circuitos resonantes

ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
COMPONENTES PASIVOS DE UN CIRCUITO ELECTRICO
1.-
INTRODUCCION
Los tres componentes pasivos que, en general, forman parte de los circuitos eléctricos son
los resistores, los inductores y los capacitores. Independientemente de que un circuito eléctrico esté
alimentado por una tensión continua, o una tensión alterna senoidal, o cualquier otra forma de señal,
en él se manifestarán siempre efectos de carácter resistivo, inductivo y capacitivo. En efecto, esto es
cierto toda vez que se tengan en cuenta las siguientes consideraciones.
1.1.- RESISTOR
Cuando una corriente eléctrica i(t) circula a lo largo de un conductor debe vencer la
resistencia eléctrica R del mismo, dando lugar a una caída de tensión v(t). La relación entre la
intensidad de la corriente y la caída de tensión en la resistencia está dada por la Ley de Ohm, y es:
Expr. 1
La expresión 1 muestra que la caída de tensión que se produce en la resistencia es
directamente proporcional a la intensidad de la corriente que por ella circula. Así, el valor numérico
de la resistencia eléctrica R se convierte en la constante de proporcionalidad entre la caída de
tensión y la corriente.
La resistencia eléctrica R es una propiedad de los materiales conductores de la electricidad,
y los componentes eléctricos denominados “resistores” hacen uso de esa propiedad. Un resistor se
presenta en la práctica en forma de arrollamiento de alambre, o bien en forma de cilindro cerámico
recubierto de carbón, o bien como un cilindro recubierto por una película metálica. Cualquiera sea el
caso, el valor numérico de la resistencia eléctrica R de un resistor se calcula en base a sus
características físicas mediante la expresión:
Expr. 2
. . . donde se definen:
R = Resistencia eléctrica, medida en Ω (ohm).
ρ = (léase rho) Resistencia especifica o resistividad del material empleado
para construir el resistor. Su unidad es Ω.mm2/m, o bien Ω.m.
l = Longitud del material. Su unidad es el m.
2
2
S = Sección transversal del material. Su unidad es el mm , o bien el m .
Figura 1: Parámetros empleados para calcular el valor de la
resistencia eléctrica R de un conductor con forma de alambre
y de cualquier metal cuya resistividad ρ sea conocida.
En la figura 2 se muestran las características constructivas de un resistor del tipo de “carbón
depositado”, muy empleado en los circuitos electrónicos. Las cuatro bandas de colores que aparecen
rodeando el cuerpo del resistor responden a un código, y permiten conocer el valor de la resistencia y
la tolerancia dentro de la cual se encuentra dicho valor. Colocando el resistor tal como muestra la
figura 2 y leyendo de izquierda a derecha, significan:
•
•
•
•
Primera línea:
Segunda línea:
Tercera línea:
Cuarta línea:
Primera cifra significativa.
Segunda cifra significativa.
Cantidad de ceros.
Tolerancia.
1-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 2: Aspecto de un resistor del tipo de
“carbón depositado”.
El código de colores es el siguiente:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Negro =
Marrón =
Rojo =
Naranja =
Amarillo =
Verde =
Azul =
Violeta =
Gris =
Blanco =
0 (cero).
1 (uno).
2 (dos).
3 (tres).
4 (cuatro).
5 (cinco).
6 (seis).
7 (siete).
8 (ocho).
9 (nueve).
•
•
Dorado =
Plateado =
Tolerancia del 5%.
Tolerancia del 10%.
EJEMPLOS:
1.- Rojo, rojo, rojo, dorado = 2200 Ω al 5%, ó 2,2 KΩ al 5%.
2.- Rojo, violeta, naranja, dorado = 27000 Ω al 5%, ó 27 KΩ al 5%.
3.- Amarillo, violeta, amarillo, plateado = 470000 Ω al 10%, ó 470 KΩ al 10%.
4.- Marrón, negro, negro, dorado = 10 Ω al 5%.
5.- Marrón, dorado, negro, dorado = 1,0 Ω al 5% (el dorado significa “coma”).
1.2.- INDUCTOR
Una corriente eléctrica que circula a lo largo de un conductor genera un campo magnético
que es externo al conductor. Este campo magnético se manifiesta en forma de líneas circulares
cerradas y concéntricas con el conductor.
Figura 3: La corriente I que circula por un conductor rectilíneo
produce un campo magnético caracterizado por líneas
cerradas circulares y concéntricas con el conductor.
2-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
A la totalidad de las líneas de campo magnético que rodean al conductor se la denomina
“flujo magnético Φ”. Este flujo magnético posee una intensidad que es directamente proporcional a la
intensidad de la corriente que le dio origen. La relación entre la intensidad I de la corriente y el flujo
magnético Φ es entonces:
Expr. 3
. . . donde es: L = inductancia del conductor, y se mide en Henry [H].
Por lo tanto, y desde un punto de vista matemático, la definición de la inductancia L es:
Expr. 4
Esto significa que si la intensidad de la corriente sufre una variación, el flujo magnético se
modificará proporcionalmente. En conclusión, la inductancia L es una constante constructiva del
inductor, o bien, es la constante de proporcionalidad entre el flujo magnético y la intensidad de la
corriente que lo produce.
Los inductores son componentes muy empleados en los circuitos eléctricos, y en la mayor
parte de los casos se presentan en forma de arrollamientos de alambre conductor, conocidos
vulgarmente como “bobinas”. Este tipo de arreglo resulta práctico para concentrar la mayor cantidad
de líneas de campo magnético a partir de un componente (el inductor) del menor tamaño posible.
Entonces, en un inductor como el descripto el valor numérico de la inductancia L depende de varios
factores, a saber:
•
•
•
•
•
•
•
La forma del arrollamiento (solenoide o circular, rectangular, sediforme, etc.).
El número N de vueltas o espiras del arrollamiento.
El diámetro D medio del arrollamiento.
El diámetro d del conductor con que se construye el arrollamiento.
La separación entre espiras contiguas, o paso P del arrollamiento.
La longitud l del arrollamiento.
La permeabilidad magnética relativa µr del núcleo sobre el que se arrolla el conductor.
Figura 4: Aspecto esquemático de un inductor
de sección circular o “tipo solenoide”.
Para un inductor del “tipo solenoide” monocapa como el que se muestra en la figura 4, y en el
que la longitud l es al menos igual al diámetro D, la inductancia se calcula mediante la expresión:
Expr. 5
. . . siempre que se expresen:
[D] = mm.
[l] = mm.
En la expresión 5, la “permeabilidad magnética relativa µr” del núcleo del inductor se
define en la siguiente forma:
3-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 6
. . . donde son:
µ [H/m] = Permeabilidad magnética absoluta del material magnético del núcleo.
µo [H/m] = Permeabilidad magnética absoluta del aire o del vacío.
µr [adimensional] = Permeabilidad magnética relativa del material del núcleo.
Dependiendo de la aplicación a que estén destinados, los inductores pueden construirse
sobre núcleo de aire, o bien sobre núcleos de hierro o de ferrita. En el caso en que el núcleo sea el
aire (o el vacío) el µr resulta ser igual a 1 (uno). En cambio, los materiales magnéticos como el hierro
y la ferrita poseen una permeabilidad magnética absoluta µ mucho mayor que la del aire µo; por lo
tanto, en estos casos la permeabilidad magnética relativa µr resulta ser un número mucho mayor que
1 (uno). Evidentemente, el uso de núcleos ferromagnéticos permite lograr el valor de inductancia L
deseado empleando un número de espiras menor al que se debería emplear si el inductor tuviera
núcleo de aire.
1.2.1.- ANALISIS DE UN INDUCTOR FRENTE A UNA CORRIENTE VARIABLE
A partir de la expresión 3, y asumiendo el caso bastante común en que la corriente que
circula a través del inductor sufra una cierta variación ∆I, la variación ∆Φ del flujo magnético asociado
será:
Si ahora relacionamos las variaciones de corriente y flujo con el tiempo tendremos:
Haciendo tender el tiempo a cero tendremos:
Puesto que el primer miembro de la expresión anterior posee unidades de tensión,
encontramos que: cuando a través de un conductor de inductancia L circula una corriente variable (o
de derivada no nula), entre los extremos del mismo aparece una tensión auto-inducida vL(t), cuyo
valor está dado por la expresión 7:
Expr. 7
La expresión 7 es de carácter general, es decir que es aplicable a cualquier ley de variación
de la corriente. Esto permite analizar el caso particular en el que se pretenda hacer circular una
corriente de valor constante a través del inductor: obsérvese que en tal caso la derivada de la
corriente respecto del tiempo será nula, razón por la cual la tensión auto-inducida entre los extremos
del inductor también lo será. En otras palabras, frente a una corriente de valor constante un inductor
se comporta como un corto-circuito.
1.3.- CAPACITOR
Cuando aplicamos una diferencia de potencial V entre dos conductores aparecerá entre ellos
un campo eléctrico de intensidad E provocado por la acumulación de cargas eléctricas entre ambos
4-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
conductores. La cantidad total Q de cargas eléctricas acumuladas entre ambos conductores es
directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los mismos. Matemáticamente,
la relación entre la cantidad de carga Q acumulada y la diferencia de potencial V que le dio origen se
escribe:
Expr. 8
. . . donde es:
C = capacidad eléctrica entre los conductores, y se mide en Faraday [F].
Figura 5: Aspecto esquemático de un capacitor. En la figura de la derecha
se describen los parámetros correspondientes a la expresión 7.
La capacidad eléctrica es igual a:
Expr. 9
. . . donde son:
ε = Constante dieléctrica del material aislante que separa a ambos conductores. La
unidad de ε es F/m.
2
S = Área enfrentada de los conductores [m ].
d = Distancia comprendida entre ambos conductores [m].
1.3.1.- ANALISIS DE UN CAPACITOR FRENTE A UNA TENSION VARIABLE
Si la tensión V aplicada entre los conductores es variable, se producirá una variación
proporcional de la cantidad de carga acumulada, de tal suerte que a partir de la expresión 8
podremos escribir:
Si relacionamos las variaciones de tensión y carga eléctrica con el tiempo tendremos:
Haciendo tender el tiempo a cero tendremos:
5-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
El primer miembro de la expresión anterior posee unidades de corriente [A=Coulomb/m]. Por
lo tanto, es posible escribir que:
Expr. 10
En conclusión: cuando se aplica una tensión variable entre dos conductores separados por
un material dieléctrico, entre ellos circula una corriente eléctrica. En otras palabras, la corriente
circula a través del dieléctrico que separa a los conductores (o, al menos, todo ocurre como si dicha
corriente circulase. Recuérdese que una corriente eléctrica no puede circular a través de un material
aislante). El valor de esta corriente está dado por la expresión 10.
De la expresión 10 es posible despejar:
Integrando llegamos a que:
Expr. 11
La expresión 11 permite decir que: si se hace circular una corriente i(t) por un circuito
formado simplemente por dos conductores enfrentados y separados por cualquier material
dieléctrico, entre ambos conductores tendremos una diferencia de potencial vc(t).
