn D n
347
p
n
n . Tenemos que:
p
n
nC1
p
n
0j D n
nC1
0 < xn D jxn
Pongamos zn D
r
n
1C
1
n
p
p
n
n Dnn n
r
n
1
1C
n
!
1 :
1. Tenemos que zn > 0 y:
.1 C zn /n D 1 C
1
1
> 1 C nzn ÷ zn < 2 :
n
n
Por tanto, usando la desigualdad 7.3, tenemos que:
p
2
3
2
1
1p
1
6
1C p 0 C p
jxn 0j D n n nzn < n n <
n
n
n
n
n
n n n
Deducimos que tomando m" D 1 C E 3" , entonces para todo n > m" se verifica que
jxn 0j < ".
©
Ejercicio resuelto 153 Sea A un conjunto no vacío y mayorado de números reales. Prueba
que un número real, ˇ, es el supremo de A si, y sólo si, ˇ es un mayorante de A y hay
alguna sucesión de puntos de A que converge a ˇ.
Solución. Supongamos que ˇ D sup.A/. Entonces ˇ es, claro está, un mayorante de A.
Veamos que hay una sucesión de puntos de A que converge a ˇ. Como ˇ es el mínimo
mayorante de A, ningún número menor que ˇ puede ser mayorante de A. Por tanto,
dado " > 0, como ˇ " < ˇ, tiene que haber algún a" 2 A tal que ˇ " < a" . En
particular, para " D n1 tiene que haber algún an 2 A tal que ˇ n1 < an y, por supuesto,
an 6 ˇ. Deducimos así la existencia de una sucesión, fan g, de puntos de A que verifica
ˇ n1 < an 6 ˇ. Es claro que fan g ! ˇ.
La afirmación recíproca te la dejo apara que la hagas tú.
©
Ejercicio resuelto 154 Supuesto que lKımfxn g D x, prueba que ADfxn Wn 2 Ng[fxg tiene
máximo y mínimo.
Solución. Los elementos de A son los términos de la sucesión junto con el límite de la
misma. Observa que el conjunto A puede ser finito o infinito. El caso en que A es finito
es trivial porque sabemos que todo conjunto finito tiene máximo y mínimo. Conviene
considerar, por tanto, que A es infinito. La idea para hacer este ejercicio es la siguiente:
aún siendo A infinito, todos sus elementos están en un intervalo de la forma x "; x C"Œ,
con la posible excepción de un número finito de elementos de A que pueden quedar fuera
de dicho intervalo. Para probar que A tiene máximo debemos fijarnos en los elementos
más grandes de A. Dichos elementos deberían estar a la derecha del número x C " para
" > 0 suficientemente pequeño. Pero no tiene por qué haber ningún elemento de A en
estas condiciones, y eso pasa justamente cuando x es el mayor elemento de A, en cuyo
caso x sería el máximo de A.
Esto lleva a razonar de la siguiente forma. Si x es el máximo de A, hemos acabado. En
otro caso, tiene que haber algún elemento en A, digamos a 2 A que sea mayor que x,
a > x. Tomemos un " > 0 tal que x C" < a (por ejemplo "D.a x/=2). Entonces, todos
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Ejercicios resueltos
348
los elementos de A están en x "; x C "Œ excepto un número finito de ellos que quedan
fuera de dicho intervalo; además, como a > x C ", el conjunto B D fu 2 A W u > x C "g
no es vacío (a 2 B), es finito y, evidentemente, se tiene que mKax.B/ D mKax.A/.
©
a) Sea fxn g una sucesión y supongamos que hay números 2
Ejercicio resuelto 155
0; 1Œ; p 2 N, tales que para todo n> p es jxnC1 j6 jxn j . Prueba que lKımfxn g D0.
jxnC1 j
b) Sea fxn g una sucesión de números no nulos verificando que lKım
D , donde
jxn j
0 6 < 1. Prueba que lKımfxn g D 0.
Aplicación. Dados a 2
1; 1Œ; k 2 N, prueba que lKım fnk an g D 0.
n!1
Solución. a) Podemos hacer este apartado de dos maneras. La primera consiste en darse
cuenta de que la hipótesis
˚ jxnC1j 6 jxn j para todo n > p, junto con que 0 < < 1,
implica que la sucesión jxnCp j n2N es decreciente y, como es de números positivos,
tiene que converger a un número ˛ >0. Por tanto lKımfjxn jgD˛. La desigualdad jxnC1 j6
jxnj implica que ˛ 6 ˛ y, como 0 < < 1, la única posibilidad para que dicha
desigualdad se cumpla es que ˛ D 0.
Otra forma consiste en escribir para n > p:
jxnC1 j D
jxnC1 j jxn j jxn
jxn j jxn 1 j jxn
1j
2j
jxpC1 j
jxp j 6 n
jxp j
pC1
jxp j D nC1
jxp j
D MnC1
p
jx j
donde hemos puesto M D pp que es una constante que no depende de n. La desigualdad
anterior, teniendo en cuenta que, por ser 0 < < 1, se verifica que n ! 0, implica que
jxn j ! 0.
b) Tomando " > 0 de forma que D C " < 1 (basta tomar " D .1
que hay un número p 2 N tal que para todo n > p se verifica que:
/=2), se sigue
jxnC1 j
6 ÷ jxnC1 j 6 jxn j:
jxn j
Y, por lo visto en el apartado anterior, concluimos que fxn g ! 0.
La aplicación que se propone en este ejercicio es un resultado importante que debes
memorizar.
Pongamos xn D nk an , donde se entiende que k es un número natural fijo y a es un
número real con jaj < 1. Tenemos que:
jxnC1 j
D
jxn j
nC1
n
k
jxnC1 j
D jaj < 1:
n!1 jxn j
jaj ÷ lKım
Y podemos aplicar el resultado del punto anterior para concluir que lKım fnk an g D 0.
n!1
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349
Ejercicio resuelto 156 Estudia la convergencia de las sucesiones siguientes.
2n C . 1/n .n C 2/
1 C . 1/n n
a/ xn D
b/ xn D n
3
7n C3n
p
1
C
n
n
d / xn D an C b n .a > 0; b > 0/
c/ xn D n2
3n
n
X
xn
1
f / xn D
.x 2 R/
e/ xn D
p
n!
k C n2
kD1
p
p
p
p p
g/ xn D n2 C 3n C 2
n h/ xn D n2 C n n
n C 1 C 2n
Sugerencia. En algunos casos puede usarse el principio de las sucesiones encajadas o el
ejercicio anterior.
Solución. a) Tenemos que fx2ng ! 3=7, fx2n 1 g ! 1=7. Luego fxn g no converge
porque tiene dos sucesiones parciales que convergen a límites distintos.
n
n
b) Tenemos que 0 6 xn 6 n 23 y, como n 32 ! 0 por lo visto en el ejercicio anterior,
se sigue que fxn g ! 0.
p
p
n
n
d) Sea ˛DmKax a; b. Entonces ˛6xn 6 2˛. Como 2 ! 1, concluimos que fxn g ! ˛.
e) Tenemos que:
n
X
n
n
1
p
p
6
6p
:
n C n2 kD1 k C n2
1 C n2
n
n
D lKım p
D1, el principio de las sucesiones encajadas
Puesto que lKım p
n!1
n!1
2
nCn
1 C n2
n
X
1
implica que lKım
D 1.
p
n!1
2
k
C
n
kD1
h)
q
p
n2 C n
p
p p p
n2 C n n2 p
n
n C 1 C 2n D p
n C 1 C 2n D
p
n2 C n C n
q
p
p
p
2
1 C n1 C 2
p
n C n C 2n
! 2
D p
Dq
p
1
n2 C n C n
C1
1 C np
n
©
Ejercicio resuelto 157 Estudia la convergencia de la sucesión:
p
xn D 2 n
n
X
kD1
1
p
k
Solución. Estudiaremos la monotonía y acotación. Tenemos que:
xnC1
p
p
1
2n C 1 2 n2 C n
2 n p
p
D
>
nC1
nC1
q
2n C 1 2 n2 C n C 14
>
D 0:
p
nC1
p
xn D 2 n C 1
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Ejercicios resueltos
350
Por tanto xnC1 > xn y la sucesión es estrictamente creciente. Además:
p
p
xkC1 xk D2 k C 1 2 k
p
1
2
Dp
p
k C1
k C1C k
1
1
p
<p
kC1
k
1
p
k C1
Sumando estas desigualdades para 1 6 k 6 n 1 obtenemos que xn x1 < 1 p1n < 1,
de donde se sigue que xn < 2 para todo n 2 N. Luego fxn g es creciente y mayorada, por
tanto es convergente.
p
Alternativamente, aplicando el teorema del valor medio a la función f .x/ D 2 x en el
intervalo Œk; k C 1 tenemos que hay algún número c 2k; k C 1Œ tal que:
p
2 k C1
p
1
2 kDp
c
Como k < c < k C 1 se verifica que:
1
1
1
<p <p :
p
c
k C1
k
Deducimos que:
p
0<2 k C1
p
2 k
1
1
p
<p
k C1
k
1
p
:
kC1
Y volvemos a obtener las acotaciones anteriores de forma más cómoda.
©
Ejercicio resuelto 158 Prueba que la sucesión dada por x1 D 0 y para n > 2:
xn D log.log n/
n
X
kD2
1
k log k
es convergente y su límite es menor o igual que log.log 2/.
Solución. Tenemos que:
xkC1
xk D log.log.k C 1//
log.log k/
1
:
.k C 1/ log.k C 1/
Aplicando el teorema del valor medio a la función f .x/ D log.log x// en el intervalo
Œk; k C 1 para k > 2, tenemos que hay algún número c 2k; k C 1Œ tal que:
log.log.k C 1//
log.log k/ D
1
:
c log c
Como k < c < k C 1 se verifica que:
1
1
1
<
<
:
.k C 1/ log.k C 1/
c log c
k log k
Deducimos que:
0 < xkC1
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xk <
1
k log k
1
:
.k C 1/ log.k C 1/
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351
Esta desigualdad prueba que la sucesión fxn g es creciente. Además, sumando las desigualdades anteriores desde k D 2 hasta k D n resulta que:
xnC1 x2 <
1
1
1
1
<
÷xnC1 < x2 C
Dlog.log 2/:
2 log 2 .n C 1/ log.n C 1/
2 log 2
2 log 2
Por tanto, la sucesión está mayorada y, como es creciente, es convergente y su límite es
menor o igual que log.log 2/.
©
Ejercicio resuelto 159 Dados 0 < a1 < b1 , definamos para todo n 2 N:
bnC1 D
p
an C bn
; anC1 D an bn :
2
Justifica que las sucesiones así definidas son monótonas y convergen al mismo número
(que se llama media aritmético-geométrica de a1 y b1 ).
Solución. Teniendo en cuenta que la media geométrica de dos números es menor que su
media aritmética, y que ambas están comprendidas entre dichos números, se sigue que
a1 < a2 < b2 < b1 . Volvemos a razonar ahora igual con a2 < b2 para obtener que
a2 < a3 < b3 < b2 . Este proceso puede continuarse indefinidamente. Deducimos que
fan g es creciente y fbn g es decreciente. Además, ambas están acotadas porque para todo
n 2 N es a1 < an < bn < b1 . Por tanto, ambas convergen. Pongamos fan g ! a y
an C bn
aCb
fbn g ! b. De la igualdad anC1 D
se sigue que a D
, de donde se obtiene
2
2
que a D b.
©
Ejercicio resuelto 160 Estudia la convergencia de las siguientes sucesiones.
p
a) x1 D 1, xnC1 D 3xn .
3 C 3xn
.
b) x1 D 3, xnC1 D
3 C xn
4 C 3xn
.
c) x1 D 1, xnC1 D
3 C 2xn
xn 2
d) Dado a 2 2; 1Œ, definimos x1 D a, xnC1 D
.
xn C 4
p
p
e) Dado a > 0, definimos x1 D a, xnC1 D a C xn .
1
f) x1 D 0, xnC1 D
.
3 xn2
a
1
2xn C 2 .
g) Dado a > 0, a ¤ 1, definimos x1 D a, xnC1 D
3
xn
1
h) Dado a 2 R, definimos x1 D a, xnC1 D C .xn /2 .
4
i) Dado a 2 2; 1Œ, definimos x1 D a, 3xnC1 D 2 C .xn /3 .
Sugerencia. Estudia en cada caso monotonía y acotación. La convergencia puede depender del valor inicial de a.
Solución. En este tipo de ejercicios puede ser útil calcular de entrada, cuando sea posible
y bajo el supuesto de que la sucesión sea convergente, el límite de la sucesión. Después
deberemos probar que efectivamente la sucesión converge.
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Ejercicios resueltos
352
p
p
a) Supuesto que fxn g ! ˛, de la igualdad xnC1 D 3xn , se sigue que ˛ D 3˛, por
lo que ˛ D 3. Observa que no hemos probado que fxn g sea convergente. Lo que hemos
probado es que, suponiendo que fxn g sea convergente, entonces p
su límite es 3. Este dato
nos ayudará en lo que sigue. Por ejemplo, como x1 D 1 < x2 D 3, podemos sospechar
que fxn g es creciente. En tal caso debería verificarse que xn < 3 para todo n 2 N.
