Cap. 4_Cinemática de fluidos

Capítulo 3
Conceptos fundamentales para el
análisis del flujo de fluidos
3.1 El campo de velocidades
La propiedad más importante de un flujo es el campo de velocidad V(x, y, z, t). De
hecho, determinar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema ya
que otras propiedades se obtienen directamente de ésta.
En general la velocidad es un vector función de la posición y el tiempo, que tienen tres
componentes escalares u, v y w.
(3.1)
Otras magnitudes, denominadas propiedades cinemáticas, se pueden calcular
matemáticamente a partir de la velocidad. Ejemplos de aquellas son el vector de
desplazamiento, el vector de velocidad angular local y el flujo volumétrico.
Si las propiedades en cada punto del campo de flujo no cambian con el tiempo, el flujo
se denomina permanente. La definición matemática de un flujo permanente es
donde η representa cualquier propiedad del fluido. Para un flujo permanente:
y
Así, en un flujo permanente, cualquier propiedad puede variar de punto en punto en el
campo, pero todas las propiedades permanecen constantes con el tiempo.
3.1.1 Flujos uni, bi y tridimensionales
El flujo se clasifica como uni, bi y tridimensional dependiendo del número de
coordenadas espaciales requeridas para describir el campo de velocidad. La Ec. (3.1)
indica que el campo de velocidad puede ser una función de tres coordenadas
espaciales y del tiempo. Dicho campo de flujo se denomina tridimensional (también
es no permanente o transitorio) ya que la velocidad en cualquier punto del campo de
flujo depende de las tres coordenadas espaciales requeridas para localizar el punto en
el espacio.
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No todos los campos de flujo son tridimensionales. Por ejemplo, el flujo permanente a
través de una tubería recta de sección transversal uniforme. Lejos de la entrada del
tubo la distribución de velocidad se puede describir como
Este perfil de velocidad se muestra en la Figura 3.1 donde se emplean coordenadas
cilíndricas (r, θ, z) para localizar cualquier punto en el campo de flujo. El campo de
velocidad es una función de r únicamente; es independiente de z y θ, de manera que
este es un flujo unidimensional.
Figura 3.1 Ejemplo de flujo unidimensional.
Un ejemplo de un campo bidimensional se ilustra en la Figura 3.2. En esta figura se
representa la distribución de velocidad para el flujo entre paredes rectas divergentes,
infinitas en la dirección de z. Ya que se considera que el ducto es infinito en z, el
campo de velocidad será idéntico en todos los planos perpendiculares a este eje.
Consecuentemente, el campo de velocidad es únicamente función de las coordenadas
espaciales x, y.
Figura 3.2 Ejemplo de flujo bidimensional.
Como se podría esperar, la complejidad del análisis se incrementa considerablemente
con el número de dimensiones del campo de flujo. El más simple de analizar es el flujo
unidimensional, siendo el más complicado el flujo tridimensional. Para muchos análisis
en ingeniería, un análisis unidimensional es suficiente para obtener soluciones
aproximadas, con la precisión que se requiere en ingeniería.
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3.1.2 Líneas de flujo
En el análisis de problemas en mecánica de fluidos, frecuentemente es ventajoso
obtener una representación visual del campo de flujo. Esta representación se puede
obtener mediante cuatro tipos diferentes de curvas o líneas de flujo; estas son: líneas
de tiempo, trayectorias, líneas de emisión y líneas de corriente.
Si un número de partículas de fluido adyacentes en un campo de flujo se marcan en
un instante dado, éstas forman una línea en el fluido en ese instante; esta línea es
llamada una línea de tiempo. Observaciones subsecuentes de la línea pueden
proporcionar información acerca del campo de flujo. Por ejemplo, cuando se discutió
el comportamiento de un fluido Newtoniano bajo la acción de un esfuerzo cortante
constante, se usó una línea de tiempo para demostrar la deformación del fluido en
instantes sucesivos.