En la expresión 11 debe observarse que sin importar cuál sea la ley de variación de la
corriente i(t) que se haga circular entre los conductores, o entre las placas del capacitor, siempre
existirá una diferencia de potencial vc(t) entre los mismos. Inclusive, dicha corriente puede ser
constante. En efecto, si consideramos un capacitor alimentado por una fuente de corriente constante
de valor genérico I, tal como se muestra a la izquierda de la figura 6, y aplicamos esta condición a la
expresión 11, tendremos:
La expresión anterior nos muestra que cuando la corriente que circula a través del capacitor
es constante la diferencia de potencial vc(t) entre los extremos del capacitor crece linealmente con el
tiempo, tal como se indica en el gráfico que se encuentra a la derecha de la figura 6:
Figura 6: Comportamiento de un capacitor
alimentado por una fuente de corriente constante.
6-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SENOIDAL
1.-
INTRODUCCION
Cuando un circuito es alimentado por un generador de tensión alterna senoidal se dice que
dicho circuito se encuentra operando en “régimen alterno senoidal”. En esta condición, analizaremos
el funcionamiento de circuitos compuestos por cualquier combinación serie, paralelo o mixta de
resistores, inductores y capacitores.
2.-
CIRCUITO RESISTIVO PURO
Decimos que un circuito es de carácter resistivo puro cuando el generador de tensión
alimenta a una red compuesta solamente por resistores.
Como sabemos, una tensión alterna senoidal se define matemáticamente en la forma:
Expr. 1
. . . donde son:
Valor instantáneo de la tensión senoidal [V].
Valor máximo o valor pico de la tensión senoidal [V].
Pulsación o velocidad angular del vector
Frecuencia de la señal senoidal [1/s = Hz].
[rad/s].
Figura 1: Circuito resistivo puro alimentado
por un generador de tensión senoidal.
De acuerdo con la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente i(t) que circula por el circuito
estará dada por la expresión:
. . . donde reemplazamos la expresión 1:
En la expresión anterior se ve que:
Por lo tanto, la expresión final de la corriente que circula por el circuito es:
Expr. 2
7-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Si comparamos las expresiones 1 y 2 podemos concluir que cuando un circuito resistivo puro
es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a lo largo del mismo también
es senoidal. Dicho en otras palabras:
En régimen alterno senoidal, en un circuito resistivo puro
la tensión y la corriente están en fase.
Figura 2: Diagramas vectorial y temporal representativos de la tensión y la corriente en un circuito resistivo puro.
Los vectores armónicos VMAX e IMAX giran sobre el punto de aplicación O con una velocidad angular ω constante.
La fase relativa entre ambos vectores es nula, por lo que se dice que están en fase.
Sus respectivas proyecciones verticales (expresiones 1 y 2) describen a ambas ondas senoidales.
Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 3 nos muestran dos vectores
giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 0º. Estos diagramas describen
el comportamiento general de un resistor, y puede expresarse de dos maneras diferentes pero
igualmente válidas:
1. Cuando un resistor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que
circula a través del mismo está en fase con la tensión que la provoca.
2. Si a través de un resistor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los
extremos del mismo se produce una caída de tensión que está en fase con la corriente
que le dio origen.
Figura 3: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de
carácter resistivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensión y corriente en el que
los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente.
En los diagramas vectoriales de la figura 3 los vectores representan los valores máximos de
tensión y de corriente. Pero en la práctica, los instrumentos destinados a la medición de tensión y
corriente (voltímetros y amperímetros) indican los valores eficaces de los mismos, y no sus valores
máximos. Por lo tanto, para efectuar los cálculos es más adecuado emplear los valores eficaces. Por
otra parte, para indicar que entre la tensión y la corriente existe una cierta fase relativa se empleará
la notación fasorial. De esta forma, cuando se trate de un circuito de carácter resistivo puro la
notación fasorial de tensión y corriente correspondiente será:
8-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
. . . donde son:
Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos
proporcionará la expresión compleja de la resistencia:
Expr. 3
En conclusión, y de acuerdo con la expresión 3:
La Resistencia se representa mediante
un número real puro y de signo positivo.
Figura 4: Obtención y representación gráfica del
vector representativo de la resistencia.
2.1.-
POTENCIA EN UN CIRCUITO RESISTIVO PURO
La potencia instantánea desarrollada en el circuito resistivo puro se calcula multiplicando las
expresiones 1 y 2 entre sí. Entonces:
Expr. 4
Tal como sabemos, el seno de un ángulo es una función que puede tener signo positivo o
negativo dependiendo del cuadrante en que se encuentre el vector al que caracteriza. Por lo tanto, la
expresión 4 es siempre positiva, salvo en los instantes para los que se cumpla que . . .
9-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
. . . lo cual ocurre para:
.
Por otro lado, la potencia instantánea alcanzará su valor máximo cada vez que se cumpla:
. . . lo cual ocurre cuando se cumple que:
.
El hecho de que en un circuito de carácter resistivo puro la potencia instantánea sea siempre
positiva (cuando no nula) se interpreta, desde el punto de vista físico, como que la potencia
entregada por el generador a la carga se convierte permanentemente en trabajo útil, disipándose en
la resistencia en forma de calor. La figura 5 es la representación de la tensión aplicada al circuito
resistivo, la intensidad de la corriente que por él circula, y la potencia instantánea disipada por la
resistencia:
Figura 5: Tensión, corriente y potencia instantáneas en régimen alterno senoidal para un circuito de
carácter resistivo puro. La función de la potencia instantánea p(t) es siempre positiva (expresión 3) y
se observa que el área sombreada es igual al área que resulta de multiplicar P por T. Entonces, el valor
medio P de la potencia es igual a la mitad de la potencia máxima PMAX, tal como se demuestra en el texto.
Hallaremos el valor medio P de la potencia en un ciclo integrando la expresión 4. Esto
significa encontrar el área comprendida debajo de la función p(t) a lo largo de un período y dividirla
luego por el valor del período T. Así:
Expr. 5
10-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Si tenemos en cuenta que:
. . . y que para una señal senoidal los valores máximos de tensión y corriente se relacionan con sus
respectivos valores eficaces V e I según las formas:
. . . reemplazando en la expresión 5 tendremos:
Expr. 6
En conclusión, la expresión 6 nos dice que:
En todo circuito de carácter resistivo puro la potencia media desarrollada
en la carga es igual al producto entre la tensión eficaz que la alimenta
y la corriente eficaz que circula por ella.
3.-
CIRCUITO INDUCTIVO PURO
Figura 6: Circuito inductivo puro alimentado
por un generador de tensión senoidal.
A partir de la expresión 7 del capítulo “Componentes Pasivos de un Circuito Eléctrico”
podemos determinar la corriente que circula por el circuito inductivo puro de la figura 6 sabiendo que
la tensión que lo alimenta es una señal senoidal:
11-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 7
Analicemos la expresión 7. En primer lugar, se observa que cuando se aplica una tensión
alterna senoidal a un circuito inductivo puro, la corriente sigue a la función del coseno con signo
negativo. Dicho en otras palabras:
En un circuito de carácter inductivo puro, la corriente
retrasa 90º respecto de la tensión que le dio origen.
Figura 7: Diagramas vectorial y temporal de la tensión y la corriente en un
circuito inductivo puro. La tensión adelanta 90º respecto de la corriente.
En segundo lugar, se ve que la unidad de
Por lo tanto, resulta que:
no puede ser otra que el Ampère [A].
Expr. 8
Entonces, la expresión definitiva de la corriente es:
Expr. 9
En consecuencia, en la expresión 8 el producto
apartado 3.1.).
3.1.-
tiene como unidad el Ohm [Ω] (véase el
REACTANCIA INDUCTIVA
El producto
manera:
recibe el nombre de “reactancia inductiva”, y se simboliza de la siguiente
Expr. 10
En todo circuito que funcione dentro del régimen alterno senoidal,
se denomina “Reactancia Inductiva” a la oposición que
un inductor ofrece al paso de la corriente eléctrica.
12-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
En la expresión 10 se ve que la reactancia inductiva es una función lineal de la frecuencia.
En este sentido, la figura 8 representa gráficamente la relación entre la reactancia inductiva y la
frecuencia para diversos valores de inductancia L.
Figura 8: Representación gráfica de la reactancia inductiva
en función de la frecuencia tomando a la inductancia L
como parámetro. Este gráfico responde a la expresión 10.
Los inductores son componentes ampliamente usados en circuitos eléctricos y electrónicos.
Tal como hemos concluido en este mismo apartado, la reactancia que presenta un inductor es
linealmente dependiente de la frecuencia. En este sentido, resulta de interés analizar brevemente el
particular comportamiento de un inductor en función de la frecuencia en un circuito de corriente
alterna senoidal:
a. De acuerdo con la expresión 10, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la
reactancia inductiva también es nula. En otras palabras, en un circuito de corriente
continua un inductor se comporta como un corto-circuito.
b. Por otro lado, y en base a la misma expresión, cuando la frecuencia del generador tiende
a infinito la reactancia inductiva también tiende a infinito. Es decir que cuando la
frecuencia tiende a infinito el inductor se comporta como un circuito abierto.
Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 9 nos muestran dos vectores
giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 90º, con el vector tensión
adelantando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un inductor, y
puede expresarse de dos maneras diferentes pero igualmente válidas:
1. Cuando un inductor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que
circula a través del mismo retrasa 90º respecto de la tensión que la provoca.
2. Si a través de un inductor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los
extremos del mismo se produce una caída de tensión que adelanta 90º respecto de la
corriente que le dio origen.
13-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 9: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de
carácter inductivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensión y corriente en el que
los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente.
En base al mismo análisis efectuado durante el estudio del circuito resistivo puro, el
comportamiento del circuito inductivo puro quedará descripto matemáticamente por la notación
fasorial de la tensión y la corriente. Por lo tanto, atendiendo al diagrama que se encuentra a la
derecha de la figura 9, tendremos:
. . . donde son:
Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos
proporcionará la expresión compleja de la reactancia inductiva:
Expr. 11
. . . donde son:
En conclusión, y de acuerdo con la expresión 11:
La Reactancia Inductiva Compleja se representa mediante
un número imaginario puro y de signo positivo.
14-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 10: Obtención y representación gráfica
de la reactancia inductiva compleja.
3.2.-
POTENCIA EN UN CIRCUITO INDUCTIVO PURO
La potencia instantánea puesta en juego en un circuito de carácter inductivo puro se obtiene
al multiplicar entre sí las expresiones 1 y 9:
Expr. 12
. . . o bien:
Expr. 13
. . . donde V e I son los valores eficaces de la tensión y la corriente, respectivamente.
En las expresiones 12 y 13 observamos que en el circuito inductivo puro alimentado por una
tensión senoidal la potencia varía también en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que
aquélla. La figura 11 muestra, en un mismo gráfico, las funciones de la tensión, la corriente y la
potencia instantáneas en un circuito inductivo puro.
Figura 11: Tensión, corriente y potencia instantáneas
en un circuito de carácter inductivo puro.