Empezaremos probando esta desigualdad.
p
p
Tenemos que x1 D 1 < 3; supuesto que xn < 3 deducimos que xnC1 D 3xn < 9 D 3.
Luego, por inducción, concluimos que xn < 3 para todo n 2 N. Probemos ahora que
fxn g es creciente. Tenemos que:
2
3xn D xnC1
D xnC1 xnC1 < 3xnC1
÷
xn < xnC1
por tanto, la sucesión es estrictamente creciente y, como está mayorada por 3, es convergente y, por lo visto al principio, su límite es 3.
©
3 C 3xn
3 C 3˛
b) Supuesto que fxn g ! ˛, de la igualdad xnC1 D
, se sigue que ˛ D
,
3 Cp
xn
3C˛
de donde resulta que ˛ 2 D 3, por lo que deberá ser ˛ D 3 ya que el límite debe ser un
número no negativo pues, evidentemente, todos los términos de la sucesión son positivos.
Observa que no hemos probado que fxn g sea convergente. Lo p
que hemos probado es que,
suponiendo que fxn g sea convergente, entonces su límite es 3. Este dato nos ayudará
en lo que sigue. Por ejemplo, como x1 D 3 > x2 D p
2, podemos sospechar que fxn g es
decreciente. En tal caso debería verificarse que xn > 3 para todo n 2 N. Empezaremos
probando esta desigualdad.
p
Claramente x1 D 3 > 3. Por otra parte:
xnC1 >
p
p
p
3 C 3xn p
3”
> 3 ” 3 C 3xn > 3 3 C 3xn ”
3 C xn
p
p
p p
” xn 3. 3 1/ > 3. 3 1/ ” xn > 3
p
p
Por tanto,
p si xn > 3 también es xnC1 > 3. Luego, por inducción, concluimos que
xn > 3 para todo n 2 N. Probemos ahora que fxn g es decreciente. Tenemos que:
xnC1
xn D
3 C 3xn
3 C xn
xn D
3 xn2
< 0 ÷ xnC1 < xn
3 C xn
por tanto, la sucesión es estrictamente decreciente p
y, como está minorada por
convergente y, por lo visto al principio, su límite es 3.
p
3, es
©
7.32 Estrategia. Para estudiar las sucesiones recurrentes pueden usarse técnicas de derivadas; para ello hay que expresar la sucesión recurrente en la forma xnC1 D f .xn /,
donde la función f generalmente es fácil de obtener a partir de la definición de la suce3 C 3xn
, por lo que deberemos considerar la
sión. En nuestro caso, tenemos que xnC1 D
3 C xn
3 C 3x
. Con ello, tenemos que xnC1 D f .xn /. Esta relación, junto con
función f .x/ D
3Cx
x1 D3 determina la sucesión. Seguidamente, hay que elegir un intervalo donde la función
f va a estar definida. Tenemos que elegir dicho intervalo de forma que la función tome
valores en él. En nuestro caso, la elección es fácil pues, si x > 0 también es f .x/ > 0, por
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Ejercicios resueltos
353
ello vamos a considerar que f está definida en RC
o . Podemos volver a enunciar nuestro
ejercicio como sigue.
3 C 3x
. Definamos fxn g
Sea f W RC
o ! R la función dada para todo x > 0 por f .x/ D
3Cx
por x1 D 3 y xnC1 D f .xn /. Estudiar la convergencia de fxn g.
Lo primero que debemos observar es que la sucesión está bien definida pues x1 D 3 > 0
y, supuesto que xn > 0, también es xnC1 D f .xn / > 0 por lo que tiene sentido f .xnC1 /.
Si la sucesión converge, su límite debe ser un número ˛ > 0 y, por ser f continua, f
permuta con el límite, por lo que debe verificarse que
˛ D lKımfxnC1 g D lKımff .xn /g D f .lKımfxn g/ D f .˛/:
p
De donde se obtiene que ˛ D 3.
6
.
.3 C x/2
Como f 0 .x/ > 0, se sigue que f es estrictamente creciente. Como x1 D 3 > x2 D
f .x1 / D 2 y, al ser creciente, f conserva las desigualdades, se sigue que x2 D f .x1 / >
f .x2 / D x3 . Este proceso puede seguirse indefinidamente, esto es, la misma relación de
orden que hay entre dos términos consecutivos se conserva siempre:
Para estudiar la monotonía calculamos la derivada de f . Tenemos que f 0 .x/D
xn > xnC1
÷
xnC1 D f .xn / > f .xnC1 / D xnC2 :
Obtenemos así que fxn g es decreciente. Además, como es de
p términos positivos, está
minorada, luego es convergente. Su límite ya sabemos que es 3.
Observa que, al proceder de esta forma, podemos probar muy fácilmente
el decrecimienp
to de la sucesión, sin necesidad de probar previamente que xn > 3.
Las sucesiones recurrentes del tipo xnC1 D f .xn / donde f es una función continua,
cuando son convergentes, fxn g ! ˛, su límite viene dado por ˛ D f .˛/, es decir, es un
punto fijo de la función f .
p
p
e) Definamos f W RC
a C x. La sucesión está dada por x1 D a y
o ! R por f .x/ D
xnC1 D f .xn /. Como f es continua, si la sucesión es convergente, su límite debe ser un
punto fijo de f , es decir, debe ser solución de la ecuación ˛ D f .˛/, lo que implica que
˛ 2 D a C ˛ y deducimos que
p
1 C 1 C 4a
;
˛D
2
p
donde
hemos elegido la solución positiva de la ecuación. Puesto que x1 D a < x2 D
p
2a y, evidentemente, f es estrictamente creciente, se sigue x2 D f .x1 / < f .x2 / D x3
y, en general, xn < xnC1 . Por tanto fxn g es estrictamente creciente. Veamos que está
p
mayorada. Probaremos que xn < ˛. Claramente x1 D a < ˛. Supongamos que xn < ˛.
Entonces:
2
D a C xn < a C ˛ D ˛ 2 ÷ xnC1 < ˛
xnC1
Concluimos, por inducción, que xn < ˛ para todo n 2 N. Luego fxn g es creciente y
mayorada, por tanto converge y su límite es ˛.
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Ejercicios resueltos
354
Para a D 1, tenemos que:
p
1C 5
D lKım
2
f) Tenemos que x1 D 0 y xnC1 D
s
1C
1
r
1C
q
p
1 C 1 C 1
©
. Consideremos la función f .x/ D
. La
3 xn2
3 x2
sucesión que nos dan está definida por x1 D 0, xnC1 D f .xn /. La derivada de f viene
2x
. Debemos considerar definida la función f en un intervalo I
dada por f 0 .x/D
.3 x 2 /2
que contenga el 0 (porque x2 Df .0/D1=3)
y de forma que f .I / Ip
. Como f .0/D1=3
p
debe estar en I , deberá ser I Œ0; 3Œ. Como f es creciente en Œ0; 3Œ y f .1/ D 1=2,
se sigue que f .Œ0; 1/ Œ0; 1=2 Œ0; 1.
Consideraremos en lo que sigue que la función f está definida en el intervalo Œ0; 1.
Como f .Œ0; 1/ Œ0; 1 y los valores de la sucesión fxn g son valores de f obtenidos por
aplicación reiterada de f a partir del valor inicial x1 D 0 2 Œ0; 1, dichos valores están
siempre en Œ0; 1. Por tanto 06xn 61 para todo n 2 N. Como f es estrictamente creciente
en Œ0; 1 y x1 D 0 < x2 D f .0/ D 1=3, se sigue que x2 D f .x1 / < f .x2 / D x3 y, en
general, supuesto que xn 1 < xn , se sigue que xn D f .xn 1 / < f .xn / D xnC1 . Luego
fxn g es estrictamente creciente. Como está acotada, concluimos que fxn g es convergente.
Sea fxn g ! ˛. Como 0 6 xn 6 1, se sigue que 0 6 ˛ 6 1. Además, como f es continua
en Œ0; 1, ˛ debe ser un punto fijo de f , esto es, f .˛/ D ˛. Deducimos que ˛ verifica la
ecuación ˛ 3 3˛ C 1 D 0.
Las raíces de la ecuación x 3 3x C 1 D 0 no son inmediatas de calcular pero podemos
decir algunas cosas sobre ellas. Pongamos h.x/ D x 3 3x C 1. Tenemos que h. 2/ D
1 < 0, h.0/ D1 > 0, h.1/ D 1 < 0 y h.2/D3 > 0. Deducimos que en cada uno de los
intervalos  2; 0Œ, 0; 1Œ y 1; 2Œ hay una única raíz de la ecuación. Por tanto, la sucesión
dada converge a la única raíz de la ecuación x 3 3x C 1 D 0 que está en 0; 1Œ.
©
1
a
g) Dado a > 0 y a ¤ 1, definimos x1 D a, xnC1 D
2xn C 2 . Tenemos, eviden3
xn
a
1
2x C 2
temente, que xn > 0 para todo n 2 N. Consideremos la función f .x/ D
3
x
donde, en principio, x > 0. Tenemos que:
2 x3 a
3
x3
p
p
Deducimos que f 0 .x/ < 0 para 0 < x < 3 a y f 0 .x/ > 0 para x > 3 a. Por
p
p
tanto f es estrictamente decreciente en 0; 3 a y estrictamente creciente en Œ 3 a; C1Œ.
p
Concluimos que en 3 a la función f tiene un mínimo absoluto en RC . Como todos los
términos de la sucesión fxn g son (con la posible excepción del primero x1 D a) valores
p
que toma f en puntos de RC , se sigue que xn > f . 3 a/ para todo n > 2. Un calculo
p
p
p
inmediato da f . 3 a/ D 3 a, es decir, resulta que 3 a es un punto fijo de f en RC . Como
f es continua en RC , si fxn g es convergente dicho punto debe ser el límite de fxn g. Pero
antes debemos probar que fxn g es convergente.
p
Para estudiar la monotonía debemos tener en cuenta que como xn > 3 a para todo n > 2,
p
todos los términos de la sucesión están en el intervalo I D Œ 3 a; C1Œ. No es por eso
f 0 .x/ D
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355
restrictivo suponer que a > 1 (porque si fuera 0 < a < 1, podemos eliminar el primer
término de la sucesión lo que no afecta para nada a su estudio). Comparemos x1 con x2 .
Tenemos que:
x2
x1 D
1
a
3
a
a2
aD
2a2 C 1
3a
aD
1
a2
<0
3a
Por tanto se tiene que x2 < x1 y, como f es estrictamente creciente en I , las desigualdades se conservan por f , luego, supuesto que xn < xn 1 , se tiene también que
xnC1 D f .xn / < f .xn 1 / D xn . Resulta así que fxn g es decreciente. Además es de
p
términos positivos (de hecho mayores que 3 a), luego fxn g es convergente y su límite es
p
3
a.
©
h) Consideremos la función f .x/ D 41 C x 2 . Tenemos que f .x/ > 41 . Como los términos
de la sucesión dada, con la posible excepción del primero, son todos ellos valores de f ,
se cumple que xn > 14 para todo n > 2. No es restrictivo por eso suponer que a > 14 .
Pongamos I D Œ1=4; C1Œ. Tenemos que f .I / I . Como f 0 .x/ D 2x, se sigue que
f es estrictamente creciente en I . Por tanto la sucesión fxn g será monótona creciente si
x1 6 x2 y será monótona decreciente si x2 < x1 . Tenemos que:
x1 6 x2
”
1
a6a C
4
2
”
1
06a C
4
2
aD a
1
2
2
Deducimos que se verifica x1 6 x2 y, por tanto, la sucesión es creciente. Cuando dicha
sucesión esté mayorada será convergente y su límite debe ser un punto fijo de f en I .
2
Tenemos que f .x/ Dx es lo mismo que x 2 x C 41 D0, esto es, x 21 D0, cuya única
solución es x D 1=2. En consecuencia, la sucesión fxn g será convergente a 12 solamente
cuando xn 6 12 para todo n 2 N, esto es, a2 C 14 6 21 , que equivale a que a2 6 14 , esto
es, jaj 6 21 y, como a > 14 , resulta que debe ser 14 6 a 6 21 . Deducimos también que
para a > 12 , la sucesión no puede ser convergente y, al ser creciente, no está mayorada.
Observa que cuando a D 12 resulta la sucesión constante xn D 12 para todo n 2 N.
©
Ejercicio resuelto 161 Para cada n 2 N sea
1
1
xn D1C C C
2
n
log.n/;
yn D xn
1
:
n
Prueba que fxn g es estrictamente decreciente e fyn g es estrictamente creciente. Deduce
que ambas sucesiones convergen a un mismo número. Dicho número se llama la constante de Euler, se representa por la letra griega ”.