Figura 3.3 Líneas de tiempo
Una trayectoria o senda es el camino seguido por una partícula de fluido en
movimiento. Para hacer visible una trayectoria, se podría identificar una partícula de
fluido en un instante dado, por ejemplo, usando tinta, y tomar entonces una fotografía
de larga exposición de un movimiento subsiguiente. La línea trazada así por la
partícula es una trayectoria.
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Figura 3.4 Líneas de trayectoria.
Por otro lado, se podría elegir una posición en el espacio e identificar, nuevamente
usando tinta, todas las partículas de fluido que pasan a través de este punto. Después
de un corto periodo de tiempo tendríamos un número identificable de partículas de
fluido en el flujo, todas las cuales habrían pasado, en algún momento, por un punto fijo
en el espacio. La línea que une a estas partículas de fluido se define como una traza
o línea de emisión.
Figura 3.5 Líneas de traza
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Las líneas de corriente son líneas dibujadas en el campo de flujo de tal forma que,
en un instante dado, éstas son tangentes a la dirección del vector velocidad en cada
punto del campo de flujo. Ya que en un flujo no permanente la magnitud y dirección
del vector velocidad cambiarán con el tiempo en cualquier punto, las líneas de
corriente están definidas para un instante dado.
Figura 3.6 Líneas de corriente
En un flujo permanente, la velocidad en cada punto en el campo de flujo permanecerá
constante con el tiempo y, consecuentemente, las líneas de corriente no varían de un
instante a otro. Esto implica que una partícula localizada sobre una línea de corriente
dada permanecerá sobre la misma línea de corriente. Además, partículas
consecutivas pasando por un punto fijo en el espacio estarán sobre la misma línea de
corriente y permanecerán sobre esta línea subsecuentemente. Así, en un flujo
permanente, las trayectorias, las líneas de emisión y las líneas de corriente son líneas
idénticas en el campo reflujo.
La forma de las líneas de corriente puede variar de un instante a otro si el flujo es no
permanente. En este caso, las trayectorias, las líneas de emisión y las líneas de
corriente no coinciden.
3.2 El campo de esfuerzos
En el estudio del medio continuo, se distinguen dos tipos de fuerzas actuando sobre el
mismo: las fuerzas de superficie y las fuerzas de cuerpo. Las fuerzas de superficie
incluyen todas las fuerzas actuando sobre las fronteras de un medio por contacto
directo. Las fuerzas desarrolladas sin contacto físico y distribuidas sobre el volumen
del fluido son llamadas fuerzas de cuerpo. Las fuerzas gravitacionales y las
electromagnéticas son ejemplos de fuerzas de cuerpo que aparecen en un fluido.
La fuerza de cuerpo gravitacional que actúa sobre un elemento de volumen dV, está
dada por ρgdV. Donde ρ es la densidad y g es la aceleración gravitacional local. Así, la
fuerza de cuerpo gravitacional por unidad de volumen es ρg.
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Los esfuerzos en un medio resultan de las fuerzas que actúan sobre alguna porción
del medio. El concepto de esfuerzo proporciona una manera conveniente de describir
la forma en que los esfuerzos que actúan sobre las fronteras del medio se transmiten
por el mismo.
En el estudio de la mecánica de sólidos se aprende que las fuerzas de superficie
actuando sobre elementos internos aislados matemáticamente (cuerpos libres), dan
lugar a esfuerzos normales y tangenciales. En la Figura 3.7 se muestra un
paralelepípedo rectangular infinitesimal tomado de un cuerpo, con nueve esfuerzos
actuando sobre sus caras exteriores. Se ha empleado un esquema de doble subíndice
para identificar los esfuerzos. El primer subíndice indica la dirección normal al plano
sobre el cual actúa el esfuerzo, mientras que el segundo indica la dirección del mismo.