15-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
A partir de la expresión 12 (o 13) podemos calcular la potencia media P puesta en juego en
el circuito inductivo. Empleando la definición de potencia media dada oportunamente tendremos:
Expr. 14
En todo circuito inductivo puro la potencia media P es nula.
Este resultado es evidente. Si atendemos al gráfico de la figura 11, y en particular a la
función de la potencia instantánea, veremos que dicha función está compuesta por semi-ciclos
positivos y negativos. La interpretación física de este gráfico es la siguiente: Durante el semi-ciclo
positivo el generador entrega potencia al inductor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el
inductor le devuelve íntegramente dicha potencia al generador. El inductor no consume potencia
alguna. Es por esta interpretación que un inductor pertenece a la categoría de los componentes
reactivos.
4.-
CIRCUITO CAPACITIVO PURO
Figura 12: Circuito capacitivo puro alimentado
por un generador de tensión senoidal.
La expresión 10 del capítulo “Componentes Pasivos de un Circuito Eléctrico” nos permitirá
hallar la corriente que circula por el capacitor cuando es alimentado por una tensión alterna senoidal:
Expr. 15
El análisis de la expresión 15 arroja los siguientes resultados. En primer lugar vemos que
mientras la tensión de alimentación sigue una función senoidal, la corriente está caracterizada por
una función cosenoidal. Esto significa que:
16-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
En un circuito de carácter capacitivo puro, la corriente
adelanta 90º respecto de la tensión que le dio origen.
Figura 13: Diagramas vectorial y temporal de la tensión y la corriente en un
circuito capacitivo puro. La corriente adelanta 90º respecto de la tensión.
En segundo lugar vemos que la unidad del producto
debe ser el Ampère [A].
Como consecuencia, y debido a la presencia de
queda definido el valor de
en la forma:
Expr. 16
. . .razón por la cual la expresión definitiva de la corriente es:
Expr. 17
La expresión 16 nos permite hallar la relación entre la tensión y la corriente en un capacitor:
Expr. 18
4.1.-
REACTANCIA CAPACITIVA
A la relación entre tensión y corriente en un circuito de carácter capacitivo puro se la
denomina “reactancia capacitiva”. Esta relación ha quedado definida por la expresión 18, y se la
simboliza de la siguiente forma:
Expr. 19
En todo circuito que funcione dentro del régimen alterno senoidal,
se denomina “Reactancia Capacitiva” a la oposición que
un capacitor ofrece al paso de la corriente eléctrica.
En la expresión 19 podemos ver que la reactancia capacitiva es función inversa de la
frecuencia. En este sentido, la figura 14 representa gráficamente la relación entre la reactancia
capacitiva y la frecuencia para dos valores diferentes de capacidad C.
17-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 14: Representación gráfica de la reactancia capacitiva
en función de la frecuencia tomando a la capacidad C como
parámetro. Este gráfico responde a la expresión 19.
Al igual que los inductores, los capacitores son componentes muy empleados en circuitos
eléctricos y electrónicos. En este mismo apartado hemos llegado a la conclusión de que la reactancia
que presenta un capacitor al paso de una corriente eléctrica es inversamente proporcional a la
frecuencia. Por esta razón resulta de interés analizar brevemente el particular comportamiento de un
capacitor en función de la frecuencia en un circuito de corriente alterna senoidal:
a.
De acuerdo con la expresión 19, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la
reactancia capacitiva tiende a infinito. En otras palabras, en un circuito de corriente
continua constante un capacitor se comporta como un circuito abierto.
b.
Por otro lado, y en base a la misma expresión, cuando la frecuencia del generador tiende a
infinito la reactancia capacitiva tiende a cero. Es decir que cuando la frecuencia tiende a
infinito el capacitor se comporta como un corto-circuito.
Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 15 nos muestran dos vectores
giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 90º, con el vector tensión
atrasando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un capacitor, del
que se pueden efectuar dos lecturas igualmente válidas:
1. Cuando un capacitor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que
circula a través del mismo adelanta 90º respecto de la tensión que la provoca.
2. Si a través de un capacitor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los
extremos del mismo se produce una caída de tensión que atrasa 90º respecto de la
corriente que le dio origen.
Figura 15: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito
de carácter capacitivo puro. A la derecha de la figura se ve el diagrama fasorial de tensión y corriente; los
módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente.
18-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
En base al mismo análisis efectuado en el estudio de los circuitos resistivo puro e inductivo
puro, el comportamiento de un circuito capacitivo puro quedará descripto matemáticamente por la
notación fasorial de la tensión y la corriente:
. . . donde son:
Por lo tanto, aplicando la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos
proporcionará la expresión compleja de la reactancia capacitiva:
Expr. 20
. . . donde son:
Entonces, y de acuerdo con la expresión 20 concluimos que:
La Reactancia Capacitiva Compleja se representa mediante
un número imaginario puro y de signo negativo.
Figura 16: Obtención y representación gráfica
de la reactancia capacitiva compleja.
4.3.-
POTENCIA EN UN CIRCUITO CAPACITIVO PURO
La potencia instantánea puesta en juego en un circuito de carácter capacitivo puro se obtiene
al multiplicar entre sí las expresiones 1 y 17:
19-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 21
. . . o también:
Expr. 22
. . . donde, nuevamente, V es el valor eficaz de la tensión aplicada al capacitor, e I es el valor eficaz
de la corriente que circula a través del mismo.
Al igual que en el caso del circuito inductivo puro, en las expresiones 21 y 22 observamos
que en un circuito capacitivo puro alimentado por una tensión senoidal la potencia instantánea varía
también en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que aquélla. La figura 17 muestra, en
un mismo gráfico, las funciones de la tensión, la corriente y la potencia instantáneas en un circuito
capacitivo puro.
Figura 17: Tensión, corriente y potencia instantáneas
en un circuito de carácter capacitivo puro.
A partir de aquí podríamos calcular la potencia media P puesta en juego en el circuito
capacitivo a partir de la expresión 21 (ó 22). Sin embargo, queda claro que obtendríamos el mismo
resultado que en el caso del circuito inductivo puro dado por la expresión 15. En definitiva, podemos
decir que:
En todo circuito capacitivo puro la potencia media P es nula.
Al igual que en el caso del circuito inductivo, la potencia instantánea en el capacitor
(expresión 22) presenta semi-ciclos positivos y negativos. Nuevamente, durante el semi-ciclo positivo
el generador entrega potencia al capacitor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el capacitor le
devuelve íntegramente dicha potencia al generador. El capacitor no consume potencia alguna, y
por esta razón también pertenece a la categoría de los componentes reactivos.
20-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
IMPEDANCIA, ADMITANCIA Y RESONANCIA
DE UN CIRCUITO ELECTRICO
1.-
INTRODUCCION
Un circuito eléctrico pasivo puede estar compuesto por cualquier combinación de resistores,
inductores y capacitores. Tal como se ha visto en el capitulo anterior, cualquiera de estos tres
componentes contribuye a limitar la corriente que circula por el circuito puesto que los resistores
aportan su resistencia eléctrica mientras que los inductores y los capacitores aportan,
respectivamente, su reactancia inductiva y su reactancia capacitiva.
2.-
CARÁCTER Y TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO
Los diversos circuitos eléctricos que se pueden presentar en la práctica se diferencian entre
sí por su carácter y por su topología.
El carácter de un circuito eléctrico queda definido por los componentes que forman parte de
él, mientras que su topología queda definida por la forma en que dichos componentes están
conectados entre sí.
2.1.-
CARÁCTER DE UN CIRCUITO ELECTRICO
•
•
•
•
•
•
•
2.2.-
TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO
•
•
•
3.-
Resistivo puro.
Inductivo puro.
Capacitivo puro.
Resistivo-Inductivo (o R-L).
Resistivo-Capacitivo (o R-C).
Inductivo-Capacitivo (o L-C).
Resistivo-Inductivo- Capacitivo (o R-L-C).
Circuito Serie.
Circuito Paralelo,
Circuito Mixto (Combinación de componentes conectados en serie y en paralelo).
IMPEDANCIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO
Cualquiera sea el carácter y la topología del circuito que se trate, la combinación de los
aportes que cada uno de los componentes haga a la limitación de la corriente que circula por el
mismo recibe el nombre de “IMPEDANCIA ELÉCTRICA”, y se mide en Ω (Ohm). En definitiva:
La “impedancia” es la oposición al paso de la corriente eléctrica que presenta
un circuito formado por resistores y componentes reactivos en régimen alterno
senoidal.
21-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
4.-
CIRCUITOS TIPO “SERIE”
4.1.-
CIRCUITO R-L SERIE
5° BTO ELECTRONICA . 2010
En la figura 1 se muestra un circuito del tipo R-L serie. A partir de los datos que se
proporcionan a continuación, analizaremos inicialmente la resolución que nos permita calcular la
impedancia del circuito y la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Los datos son:
Figura 1: Circuito R-L serie. Se indican la corriente y las
dos caídas de tensión que se producen en el mismo.
Como ocurre en todo circuito serie, la corriente es el elemento común a los componentes del
mismo. En nuestro caso, dicha corriente produce dos caídas de tensión que sumadas deben verificar
la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir:
Expr. 1
Hasta aquí desconocemos los valores de estas caídas de tensión puesto que no conocemos
el valor de la corriente. Sin embargo, es posible plantear un principio de solución si aplicamos los
conceptos adquiridos en el capítulo titulado “Circuitos en Régimen Alterno Senoidal”. En efecto,
sabemos que:
•
•
La caída de tensión en la resistencia (fasor VR) está en fase con la corriente (fasor I).
La caída de tensión en el inductor (fasor VL) adelanta 90º respecto de la corriente (fasor I).
Esto nos permitirá trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensión, tal como el
que se observa en la figura 2:
Figura 2: Diagrama vectorial de corriente
y tensiones del circuito R-L serie.
El diagrama de la figura 2 responde a la expresión 1. En el mismo se observa que el vector
representativo de la tensión V forma un ángulo φ con el vector representativo de la corriente I. Este
ángulo representa el desfasaje resultante entre tensión y corriente, y se ve que la tensión adelanta
respecto de la corriente. El valor del ángulo φ depende de los valores de los módulos de VR y VL
pero, por tratarse de un circuito R-L serie, dicho ángulo será siempre positivo.
En base al diagrama de la figura 2, la expresión 1 se puede reescribir en la forma:
22-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 2
De la expresión 2 es posible obtener el módulo del vector V aplicando el Teorema de
Pitágoras, y el ángulo del vector V empleando la trigonometría; entonces, sucesivamente:
Expr. 3
Expr. 4
En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y
tensión del circuito R-L serán, en general:
Expr. 5
Expr. 6
Si ahora dividimos cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 2 por el
fasor de la corriente, obtendremos el diagrama de impedancia correspondiente al circuito R-L, tal
como se muestra en la figura 3:
Figura 3: Obtención del diagrama de impedancias
a partir del diagrama de tensiones.