1 C 1=2 C C 1=n
D 1.
log.n/
1
1
1
b) Justifica que lKım
C
C C
D log 2:
n!1 n C 1
nC2
2n
)
(
1 1
. 1/nC1
1
C
C C
D log 2:
c) Justifica que lKım 1
n!1
2
3 4
n
a) Deduce que lKım
n!1
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356
Solución. Tenemos que:
xn
xnC1 D log.n C 1/
log n
1
1
D log 1 C
nC1
n
1
> 0:
nC1
Desigualdad que es consecuencia de que log.1 C x/ < x para todo x > 0. También
podemos tomar logaritmos en las desigualdades 7.5 para obtener que:
1
1
1
< log 1 C
<
nC1
n
n
Deducimos que fxn g es estrictamente decreciente. Tenemos también:
1
1
1
yn ynC1 D log.n C 1/ log n
D log 1 C
< 0:
n
n
n
Deducimos que fyn g es estrictamente creciente. Además, para todo n 2 N tenemos que
x1 < xn < yn < y1 , por lo que ambas sucesiones están acotadas. Concluimos que dichas
sucesiones convergen. Como xn yn D n1 ! 0, deducimos que lKımfxn g D lKımfyn g.
a)
1 C 1=2 C C 1=n
log n C xn
xn
D
D1C
:
log.n/
log n
log n
xn
1
Como fxn g es convergente y
! 0, se sigue que
! 0.
log n
log n
1
1
b) Pongamos Hn D 1 C C C . Tenemos que:
2
n
1
1
1
C
C C
D H2n
nC1 nC2
2n
Hn D x2n C log.2n/ xn C log n D x2n
Como fx2ng es una sucesión parcial de fxn g se tiene que fx2n
1 1
C
2 3
c) Pongamos An D 1
1
1
A2n D 1
C
3
2
1
1
D 1C C
3
5
1
1
D 1C C
3
5
xn g ! ”
1
. 1/nC1
C C
. Tenemos que:
4
n
xn C log 2
” D 0.
1
1
C
4
5
1
1
1
C C
D
6
2n 1 2n
1
1 1
1
1
C C
C C C C
D
2n 1
2
4 6
2n
1
1
1
1
C C
Hn D H2n
Hn
Hn D H2n
2n 1
2
2
2
Hn
1
,
Por el apartado anterior, tenemos que lKımfA2ng D log 2. Como A2n 1 D A2n C 2n
deducimos que también lKımfA2n 1g D log 2. Concluimos que (ver ejercicio resuelto
162) lKımfAn g D log 2.
La sucesión fAn g se llama serie armónica alternada.
7.33 Estrategia. Para calcular límites donde interviene la serie armónica
Hn D 1 C
1
1
C C
2
n
puede ser conveniente escribir dicha sucesión como Hn D log n C ”n donde f”n g ! ”.
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357
Ejercicio resuelto 162 Sea fxn g una sucesión y supongamos que hay dos sucesiones parciales fx .n/g y fxs.n/ g que convergen a un mismo número x y tales que .N/ [ s.N/ D N.
Prueba que fxn g converge a x.
Solución. Dado " > 0, existen números naturales m" y n" tales que jx .n/ xj < " para
todo n > m" y jxs.n/ xj < " para todo n > n" . Sea p D mKax fm" ; n" g y pongamos
A D f .n/ W n > pg [ fs.n/ W n > pg. Como, por hipótesis es .N/ [ s.N/ D N, se sigue
que el conjunto B D N n A es finito pues B f .n/ W 1 6 n < pg [ fs.n/ W 1 6 n < pg.
Definamos mDmKax.B/C1. Para q >m se tiene que q 62 B, o sea, q 2 A, es decir, q es de
la forma q D .n/ o q D s.n/ con n > p, en cualquier caso se verifica que jxq xj < ".
Este resultado suele aplicarse cuando .n/ D 2n y s.n/ D 2n 1, es decir, a las sucesiones parciales de los términos pares e impares. Cuando sabemos que fx2n g y fx2n 1 g
convergen a un mismo número, podemos concluir que fxn g converge a dicho número.
Este resultado puede generalizarse de manera fácil. Por ejemplo si fx3n g, fx3n 1 g y
fx3n 2 g convergen todas a un mismo número, también fxn g converge a dicho número. ©
Ejercicio resuelto 163 Sea fxn g una sucesión de números reales y supongamos que hay números 20; 1Œ, M > 0 y p 2 N tales que jxnC1 xn j 6 Mn para todo n > p. Prueba
que fxn g es convergente.
Sugerencia. Teniendo ahora en cuenta que para todos n; h 2 N se verifica que:
nCh
1
C nCh
2
C C n <
n
1
deduce que fxn g verifica la condición de Cauchy.
Solución. Sean n; h 2 N, tenemos:
ˇ
ˇ
ˇh 1
ˇ h 1
ˇX
ˇ X
ˇ
jxnCh xn j D ˇ
.xnCkC1 xnCk /ˇˇ 6
jxnCkC1
ˇkD1
ˇ kD0
D Mn
h
X1
kD0
Donde hemos puesto K D
k D Mn
M
1
xnCk j 6 M
h
X1
kD0
nCk D
M
1 h
< n
D Kn
1 1 , que es una constante independiente de n y de h. De-
ducimos que:
Kn < " ÷ jxnCh
xn j < " para todo h 2 N
Dado " > 0, determinamos m" por la condición de que m" < "=K. Entonces para todo
n > m" y para todo h 2 N se verifica que jxnCh xn j < ", lo que prueba que la sucesión
fxn g verifica la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente.
©
Ejercicio resuelto 164 Sea fxn g una sucesión de números reales y supongamos que existen
20; 1Œ; p 2 N, tales que jxnC1 xn j 6 jxn xn 1j para todo n > p. Prueba que fxn g
es convergente.
Sugerencia. Justifica que jxnC1
de n.
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xn j 6 Mn donde M es una constante independiente
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Solución. Es muy fácil, basta iterar la desigualdad del enunciado. Sea n > p:
jxnC1
xn j 6 jxn
xn
1j
6 2 jxn
1
xn
2j
6 6 n
p
jxpC1
xp j D Mn :
jxpC1 xp j
es una constante independiente de n. El ejercicio anterior nos
p
dice que la sucesión fxn g es convergente.
©
Donde M D
Ejercicio resuelto 165 Sea I un intervalo cerrado (puede ser I D R); f W I ! R una función, y supongamos que hay un número ˛ 20; 1Œ tal que:
jf .x/
f .y/j 6 ˛jx
yj;
para todos x; y en I :
(7.9)
Se dice entonces que f es una función contractiva en I . Supongamos además que
f .x/ 2 I para todo x 2 I . Dado un punto a 2 I , definamos fxn g por x1 D a; y xnC1 D
f .xn / para todo n 2 N.
a) Prueba que fxn g converge a un punto x 2 I que es el único punto fijo de f , es decir,
f .x/ D x.
b) Justifica que si la función f es derivable en I y se verifica que hay un número ˛ 20; 1Œ
tal que jf 0 .x/j 6 ˛ para todo x 2 I , entonces f es contractiva en I .
Solución. a) Es consecuencia inmediata del ejercicio anterior.
©
b) Es consecuencia inmediata del teorema del valor medio.
Ejercicio resuelto 166 Estudia la convergencia de las sucesiones definidas para todo n 2 N
por:
p
p
1
I
b/ x1 D 2; xnC1 D 2 xn :
a/ x1 D 1; xnC1 D
1 C xn
1
. La sucesión que nos
1Cx
piden estudiar es la sucesión de iteradas de dicha función a partir del valor inicial x1 D 1.
1
< 0, la función f es estrictamente decreciente. Por tanto, la
Como f 0 .x/ D
.1 C x/2
sucesión xnC1 D f .xn / no es monótona. Pues si, por ejemplo es xn 1 < xn , como f , al
ser decreciente, invierte las desigualdades, se tendrá que xn Df .xn 1 / > f .xn /DxnC1 .
Solución. a) Consideremos la función dada por f .x/ D
Es evidente que xn > 0 para todo n 2 N. Por tanto 1 C xn > 1÷xnC1 < 1, luego
xn 6 1 para todo n 2 N, de donde 1 C xn 6 2÷xnC1 > 21 . Deducimos que todos los
términos de la sucesión están en el intervalo I D Œ1=2; C1Œ. Para x > 1=2 se tiene que
jf 0 .x/j 6 49 . Podemos aplicar, por tanto, el ejercicio anterior y deducimos que fxn g es
convergente. Además, su límite es el único punto fijopde f en I , que viene dado por
1
1C 5
xD
÷x 2 C x 1 D 0, de donde, x D
.
©
1Cx
2
Ejercicio resuelto 167 Supongamos que la ecuación x 2 D bx C a tiene dos raíces reales
distintas ˛ y ˇ. Dados dos números reales y , definamos fxn g por:
x1 D C ; x2 D ˛ C ˇ; xnC2 D bxnC1 C axn
Prueba que xn D ˛ n
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1
C ˇ n
1
para todo n 2 N.
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Aplicaciones. i) La sucesión fxn g definida para todo n 2 N por:
x1 D x2 D 1; xnC2 D xnC1 C xn
se llama sucesión de Fibonacci. Calcula explícitamente xn .
ii) Estudia la convergencia de la sucesión definida para todo n 2 N por:
1
x1 D a; x2 D b; xnC2 D .xnC1 C xn /:
2
Solución. La igualdad xn D ˛ n 1 C ˇ n 1 es cierta para n D 1 y para n D 2. Sea
n 2 N, con n > 2, y supongamos que la igualdad se verifica para todo k 2 N con k 6 n.
Entonces, teniendo en cuenta que ˛ 2 D b˛ C a y ˇ 2 D bˇ C a, tenemos que:
xnC1 D bxn C axn
1
D .b˛ C a/˛ n
D b˛ n
2
1
C bˇ n
C .b C a/ˇ n
1
2
C a˛ n
2
C aˇ n
D ˛ n C ˇ n
2
D
Lo que prueba la igualdad para n C 1. Concluimos, por inducción, que la igualdad es
cierta para todo n 2 N.
i) Como xnC2 D xnC1 C xn , deducimos que a D b D 1. Por tanto, ˛ y ˇ son las raíces
de x 2 D x C 1, las cuales vienen dadas por:
p
p
1
1C 5
5
˛D
;
ˇD
2
2
Calculemos y por las condiciones x1 D 1 D C D, x2 D 1 D ˛ C ˇ. Fácilmente
se obtiene que:
p
p
5C 5
5
5
;
D
D
2
2
Deducimos, por lo antes visto, que:
p
p
p !n 1
p !n 1
5
5C 5 1C 5
5 1
5
C
xn D
2
2
2
2
iii) Pongamos x1 D a1 b 0 , x2 D a0 b 1 , xn D apn b qn . Entonces:
1
1
xnC2 D apnC2 b qnC2 D a 2 .pnC1 Cpn / b 2 .qnC1 Cqn / :
Tenemos las ecuaciones:
p1 D 1; p2 D 0; 2pnC2 D pnC1 C pn ;
q1 D 0; q2 D 1; 2qnC2 D qnC1 C qn
Ambas ecuaciones son de la forma 2xnC2 D xnC1 C xn por lo que a D b D 1 y ˛ y ˇ
son las raíces de 2x 2 D x C 1. Por tanto ˛ D 1, ˇ D 21 . En consecuencia:
n 1
n 1
1
1
pn D 1 C 1
;
qn D 2 C 2
;
2
2
Debemos ahora calcular 1 ; 1 y 2 ; 2 para que se verifiquen las respectivas condiciones iniciales p1 D 1; p2 D 0 y q1 D 0; q2 D 1. Fácilmente se obtiene que 1 D 31 , 1 D 23 ,
2 D 32 , 2 D 32 . Deducimos que:
n 1
n 1
p
1
2
2 2
1
1
1 2
3
xn D a 3 C 3 2
b3 3 2
! a 3 b 3 D ab 2 :
©
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Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites
360
7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites
Las sucesiones que no son convergentes pueden tener comportamientos muy variados. Por
ejemplo, una sucesión acotada que tenga dos valores de adherencia diferentes no es convergente, los términos de dicha sucesión se aproximan a un valor de adherencia o al otro, antiguamente se decía que la sucesión “oscilaba” entre estos valores. Pero una sucesión acotada no
convergente puede tener muchos valores de adherencia. No debes hacerte una idea demasiado
esquemática de las sucesiones. En el capítulo 5 hemos visto que el conjunto de los números
racionales es numerable, esto significa que es posible escribir todos los números racionales como los términos de una sucesión y también podemos hacerlo con los racionales que están en
el intervalo Œ0; 1. Pongamos Q \ Œ0; 1 D D frn W n 2 Ng. La sucesión frn g es acotada y, como
consecuencia de la densidad de Q en R (proposición 5.11), dicha sucesión tiene como valores
de adherencia todos los puntos del intervalo Œ0; 1.
Vamos a estudiar ahora un tipo muy particular de sucesiones no convergentes pero que
presentan una gran regularidad.
7.34 Definición. Una sucesión fxn g se dice que es positivamente divergente, y escribimos
fxn g ! C∞, si para todo número real K > 0 existe un número natural mK 2 N, tal que para
todo n 2 N con n>mK se verifica que xn >K.
Una sucesión fxn g se dice que es negativamente divergente, y escribimos fxn g ! ∞,
si para todo número real K < 0 existe un número natural mK 2 N, tal que para todo n 2 N con
n>mK se verifica que xn 6K.
Diremos que una sucesión es divergente para indicar que es positivamente o negativamente
divergente.
7.35 Observación. Es importante que te des cuenta de que “divergente” no es sinónimo de “no
~ convergente”. Las sucesiones acotadas no convergentes no son tampoco divergentes. Sin em-
bargo, muchos textos usan la expresión “sucesión divergente” con el significado de “sucesión
no convergente”. También es lamentablemente frecuente llamar “sucesiones oscilantes” a las
sucesiones acotadas no convergentes. No te dejes confundir: una sucesión o es convergente o
no es convergente. Un tipo especial de sucesiones no convergentes son las sucesiones positivamente divergentes y negativamente divergentes. Eso es todo, lo demás son ganas de confundir
al lector.