Los esfuerzos normales tienen subíndices repetidos ya que la normal al plano sobre el
que actúa y la dirección del esfuerzo son colineales. Los esfuerzos cortantes tendrán
subíndices combinados. Por ejemplo, τyx es el valor del esfuerzo cortante que actúa
sobre el plano cuya normal es paralela a y, mientras que el esfuerzo es paralelo a x. El
concepto de esfuerzos aplicado a sólidos es válido también para fluidos; en realidad,
éste es válido para cualquier medio continuo.
Figura 3.7 Notación para los esfuerzos.
Los esfuerzos en un punto se especifican por nueve componentes:
donde se ha usado σ para designar los esfuerzos normales y τ para los esfuerzos
cortantes.
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Con relación al elemento infinitesimal mostrado en la Figura 3.7, se observa que hay
seis planos (dos x, dos y y dos z) sobre los cuales pueden actuar los esfuerzos. Con
el fin de designar el plano de interés, éstos se nombran en términos de los ejes
coordenados. Los planos son llamados y denominados como positivos o negativos de
acuerdo con la dirección de la normal hacia fuera del plano. Así, el plano superior, por
ejemplo, es un plano y positivo y el plano de atrás es un plano de atrás es un plano z
negativo.
También es necesario adoptar una convención de signos para los esfuerzos. Una
componente de esfuerzo se considera positiva cuando la dirección de la componente
del esfuerzo y el plano sobre el cual actúa son ambas positivas o negativas. Así, τyx =
2
5 N/m representa un esfuerzo cortante sobre el plano y positivo en la dirección
positiva de x o un esfuerzo cortante sobre el plano y negativo en la dirección negativa
de x.
3.3 Métodos de análisis
Las leyes básicas que se usan para analizar problemas en mecánica de fluidos son
las mismas que se emplean en termodinámica y mecánica básica. El primer paso para
resolver un problema es definir el sistema que se desea analizar. En mecánica se usa
el diagrama de cuerpo libre. En termodinámica se consideran sistemas abiertos o
cerrados. En mecánica de fluidos se usan los términos de sistema y volumen de
control para el análisis de problemas.
3.3.1 Sistema y volumen de control
Un sistema está definido como una cantidad identificable de masa fija; las fronteras
del sistema lo separan de los alrededores. Estas fronteras pueden ser fijas o móviles;
sin embargo, no hay transferencia de masa a través de ellas.
En el arreglo pistón – cilindro de la Figura 3.8, el gas en el cilindro es el sistema. Si el
pistón está en movimiento, las fronteras se mueven pero la cantidad de materia dentro
de las fronteras del sistema permanece fija.
Figura 3.8 Arreglo pistón-cilindro.
Un volumen de control es un volumen arbitrario en el espacio a través del cual fluye
un fluido. La frontera geométrica del volumen de control es llamada superficie de
control. La superficie de control puede ser real o imaginaria; ésta puede estar en
reposo o en movimiento. La Figura 3.9 muestra una posible superficie de control para
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el análisis del flujo a través de una tubería. Aquí, la superficie interior del tubo, una
frontera física real, comprende parte de la superficie de control. Sin embargo, las
porciones perpendiculares a la dirección del flujo, de la superficie de control son
imaginarias. Ya que la localización de las superficies de control tiene un efecto directo
sobre el procedimiento considerado en la aplicación de las leyes básicas, es muy
importante que la superficie de control esté definida adecuadamente antes de
cualquier análisis.
ρ1
V1
A1
Volumen de
control
A2
ρ2 V2
Figura 3.9 Flujo de un fluido a través de una tubería.
3.3.2 Métodos diferencial e integral
Las leyes básicas que se emplean en el estudio de la mecánica de fluidos se pueden
formular en términos de sistemas infinitesimales o finitos y de volúmenes de control.
Ambos métodos son importantes en el estudio de la mecánica de fluidos.