El diagrama (o triángulo) de impedancia de la figura 3 nos muestra que la impedancia Z de
nuestro circuito es un vector que, en general, puede escribirse en la forma exponencial, o bien en la
forma binómica; ambas formas se indican, respectivamente, en las expresiones 7 y 8:
Expr. 7
Expr. 8
Mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras podremos calcular el módulo Z del
vector impedancia, tal como indica la expresión 9, y mediante la expresión 10 calcularemos el ángulo
de dicho vector:
Expr. 9
Expr. 10
Ahora estamos en condiciones de calcular la impedancia del circuito.
calcularemos la reactancia inductiva XL:
En primer lugar,
23-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Mediante la expresión 9 calculamos el módulo de la impedancia:
Mediante la expresión 10 calculamos el argumento (o ángulo) de la impedancia:
En definitiva, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-L es:
. . . o bien, expresada en su forma binómica:
Esta última expresión es la que permite dibujar el diagrama o triangulo de impedancias del
circuito que estamos analizando, y que se representa en la figura 4:
Figura 4: Diagrama o triángulo de impedancias
del circuito R-L del ejemplo (en escala).
Ahora, conociendo los valores de las componentes de la impedancia del circuito (R y XL),
podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Puesto que poseemos el
dato de la tensión de alimentación, aplicaremos la Ley de Ohm:
El resultado obtenido muestra que dado que el circuito es de carácter inductivo, la corriente
debe estar atrasada respecto de la tensión de alimentación. A partir de aquí estamos en condiciones
de calcular las caídas de tensión que se producen en el circuito.
La caída de tensión en el resistor es:
24-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Con este resultado vemos que, como no podía ser de otra manera, la caída de tensión en el
resistor está en fase con la corriente.
Por otra parte, la caída de tensión en el inductor vale:
Como era previsible, este resultado nos confirma que la caída de tensión en el inductor
adelanta 90º respecto de la corriente.
Figura 5: Resumen gráfico de los resultados obtenidos del circuito R-L serie.
Este diagrama recibe el nombre de “triangulo de tensiones”.
4.2.-
CIRCUITO R-C SERIE
Figura 6: Circuito R-C serie. Se indican la corriente y las
dos caídas de tensión que se producen en el mismo.
Para el circuito de la figura 6 propondremos los siguientes datos:
Nuevamente, y por tratarse de un circuito serie, la corriente es el elemento común a los
componentes del mismo. Dicha corriente (hasta aquí de valor desconocido) produce dos caídas de
tensión que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir:
25-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 11
Los valores de estas caídas de tensión también se desconocen. Pero, otra vez, es posible
plantear una solución aplicando los conceptos resultantes del capítulo de “Circuitos en Régimen
Alterno Senoidal”. Allí concluimos que:
•
•
La caída de tensión en la resistencia (fasor VR) está en fase con la corriente (fasor I).
La caída de tensión en el capacitor (fasor VC) atrasa 90º respecto de la corriente (fasor I).
. . . en base a lo cual podremos trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensión, tal
como el que se representa en la figura 7:
Figura 7: Diagrama vectorial de corriente
y tensiones del circuito R-C serie.
El diagrama de la figura 7 es la representación gráfica de la expresión 11. En él se ve que el
vector representativo de la tensión V forma un ángulo φ con el vector representativo de la corriente I.
Este ángulo representa el desfasaje resultante entre la tensión de alimentación del circuito y la
corriente, y se aprecia que la tensión adelanta respecto de la corriente. El valor del ángulo φ depende
de los valores de los módulos de VR y VC pero, por tratarse de un circuito R-C serie, dicho ángulo
será siempre negativo.
En base al diagrama de la figura 7, la expresión 11 se puede reescribir en la forma:
Expr. 12
De la expresión 12 se obtiene el módulo del vector V aplicando el Teorema de Pitágoras, y
también el ángulo del vector V empleando la trigonometría; entonces, sucesivamente:
Expr. 13
Expr. 14
En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y
tensión del circuito R-C serán, en general:
Expr. 15
Expr. 16
Dividiendo cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 7 por el fasor de la
corriente, obtendremos el diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-C, que se muestra en la
figura 8:
26-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 8: Obtención del diagrama de impedancias
a partir del diagrama de tensiones.
La composición entre los vectores representativos de la resistencia y de la reactancia
capacitiva nos ha dado como resultado el vector representativo de la impedancia. Este vector puede
ser expresado en cualquiera de las dos formas siguientes, según la necesidad operativa:
Expr. 17
Expr. 18
El Teorema de Pitágoras nos permitirá calcular el módulo Z del vector impedancia (expresión
19), mientras que la trigonometría nos permitirá calcular el ángulo φ de dicho vector (expresión 20):
Expr. 19
Expr. 20
Para calcular la impedancia del circuito, en primer lugar, hallaremos el valor de la reactancia
capacitiva XC:
Mediante la expresión 19 calculamos el módulo de la impedancia:
Mediante la expresión 20 calculamos el argumento (o ángulo) de la impedancia Z:
Por lo tanto, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-C es, expresado en forma exponencial:
. . . mientras que expresado en forma binómica es:
27-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Esta última expresión permite dibujar, en escala, el triángulo de impedancias correspondiente
al circuito bajo análisis:
Figura 9: Diagrama o triángulo de impedancias
del circuito R-C del ejemplo (en escala).
Conociendo el valor de la impedancia del circuito, podremos calcular la intensidad de la
corriente que circula por el mismo aplicando la Ley de Ohm:
Tal como era de esperar, el carácter capacitivo de la impedancia del circuito hace que la
corriente esté adelantada un cierto ángulo respecto de la tensión de alimentación. Luego, el
conocimiento del valor de la corriente permite calcular los valores de las caídas de tensión que se
producen en el circuito.
La caída de tensión en el resistor es:
Nuevamente, la caída de tensión en el resistor está en fase con la corriente.
Por otra parte, la caída de tensión en el capacitor vale:
Se verifica que la caída de tensión en el capacitor retrasa 90º respecto de la corriente.
Con los resultados obtenidos podemos construir el diagrama vectorial de tensiones, que
también se denomina “triángulo de tensiones”. Este diagrama se encuentra representado en la figura
10, y en él se aprecia la relación de fase entre cada una de las caídas de tensión, la tensión de
alimentación y la corriente que circula por el circuito.
28-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 10: Diagrama vectorial de tensiones del circuito R-L serie.
4.3.-
CIRCUITO R-L-C SERIE
Figura 11: Circuito R-L-C serie. Se indican la corriente y las
tres caídas de tensión que se producen en el mismo.
Para el circuito de la figura 11 propondremos los mismos valores de componentes
empleados en los dos ejemplos anteriores. Así, los datos son los siguientes:
Puesto que ya conocemos los valores de las reactancias inductiva y capacitiva, podemos
dibujar en forma inmediata, y en escala, el diagrama de impedancias correspondiente a este circuito:
Figura 12: Construcción del diagrama de impedancias del circuito R-L-C serie.
29-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
El diagrama de impedancias de la figura 12 responde a la siguiente expresión matemática:
. . . o bien:
Expr. 21
El módulo Z del vector impedancia será calculado mediante el Teorema de Pitágoras:
Expr. 22
. . . mientras que el argumento de dicho vector se obtiene de la expresión:
Expr. 23
Luego, los resultados obtenidos a partir de las expresiones 22 y 23 nos permitirán escribir el
valor del vector impedancia en su forma exponencial ya conocida, que es:
Expr. 24
Entonces, si reemplazamos los valores conocidos en la expresión 21 tendremos:
Este último resultado pone de manifiesto que el circuito R-L-C que hemos planteado posee
una impedancia equivalente formada por una resistencia de 100 Ω conectada en serie con un
inductor cuya reactancia es de 135,5 Ω cuando la frecuencia del generador es de 50 Hz. Aquí
debe observarse que si el valor de la frecuencia fuese otro, la componente imaginaria XL-XC también
poseería un valor diferente al actual, puesto que tanto XL como XC dependen de la frecuencia.
Mediante la expresión 22 calcularemos el modulo Z de la impedancia:
Mediante la expresión 23 calcularemos el argumento φ de la impedancia:
Por lo tanto, la notación exponencial de la impedancia de este circuito es:
La corriente que circula por el circuito es:
30-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
La caída de tensión en cada uno de los componentes es:
Figura 13: Construcción en escala del diagrama fasorial de tensiones del circuito R-L-C serie.
El diagrama de la izquierda representa a cada una de las caídas de tensión con su ángulo de
fase respecto de la corriente. El diagrama central representa la suma vectorial de las caídas
de tensión. El diagrama de la derecha es el resultado de dicha suma.
Figura 14: Diagrama vectorial de tensiones y corriente del circuito R-L-C serie.
A la derecha se observan las señales senoidales correspondientes a cada una
de las caídas de tensión, la tensión de alimentación y la corriente. Estas señales
son el resultado de los vectores giratorios armónicos.
31-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
En este punto resulta de interés analizar qué ocurre a la hora de efectuar mediciones de
tensión y corriente en los circuitos de corriente alterna senoidal que contienen componentes
reactivos. Tal como hemos visto en el presente capítulo, tensiones y corrientes están caracterizadas
por un módulo que equivale a su valor numérico, y por un argumento o ángulo que se mide respecto
de un eje de referencia. En otras palabras, las tensiones y las corrientes son magnitudes vectoriales
(rigurosamente, fasoriales).
Pero la gran mayoría de los instrumentos de medición (voltímetros y amperímetros, tanto
analógicos como digitales) que se emplean en la práctica sólo miden el módulo (el valor eficaz) de la
tensión o de la corriente, pero no la fase.
Con el fin de dejar en claro lo expresado, la figura 15 muestra el circuito R-L-C serie bajo
análisis en el que se han incluido cinco voltímetros destinados a medir simultáneamente las caídas
de tensión y la tensión de alimentación. El valor de tensión indicado por cada uno de los voltímetros
será:
•
El voltímetro V1 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el resistor R, es decir, el
módulo del fasor VR. O sea: VR = 60,7 V.
•
El voltímetro V2 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C, es decir, el
módulo del fasor VC. O sea: VC = 60,7 V.
El voltímetro V3 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L, es decir, el
módulo del fasor VL. O sea: VL = 143 V.
•
•
El voltímetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor
C y el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L (la diferencia de potencial entre el
borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el módulo del fasor
VL- VC. O sea: VL-VC = 82,3 V.
•
El voltímetro V5 indica el valor eficaz de la tensión de alimentación, es decir, el módulo del
fasor V. O sea: V = 100 V.
Figura 15: Medición de tensiones en el circuito R-L-C serie.
(Ver texto).
4.3.1.- POTENCIA EN EL CIRCUITO R-L-C SERIE
Luego de haberse calculado la impedancia, la corriente y las caídas de tensión del circuito,
resulta de interés determinar cuál es la potencia eléctrica puesta en juego en el mismo. Teniendo en
cuenta que los circuitos analizados en el apartado 4 del presente capítulo están conformados por
componentes disipativos (los resistores) y por componentes reactivos (los inductores y/o los
capacitores), será necesario evaluar qué cantidad de potencia es disipada en forma de calor (trabajo
útil) y qué cantidad de potencia es devuelta por los componentes reactivos al generador (trabajo no
útil).