En la siguiente proposición se exponen algunas propiedades elementales, pero importantes, de las sucesiones divergentes. Puesto que fxn g ! C∞ si, y sólo si f xng ! ∞, es
suficiente enunciar dichas propiedades para sucesiones positivamente divergentes.
7.36 Proposición. i) fjxn jg ! C∞ si, y sólo si, f1=xn g ! 0.
ii) La suma de una sucesión positivamente divergente con una sucesión acotada es una sucesión positivamente divergente.
iii) La suma de una sucesión positivamente divergente con una sucesión minorada es otra
sucesión positivamente divergente. En particular, la suma de dos sucesiones positivamente
divergentes es otra sucesión positivamente divergente.
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361
iv) El producto de dos sucesiones positivamente divergentes es otra sucesión positivamente
divergente.
v) El producto de una sucesión positivamente divergente por una sucesión que converge a un
número positivo es otra sucesión positivamente divergente.
Frecuentemente hay que estudiar la convergencia o divergencia de una suma o producto
de dos sucesiones precisamente cuando las reglas que hemos visto en secciones anteriores
no pueden aplicarse. Se trata de aquellos casos en que el comportamiento de las sucesiones
fxn C yn g, fxn yn g no está determinado por el de fxn g e fyn g. Por ejemplo, si sabemos que
fxn g ! C∞ y que fyn g ! ∞, ¿qué podemos decir del comportamiento de la sucesión
fxn C yn g? Respuesta: absolutamente nada. Baste para convencerse de ello la consideración de
los siguientes casos:
xn D 2n;
xn D n;
xn D n C 1;
xn D. 1/n Cn;
yn D
yn D
yn D
yn D.
nI
2nI
nI
1/n nI
fxn C yn g D fng ! C∞
fxn C yn g D f ng ! ∞
fxn C yn g D f1g ! 1
fxn C yn g D f2. 1/ng
En consecuencia, las sucesiones del tipo fxn Cyn g donde fxn g ! C∞, fyn g ! ∞, requieren
un estudio particular en cada caso. Tales sucesiones suele decirse que son una indeterminación del tipo “∞ ∞”.
Análogamente, si sabemos que fxn g ! 0 y que fyn g es divergente, ello no proporciona
ninguna información sobre el comportamiento de la sucesión fxn yn g; la cual se dice que es
una indeterminación del tipo “ 0 ∞”. Las indeterminaciones que aparecen al estudiar el cociente de dos sucesiones divergentes o de dos sucesiones que convergen a cero, las llamadas
indeterminaciones de los tipos “∞=∞”, “ 0=0”, pueden reducirse a una indeterminación del
tipo “ 0 ∞”.
El siguiente resultado permite resolver en muchas ocasiones indeterminaciones de la forma
“∞=∞”.
7.37 Teorema (Criterio de Stolz). Sea fyn g una sucesión positivamente divergente y estrictamente creciente y sea fxn g cualquier sucesión. Supongamos que
xnC1 xn
!L
ynC1 yn
xn
! L:
donde L 2 R, o L D C∞, o L D ∞. Entonces se verifica también que
yn
Demostración. Supongamos, en primer lugar, que L 2 R. Dado " > 0, existe, por hipótesis, un
número natural k, tal que para todo n>k se verifica que
L
"
xnC1
<
2
ynC1
"
xn
<LC :
yn
2
Así todas las fracciones
xkC1
ykC1
xk xkC2
;
yk ykC2
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xkC1
xn
; ;
ykC1
yn
xn
yn
1
1
;
xnC1
ynC1
xn
yn
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Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites
362
se encuentran comprendidas entre L "=2 y L C "=2, por lo que, usando el ejercicio 8, obtenemos que:
xnC1 xk
"
"
<
<LC
(7.10)
L
2
ynC1 yk
2
cualquiera sea n>k. Teniendo en cuenta ahora la igualdad
xk Lyk
yk
xnC1
xnC1
LD
C 1
ynC1
ynC1
ynC1
ynC1
deducimos que:
˚
Como lKım .xk
n!1
verifica
xk
yk
L
ˇ
ˇ xnC1
ˇ
ˇy
nC1
ˇ
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ ˇ xk Lyk ˇ ˇ xnC1 xk
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Lˇˇ :
Lˇ 6 ˇ
(7.11)
Cˇ
ˇ
ynC1
ynC1 yk
Lyk /=ynC1 D 0, existe un número natural q tal que, para todo n> q, se
ˇ
ˇ
ˇ xk Lyk ˇ "
ˇ<
ˇ
ˇ 2
ˇ y
nC1
Teniendo en cuenta (7.10) y (7.11), deducimos que para todo n> mKaxfk; qg se verifica que
ˇ
ˇ
ˇ xnC1
ˇ
ˇ
Lˇˇ < ":
ˇy
nC1
˚
Hemos probado, pues, que lKım xn =yn D L.
n!1
Supongamos ahora que L D C1. En tal caso, para todo n 2 N suficientemente grande,
se tendrá que xnC1 xn > ynC1 yn > 0, por lo que la sucesión fxn g es, a partir de un
término en adelante, estrictamente creciente. Supondremos, pues no es restrictivo hacerlo, que
dicha sucesión es toda ella estrictamente creciente y que xqC1 xq > yqC1 yq para todo
q 2 N. Sumando estas desigualdades desde q D 1 hasta q D n, resulta xnC1 x1 > ynC1 y1 .
Y, como fyn g ! C1, deducimos que fxn g ! C1. Podemos usar ahora lo ya probado,
intercambiando las sucesiones fxn g e fyn g, para obtener que
ynC1 yn
yn
D lKım
D 0:
lKım
xn
xnC1 xn
De donde se sigue que fxn =yn g ! C1.
El caso L D 1 se reduce al previo cambiando la sucesión fxn g por f xn g.
2
las hipótesis del Criterio de Stolz, puede ocurrir que
Es
importante observar que, aún en xn
xnC1 xn
sea convergente pero no lo sea
; es decir, el Criterio de Stolz da una
yn
ynC1 yn
condición suficiente pero no necesaria para la convergencia o divergencia de fxn =yn g (ver
ejercicio 175).
Observa que el criterio de Stolz recuerda a la regla de L’Hôpital donde las derivadas han
sido sustituidas por las diferencias consecutivas. Del Criterio de Stolz se deducen dos útiles
criterios para estudiar la convergencia de sucesiones de medias aritméticas o geométricas.
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Sucesiones y límite funcional
363
7.38 Proposición (Criterio de la media aritmética). Supongamos que fan g ! L donde L es
un número real, o L D C∞, o L D ∞. Entonces se verifica que
a1 C a2 C C an
! L:
n
Demostración. Basta aplicar el Criterio de Stolz a las sucesiones xn D a1 C a2 C C an ,
yn D n.
2
7.39 Proposición (Criterio de la media geométrica). Supongamos que fan g ! L donde
fan g es una sucesión de números positivos y L es un número real o bien L D C∞. Entonces
se verifica que
o
np
n
a1 a2 : : : an ! L:
Demostración. Lo afirmado se deduce del criterio de la media aritmética teniendo en cuenta
que
p
log.a / C log.a / C C log.a /
n
1
2
n
log
a1 a2 : : : an D
n
2
y la proposición 7.46.
xnC1
7.40 Corolario. Supongamos que
! L donde fxn g es una sucesión de números
xn
p
positivos y L es un número real o bien L D C∞. Entonces se verifica que f n xn g ! L:
Demostración. Basta aplicar el criterio de la media geométrica a la sucesión fan g definida por
xnC1
para todo n 2 N.
2
a1 D1, anC1 D
xn
7.3.1. Sucesiones y límite funcional
El siguiente resultado establece una relación entre límite funcional y límite de sucesiones
que es de gran utilidad práctica, pues proporciona una estrategia general para calcular límites de
sucesiones y permite utilizar para ello las técnicas conocidas para calcular límites funcionales.
7.41 Proposición. Sea f W A ! R una función y sean a; L 2 R [ fC∞; ∞g. Equivalen las
afirmaciones:
i) lKım f .x/ D L.
x!a
ii) Para toda sucesión fxn g de puntos de A tal que fxn g ! a con xn ¤ a, se verifica que
ff .xn /g ! L.
Demostración. i/÷i i/. Supongamos que lKım f .x/ D L y sea fxn g ! a con xn 2 A y
x!a
xn ¤ a. Debemos probar que sucf .xn / ! L. Consideremos el caso en que a y L son números
reales. Dado " > 0, por hipótesis, existe ı > 0 tal que para todo x 2 A con x ¤ a y jx aj < ı
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Sucesiones y límite funcional
364
se verifica que jf .x/ Lj < ". Como fxn g ! a, existe un número n0 2 N tal que para todo
n > n0 se verifica que jxn aj < ı. Por tanto, para todo n > n0 tenemos que xn 2 A, xn ¤ a
y jxn aj < ı; en consecuencia, se verificará que jf .xn / Lj < ". Hemos probado así que
ff .xn /g ! L.
Para probar que i i/÷i/, probaremos que noi/÷noi i/. Que f no tiene límite en a igual
a L, quiere decir que existe un "0 > 0, tal que para todo ı > 0 hay algún punto xı 2 A, con
xı ¤ a y jxı aj < "0 pero jf .xı / Lj > "0 . Tomando para cada n 2 N ı D n1 , obtenemos un
xn 2 A con xn ¤ a y jxn aj < 1n pero jf .xn / Lj > "0 . Claramente se tiene que fxn g ! a,
con xn 2 A y xn ¤ a pero ff .xn /g no converge a L.
Los demás casos en que o bien a o L son infinitos se hacen de manera parecida.
2
Una consecuencia inmediata de este resultado es que todo límite funcional que conozcas te
va a permitir resolver muchos límites de sucesiones. En particular, de la lista de límites básicos
que debes conocer se deducen los siguientes resultados.
7.42 Proposición. Para toda sucesión fxn g ! 0 se verifica que
sen xn
D1
n!1 xn
arc sen xn
D1
n!1
xn
n!1
tg xn
D1
n!1 xn
arc tg xn
D1
n!1
xn
exn 1
D1
n!1
xn
lKım
lKım
lKım
n!1
lKım
n!1
xn
1
sen xn
D
3
6
.xn /
tg xn xn
1
D
3
3
.xn /
lKım
lKım
lKım
.1 C xn /˛
n!1
xn
lKım
lKım
n!1
log.1 C xn /
xn2
1
cos xn
1
D
2
2
xn
lKım
1
log.1 C xn /
D1
n!1
xn
D˛
xn
D
lKım
1
2
7.43 Estrategia. Una estrategia para calcular límites de sucesiones consiste en convertir el
límite de la sucesión que tienes que calcular en un caso particular de un límite funcional. El
por qué de esta estrategia es que para calcular límites de funciones disponemos de muchas más
herramientas que las que tenemos para trabajar directamente con sucesiones.
Según esta estrategia, para calcular el límite de una sucesión fyn g lo que hay que hacer
es relacionar dicho límite con un límite funcional. Debemos inventarnos una función, f , y
una sucesión convergente, fxn g ! a, de forma que se tenga yn D f .xn /. Entonces, podemos
asegurar que si lKım f .x/ D ˛, también es lKımfyn g D ˛.
x!a
log.n/
.
p
n. n n 1/
p
p
Para ello nos fijamos en que en el denominador aparece n n 1. Poniendo xn D n n,
sabemos que xn ! 1. La sucesión cuyo límite queremos calcular recuerda el límite funcional
log x
log x
lKımx!1
D 1. Pongamos f .x/ D
. Como caso particular de este límite funcional,
x 1
x 1
tenemos que f .xn / ! 1, y es claro que yn D f .xn /. Hemos probado así que yn ! 1 y todo lo
que hemos tenido que hacer es relacionar dicho límite con un límite funcional que ha resultado
ser (cosa muy frecuente) una derivada: la derivada de la función log x en el punto x D 1. 7.44 Ejemplo. Se trata de calcular el límite de la sucesión yn D
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Sucesiones asintóticamente equivalentes
365
Teniendo en cuanta la caracterización de la continuidad, el siguiente resultado es un caso
particular de la proposición 7.41.
7.45 Proposición. Sea f W A ! R una función y sea a 2 A. Equivalen las afirmaciones:
i) f es continua en a.
ii) Para toda sucesión fxn g de puntos de A tal que fxn g ! a, se verifica que ff .xn /g ! f .a/.
Podemos expresar este resultado como sigue: la continuidad permuta con el límite secuencial, esto es, si f es continua entonces:
lKım f .xn / D f lKım xn
n!1
n!1
Recogemos seguidamente algunas importantes propiedades de las sucesiones divergentes
de logaritmos y exponenciales. Todas ellas se deducen, teniendo en cuenta la proposición 7.41,
de las correspondientes propiedades de las funciones exponencial y logaritmo natural (proposición 4.50).
7.46 Proposición.
fxn g ! x ” fexn g ! ex .
fxn g ! C1 ” fexn g ! C1.
fxn g ! 1 ” fexn g ! 0.