En el primer caso, las ecuaciones resultantes son ecuaciones diferenciales. La
solución de las ecuaciones diferenciales de movimiento proporciona un medio de
determinar el comportamiento detallado del flujo (punto por punto).
Frecuentemente, en el problema bajo estudio, la información buscada no requiere un
conocimiento detallado del flujo. Muchas veces el interés es el comportamiento global
de un dispositivo; en tales casos es más apropiado usar la formulación integral de las
leyes básicas. La formulación integral, usando sistemas finitos o volúmenes de control
generalmente es fácil de tratar analíticamente.
3.3.3 Métodos de descripción
La mecánica trata casi exclusivamente con sistemas, en los cursos de dinámica se
aplican las ecuaciones básicas a cantidades fijas e identificables de masa. Por otro
lado, en los cursos de termodinámica, a menudo es necesario utilizar análisis de
volúmenes de control (sistemas abiertos) para realizar estudios en sistemas o
equipos. De esta forma, resulta obvio que el tipo de análisis depende de la clase de
problema a estudiar. Donde es fácil seguir la trayectoria de elementos de masa
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identificables (mecánica de partículas) se emplea un método de descripción que siga
a la partícula. Este método se conoce como método de descripción Lagrangiano.
Considerando, por ejemplo, la aplicación de la segunda ley de Newton a una partícula
de masa fija m, la descripción matemática de la segunda ley de Newton queda
expresada por
En la ecuación anterior ΣF es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre
el sistema, a es la aceleración del centro de masa del sistema, V es la velocidad del
centro de masa del sistema y r es el vector de posición del centro de masa del
sistema, relacionado a un sistema de coordenadas fijo.
Al analizar el movimiento de un fluido, se puede considerar que éste está compuesto
por un número muy grande de partículas cuyo movimiento debe ser descrito. Seguir la
trayectoria de flujo de cada partícula de fluido por separado se convertiría en un
enorme problema de toma de datos, es decir, la descripción del movimiento de cada
partícula resultaría inmanejable. Un método conveniente para el estudio de esta clase
de problemas es el empleo de volúmenes de control, de donde se obtiene el método
de descripción de campo o Euleriano. Este método de descripción centra su atención
en las propiedades de un flujo en un punto dado en el espacio, como una función del
tiempo. En el método Euleriano, las propiedades de un campo de flujo son descritas
como funciones de coordenadas espaciales y del tiempo.
3.4 Movimiento de un elemento de fluido (cinemática)
Antes de la formulación de los efectos de las fuerzas sobre el movimiento de un fluido
(dinámica) es apropiado considerar el movimiento (cinemática) de un elemento de
fluido en un campo de flujo, como el que se muestra en la Figura 3.10.
Figura 3.10 Elemento infinitesimal de fluido.
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Conforme un elemento de masa infinitesimal, dm, se mueve en un campo de flujo,
pueden ocurrirle tres movimientos fundamentales: traslación, rotación y
deformación. Un elemento que se traslada está sujeto a un desplazamiento lineal de
una posición x, y, z a una posición diferente x1, y1, z1. Por rotación del elemento es
posible que su orientación paralela a los ejes coordenados (Figura 3.10) cambie.
Además, el elemento puede sufrir una deformación que se divide en dos partes: lineal
y angular. La deformación lineal implica un cambio en la forma, sin cambio de
orientación del elemento. La deformación angular implica una distorsión del elemento
en la que los planos que eran originalmente perpendiculares ya no lo son. Estas
cuatro componentes del movimiento se ilustran en la Figura 3.11.
Figura 3.11 Representación gráfica de las componentes del movimiento de un fluido.
3.4.1 Aceleración de una partícula de fluido
Considerando un elemento de masa fija dm es posible encontrar la ecuación de
movimiento de esta partícula al aplicarle la segunda ley de Newton. Al considerar que
la partícula se mueve en un campo de velocidad donde éste queda determinado por
una expresión dependiente de las coordenadas espaciales y temporales, tal que V
=V(x, y, z, t). De esta forma, conociendo el campo de velocidades del fluido se
requiere, a partir de éste, determinar la aceleración de una partícula de fluido.