Para dar continuidad al análisis que venimos desarrollando, y sin desmedro de los circuitos
R-L y R-C serie, adoptaremos el caso del circuito R-L-C serie por ser el de carácter más general.
Para ello haremos uso de la figura 16. A la izquierda de dicha figura se reitera el diagrama de
tensiones de la figura 13, y que da lugar al triangulo de tensiones que se observa en el centro de la
32-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
figura 16. Entre los catetos e hipotenusa de este triángulo rectángulo se cumplen las siguientes
relaciones trigonométricas:
. . . de la que se obtiene que:
Expr. 25
. . . de la que se obtiene que:
Expr. 26
Figura 16: Triángulo de tensiones y obtención del triángulo de potencias
del circuito R-L-C serie.
Es sabido que si se multiplican los lados de un triángulo por un mismo número se obtiene
como resultado un triángulo semejante (con idénticos ángulos internos que el primero). En este
sentido, si multiplicamos cada uno de los lados del triángulo rectángulo de las tensiones por el
módulo de la corriente obtendremos el triángulo de potencias, que se observa a la derecha de la
figura 16.
En efecto, si multiplicamos la expresión 25 por la corriente I obtendremos:
Expr. 27
La expresión 27 representa la “Potencia Activa P”, que se desarrolla en la resistencia R y
que, por lo tanto, se disipa en forma de calor. En otras palabras, es la potencia eficaz o útil, y se mide
en Watt [W].
Por otra parte, si multiplicamos la expresión 26 por la corriente I tendremos:
Expr. 28
La expresión 28 representa la “Potencia Reactiva Q”, que es la potencia que,
alternativamente, el generador entrega a los componentes reactivos del circuito y que éstos
devuelven íntegramente al generador. Por lo tanto, ésta es una potencia que se genera pero que no
se aprovecha. La potencia reactiva se mide en una unidad denominada Volt-Ampère-Reactivo, y se
simboliza [V.A.R].
Por último, si multiplicamos la tensión de alimentación V del circuito (la hipotenusa del
triángulo rectángulo) por la corriente I tendremos:
Expr. 29
33-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
La expresión 29 representa la “Potencia Aparente S”, que es la potencia total que el
generador entrega al circuito. La unidad en que se mide la potencia aparente es el Volt-Ampère, que
se simboliza [V.A].
Así, estamos en condiciones de calcular los valores de las potencias del circuito R-L-C serie.
Aplicando la expresión 27, la Potencia Activa P vale:
Empleando la expresión 28, la Potencia Reactiva Q es:
Con la expresión 29 obtenemos la Potencia Aparente S:
4.3.2.- RESONANCIA DEL CIRCUITO R-L-C SERIE
En el análisis de la impedancia del circuito R-L-C serie (apartado 4.3 de este capítulo) se
concluyó que el carácter de la componente imaginaria XL-XC depende exclusivamente de la
frecuencia una vez que se han fijado los valores de L y C. Es decir que, según sea el valor de la
frecuencia, la serie L-C se podrá comportar como un inductor equivalente, o bien como un capacitor
equivalente.
Pero también puede ocurrir que la componente imaginaria de la impedancia sea nula.
Expr. 30
. . . o bien:
Expr. 31
. . . o bien:
Expr. 32
La igualdad de la expresión 32 puede cumplirse en las siguientes tres condiciones:
•
Cuando la inductancia posea el valor particular L=LO dado por la expresión:
Expr. 33
•
Cuando la capacidad posea el valor particular C=CO dado por la expresión:
Expr. 34
34-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
•
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Cuando la frecuencia posea el valor particular f=fO, denominada “frecuencia de
resonancia”, que está dado por la expresión:
Expr. 35
Se dice que un circuito tipo “serie” se encuentra en estado de resonancia
cuando la componente imaginaria de su impedancia es nula.
En definitiva, el cumplimiento de cualquiera de las tres condiciones analizadas hace que la
componente imaginaria de la impedancia se anule, razón por la cual la expresión 21 se convierte en:
Expr. 36
La expresión 36 permite adelantar algunas conclusiones iniciales de suma importancia:
1.
Cuando el circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia la impedancia del
mismo alcanza su valor mínimo, y éste coincide con el valor de la resistencia R.
2.
Puesto que la impedancia alcanza su valor mínimo, el valor de la corriente del circuito es el
máximo posible.
3.
Puesto que la impedancia del circuito es de carácter resistivo puro, la corriente del circuito
está en fase con la tensión de alimentación, es decir que φ=0.
4.
La potencia reactiva Q es nula.
5.
La potencia activa P es igual a la potencia aparente S.
Entonces, continuando con nuestro ejemplo de circuito R-L-C serie, calcularemos el valor de
la frecuencia que debería tener el generador de tensión para que el circuito entre en estado de
resonancia. Posteriormente determinaremos las consecuencias mediatas que se desprenden de
dicho estado.
Reemplazando los valores conocidos de L y C en la expresión 35 tendremos:
Por lo tanto, y de acuerdo con la expresión 36, la impedancia en estado de resonancia es:
En consecuencia, el nuevo valor de la corriente, que es la corriente de resonancia, será:
Puesto que la frecuencia de funcionamiento del generador ha sido modificada, será
necesario calcular los nuevos valores de las reactancias inductiva y capacitiva (XLO y XCO
35-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
respectivamente). Pero, en base a la expresión 31, sabemos que los módulos de ambas reactancias
deben ser iguales. Entonces:
Ahora podemos calcular el nuevo valor de la caída de tensión en cada uno de los
componentes:
En los resultados obtenidos se puede apreciar que, en primer lugar, los vectores
representativos de las reactancias inductiva y capacitiva poseen módulos idénticos, pero entre ellos
existe un ángulo de 180° (se encuentran sobre la mi sma recta de acción pero con sentidos
opuestos). Esto hace que, en estado de resonancia, ambos vectores se cancelen mutuamente (se
cumple la expresión 30). Como consecuencia, el vector impedancia queda representado sólo por el
vector representativo de la resistencia (expresión 36). En segundo lugar, y en absoluta concordancia
con lo anterior, ocurre lo mismo con los vectores representativos de las caídas de tensión en el
inductor y en el capacitor: ambas caídas de tensión se cancelan mutuamente, razón por la cual la
caída de tensión en la resistencia es igual a la tensión de alimentación.
Estos resultados se encuentran representados gráficamente en la figura 17. A la izquierda de
la misma se aprecia el diagrama de tensiones del circuito R-L-C serie; en este diagrama se debe
observar que el ángulo de desfasaje φ entre la corriente y la tensión de alimentación es nulo. A la
derecha de la figura 17 se muestra el diagrama de impedancias.
36-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 17: Diagramas de tensiones y de impedancias (en escala)
correspondiente al circuito R-L-C serie en estado de resonancia.
Supongamos ahora que volvemos a implementar el circuito de medición representado en la
figura 15 teniendo en cuenta que nuestro circuito R-L-C serie se encuentra en estado de
resonancia. En estas condiciones encontraremos que el valor de tensión indicado por cada uno de
los voltímetros será:
•
El voltímetro V1 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el resistor R, es decir, el
módulo del fasor VR. O sea: VR = 100 V.
•
El voltímetro V2 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C, es decir, el
módulo del fasor VC. O sea: VC = 153,1 V.
•
El voltímetro V3 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L, es decir, el
módulo del fasor VL. O sea: VL = 153,1 V.
•
El voltímetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor
C y el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L (la diferencia de potencial entre el
borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el módulo del fasor
VL- VC. O sea: VL-VC = 0 V (pues ambos fasores son iguales y opuestos).
•
El voltímetro V5 indica el valor eficaz de la tensión de alimentación, es decir, el módulo del
fasor V. O sea: V = 100 V.
4.3.2.a.- POTENCIA EN EL CIRCUITO R-L-C SERIE EN ESTADO DE RESONANCIA
Aplicando la expresión 27, la Potencia Activa P vale:
Empleando la expresión 28, la Potencia Reactiva Q es:
37-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Con la expresión 29 obtenemos la Potencia Aparente S:
A partir de los resultados obtenidos podemos concluir que:
Cuando el circuito se encuentra en estado de resonancia,
la totalidad de la potencia S entregada por el generador al circuito
se convierte en éste en la potencia útil P.
Figura 18: Diagramas de potencias correspondiente
al circuito R-L-C serie en estado de resonancia.
5.-
CIRCUITOS TIPO “PARALELO”
5.1.-
CIRCUITO R-L PARALELO
Para efectuar el análisis de este circuito propondremos los siguientes datos:
Figura 19: Circuito R-L paralelo. Se indican las corrientes
que circulan por cada uno de los componentes del circuito.
En el circuito de la figura 19 vemos un resistor y un inductor alimentados por un único
generador que provee una tensión V a una determinada frecuencia. En base a los conocimientos
adquiridos en el capítulo “Circuitos en Régimen Alterno Senoidal” sabemos que la corriente IR que
circula por el resistor R está en fase con la tensión de alimentación, mientras que la corriente IL que
circula por el inductor L retrasa 90° respecto de la misma tensión. Por lo tanto, si tomamos como
referencia al fasor tensión V, podremos dibujar el diagrama fasorial de corrientes correspondiente a
este circuito. Dicho diagrama se representa en la figura 20:
38-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 20: Diagrama fasorial de corrientes
del circuito R-L paralelo (en escala).
En consecuencia, la intensidad de la corriente total I se podrá calcular aplicando la Primera
Ley de Kirchoff, la cual se verificará efectuando la suma vectorial entre las corrientes que circulan por
ambas ramas. Dicha ley se escribe en la forma general:
Expr. 37
. . . que, de acuerdo con el diagrama de la figura 20, se convierte en:
Expr. 38
La intensidad de la corriente IR es:
Expr. 39
La intensidad de la corriente IL es:
Expr. 40
Ahora, si deseamos calcular el valor de la corriente total Ī deberemos sumar vectorialmente
(expresión 38) los valores de las corrientes IR e IL obtenidos a partir de las expresiones 39 y 40
respectivamente:
De acuerdo con el Teorema de Pitágoras, el módulo I de esta corriente es:
El argumento φ de la corriente Ī es:
39-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
En conclusión, el valor de la corriente total Ī es:
5.1.a.- RESOLUCION POR ADMITANCIAS
Si reemplazamos las expresiones 39 y 40 en la expresión 37 tendremos:
Expr. 41
. . . desde donde, operando, se obtiene que:
Expr. 42
En la expresión 42, Ȳ es el vector admitancia del circuito. Como puede verse, el primer
miembro de esta expresión es el cociente entre la corriente total y la tensión de alimentación. Es
decir que:
La admitancia de un circuito es igual a la inversa de la impedancia del mismo.