Para toda sucesión de números positivos fxn g se verifica que:
fxn g ! x > 0 ” flog.xn /g ! log x.
fxn g ! C1 ” flog.xn /g ! C1.
fxn g ! 0 ” flog.xn /g ! 1.
7.3.2. Sucesiones asintóticamente equivalentes
7.47 Definición. Diremos que fxn g es asintóticamente equivalente a fyn g, y escribiremos
simbólicamente fxn g fyn g, si fxn =yn g ! 1.
p
Por ejemplo, las sucesiones flog n g y fn. n n
1/g son asintóticamente equivalentes.
El siguiente resultado nos dice que para estudiar la convergencia de un producto de varias
sucesiones podemos sustituir las que queramos por otras que sean asintóticamente equivalentes,
sin que ello afecte a la convergencia o divergencia del producto ni a su eventual límite.
7.48 Proposición. Sean fxn g e fyn g sucesiones asintóticamente equivalentes y fzn g una sucesión cualquiera. Se verifica que:
i) fxn zn g es convergente si, y sólo si, fyn zn g es convergente, en cuyo caso ambas sucesiones
tienen el mismo límite.
ii) fxn zn g es divergente si, y sólo si, fyn zn g es divergente, en cuyo caso ambas sucesiones son
divergentes del mismo tipo.
En particular, fxn g es convergente (resp. divergente) si, y sólo si, fyn g es convergente (resp.
divergente), en cuyo caso ambas tienen igual límite (resp. son divergentes del mismo tipo).
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Sucesiones de potencias
366
Demostración. Las afirmaciones hechas en i/ y i i/ son consecuencia de que
xn
yn
lKım
D lKım
D 1:
yn
xn
Si, por ejemplo, fyn zn g es convergente, entonces como:
xn
fyn zn g;
fxn zn g D
yn
se sigue que fxn zn g también es convergente y tiene el mismo límite que fyn zn g.
El mismo razonamiento prueba que si fxn g es divergente entonces también fyn g es divergente del mismo tipo.
La afirmación hecha al final del enunciado es consecuencia de lo anterior tomando zn D1. 2
7.49 Observación. Es importante observar que en una suma de sucesiones no se puede, en
~ general, sustituir una sucesión por otra asintóticamente equivalente. Por ejemplo, si xn D n C1,
ynDnC1=n y znD n, es claro que fxn g fyn g pero fxnCzn gDf1gn2N no es asintóticamente
equivalente a fyn C zn g D f1=ng.
7.3.3. Sucesiones de potencias
Hay otras indeterminaciones que surgen al considerar sucesiones de potencias, es decir,
y
sucesiones de la forma fxn n g donde fxn g es una sucesión de números positivos e fyn g es una
sucesión cualquiera de números reales. Puesto que
xnyn D exp.yn log.xn //;
teniendo en cuenta la proposición 7.46, la convergencia o divergencia de la sucesión fxnyn g
vendrá determinada por la de fyn log.xn /g; la cual, a su vez, está determinada en todos los
casos por el comportamiento de las sucesiones fxn g e fyn g, excepto cuando dicha sucesión
fyn log.xn /g es una indeterminación del tipo “ 0 ∞”, lo que ocurre en los siguientes casos.
a) fxn g ! 1, fjyn jg ! C∞ (indeterminación “11 ”)
b) fxn g ! C1, fyn g ! 0 (indeterminación “∞0 ”)
c) fxn g ! 0, fyn g ! 0 (indeterminación “ 0 0 ”)
El siguiente resultado, que es la versión para sucesiones del criterio de equivalencia logarítmica para límites funcionales, permite resolver en muchos casos las indeterminaciones “11 ”
y “ 0 1”.
7.50 Teorema (Criterio de equivalencia logarítmica). Sean fxn g una sucesión de números
positivos distintos de 1 que converge a 1, fyn g una sucesión cualquiera y L un número real.
Entonces se tiene que:
y
lKımfxn n g D eL ” lKımfyn .xn
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1/g D L.
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Ejercicios propuestos
367
fxnyn g ! C1 ” fyn .xn 1/g ! C1.
y
fxn n g ! 0 ” fyn .xn 1/g ! 1.
y
Demostración. Puesto que xn n D exp.yn log.xn //, las afirmaciones hechas en el enunciado
se deducen de la proposición 7.46, sin más que tener en cuenta que, como fxn g ! 1, las
sucesiones flog.xn /g y fxn 1g son asintóticamente equivalentes, por lo que, en virtud de la
proposición 7.48, si una de las sucesiones fyn log.xn /g e fyn .xn 1/g es convergente (resp.
divergente a C1 o a 1), la otra también es convergente con igual límite (resp. divergente a
C1 o a 1).
2
Los ejercicios que siguen son de cálculo de límites de sucesiones. Deberás usar los criterios
de Stolz y de las medias aritmética y geométrica y el criterio de equivalencia logarítmica. En
general, debes seguir la estrategia básica de relacionar un límite de una sucesión con un límite
funcional apropiado.
7.3.4. Ejercicios propuestos
340. Supongamos que fxn g ! 0, siendo 1 < xn ¤ 0, y sea ˛ 2 R . Justifica, usando
derivadas, que f.1 C xn /˛ 1g es asintóticamente equivalente a f˛xn g.
341. Prueba que la sucesión flog n! g es asintóticamente equivalente a fn log n g.
˚
˚p
342. Justifica que la sucesión n 1 C 1=n˛ 1 es asintóticamente equivalente a 1=n˛C1 ,
donde ˛ > 0.
343. Calcula los límites de las sucesiones fxn g definidas por:
1˛ C 2˛ C 3˛ C C n˛
a) xn D
, donde ˛ > 1.
n˛C1
p
b) xn D k .n C a1 /.n C a2 / .n C ak /
n , donde k 2 N, aj 2 R; 16j 6k.
!n
p
p
n
˛ n aCˇ b
donde a > 0, b > 0 y ˛; ˇ 2 R, ˛ C ˇ ¤ 0.
c) xn D
˛Cˇ
!n
1 C 2p=n C 3p=n C C p p=n
d) xn D
, donde p 2 N.
p
!
1
1 C 2k C 3k C C nk
, donde k 2 N.
e) xn D n
k C1
nkC1
!n2
3 1 C 32 C 52 C C .2n 1/2
f) xn D
4
n3
n
1
g) xn D n 1 C 3
1
n log.1 C 1=n/
n 2
2
1
n 1
1
C
C C
C
log.n!/
nC
h) xn D
n
2
3
n 1
n
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Ejercicios propuestos
368
344. Calcula los límites de las sucesiones fxn g definidas por:
p
p p
log 1 C 21 C C n1
e e 3 e n e
b/ xn D
a/ xn D
log.log n/
n
n
1
log n
log.n C 2/ n log n
c/ xn D
1C
d / xn D
n
n
log.n C 1/
p
j
n
k X
Y
1
1
.2 n n 1/n
1
e/ xn D
log
1C
f / xn D
n
k
j
n2
j D1
kD1
s
.pn/!
log.n C 1/ n
.p; q 2 N/
1 h/ xn D n
g/ xn D log n
log n
.q n/p n
!n
P
5 nkD1 k 4
1 p
n
i/ xn D
n!
j
/
x
D
log
1
C
n
n
n5
p
.nC1/n
2
32
43
n
e esen.1=n/
1 C 2 C 32 C C n n 1
l/ xn D
k/ xn D n
1 n sen.1=n/
n2
345. Sabiendo que fan g ! a, calcula el límite de las sucesiones:
p
a) xn D n. n an 1/
b) xn D
exp.a1 / C exp.a2 =2/ C C exp.an =n/
log n
c) xn D
a1 C a2 =2 C C an =n
log n
n
346. Calcula los límites de las sucesiones:
a/
p
n log.1 C 1=n/ 1
; b/ n n 2
n
.1 C 1=n/
e
Donde Hn D1C 12 C C n1 .
n1=n
1
2
; d / Hn n1=Hn
1 ; c/ n2
log.n/
2
1=n
1
Sugerencia. Usa equivalencias asintóticas apropiadas.
347. Sea fxn g una sucesión de números positivos tal que
r
xn
n
límite de la sucesión
p
.
n
x1 x2 xn
xnC1
xn
! L 2 RC . Calcula el
348. Sea fxn g una sucesión de números positivos, ˛ un número
real, y supongamos que
p
˛ n
fn˛ xn g ! L 2 RC
.
Calcula
el
límite
de
la
sucesión
n
x
x
1 2 xn .
o
349. Sean a, b números positivos; definamos xk DaC.k 1/b para cada k 2 N y sea Gn la
media geométrica de x1 ; x2 ; : : : ; xn y An su media aritmética. Calcula el límite de la
Gn
.
sucesión
An
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Ejercicios propuestos
369
350. Sea fxn g ! x, fyn g ! y, x¤y. Definamos z2n 1Dxn , y z2nDyn . Justifica que la sucesión
z1 C z2 C C zn
n
es convergente.
351. Definamos fxn g por:
x3m D
1
23m 1 3m
;
Calcula el límite de la sucesión
x3m
p
n
1
D
1
23m 3 3m 2
;
x3m
2
xn y justifica que la sucesión
D
n
1
23m 4 3m
xnC1
xn
o
:
no converge.
352. Sean fxn g, fyn g sucesiones de números positivos verificando que f.xn /n g ! x > 0
f.yn /n g ! y > 0. Dados ˛; ˇ 2 RC , con ˛CˇD1, calcula lKım.˛xn Cˇyn /n .
353. Sea fan g una sucesión de números positivos tal que fa1 C a2 C C an g es divergente,
y sea fbn g ! L, donde L puede ser un número real o ˙∞. Justifica que
a1 b1 C a2 b2 C C an bn
! L:
a1 C a2 C C an
n 1 X n
Aplicación. Supuesto que fxn g ! x, calcula lKım n
xk .
2
k
kD1
354. Dadas dos funciones polinómicas P; Q, tales que el grado de Qes mayor
o igual que el
P .n/
es convergente
grado de P y Q.n/¤0 para todo n 2 N, justifica que la sucesión
Q.n/
y calcula su límite.
355. a) Sea f W Œa; b !a; b creciente y continua. Prueba que la sucesión fxn g definida para
todo n 2 N por x1 D a y xnC1 D f .xn /, converge a un punto u 2a; b tal que f .u/ D u.
b) Dado 0 < ˛ 6 14 , estudia la convergencia de la sucesión fzn g definida por:
z1 D ˛;
znC1 D ˛ C zn2
8n 2 N:
356. a) Justifica las desigualdades
0 < log
ex 1
ex 1
< x .x > 0/I x < log
< 0 .x < 0/:
x
x
b) Dado x ¤0 definamos x1 D x, y para todo n 2 N:
xnC1 D log
exn 1
:
xn
Estudia la convergencia de fxn g.
357. Se considera la función f W RC ! R definida para todo x > 0 por f .x/ D log x
x C 2.
1. Prueba que f tiene exactamente dos ceros, ˛ y ˇ, con ˛ < 1 < ˇ.
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Ejercicios resueltos
370
2. Dado x1 2˛; ˇŒ, se define la siguiente sucesión por recurrencia:
xnC1 D log xn C 2 ; 8n 2 N:
Prueba que fxn g es una sucesión monótona creciente y acotada que converge a ˇ.
358. Dado un número ˛ 20; Œ, se define la sucesión fxn g dada por x1 D sen ˛, xnC1 D
sen xn .
(a) Justifica que la sucesión fxn g es convergente y calcula su límite.
1
1
(b) Calcula el límite de la sucesión zn D 2
xn2
xnC1
7.3.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 168 Prueba que flog n! g es asintóticamente equivalente a fn log n g.
Solución. Pongamos xn D n log n, yn D log n!. Aplicaremos el criterio de Stolz para
calcular el límite de la sucesión f xynn g. Tenemos que:
n log
nC1
n
xn
.n C 1/ log.n C 1/ n log n
D
D
C1
yn
log.n C 1/
log.n C 1/
n
Teniendo
en cuenta
que n log nC1
D log 1 C 1n ! 1 y que log n ! C1, obtenemos
n
n
o
xnC1
ynC1
que
xnC1 xn
ynC1 yn
! 1 y, por el criterio de Stolz, concluimos que f xynn g ! 1.
©
˚p
Ejercicio resuelto 169 Justifica que la sucesión n 1 C 1=n˛ 1 es asintóticamente equi˚
valente a 1=n˛C1 , donde ˛ > 0.
p
p
Solución. Pongamos xn D n 1 C 1=n˛ . Como 1 6 xn 6 n 2, deducimos, por el principio
log x
de las sucesiones encajadas, que fxn g ! 1. Sabemos que lKım
D 1, porque dicho
x!1 x
1
límite es la derivada en 1 de la función logaritmo. Por tanto, en virtud de la proposición
log.zn /
7.41, para toda sucesión fzn g ! 1 se verifica que lKım
D 1, esto es, zn 1 zn 1
log.zn /. Análogamente, se tiene que log.1 C un / un para toda sucesión fun g ! 0.