Dado que la velocidad de la partícula, en su forma más general, depende de las tres
coordenadas espaciales y del tiempo, su aceleración quedará expresada por
55
(3.2)
La derivada DV/Dt se denomina comúnmente derivada sustancial o material. De
acuerdo con la ecuación anterior, es posible observar que una partícula de fluido que
se mueve en un campo de flujo puede experimentar aceleración por dos razones.
Puede acelerarse porque se lleva adentro de una región de mayor (o menor)
velocidad. Por ejemplo, el flujo permanente a través de una tobera, en el cual el
campo de flujo no es función del tiempo, pero la partícula se acelerará conforme se
mueva a través de la tobera, es decir, las partículas se llevan a una región de
velocidad más alta. Si un campo de flujo es transitorio, una partícula de fluido
experimentará una aceleración “local” adicional, debido a que el campo de velocidad
es función del tiempo.
Los primeros tres términos en la Ec. (3.2) se conocen como aceleración convectiva,
mientras que el último es conocido como aceleración local. La aceleración
convectiva puede expresarse en términos del operador vectorial nabla como
de forma que
(3.3)
Como cualquier ecuación vectorial, la Ec. (3.2) puede escribirse mediante ecuaciones
de componentes escalares. En relación con un sistema en coordenadas cartesianas,
las componentes escalares de la Ec. (3.2) son
(3.4)
(3.5)
(3.6)
56
Las componentes de la aceleración en coordenadas cilíndricas pueden obtenerse del
conjunto de ecuaciones anteriores, expresando la velocidad V en coordenadas
cilíndricas y empleando la expresión apropiada para el operador ∇, de forma que
(3.7)
(3.8)
(3.9)
3.4.2 Rotación
La rotación, ω , de una partícula de fluido se define como la velocidad angular
promedio de dos elementos de línea cualesquiera de la partícula, mutuamente
perpendiculares. La rotación es una cantidad vectorial. Una partícula que se mueve en
un campo de flujo tridimensional puede rotar alrededor de los tres ejes coordenados,
(3.10)
Como se comentó anteriormente, el movimiento arbitrario de un elemento de fluido
consta de traslación, rotación y deformación. Para ilustrar la rotación de un elemento
de fluido, considérese, para un tiempo t = to, el volumen de control mostrado en la
Figura 3.12. Por simplicidad, se selecciona un elemento rectangular infinitesimal que
se traslada en el plano z = 0, con una velocidad (u, v), en su esquina número 1. Las
longitudes de los lados, paralelos a las direcciones x e y son Δx y Δy,
respectivamente.
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Figura 3.12 Velocidad angular de un elemento rectangular de fluido.
Debido a las variaciones de velocidad, el elemento de fluido puede rotar y presentar
deformación en forma simultánea, por ejemplo, la componente x de la velocidad en la
esquina superior (No. 4) del elemento está dada por u + (∂u/∂y)Δy, donde los
términos de orden superior son despreciados. En un tiempo posterior (t = to+ Δt) esta
diferencia en las velocidades de los segmentos 1–2 y 3–4 causará deformación en el
elemento de fluido, como se muestra en el lado derecho de la Figura 3.8. La
componente de la velocidad angular ωz del elemento de fluido puede obtenerse al
promediar las velocidades angulares instantáneas del los segmentos 1–2 y 1–4 del
elemento. La velocidad angular instantánea del segmento 1–2 es la diferencia en las
velocidades lineales de las dos aristas de este segmento dividido por la distancia Δx,
y la velocidad angular del segmento 1–4 es
La componente z de la velocidad angular del elemento de fluido es, por lo tanto, el
promedio de estas dos componentes,
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Las dos componentes adicionales de la velocidad angular se pueden obtener de forma
similar, con lo que
De esta forma, el vector de velocidad angular queda expresado por
(3.11)
Esta expresión puede presentarse en notación vectorial como
(3.12)
Una partícula de fluido moviéndose sin rotación en un campo de flujo, no puede
desarrollar una rotación bajo la acción de una fuerza másica o de fuerzas de superficie
normales (presión). El desarrollo de rotación en una partícula de fluido, inicialmente
sin ese movimiento, requiere de la acción de un esfuerzo cortante sobre la superficie
de la partícula. Puesto que el esfuerzo cortante es proporcional a la relación de
deformación angular, entonces una partícula que se encuentra inicialmente sin
rotación no desarrollará una rotación sin una deformación angular simultánea. El
esfuerzo cortante se relaciona con la relación de la deformación angular mediante la
viscosidad. La presencia de fuerzas viscosas significa que el flujo es rotacional.