La unidad de la expresión 42 es:
Expr. 43
En la expresión 43 se han definido las siguientes componentes de la admitancia:
Expr. 44
Expr. 45
Entonces, la expresión 41 se convierte en:
Expr. 46
Si expresamos el vector admitancia Ȳ en su forma exponencial tendremos, sucesivamente:
40-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 47
Expr. 48
Expr. 49
Reemplazando valores en la expresión 48 obtenemos el valor del módulo de Ȳ:
Reemplazando valores en la expresión 49 obtenemos el valor del argumento de Ȳ:
En definitiva, el vector admitancia Ȳ vale (expresión 47):
A partir de la expresión 46 podemos calcular la corriente total Ī que provee el generador:
Como se ve, este resultado, obtenido por aplicación del método de las admitancias, coincide
con el obtenido mediante la suma vectorial de las corrientes parciales del circuito.
5.1.b.- IMPEDANCIA EQUIVALENTE DEL CIRCUITO R-L PARALELO
El objetivo del siguiente análisis consiste en hallar la combinación más simple posible de
componentes que dé como resultado un valor de impedancia equivalente al de la impedancia del
circuito paralelo propuesto. Dos circuitos de diferentes topologías que alimentados por el mismo valor
de tensión hacen circular corrientes iguales, poseen idénticas impedancias.
La impedancia del circuito se podrá calcular bien aplicando la Ley de Ohm, o bien como la
inversa de la admitancia. Es decir que podemos escribir:
41-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
A la izquierda de la figura 21 se ha representado gráficamente el resultado obtenido de la
impedancia. En dicho gráfico se ha adoptado el eje horizontal como referencia (0°). El vector
impedancia está formado por dos componentes cartesianas ortogonales cuyos valores se obtienen
mediante la aplicación de la trigonometría.
Figura 21: Obtención de las componentes
equivalentes serie del circuito R-L paralelo.
La componente horizontal, o componente real de la impedancia es:
. . . mientras que la componente vertical, o componente imaginaria es:
Este valor de X’L se debe a un inductor L’ cuyo valor es:
Figura 22: Equivalencia de impedancias entre
un circuito paralelo y un circuito serie (ver texto).
42-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5.2.-
5° BTO ELECTRONICA . 2010
CIRCUITO R-C PARALELO
Para efectuar el análisis de este circuito propondremos los siguientes datos:
Figura 23: Circuito R-C paralelo. Se indican las corrientes
que circulan por cada uno de los componentes del circuito.
En el circuito de la figura 23 sabemos reconocer que la corriente IR que circula por el resistor
R está en fase con la tensión de alimentación, mientras que la corriente IC que circula por el capacitor
C adelanta 90° respecto de la misma tensión. Nuevamente, la intensidad de la corriente total Ī se
calculará aplicando la Primera Ley de Kirchoff, efectuando la suma vectorial entre las corrientes que
circulan por ambas ramas. Así:
Expr. 50
En base a lo expresado, si tomamos como referencia al fasor tensión V, podremos dibujar el
diagrama fasorial de corrientes correspondiente a este circuito. Dicho diagrama se representa en la
figura 24:
Figura 24: Diagrama fasorial de corrientes
del circuito R-C paralelo (en escala).
Entonces, de acuerdo con el diagrama de la figura 24, la expresión 50 se convierte en:
Expr. 51
La intensidad de la corriente IR es:
Expr. 52
43-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
La intensidad de la corriente IC es:
Expr. 53
Para calcular el valor de la corriente total Ī debemos sumar vectorialmente (expresión 51) los
valores de las corrientes IR e IC obtenidos a partir de las expresiones 52 y 53 respectivamente:
De acuerdo con el Teorema de Pitágoras, el módulo I de esta corriente es:
El argumento φ de la corriente Ī es:
En conclusión, el valor de la corriente total Ī es:
5.2.a.- RESOLUCION POR ADMITANCIAS
Reemplazando las expresiones 52 y 53 en la expresión 50 tendremos:
Expr. 54
De la expresión 54 obtenemos la admitancia del circuito:
Expr. 55
Expr. 56
En la expresión 56 se han definido las siguientes componentes de la admitancia:
44-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 57
Expr. 58
Entonces, a partir de la expresión 55, y reemplazando por la expresión 56, tendremos:
Expr. 59
Expresando el vector admitancia Ȳ en su forma exponencial tendremos, sucesivamente:
Expr. 60
Expr. 61
Expr. 62
Reemplazando valores en la expresión 61, el valor del módulo de Ȳ es:
Reemplazando valores en la expresión 62, el valor del argumento de Ȳ es:
En definitiva, el vector admitancia Ȳ vale, de acuerdo con la expresión 60:
La expresión 59 permite calcular la corriente total Ī que provee el generador:
Nuevamente, este resultado, obtenido por aplicación del método de las admitancias, coincide
con el obtenido mediante la suma vectorial de las corrientes parciales del circuito.
45-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5.3.-
5° BTO ELECTRONICA . 2010
CIRCUITO L-C PARALELO IDEAL
Analizaremos el comportamiento de un circuito L-C paralelo ideal. Esto significa que
consideraremos que tanto el inductor L como el capacitor C no presentan resistencia de pérdida
alguna, o, en otras palabras, el inductor L está construido con un alambre cuya conductividad σ es
infinitamente alta (o su resistividad ρ es nula), y el capacitor C posee un dieléctrico perfecto. Este
circuito se encuentra representado en la figura 25:
Figura 25: Circuito L-C paralelo ideal.
Teniendo en cuenta el concepto de admitancia estudiado anteriormente, la impedancia
compleja del circuito paralelo de la figura 25 se puede escribir como la inversa de la admitancia.
Expr. 63
A su vez, la admitancia total del circuito se puede escribir como la suma de las susceptancias
de cada rama:
Expr. 64
Operando sobre la expresión 64 se llega a que:
Expr. 65
A continuación, analizaremos el comportamiento del módulo de la admitancia compleja ȲP.
Supongamos por un momento que el generador que entrega una tensión senoidal de valor eficaz V,
nos permitiera modificar su frecuencia entre los siguientes límites. . .
Entonces, cuando la frecuencia del generador sea igual a cero (corriente continua) el módulo
de la admitancia YP será infinitamente alta (o el módulo de su impedancia ZP será nulo) puesto que,
en estas condiciones, el inductor L se comporta como un corto-circuito (y el capacitor C como un
circuito abierto). En efecto, para frecuencia nula será:
En el otro extremo, cuando la frecuencia del generador tienda a infinito, el módulo de la
admitancia YP también será infinitamente alta (o el módulo de la impedancia ZP será nulo), pero esta
vez será debido a que el capacitor C se comporta como un corto-circuito (mientras que el inductor L
se comporta como un circuito abierto). En efecto, para frecuencia infinitamente alta será:
46-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Como vemos, la admitancia es infinitamente alta en ambos extremos del espectro de
frecuencias. Sin embargo, en la expresión 65 podemos ver que debe existir un valor de frecuencia
para el cual se cumpla que el módulo de la admitancia YP sea nulo (por lo que la impedancia ZP será
infinitamente alta). En efecto, puede ocurrir que:
. . . cuando se cumpla la igualdad:
. . . o bien:
. . . de lo que resulta que:
Expr. 66
En la expresión 66 la frecuencia fO recibe el nombre de “frecuencia de resonancia”.
La frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo ideal
es el valor de frecuencia para el cual la admitancia del circuito es nula,
o bien, la impedancia del circuito se hace infinitamente alta.
En otras palabras, un circuito L-C paralelo ideal en estado de resonancia se comporta como
un verdadero circuito abierto. Por lo tanto, cuando la frecuencia de la señal del generador de tensión
coincida con la frecuencia de resonancia fO del circuito, la intensidad de la corriente Ī (figura 25) será
nula. Pero esto no significa que a través del inductor L y del capacitor C no circule corriente.
En efecto, si en el circuito de la figura 25 aplicamos la Primera Ley de Kirchoff veremos que se
cumple que:
. . . de lo que resulta que:
Expr. 67
La expresión 67 pone de manifiesto que, en estado de resonancia, a través del inductor L
circula una corriente IL cuya intensidad es exactamente igual a la de la corriente IC que circula por el
capacitor C, pero de sentido opuesto a ésta. Aquí debemos recordar que, en régimen alterno
senoidal, la corriente que circula a través de un inductor retrasa 90º respecto de la tensión que la
provoca, mientras que en un capacitor la corriente adelanta 90º respecto de la misma tensión. Esta
última idea y la expresión 67 aparecen representadas en forma fasorial en la figura 26:
47-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Figura 26: Circuito L-C paralelo ideal en estado de resonancia.
En otras palabras, las corrientes IL e IC de la figura 26 son la misma y única corriente que
circula por el circuito.
Desde un punto de vista netamente teórico, la descripción del párrafo anterior se interpreta
de la siguiente manera: En un circuito L-C paralelo sin pérdidas y en estado de resonancia la
corriente circulará de un componente a otro en un sentido y en el otro en forma entretenida (esto es
equivalente al caso de un péndulo ideal, que después de ser apartado de su posición de equilibrio no
sufre rozamiento ni en su eje de giro ni contra el aire: el péndulo continuará oscilando eternamente,
la oscilación no se agotará nunca).
5.3.a.- ANALISIS DEL MODULO DE LA ADMITANCIA Y LA IMPEDANCIA DEL
CIRCUITO L-C PARALELO IDEAL EN FUNCION DE LA FRECUENCIA
A partir de la expresión 65 hallamos el módulo de la admitancia YP del paralelo:
Expr. 68
Para el análisis que efectuaremos a continuación supondremos los siguientes valores:
Reemplazando estos valores en la expresión 66, la frecuencia de resonancia del circuito de
la figura 26 es:
48-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
Frecuencia
Módulo de la Admitancia
Hz
S
-3
159 x 10
-3
79,5 x 10
-3
31,8 x 10
-3
15,9 x 10
-3
7,95 x 10
-3
3,18 x 10
-3
1,58 x 10
-6
760 x 10
-6
240 x 10
-6
2,10 x 10
0
-6
235 x 10
-6
754 x 10
-3
1,55 x 10
-3
3,13 x 10
-3
7,85 x 10
-3
15,7 x 10
-3
31,4 x 10
-3
78,5 x 10
-3
157 x 10
1
2
5
10
20
50
100
200
500
1000
1066
2000
5000
10000
20000
50000
100000
200000
500000
1000000
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Módulo de la Impedancia
Ω
6,29
12,58
31,44
62,90
126,00
314,00
541,00
1316,00
4167,00
476190,00
4255,00
1326,00
645,00
320,00
127,00
64,00
32,00
13,00
6,37
Figura 27: Representación grafica del módulo de la admitancia y del módulo de la impedancia
en función de la frecuencia correspondiente al circuito L-C paralelo ideal de las figuras 25 y 26.
49-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5.4.-
5° BTO ELECTRONICA . 2010
CIRCUITO L-C PARALELO REAL O PRACTICO
Los inductores y capacitores que se fabrican y se emplean en la práctica están lejos de ser
componentes ideales. Esto se debe a que los materiales que se emplean para construirlos no son
perfectos. En efecto, si bien es cierto que los inductores se construyen, en general, con un alambre
de alta conductividad, como el cobre, este alambre presentará un cierto valor de resistencia al paso
de la corriente eléctrica que dependerá de la longitud del conductor, de su diámetro, y de la
frecuencia de trabajo. Por otra parte, los capacitores prácticos se apartan de los capacitores ideales
fundamentalmente a causa de las imperfecciones de su material dieléctrico, en el sentido de que su
conductividad no es nula.