Deducimos que:
1
1 1
1
1
D ˛C1
xn 1 log.xn / D log 1 C ˛ ˛
n
n
nn
n
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Ejercicios resueltos
371
Ejercicio resuelto 170 Calcula los límites de las sucesiones fxn g definidas por:
1˛ C 2˛ C 3˛ C C n˛
, donde ˛ > 1.
n˛C1
p
n , donde k 2 N, aj 2 R; 16j 6k.
b) xn D k .n C a1 /.n C a2 / .n C ak /
!
p
n
p
n
˛ n aCˇ b
c) xn D
donde a > 0, b > 0 y ˛; ˇ 2 R, ˛ C ˇ ¤ 0.
˛Cˇ
!n
1 C 2p=n C 3p=n C C p p=n
d) xn D
, donde p 2 N.
p
!
1
1 C 2k C 3k C C nk
e) xn D n
, donde k 2 N.
k C1
nkC1
!n2
3 1 C 32 C 52 C C .2n 1/2
f) xn D
4
n3
n
1
1
g) xn D n 1 C 3
n log.1 C 1=n/
n 2
2
1
n 1
1
C
C C
C
log.n!/
nC
h) xn D
n
2
3
n 1
n
a) xn D
Solución. a) Pongamos xn D uvnn . Aplicamos el criterio de Stolz, lo cual puede hacerse
porque, al ser ˛ > 1 se tiene que n˛C1 es una sucesión estrictamente creciente.
unC1 un
nC1 ˛
.n C 1/˛
1
D
D
˛C1
˛C1
˛C1
vnC1 vn
n
.n C 1/
n
1
n 1C n
1
Usando las equivalencias asintóticas xn 1 log.xn /, válida cuando fxn g ! 1, y
log.1 C un / un , válida cuando fun g ! 0, tenemos que:
#
"
1 ˛C1
1
1
1 ˛C1
1 n log 1 C
D.˛C1/n log 1 C
.˛C1/n D˛C1:
n 1C
n
n
n
n
Deducimos que lKım
unC1 un
vnC1 vn
D
1
˛C1
y, por el criterio de Stolz, lKım xn D
1
˛C1 .
b)Tenemos que:
p
k
.n C a1 /.n C a2 / .n C ak /
r
a2 ak a1 1C
1 C
1 n
n
n
h
1
a1
a2
ak i
n log 1 C
D
1C
1 C
k
n
n
n
k
aj a1 C a2 C C ak
1X
:
n log 1 C
!
D
k
n
k
nDn
k
1C
j D1
Donde hemos tenido en cuenta que lKım n log 1 C
n!1
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a
n
D a.
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Ejercicios resueltos
372
c) Es una sucesión de potencias de la forma xn D uvnn , donde
p
p
n
˛ n aCˇ b
un D
;
vn D n
˛Cˇ
Claramente un ! 1, por lo que tenemos una indeterminación del tipo 11 . Usaremos el
criterio de equivalencia logarítmica.
!
!
p
p
p
p
n
n
˛. n a 1/ C ˇ. b 1/
˛ n aCˇ b
1 Dn
D
vn .un 1/ D n
˛Cˇ
˛Cˇ
p
p
ˇ
˛
n
n. n a 1/ C
n. b 1/ !
D
˛Cˇ
˛Cˇ
˛
ˇ
ˇ
˛
log a C
log b D log a ˛Cˇ b ˛Cˇ
!
˛Cˇ
˛Cˇ
ˇ
˛
Deducimos que lKım fxn g D a ˛Cˇ b ˛Cˇ .
n!1
d) Es una sucesión de potencias de la forma xn D uvnn , donde
p
p
p
1 C 2n C 3n C C p n
un D
;
p
vn D n
Claramente un ! 1, por lo que tenemos una indeterminación del tipo 11 . Usaremos el
criterio de equivalencia logarítmica.
!
p
p
p
1 C 2n C 3n C C p n
vn .un 1/ D n
1 D
p
p
p
p
1
n 2n 1 C n 3n 1 C C n pn 1
D
p
p
Teniendo en cuenta que lKım n. n a 1/ D log a, deducimos que:
lKım vn .un
n!1
1/ D log 2 C log 3 C C log n D log n! ÷ lKımfxn g D n!:
f) Es una sucesión de potencias xn D uvnn , donde:
un D
3 1 C 32 C 52 C C .2n
4
n3
1/2
;
vn D n2 :
La base fun g converge a 1, pues aplicando Stolz con an D 1 C 32 C 52 C C .2n
y bn D n3 , tenemos:
anC1
bnC1
1/2
.2n C 1/2
4n2 C 4n C 1
4
an
D
D
! :
3
3
2
bn
3
.n C 1/
n
3n C 3n C 1
Se trata de una indeterminación del tipo 11 . Aplicaremos el criterio de equivalencia
logarítmica.
!
2 C 52 C C .2n
2
3
1
C
3
1/
vn .un 1/ D n2
1 D
4
n3
4n3
3 3 1 C 32 C 52 C C .2n 1/2
D
4
n
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373
Apliquemos ahora el criterio de Stolz con zn D 3 1 C 32 C 52 C C .2n
4n3 ,wn D n. Tenemos:
znC1
wnC1
zn
D 3.2n C 1/2
wn
1/2
4.n C 1/3 C 4n3 D 1:
3
1
Deducimos que vn .un 1/ ! 43 y, por tanto, lKımfxn g D e 4 D p
4 3.
e
n
n
i
h
1
1
1 . Pongamos zn D 1 C n3 log.1C1=n/
. La sucesión
g) xn D n 1 C n3 log.1C1=n/
1
fzn g es una indeterminación del tipo 1 . Tenemos que:
n
n3
1
1
1
D
! 0 ÷ zn ! 1:
n n log.1 C 1=n/
log.1 C 1=n/
En consecuencia:
xn n log.zn / D n2 log 1 C
Luego lKımfxn g D lKım
1
n3 log 1 C
1
1
n log 1C n
D 1.
1
n
!
n2
1
n3 log 1 C
1
n
D
1
n log 1 C
1
n
:
©
Ejercicio resuelto 171 Calcula los límites de las sucesiones fxn g definidas por:
p
p p
log 1 C 21 C C n1
e e 3 e n e
a/ xn D
b/ xn D
log.log n/
n
n
log n
log.n C 2/ n log n
1
1C
d / xn D
c/ xn D
n
n
log.n C 1/
p
j
n
k X
Y
.2 n n 1/n
1
1
1
log
f / xn D
e/ xn D
1C
n
k
j
n2
j D1
kD1
s
.pn/!
log.n C 1/ n
g/ xn D log n
.p; q 2 N/
1 h/ xn D n
log n
.q n/p n
!
n
P
5 nkD1 k 4
1 p
n
i/ xn D
n!
j / xn D log 1 C
5
n
n
p
.nC1/n
2
32
43
n
e esen.1=n/
1 C 2 C 32 C C n n 1
l/ xn D
k/ xn D n
1 n sen.1=n/
n2
Solución. a) Usaremos la estrategia 7.33. Pongamos Hn D log n C xn donde fxn g ! ”.
Tenemos que:
xn
log 1 C 21 C C 1n
log
log
n
1
C
log n
log.log n C xn /
D
D
D
log.log n/
log.log n/
log.log n/
xn
xn
log.log n/ C log 1 C log
log 1 C log
n
n
D
D1C
! 1:
log.log n/
log.log n/
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Ejercicios resueltos
374
7.51 Observación. Hemos visto en el ejercicio resuelto 161 que Hn log n, pero
de aquí no puede deducirse directamente que log.Hn / log.log n/ que es lo que hemos probado. La razón es que no es cierto en general que si fxn g fyn g también sea
1
1
log.xn / log.yn /. Por ejemplo, las sucesiones fe n g y fe n2 g son asintóticamente equivalentes porque ambas convergen a 1, pero sus logaritmos son las sucesiones f n1 g y f n12 g
que no son asintóticamente equivalentes.
En general, no hay garantías de que una equivalencia asintótica entre sucesiones se conserve por una determinada función.
c) Tomando logaritmos tenemos que:
log n
log xn D n log 1 C
n
log n
log n D n log 1 C
n
Esta expresión es de la forma log.1 C un /
log.1 C x/
x!0
x2
log 1 C
log xn D
x
log n
n ,
anteriores converge a
tanto, fxn g ! 1.
log n
n
log n
n
Poniendo un D
un donde un ! 0. Recordemos que:
lKım
Tenemos que:
log n
n
D
log n
n
2
1
2
.log n/2
n
como un ! 0, deducimos que la primera de las dos fracciones
1
2
y la segunda
.log n/2
n
! 0. Concluimos que log xn ! 0 y, por
n
k Y
1X1
1 j
e) xn D
1C
log
. Pongamos:
n
k
j
kD1
j D1
k
X
k Y
1
1 j j D1
zk D log
D
1C
k
j
j D1
1
j log 1 C
j
k
:
De esta forma, se tiene que:
xn D
n
X
kD1
n
zk
:
Como fzn g es la sucesión de las medias aritméticas de la sucesión yn D n log 1 C n1 ,
y lKımfyn g D 1, se sigue, por el criterio de la media aritmética, que fzn g ! 1. Como
fxn g es la sucesión de las medias aritméticas de fzn g, volviendo ahora a aplicar el mismo
criterio, deducimos que fxn g ! 1.
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375
p
.2 n n 1/n
. Pongamos:
f) xn D
n2
r
n
p
2nn 1
n 1
D 2
p
xn D
n
n
n2
r
n
1
n2
!n
q
q
n 1
Se trata de una sucesión de potencias de la forma xn D uvnn donde un D 2 n 1n
n2
1
y vn D n. Claramente un ! 1, por lo que se trata de una indeterminación del tipo 1 .
Aplicaremos el criterio de equivalencia logarítmica.
vn .un
!
r
1
n 1
1 D n
1/ D n 2
n
n2
!
r 2
log n
n 1
! 0:
D
n log
n
n
Deducimos que xn ! 1.
r
n
1
n
r
n
log.n C 1/
log n
n
!2
1
1 es de la forma bn .an
g) La sucesión xn D log n
1/ donde
n
, bn D log n. Veamos que fan g ! 1. Para ello, como se trata de una
an D log.nC1/
log n
indeterminación del tipo 11 , aplicamos el criterio de equivalencia logarítmica:
n
1
n log 1 C 1
log
1
C
log.n C 1/
n
n
n
1 D
D
!0
log n
log n
log n
Por tanto, fan g ! 1. Podemos aplicar ahora el criterio de equivalencia logarítmica a la
sucesión bn .an 1/. Tenemos que:
log.n C 1/ n log n
bn
an D
log n
Esta sucesión es una indeterminación del tipo 11 y podemos volver a aplicarle el criterio
de equivalencia logarítmica.
log.n C 1/
1
n log n
1 D n log 1 C
! 1:
log n
n
Concluimos que fxn g ! 1.
s
.pn/!
p
.
donde p; q 2 N. Es una sucesión del tipo xn D n zn donde zn D .q.pn/!
h) xn D n
n/pn
.q n/pn
Tenemos que:
pn
.pn C p/! .q n/pn
.pn C 1/.pn C 2/ .pn C p/
n
znC1
D
D
zn
.q n C q/pnCp .pn/!
.q n C q/p
nC1
es un cociente de dos polinomios en la variable n
La fracción .pnC1/.pnC2/.pnCp/
.q nCq/p
del mismo grado p y coeficientes líder iguales a p p y q p respectivamente, por tanto su
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376
p p
.
q
n pn
nC1
D 1
1
nC1
np
converge a e p . Por tanto,
p
en virtud del corolario 7.40, la sucesión dada converge a qpe .
p
1
1
n
e n esen. n /
e esen.1=n/
ex esen x
D 1
.
.
Consideremos
la
función
f
.x/
D
k) xn D n
1 n sen.1=n/
x sen x
sen. n1 /
n
límite es igual a
La sucesión
Pongamos yn D 1n . Tenemos que xn D f .yn /. Como yn ! 0, el límite de fxn g es igual
al límite de f .x/ en x D 0. Tenemos que:
f .x/ D
ex esen x
ex
D esen x
x sen x
x
Donde hemos usado que la función
sen x
1
esen x 1
sen x
ex sen x 1
x sen x
es de la forma
e h.x/ 1
h.x/
.x ! 0/
donde lKım h.x/D0,
x!0
por lo que dicha función tiene límite igual a 1 en x D 0.
©
Ejercicio resuelto 172 Sabiendo que fan g ! a, calcula el límite de las sucesiones:
p
a) xn D n. n an 1/
b) xn D
exp.a1 / C exp.a2 =2/ C C exp.an =n/
log n
c) xn D
a1 C a2 =2 C C an =n
log n
Solución. b) Es una sucesión del tipo xn D
unC1
vnC1
un
vn .
n
Aplicaremos el criterio de Stolz.
anC1 exp nC1
1
anC1
un
D
! a:
n
1
vn
nC1
log 1 C n
Donde hemos usado la equivalencia asintótica ezn 1 zn válida siempre que zn ! 0
y log.1 C yn / yn , válida siempre que yn ! 0. Concluimos que fxn g ! a.
©
o
n
x
Ejercicio resuelto 173 Sea fxn g una sucesión de números positivos tal que nC1
! L > 0.
xn
r
xn
.