La condición de irrotacionalidad puede ser una suposición válida para aquellas
regiones de flujo en las que son despreciables las fuerzas viscosas.
Una cantidad que es conveniente introducir en este punto es la vorticidad, la cual está
definida como el doble de la velocidad angular
(3.13)
La vorticidad es una medida de la rotación de un elemento de fluido conforme éste se
mueve en el campo de flujo.
Considerando ahora una superficie abierta S, como la que se muestra en la Figura
3.13, para la cual la curva cerrada C es su frontera, con el empleo del teorema de
Stokes la vorticidad en la superficie puede relacionarse con la integral de línea
alrededor de C, tal que
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donde es perpendicular a S. La integral del lado derecho de la ecuación anterior se
denomina circulación y se denota por Γ,
(3.14)
Esta relación puede ilustrarse una vez más empleando el elemento de fluido mostrado
en la Figura 3.12. La circulación ΔΓ se obtiene al evaluar la integral de línea cerrada
de la componente tangencial de la velocidad alrededor del elemento de fluido.
Obsérvese que la dirección positiva corresponde a la dirección positiva de ω.
Figura 3.13 Relación entre las integrales de línea y de superficie.
Para el caso general tridimensional estas conclusiones pueden resumirse como
(3.15)
La circulación está por tanto de alguna forma ligada a la rotación en el fluido (por
ejemplo, a la velocidad angular en la rotación del tipo de cuerpo sólido). En la Figura
3.14 se presentan dos ejemplos para ilustrar el concepto de circulación. La curva C
(líneas punteadas) muestra una circunferencia en ambos casos. En la Figura 3.14(a)
el campo de flujo consiste en líneas de corriente circulares concéntricas en la
dirección contraria a las manecillas del reloj. Es claro que a lo largo de la trayectoria
circular de integración C los vectores velocidad V y segmento de línea dl de la Ec.
(3.14) son positivos para todo dl y, por lo tanto, C tiene una circulación positiva.
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Figura 3.14 Campos de flujo con (a) y sin (b) circulación.
En la Figura 3.14(b), el campo de flujo es el flujo simétrico de una corriente uniforme
fluyendo alrededor de un cilindro. Es obvio que dada la simetría del flujo la circulación
es cero en este caso.
Para ilustrar el movimiento de un fluido con rotación, se considera el volumen de
control mostrado en la Figura 3.15(a) que se mueve a lo argo de la trayectoria l.
Asumiendo que las fuerzas viscosas son extremadamente grandes y que el fluido rota
como cuerpo rígido a lo largo del trayecto l. En este caso ∇×V ≠ 0 y el flujo se
denomina rotacional. Para el movimiento del fluido descrito en la Figura 3.15(b), las
fuerzas cortantes en el fluido son despreciables y los elementos de fluido a su
alrededor no provocan rotación en él debido a las fuerzas cortantes. En este caso ∇×V
= 0 y el flujo se considera irrotacional.
Figura 3.15 Movimiento rotacional e irrotacional de un electo de fluido
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