Por las razones expuestas, tanto un inductor como un capacitor reales poseen una cierta
resistencia asociada a ellos que recibe el nombre de resistencia de pérdidas. En otras palabras, los
inductores y capacitores prácticos producen una cierta disipación de calor cuando una corriente
eléctrica circula a través de ellos.
Las resistencias de pérdidas de los inductores y los capacitores se pueden representar tanto
en serie como en paralelo con dichos componentes. Es decir que, para representar un inductor o un
capacitor real podremos emplear un modelo equivalente serie, o bien un modelo equivalente
paralelo. A modo de ejemplo, podemos decir que:
•
Un inductor ideal (o sin pérdidas) se representa simplemente mediante el símbolo de un
inductor.
•
Un inductor real de alta calidad, o de bajas pérdidas (baja disipación de calor), se podrá
representar mediante un inductor en serie con una resistencia de bajo valor, o bien
mediante un inductor en paralelo con una resistencia de alto valor.
•
Un inductor real de baja calidad, o de altas pérdidas (alta disipación de calor), se podrá
representar mediante un inductor en serie con una resistencia de alto valor, o bien
mediante un inductor en paralelo con una resistencia de bajo valor.
A los fines del análisis que se realiza a continuación, y para representar un inductor y un
capacitor reales, seleccionaremos el modelo equivalente serie, tal como se muestra en la figura 28.
Figura 28: Circuito L-C paralelo real o práctico
5.4.a.- ANALISIS DE LA ADMITANCIA DE UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL
La impedancia de la rama correspondiente al inductor es:
. . . y la admitancia correspondiente a la misma rama es:
Expr. 69
50-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
La impedancia de la rama correspondiente al capacitor es:
. . . y la admitancia correspondiente a la misma rama es:
Expr. 70
La admitancia total del circuito es:
Multiplicando y dividiendo cada término por el conjugado de su denominador tendremos:
. . . que, operando, da como resultado:
Luego, separando partes reales de partes imaginarias, y ordenando, llegamos a:
Expr. 71
La expresión 71 representa la admitancia total de un circuito L-C paralelo real, y en ella se
definen los siguientes términos:
En base a estas cuatro equivalencias, la expresión 71 se puede reescribir en la forma:
Expr. 72
En la expresión 72 se definen:
Expr. 73
51-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 74
Finalmente, la expresión 72 se convierte en la expresión 75 que muestra por separado las
componentes real e imaginaria totales de la admitancia total del circuito:
Expr. 75
5.4.b.- RESONANCIA DE UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL
Tal como puede verse en la expresión 72, cabe la posibilidad de que la componente
imaginaria de la admitancia total sea nula. Es decir que existirá un valor particular de frecuencia para
el cual el módulo de la susceptancia capacitiva BC sea igual al módulo de la susceptancia inductiva
BL. En tal caso, la admitancia total YT quedará formada solamente por la conductancia total GT. En
otras palabras, la impedancia total ZT del circuito será de carácter resistivo puro, y se dirá que el
circuito se encuentra en estado de resonancia.
En definitiva, podemos concluir que:
La frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo real
es el valor de frecuencia para el cual la susceptancia del circuito es nula,
o bien, la admitancia total del circuito es real pura,
o bien, la impedancia total del circuito se hace resistiva pura.
Entonces, para alcanzar el estado de resonancia del circuito L-C paralelo real se deberá
cumplir que:
. . . o bien que:
Al valor particular de la frecuencia que hace que se cumpla esta igualdad se lo denomina
frecuencia de resonancia fO. Por lo tanto, existirá una pulsación de resonancia ωO que es:
Operando sobre la expresión de la condición de resonancia se tendrá:
52-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
En el primer miembro se saca el producto L.C como factor común, obteniéndose:
Expr. 76
La expresión 76 permite, entonces, calcular la frecuencia de resonancia de un circuito L-C
paralelo real, o práctico, o con pérdidas. Dicha expresión es de carácter absolutamente general, dado
que contempla la totalidad de los casos que pueden encontrarse en la práctica. En este sentido
resulta de particular interés analizar la influencia de la raíz cuadrada:
. . . que recibe el nombre de “determinante de la frecuencia de resonancia”:
53-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
5.4.b.1.- ANALISIS DEL DETERMINANTE
DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA
•
Si RL y RC fuesen nulas estaríamos ante el caso de un circuito L-C paralelo ideal, o sin
pérdidas, situación en la cual el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a
la unidad, y la frecuencia de resonancia sería . . .
Esta expresión coincide con la expresión 35, que es la que permite calcular la frecuencia
de resonancia de un circuito L-C serie. En otras palabras, un inductor de valor L y un capacitor de
valor C conectados entre sí en serie y luego en paralelo poseerán la misma frecuencia de resonancia
en el caso en que ambos componentes sean ideales.
•
Si se cumpliera que:
. . . o bien que:
. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a la unidad, y la frecuencia de
resonancia sería nuevamente igual a la frecuencia de resonancia del circuito L-C serie.
•
Si se cumpliera que:
. . . o bien que:
. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a la raíz de un número negativo, por
lo que la frecuencia de resonancia poseería un valor imaginario. En este caso se dice que el circuito
L-C paralelo no posee frecuencia de resonancia.
•
Si se cumpliera que:
. . . o bien que:
. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a un número menor que la unidad,
razón por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria menor que la
frecuencia de resonancia correspondiente al circuito serie.
•
Si se cumpliera que:
. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a un número mayor que la unidad,
razón por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria mayor que la
frecuencia de resonancia correspondiente al circuito serie.
54-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
•
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Si se cumpliera que:
. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a cero, razón por la cual la
frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria nula. En este caso se dice que el
circuito L-C paralelo resuena en corriente continua.
•
Si se cumpliera que:
. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a un número infinitamente grande,
razón por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito L-C paralelo seria
infinitamente alta.
5.4.c.- CONSIDERACIONES PRACTICAS SOBRE
UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL
El avance tecnológico de los últimos tiempos ha permitido obtener materiales dieléctricos de
muy alta calidad en lo referente a las muy bajas pérdidas que éstos poseen, al menos dentro del
rango de las frecuencias bajas y medias. Esto hace que, para un capacitor moderno, su resistencia
de pérdidas equivalente serie sea de tan bajo valor que se lo puede considerar prácticamente
despreciable.
Pero no es posible decir lo mismo acerca de los inductores. Aunque se emplee un conductor
de alta calidad para construir un inductor, si éste posee una gran cantidad de espiras su resistencia
de pérdidas será elevada, aún en bajas frecuencias. Por otro lado, si el inductor en cuestión posee
pocas espiras y se lo emplea en un circuito de alta frecuencia, su resistencia de pérdidas se
incrementa debido a un fenómeno conocido con el nombre de “Efecto Pelicular” o “Efecto Skin”.
Este efecto se manifiesta de la siguiente manera: a medida que la frecuencia se incrementa, los
electrones tienden a circular cada vez más cerca de la periferia del conductor, ocupando una sección
del conductor que es menor que la sección real del mismo. En otras palabras, se produce una
disminución efectiva de la sección del conductor que conforma al inductor, por lo que la resistencia
del mismo aumenta (véase la expresión 2 del capítulo “Componentes Pasivos de un Circuito
Eléctrico”).
Por lo expuesto, y desde un punto de vista práctico, un circuito L-C paralelo real se reduce al
que se muestra en a figura 29, y su frecuencia de resonancia se calcula mediante la expresión 77.
Figura 29: Circuito L-C paralelo práctico en el que la
resistencia de pérdidas RC se considera despreciable.
Expr. 77
55-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
5.4.d.- FACTOR DE POTENCIA
Dentro del campo de las instalaciones eléctricas domiciliarias e industriales, la mayor parte
de los artefactos que forman parte de ellas poseen una impedancia de carácter predominantemente
inductivo. En efecto, los motores eléctricos y los artefactos de iluminación fluorescentes y de
descarga gaseosa presentan una impedancia que posee, además de una componente resistiva, una
componente inductiva. Por esta razón, los aparatos mencionados pueden ser representados
mediante un modelo R-L equivalente serie como se ve en la figura 30:
Figura 30: Artefactos eléctricos comunes en las instalaciones domiciliarias e industriales,
su circuito equivalente serie, y su correspondiente diagrama de impedancias.
La impedancia de un motor eléctrico está formada por la inductancia de su bobinado y la
resistencia eléctrica de los alambres del mismo. La impedancia de los circuitos de las lámparas
fluorescentes y de descarga gaseosa está formada, fundamentalmente, por la inductancia del
bobinado del reactor conectado en serie, por la resistencia de los alambres que lo constituyen y por
la resistencia de las lámparas.
Aquí nos encontramos ante un problema similar al que se planteó en el apartado 4.1 de este
mismo capítulo. Si consideramos el diagrama de impedancias que se encuentra a la derecha de la
figura 30, y lo multiplicamos por la corriente I obtendremos el diagrama de tensiones que se observa
a la izquierda y en el centro de la figura 31. Luego, si multiplicamos este diagrama de tensiones por
la misma corriente obtendremos el diagrama de potencias correspondiente a este circuito.
Figura 31: Obtención del diagrama de potencias correspondiente a un circuito R-L serie.
El diagrama de potencias ubicado a la derecha de la figura 31 muestra que el generador que
alimenta al circuito debe producir una potencia aparente de valor S, de la cual sólo se convierte en
potencia activa la representada por el vector P; y la potencia reactiva (que se genera pero no se
aprovecha) está representada por el vector Q.
La potencia activa P es la potencia útil (que equivale al trabajo útil desarrollado en el circuito),
mientras que la potencia reactiva Q retorna al generador. Empleando la trigonometría, estas dos
potencias responden a las siguientes expresiones:
56-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Expr. 78
Expr. 79
En la expresión 79 el cos φ recibe el nombre de “Factor de Potencia” y posee una gran
importancia de acuerdo con el siguiente análisis. Los usuarios de energía eléctrica (domiciliarios e
industriales) abonan a las empresas distribuidoras sólo el equivalente a la potencia activa P. Es decir
que los registradores de energía E instalados en los domicilios y en las industrias miden (o calculan)
solamente el producto:
En otras palabras, la empresa generadora de energía se ve obligada a proveer una potencia
aparente S a los clientes, pero éstos sólo abonan el equivalente a una potencia P debido a que sus
circuitos provocan una potencia reactiva Q que no se mide. Desde el punto de vista de las empresas
generadoras y distribuidoras de energía eléctrica ésta es una situación inaceptable puesto que deben
efectuar una inversión para generar una potencia aparente S para que los usuarios le retribuyan por
una potencia P.