Calcula el límite de la sucesión n p
n
x1 x2 xn
xn
p
. Aplicaremos
Solución. Es una sucesión del tipo wn D n yn donde yn D p
n
x1 x2 xn
el corolario 7.40. Tenemos que:
1
x1 x2 xn n
xnC1
ynC1
D
L
1
nC1
yn
xn x x x x
n nC1
1 2
En virtud, del citado corolario, se tiene que
Consideremos la sucesión:
log zn D
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1
1
x1 x2 xn n.nC1/
p
xnC1
nC1
1
p
xnC1 ! L. Sea zn D x1 x2 xn n.nC1/ .
nC1
log.x1 / C log.x2 / C C log.xn /
n.n C 1/
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Ejercicios resueltos
377
Pongamos an Dlog.x1 / Clog.x2 / C Clog.xn /, bn Dn.nC1/. Aplicaremos el criterio
de Stolz.
p
log.xnC1 / 1
1
anC1 an
p
D
D log nC1 xnC1 ! log L D log L:
bnC1 bn
2n C 2
2
2
p
p
p
y
!
L. El
Deducimos que log zn ! log L, por lo que zn ! L y también nC1
y
n
p
citado corolario 7.40 implica que wn ! L.
Ejercicio resuelto 174 Sean a, b números positivos; definamos xk DaC.k 1/b para cada
k 2 N y sea Gn la media geométrica de x1 ; x2 ; : : : ; xn y An su media aritmética. Calcula
Gn
el límite de la sucesión
.
An
Solución. Tenemos que An D
Gn
D
An
p
n
na C
n.n 1/
b
2
n
x1 x2 xn
D
DaC
1
a
n
n
1
n
r
n
b. Por tanto:
x1 x2 xn
nn
C n2n1 b
r
x1 x2 xn
p
n
Calcularemos el límite de la sucesión Un D
, que es del tipo Un D n zn ,
n
n
usando el corolario 7.40, tenemos:
n
xnC1
znC1
xnC1
1
b
n
n
D
D
1
!
:
zn
nC1
nC1
e
.n C 1/nC1
aC
n 1
n b
©
Gn
g ! 2e .
Deducimos que f A
n
Ejercicio resuelto 175 Sea fxn g ! x, fyn g ! y, x ¤y. Definamos z2n
Justifica que la sucesión
z1 C z2 C C zn
n
es convergente.
z1 C z2 C C zn
. Tenemos que:
Solución. Pongamos un D
n
1 Dxn ,
y z2n Dyn .
z1 C z3 C C z2n 1
z2 C z4 C C z2n
C
D
2n
2n
1 y1 C y2 C C yn
x
y
xCy
1 x1 C x2 C C xn
C
! C D
:
D
2
n
2
n
2
2
2
u2n D
Donde hemos aplicado el criterio de la media aritmética. Análogamente se comprueba
xCy
que fu2n 1 g ! xCy
2 . Concluimos que fun g ! 2 .
Observa que no se puede calcular el límite de fun g aplicando el criterio de Stolz. Llan
mando Zn D z1 C z2 C C zn , Vn D n, tenemos un D Z
Vn y:
ZnC1 Zn
xmC1 ; si n D 2m es par;
D ZnC1 Zn D
ym ;
si n D 2m 1 es impar.
VnC1 Vn
Por tanto, la sucesión
ZnC1 Zn
VnC1 Vn
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no es convergente.
©
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378
Ejercicio resuelto 176 a) Justifica las desigualdades:
0 < log
ex 1
ex 1
< x .x > 0/I x < log
< 0 .x < 0/:
x
x
b) Dado x ¤0 definamos x1 D x, y para todo n 2 N:
xnC1 D log
exn 1
:
xn
Estudia la convergencia de fxn g.
Solución. a) En virtud del teorema del valor medio tenemos que:
ex
x
ex 1
e0
D
D ec
0
x
donde c es un punto comprendido entre x y 0, esto es, c 20; xŒ si x > 0, y c 2x; 0Œ si
x < 0. En el primer caso es 1 < ec < ex y en el segundo es ex < ec < 1. Á partir de
aquí se deducen enseguida las desigualdades del enunciado.
ex 1
b) Definamos f .x/Dlog
y f .0/D0. La función f es continua en R. Supongamos
x
que x < 0. Entonces, como consecuencia de la segunda de las desigualdades del apartado
anterior, se tiene que la sucesión fxn g es creciente y xn < 0 para todo n 2 N. Por tanto,
dicha sucesión converge y su límite es un número ˛ 6 0, que debe verificar la igualdad
˛ D f .˛/ lo que exige que ˛ D 0.
©
Ejercicio resuelto 177 Se considera la función f W RC ! R definida para todo x > 0 por
f .x/ D log x x C 2.
a) Prueba que f tiene exactamente dos ceros, ˛ y ˇ, con ˛ < 1 < ˇ.
b) Dado x1 2˛; ˇŒ, se define la siguiente sucesión por recurrencia:
xnC1 D log xn C 2 ; 8n 2 N:
Prueba que fxn g es una sucesión monótona creciente y acotada que converge a ˇ.
Solución. a) Como lKım f .x/ D lKım f .x/ D 1 y f .1/ D 1 > 0 y, evidentemente,
x!0
x!C1
la función f es continua en RC , podemos aplicar el teorema de Bolzano a los intervalos
0; 1 y Œ1; C1Œ, para deducir que f tiene algún cero en cada uno de ellos.
Como f 0 .x/ D x1 1 D 1 xx , se sigue que f es estrictamente decreciente en Œ1; C1Œ y
estrictamente creciente en 0; 1. Por tanto solamente puede anularse una vez en dichos
intervalos.
b) Como la función h.x/ D log x C 2 es estrictamente creciente para x > 0 y h.˛/ D
˛, h.ˇ/ D ˇ, se deduce que para todo x 2˛; ˇŒ es ˛ < h.x/ < ˇ. Además, como
h.x/ x es continua y no se anula en ˛; ˇŒ debe tener signo constante. Como h.1/ > 0,
deducimos que x < h.x/ para todo x 2˛; ˇŒ. Por tanto, dado x1 2˛; ˇŒ, se tiene que
x1 < h.x1 /Dx2 y, supuesto que xn 1 < xn se tiene que xn Dh.xn 1 / < h.xn /DxnC1 .
Por tanto fxn g es una sucesión estrictamente creciente y, además, todos sus términos
están en ˛; ˇŒ, luego dicha sucesión converge y su límite, , debe verificar la igualdad
D h./; puesto que ˛ < 6 ˇ, se sigue que D ˇ.
©
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Sucesiones de números complejos
379
Ejercicio resuelto 177 Dado un número ˛ 20; Œ, se define la sucesión fxn g dada por x1 D
sen ˛, xnC1 D sen xn .
(a) Justifica que la sucesión fxn g es convergente y calcula su límite.
1
1
(b) Calcula el límite de la sucesión zn D 2
xn2
xnC1
Solución. a) La conocida desigualdad 0 < sen x < x, válida para todo x 20; Œ, implica
que la sucesión es estrictamente decreciente y de números positivos. De aquí se deduce
enseguida que es convergente y su límite es 0.
b)
zn D
1
2
xnC1
xn2
1
xn2 sen2 .xn /
D
xn2
xn2 sen2 .xn /
1
1
D
2
2
xn
sen .xn /
sen2 .xn / sen.xn / C xn xn
D
xn
xn4
1
sen.xn /
! :
3
3
xn
©
7.4. Sucesiones de números complejos
7.52 Definición. Una sucesión de números complejos fzn g se dice que converge a un número
complejo z si, dado cualquier número real " > 0, existe un número natural m" tal que si n es
cualquier número natural mayor o igual que m" se cumple que jzn zj < ". Simbólicamente:
8" > 0 9m" 2 N W n > m" ) jzn
zj < "
Se dice que el número z es límite de la sucesión fzn g y se escribe lKım fzn g D z o, simplen!1
mente, lKımfzn g D z e incluso, si no hay posibilidad de confusión, fzn g ! z.
Observa que, en virtud de la definición dada, se verifica que
fzn g ! z
”
jzn
zj!0
Recordemos que mKaxfjRe zj; jIm zjg6jz j6jRe zjCjIm zj. Gracias a esta desigualdad tenemos
que:
)
jRe zn Re zj
6 jzn zj 6 jRe zn Re zj C jIm zn Im zj
jIm zn Im zj
Deducimos que jzn zj ! 0 si, y sólo si, jRe zn
probado así el siguiente resultado.
Re zj ! 0 y jIm zn
Im zj ! 0. Hemos
7.53 Proposición. Una sucesión de números complejos fzn g es convergente si, y sólo si, las
sucesiones de números reales fRe zn g y fIm zn g son convergentes. Además, en dicho caso
lKımfzn g D z ” Re z D lKımfRe zn g
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y
Im z D lKımfIm zn g
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Definición de la exponencial compleja
380
Gracias a este resultado el estudio de sucesiones de números complejos se reduce a estudiar
la convergencia de dos sucesiones de números reales.
Los resultados obtenidos para sucesiones de números reales en los que no interviene la
estructura de orden son también válidos para sucesiones de números complejos. Son válidos,
en particular, los resultados relativos a álgebra de límites, el teorema de Bolzano–Weierstrass
y el teorema de completitud.
7.4.1. Definición de la exponencial compleja
Una de las formas de definir la exponencial de un número real x es mediante el límite
x n
ex D lKım 1 C
n!1
n
Por tanto, una forma coherente de definir la exponencial de un número complejo sería calcular
el anterior límite para z 2 C. Pongamos z D x C iy donde suponemos que y ¤ 0 (puesto que
si y D 0 tendríamos que z D x sería un número real). Sea
x C iy n
zn D 1 C
:
n
Pongamos:
wn D 1 C
x C iy
x
y
D1C Ci ;
n
n
n
'n D arc tg
y=n
:
1 C x=n
Sea n0 tal que para n > n0 se verifique que Re.wn / > 0. Entonces, para n > n0 resulta que
'n D arg.wn /. Por otra parte, el módulo de wn viene dado por:
ˇ
x 2 y 2
z ˇˇ2 ˇ
C 2:
jwn j2 D ˇ1 C ˇ D 1 C
n
n
n
Como zn D .wn /n , tenemos, gracias a la fórmula de De Moivre, que:
x C iy n
n
n
zn D .wn / D jwn j .cos.n'n / C i sen.n'n // D 1 C
D
n
#n=2
"
x 2 y 2
C 2
cos.n'n / C i sen.n'n / :
D 1C
n
n
Pero, por el criterio de equivalencia logarítmica, es:
"
x 2 y 2
C 2
lKımjwn jn D lKım 1 C
n
n
#n=2
n
D exp lKım
2
y2
x2
2x
C 2 C 2
n
n
n
Además, la sucesión f'n g es asintóticamente equivalente a la sucesión
y=n
D y:
lKımfn'n g D lKım n
1 C x=n
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!!
D ex :
y=n
. Por tanto
1 C x=n
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Ejercicios propuestos
381
En consecuencia, tenemos que:
z n
lKım 1 C
D lKım .wn /n D lKım jwn jn cos.n 'n / C i sen.n 'n / D ex .cos y C i sen y/:
n!1
n!1
n!1
n
Se define, por tanto, la exponencial de un número complejo z D x C iy como
exCiy D ex .cos y C i sen y/:
7.4.2. Ejercicios propuestos
360. Estudia la convergencia de las sucesiones:
i) zn D
p
n
n C i n an
p
1
n
a C i sen
n
1Ci n
v) zn D
2
iii) zn D
.a 2 R; jaj < 1/
.a > 0/
ii) zn D
2n
in
C n
n
2
1
1
iv) zn D n sen C 5 i cos
n
n
1
1 n
vi) zn D p C i p
2
2
361. Sea fzn g una sucesión de números complejos no nulos y sea 'n 2 Arg.zn /. Supongamos
que f'n g ! ' y fjzn jg ! . Justifica que la sucesión fzn g ! .cos ' C i sen '/.
!n
p
2 C i 3
.
362. Calcula el límite de la sucesión zn D 1 C
n
Sugerencia. Expresa zn D jzn j.cos 'n C i sen 'n / y usa el ejercicio anterior.
p
n
363. Calcula el límite de la sucesión zn D n
C i sen
1 .
2 cos
2n
2n
p
n
Sugerencia: Recuerda que el límite de la sucesión n 2 1 es bien conocido.
364. Sea z 2 C, con jzj D 1, z ¤ 1. Prueba que la sucesión fz n g no converge (¿qué pasa si
supones que converge?). Deduce que si ' es un número real que no es un múltiplo entero
de , las sucesiones fcos.n'/g y fsen.n'/g no convergen.
7.4.3. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
p n
C i sen
Ejercicio resuelto 178 Calcula el límite de la sucesión zn D n
2 cos
2n
2n
p
n
Sugerencia. Recuerda que el límite de la sucesión n 2 1 es bien conocido.
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1 .
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Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass
382
Solución.
p p
p
n
n
n
1 C i 2 sen
C 2 1 D
2 cos
2n
2n
p cos 1
p
p
sen 2n
n
n
n
2n
2 1 C 2
Dn
Ci 2
! log 2 C i
2
2
2
2n
2n
zn D n
Ejercicio resuelto 179 Sea z 2 C, con jzjD1, z¤1. Prueba que la sucesión fz n g no converge
(¿qué pasa si supones que converge?). Deduce que si ' es un número real que no es un
múltiplo entero de , las sucesiones fcos.n'/g y fsen.n'/g no convergen.
Solución. Siguiendo la sugerencia, supongamos que fz n g converge a un número w 2 C.
Como jz n jDjzjn D1, debe ser jwjD1. Por una parte, es claro que fz nC1 g ! w y también
fz nC1 g D zfz n g ! zw, por tanto debe ser z D wz, lo que implica que .z 1/w D 0 lo
cual es imposible porque z ¤ 1 y w ¤ 0. Concluimos que fzn g no converge.
Sea ' un número real que no es un múltiplo entero de . Pongamos z D cos ' C i sen '.
Tenemos que z ¤ 1 y jzj D 1. Por lo antes visto, la sucesión fz n g D fcos.n'/ C i sen.n'/g
no converge. Veamos que esto implica que ninguna de las sucesiones fcos.n'/g, fsen.n'/g
converge.
En efecto, de la igualdad:
sen.n C 1/ D sen n cos 1 C cos n sen 1 ÷
cos n D
1
sen.n C 1/
sen 1
sen n cos 1
se deduce que si fsen.n'/g converge, también converge fcos.n'/g y, por tanto, la sucesión fcos.n'/ C i sen.n'/g converge, lo que es contradictorio.
Análogamente, de la igualdad:
cos.n C 1/ D cos n cos 1
sen n sen 1 ÷
sen n D
1
cos.n C 1/
sen 1
cos n cos 1
se deduce que si fcos.n'/g converge, también converge fsen.n'/g y, por tanto, la sucesión fcos.n'/ C i sen.n'/g converge, lo que es contradictorio.
©
7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de
Weierstrass
Las demostraciones que vimos en el capítulo 4 de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass
se apoyaban directamente en “primeros principios”, esto es, en la definición de continuidad y
en el axioma del supremo. Por eso dichas demostraciones son un poco complicadas y no del
todo fáciles de seguir en una primera lectura. Con la ayuda de la teoría desarrollada en este
capítulo podemos dar demostraciones más cortas y amigables de dichos teoremas.
7.54 Teorema (Otra demostración del teorema de los ceros de Bolzano). Toda función continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algún punto de dicho
intervalo.
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Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass
383
Demostración. Sea f W Œa; b ! R continua y supongamos que f .a/ > 0 y f .b/ < 0. Si
dividimos el intervalo Œa; b por un punto c 2a; bŒ en dos subintervalos Œa; c y Œc; b, puede
ocurrir que f .c/ D 0 en cuyo caso hemos acabado; en otro caso será f .c/ ¤ 0, por lo que una
sola de las desigualdades f .a/f .c/ < 0, f .c/f .b/ < 0 tiene que ser cierta, es decir, la función
f toma valores de signos opuestos en los extremos de uno de los subintervalos Œa; c y Œc; b en
que hemos dividido el intervalo Œa; b. Podemos ahora repetir este proceso partiendo de dicho
subintervalo. Esto es lo que hacemos seguidamente.
Pongamos a1 D a; b1 D b. Dividimos el intervalo Œa1 ; b1  por la mitad en dos subintervalos
y elegimos aquél en el que la función f toma valores de distinto signo en sus extremos y a
este subintervalo le llamamos Œa2 ; b2 . Repetimos ahora el proceso dividiendo por la mitad el
intervalo Œa2 ; b2  y obtenemos un intervalo Œa3 ; b3  tal que f .a3 /f .b3 / < 0. Este proceso o bien
se acaba porque en alguna etapa hemos dividido el intervalo por un punto en el que la función
f se anula, en cuyo caso ya hemos encontrado un punto de Œa; b donde la función se anula, o
bien podemos proseguirlo indefinidamente obteniendo una sucesión de intervalos Œan ; bn  con la
propiedad de que f .an /f .bn / < 0 para todo n 2 N. Como f .a1 / > 0 y f .b1 / < 0, fácilmente
se sigue que debe ser f .an / > 0 y f .bn / < 0 para todo n 2 N. Las sucesiones fan g y fbn g
son monótonas y acotadas por lo que convergen. Además, como bn an D .b a/=2n 1 , se
sigue que ambas sucesiones convergen a un mismo número. Pongamos lKımfan g D lKımfbn g D ˛.
Como para todo n 2 N es a 6 an 6 b, se sigue que a 6 ˛ 6 b. Como f es continua en Œa; b, en
particular es continua en ˛ por lo que se verifica que:
f .˛/ D f .lKımfan g/ D f .lKımfbn g/ D lKım ff .an /g D lKım ff .bn /g :
Como para todo n 2 N es f .an / > 0, se sigue que f .˛/ > 0. Como para todo n 2 N es
f .bn / < 0, se sigue que f .˛/ 6 0. Concluimos que f .˛/ D 0.
2
La demostración anterior da lugar al método de bisección para calcular (de forma aproximada) raíces de ecuaciones. Dicho método tiene la ventaja de que se programa muy fácilmente
y permite controlar el error máximo que se comete así como el número de iteraciones necesarias
para lograr una determinada precisión.
7.55 Teorema (Otra demostración del teorema de Weierstrass). Toda función continua en
un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos.
Demostración. Sea f W Œa; b ! R continua. Probaremos primero que f está acotada en Œa; b,
es decir, que el conjunto imagen f .Œa; b/ está acotado. Razonaremos por contradicción. Si f
no está acotada en Œa; b para todo n 2 N tiene que haber algún xn 2 Œa; b tal que f .xn / > n.
De esta forma obtenemos una sucesión fxn g de puntos de Œa; b verificando que f .xn / > n
para todo n 2 N. Como la sucesión fxn g está acotada, el teorema de Bolzano–Weierstrass nos
dice que fxn g tiene alguna sucesión parcial, fx .n/g convergente. Pongamos yn D fx .n/g y sea
D lKımfyn g. Como a 6 yn 6 b tenemos que a 6 6 b. Además, por la continuidad de f debe
verificarse que f ./ D lKımff .yn /g. Pero esto es imposible porque al ser f .yn / D f .x .n// >
.n/>n, se sigue que la sucesión ff .yn /g no está acotada, por lo que no puede ser convergente.
Concluimos que necesariamente f está acotada en Œa; b.
Una vez que hemos probado que el conjunto f .Œa; b/ está acotado, como evidentemente
no es vacío, el axioma del supremo nos dice que hay un número real M que es el mínimo
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Continuidad uniforme
384
mayorante del mismo, es decir, M D sup f .Œa; b/. Usando el resultado probado en el ejercicio
resuelto 153, se sigue que hay una sucesión fzn g de puntos de Œa; b tal que lKımff .zn /gDM . La
sucesión fzn g está acotada por lo que, en virtud del teorema de Bolzano–Weierstrass, tiene una
parcial, fz .n/g convergente. Pongamos wn Dz .n/ y sea lKımfwn gDc. Como a6w
˚ n 6b se
tiene
que a 6 c 6 b. Por la continuidad de f se tiene que f .c/ D lKım ff .wn /g D lKım f .z .n/ / D M .
Luego la función f alcanza en c 2 Œa; b un máximo absoluto.
2
7.6. Continuidad uniforme
Piensa un par de minutos antes de responder a la siguiente pregunta. Supongamos que f
es una función continua en un intervalo I . ¿Es cierto que si tomamos valores x; y 2 I muy
próximos entre sí los correspondientes valores de la función f .x/; f .y/ también están muy
próximos entre sí?
Si tu respuesta ha sido afirmativa, como suele ser, te equivocas. Considera la función continua f W0; 1 ! R dada por f .x/ D 1=x. Los puntos 10 10 y 10 20 están muy próximos entre
sí: 10 10 10 20 < 10 10 , pero f .10 10 / D 1010 y f .10 20 / D 1020 están muy distantes
entre sí. No hay nada extraño en este comportamiento. A cualquier función continua cuya gráfica tenga una asíntota vertical le pasa lo mismo: hay puntos muy próximos entre sí en los que
la función toma valores muy distantes entre sí.
Pero también hay funciones continuas y acotadas que se comportan de forma parecida.
Considera la función continua gW0; 1 ! R dada por g.x/Dsen.1=x/. Es una función acotada:
el mayor valor que toma es 1 y el menor valor que toma es 1, de hecho se tiene que g.0; 1/D
1
e yn D 2n 1 =2 están, para n
Œ 1; 1. Sea n un número natural. Los puntos xn D 2nC=2
suficientemente grande, muy próximos entre sí; de hecho fxn yn g ! 0. Los valores que
toma en ellos la función g.xn / D 1 y g.yn / D 1 distan entre sí 2 unidades (que es la máxima
distancia que puede haber entre valores tomados por esta función).
Si lo piensas un poco, te darás cuenta de que en ambos ejemplos este comportamiento
se debe a que las funciones f y g “oscilan mucho” en intervalos arbitrariamente pequeños.
Conviene precisar la idea de “oscilación en un intervalo”.
7.56 Definición. Se define la oscilación de una función f en un intervalo J contenido en el
dominio de definición de f como:
sup f .J / Kınf f .J /; si f .J / está acotadoI
!.f; J / D
C1;
si f .J / no está acotado:
En otros términos: la oscilación de f en J es la longitud del intervalo más pequeño que contiene a f .J /.
Para la función f .x/D1=x se tiene que ! f; Œ1=2n; 1=n Dn y ! f; 0; 1=n DC1.
Para
la función g.x/ D sen.1=x/ tenemos que ! g; Œ1=.2n C =2/; 1=.2n =2/ D 2. Estas
funciones tienen una oscilación “grande” en intervalos arbitrariamente pequeños. En algunas
circunstancias interesa poder controlar el tamaño de la oscilación de una función de manera
que dicha oscilación sea menor que una cierta cantidad fijada, " > 0, en cualquier intervalo
de longitud menor que un cierto número ı > 0. Las funciones para las que esto puede hacerse
cualquiera sea " > 0, se llaman uniformemente continuas.
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Continuidad uniforme
385
7.57 Definición. Se dice que una función f es uniformemente continua en un intervalo I si
para todo " > 0 es posible encontrar un ı > 0 de manera que siempre que J sea un intervalo
contenido en I de longitud menor que ı, se verifica que la oscilación de f en J es menor o
igual que ".
Teniendo en cuenta que !.f; J /6"”jf .x/ f .y/j6" para todos x; y 2 J , la definición
dada puede expresarse de forma equivalente como sigue.
Una función f es uniformemente continua en un intervalo I si para todo " > 0 es posible
encontrar un ı > 0 de manera que siempre que x, y sean puntos de I con jx yj 6 ı, se
verifica que jf .x/ f .yj 6 ". Simbólicamente:
jx yj 6 ı
C
C
8" 2 R 9 ı 2 R W
÷jf .x/ f .y/j 6 "
(7.12)
x; y 2 I
7.58 Observaciones.
El concepto de “continuidad uniforme” es un concepto global: depende del comportamiento de la función en todo un intervalo. No tiene sentido decir que una función es uniformemente
continua en un punto: la continuidad uniforme no es un concepto local.
Es muy interesante comparar las definiciones de continuidad puntual (4.1) y de continuidad uniforme (7.12). Resulta evidente que la continuidad uniforme en un intervalo I implica
la continuidad en todo punto de I : toda función uniformemente continua en un intervalo es
continua en dicho intervalo.
En general, no es cierto que una función continua en un intervalo I sea uniformemente continua en I como lo prueban los ejemplos dados al principio. Pero hay una situación particular
en la que dicha afirmación sí es cierta. Este es el contenido del siguiente teorema. Se trata de
un resultado importante en el que pueden destacarse aportaciones de varios matemáticos. Dirichlet ya lo incluyó en sus lecciones de 1862 y en 1872 Heine dio una primera demostración
del mismo. Posteriormente Weierstrass, Borel y Lebesgue generalizaron el resultado inicial.
7.59 Teorema (Teorema de Heine). Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado
es uniformemente continua en dicho intervalo.
Demostración. Razonaremos por contradicción. Sea f W Œa; b ! R una función continua y
supongamos que no es uniformemente continua en Œa; b. En tal caso debe existir "0 > 0 tal que
para cualquier ı > 0 hay puntos xı ; yı 2 Œa; b con jxı yı j 6 ı y jf .xı / f .yı /j > "0 . En
particular, si para cada n 2 N ponemos ın D n1 , existirán puntos xn ; yn 2 Œa; b con jxn yn j6 1n
y jf .xn / f .yn /j > "0 . La sucesión fxn g está acotada por lo que debe tener una sucesión
parcial, fx .n/g, convergente. Sea lKımfx .n/g D c. Como a 6 x .n/ 6 b, se tiene que a 6 c 6 b.
Como fxn yn g ! 0, se sigue que fy .n/ g ! c. Como c 2 Œa; b y f es continua en Œa; b,
f es continua en c, luego tiene que existir r > 0 tal que para todo z 2c r; c C r Œ\Œa; b
se verifica jf .c/ f .z/j < "0 =2. Por tanto, para x; y 2c r; c C r Œ\Œa; b tenemos que
jf .x/ f .y/j 6 jf .x/ f .c/j C jf .c/ f .y/j < "0 =2 C "0 =2 D "0 . Como fx .n/g ! c
y fy .n/g ! c, tiene que existir un número n0 2 N tal que para todo n > n0 se verifica que
x .n/ ; y .n/ 2c r; c C r Œ\Œa; b por lo que debe ser jf .x .n// f .y .n//j < "0 , lo que es
contradictorio porque jf .xn / f .yn /j > "0 para todo n 2 N.
2
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