Por esta razón es que las empresas distribuidoras exigen a los usuarios que reduzcan el
ángulo φ. Puesto de otra manera, exigen a sus clientes que mejoren (que incrementen) el factor del
potencia (el cos φ) de sus instalaciones, tratando que el mismo sea lo más cercano posible a la
unidad.
Al observar el diagrama de impedancias de la figura 30 se ve que para reducir (o, en lo
posible, anular) el ángulo φ, se deberá intentar cancelar la componente inductiva XL del circuito. Esto
equivale a decir que se deberá intentar poner el circuito en estado de resonancia. Para ello se debe
instalar un capacitor de valor adecuado en paralelo con el artefacto eléctrico en cuestión
(motor, lámpara, etc.) tal como se muestra en la figura 29.
Para calcular el valor del capacitor adecuado que ponga el circuito en estado de resonancia
partiremos de la expresión ya conocida que define dicho estado, que es . . .
Si tenemos en cuenta que podemos considerar que la resistencia de pérdidas RC del
capacitor es despreciable, la expresión de la condición de resonancia se convierte en:
. . . y el valor de C que lleva al circuito al estado de resonancia es:
Expr. 80
57-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
5.4.d.- ANALISIS DEL MODULO DE LA ADMITANCIA Y DE LA IMPEDANCIA
DEL CIRCUITO L-C PARALELO REAL EN FUNCION DE LA FRECUENCIA
La expresión 71 obtenida en el apartado 5.4.a. describe la admitancia de un circuito L-C
paralelo real en el que se consideran las resistencias de pérdidas de ambos componentes. Aquí se
reitera dicha expresión:
Si aceptamos, como ya hemos dicho, que en la mayor parte de los casos prácticos se puede
considerar que la resistencia de pérdidas equivalente serie RC del capacitor es despreciable, el
circuito resulta ser el de la figura 29, para el cual la expresión anterior se convierte en:
Expr. 81
A continuación efectuaremos el análisis de la expresión 81 en función de la frecuencia, para
lo cual supondremos que el circuito de figura 29 posee los siguientes valores:
En esta lista de valores debe observarse que se han mantenido los mismos valores de
inductancia y capacidad que en el apartado 5.3.a. en el que se efectuó el Análisis del Módulo de la
Admitancia del Circuito L-C Paralelo Ideal. Esto se hace con la finalidad de poder efectuar la
comparación entre el circuito ideal y el circuito real.
La tabla que se presenta más adelante contiene los valores del módulo de la admitancia y del
módulo de la impedancia en función de la frecuencia correspondientes al circuito de la figura 29
suponiendo los valores de componentes dados más arriba. Esta tabla de valores se encuentra
representada gráficamente en la figura 35. En dicha figura se pueden apreciar notables diferencias
respecto de los resultados obtenidos en el Análisis del Módulo de la Admitancia y de la Impedancia
del Circuito L-C Paralelo Ideal. Para marcar estas diferencias podemos efectuar el siguiente análisis:
•
Cuando nos encontramos dentro del rango de muy bajas frecuencias (o frecuencias cercanas
a cero), la impedancia del circuito posee el valor de la resistencia RL que es de 300 Ω, y, por
lo tanto, la admitancia del circuito posee el valor de la inversa de dicha resistencia, que es de
-3
3,33 x 10 S. Estos resultados son absolutamente lógicos, puesto que frente a frecuencias
de tan bajo valor el capacitor C tiende a comportarse como un circuito abierto (es decir, su
reactancia tiende a infinito), mientras que el inductor L tiende a comportarse como un cortocircuito (es decir, su reactancia tiende a cero). Por lo tanto, y dentro del rango de muy bajas
frecuencias, el circuito de la figura 29 posee como equivalente el circuito representado en la
figura 32:
Figura 32: Circuito equivalente del circuito de la figura 29
en el caso en que la frecuencia del generador tiende a cero.
58-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
•
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Cuando la frecuencia del generador coincide con la frecuencia de resonancia del circuito la
impedancia del circuito alcanza su valor máximo, que es menor que infinito y de carácter
resistivo puro (véase el sub-apartado 5.4.b.). Para el ejemplo numérico presentado aquí la
impedancia del circuito equivale a una resistencia cuyo valor es de 132886 Ω; por lo tanto, la
-6
admitancia del circuito alcanza su valor mínimo, que es 7,52 x 10 S y de carácter
conductivo puro. En este punto, y con el fin de efectuar una comparación, se deben recordar
los resultados obtenidos en el gráfico de la figura 27 correspondiente a un circuito L-C
paralelo ideal, en el que se muestra que cuando este circuito se encuentra en estado de
resonancia su impedancia tiende a infinito y su admitancia tiende a cero.
Figura 33: Circuito equivalente del circuito
de la figura 29 en estado de resonancia.
•
A medida que la frecuencia va tendiendo a valores cada vez más elevados el capacitor C
tiende a comportarse como un corto-circuito (es decir, su reactancia tiende a cero), mientras
que el inductor L tiende a comportarse como un circuito abierto (es decir, su reactancia
tiende a un valor infinitamente grande). En base a lo dicho, y puesto que el capacitor C se
encuentra conectado en paralelo con el generador, la impedancia total del circuito tiende a
cero (o la admitancia tiende a infinito), dando origen a una corriente de corto-circuito ICC. Por
lo tanto, y dentro del rango de las frecuencias muy altas (o tendientes a infinito) el circuito de
la figura 29 posee como equivalente el circuito representado en la figura 34:
Figura 34: Circuito equivalente del circuito de la figura 29 en
el caso en que la frecuencia del generador tiende a infinito.
•
Por otra parte, al comparar el circuito L-C Paralelo Ideal (figuras 26 y 27) con el circuito L-C
Paralelo Real (figuras 29 y 35) podemos ver que, a pesar que ambos poseen los mismos
valores de inductancia L y de capacidad C, se ha producido una modificación del valor de la
frecuencia de resonancia. En efecto, de acuerdo con la expresión 77, la resistencia de
pérdidas RL ha provocado una disminución del valor de la frecuencia de resonancia respecto
de la del circuito L-C Paralelo Ideal. La disminución del valor de la frecuencia de resonancia
está relacionada con el incremento de dicha resistencia de pérdidas.
59-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
Frecuencia
Hz
fO
1
2
5
10
20
50
100
200
500
1000
1004
2000
5000
10000
20000
50000
100000
200000
500000
1000000
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Módulo de la Admitancia
S
-3
3,33 x 10
-3
3,33 x 10
-3
3,33 x 10
-3
3,26 x 10
-3
3,07 x 10
-3
2,30 x 10
-3
1,42 x 10
-6
743,50 x 10
-6
238,80 x 10
-6
7,77 x 10
-6
7,52 x 10
-6
239,50 x 10
-6
753,86 x 10
-3
1,72 x 10
-3
3,13 x 10
-3
7,85 x 10
-3
15,70 x 10
-3
31,40 x 10
-3
78,50 x 10
-3
157,00 x 10
Mín.
Módulo de la Impedancia
Ω
300
300
300
307
325
435
703
1345
4188
128651
132886
4175
1326
578
319
127
64
32
13
6
Máx.
Figura 35: Representación grafica del módulo de la admitancia y del módulo de la impedancia
en función de la frecuencia correspondiente al circuito L-C paralelo real de la figura 29.
60-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
EJEMPLOS
Ejemplo N° 1 :
Para el circuito de la figura 11 correspondiente al capítulo “Impedancia, Admitancia y
Resonancia de un Circuito Eléctrico”, y con los mismos datos proporcionados, se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Calcular el valor de la inductancia L que hace que el circuito entre en estado de resonancia.
Calcular el valor de cada una de las reactancias.
Calcular la impedancia del circuito y expresarla en forma exponencial.
Dibujar, en escala, el diagrama de impedancias.
Calcular la corriente que circula por el circuito y expresarla en forma exponencial.
Calcular las caídas de tensión y expresarlas en forma exponencial.
Dibujar, en escala, el diagrama de tensiones.
Calcular las potencias activa, reactiva y aparente.
Dibujar, en escala, el diagrama de potencias.
Comparar los resultados con los obtenidos en el ejemplo desarrollado en la teoría.
Obtener conclusiones.
Ejemplo N° 2 :
Para el circuito de la figura 11 correspondiente al capítulo “Impedancia, Admitancia y
Resonancia de un Circuito Eléctrico”, y con los mismos datos proporcionados, se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Calcular el valor de la capacidad C que hace que el circuito entre en estado de resonancia.
Calcular el valor de cada una de las reactancias.
Calcular la impedancia del circuito y expresarla en forma exponencial.
Dibujar, en escala, el diagrama de impedancias.
Calcular la corriente que circula por el circuito y expresarla en forma exponencial.
Calcular las caídas de tensión y expresarlas en forma exponencial.
Dibujar, en escala, el diagrama de tensiones.
Calcular las potencias activa, reactiva y aparente.
Dibujar, en escala, el diagrama de potencias.
Comparar los resultados con los obtenidos en el ejemplo desarrollado en la teoría.
Obtener conclusiones.
61-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
GUIA DE EJERCICIOS DE CORRIENTE ALTERNA
Ejercicio Nº 1
Para los siguientes circuitos halle la impedancia entre los puntos A y B y la frecuencia de
resonancia:
Nº
CIRCUITO
DATOS
INCOGNITAS
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy Z=
f0=
a.
C=318,5 µF
f= 50 Hz
b.
c.
d.
e.
f.
g.
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
Z=
f0=
Z=
f0=
Z=
f0=
Z=
f0=
Z=
f0=
Z=
f0=
62-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Ejercicio Nº 2
Para los siguientes circuitos halle las corrientes y tensiones en todos los componentes y
verifique que se cumplen las leyes de Kirchoff. Indique el carácter inductivo, resistivo o
capacitivo del circuito.
DATOS
INCOGNITAS
CIRCUITO
Nº
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
VAB = 100V | 40º
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
Carácter:
VAB = 100V | 120º
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
Carácter:
VAB = 150V | -120º
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
Carácter:
VAB = 200V | 30º
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
Carácter:
VAB = 10V | -60º
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
f= 50 Hz
Carácter:
VAB = 14,14 V sen (314.t)
R = 20 Ω
L = 63,7 mHy
C=318,5 µF
Carácter:
VAB = 10V.sen (377.t – 30 º)
R1=R2 = 20 Ω
XL = j20 Ω
XC= -j15 Ω
Carácter:
I=
VR =
VL =
VC =
VR+VL+VC =
iTOTAL=
IR =
IL =
IC =
IR+IL+IC =
iTOTAL=
IRL =
IC =
VR =
VL =
VR+VL =
iTOTAL=
IRC =
IL =
VR =
VC =
VR+VC =
IR =
IC =
IL =
VR =
VL =
VR+VC =
IR =
IC =
IL =
VR =
VC=
VR+VC =
VC=
VL =
VL+VC =
IL =
IR 1 =
IC =
IR 2 =
IR1+IL =
63-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Ejercicio Nº 3
Para los siguientes circuitos grafique el diagrama fasorial de impedancias y admitancias:
a.
b.
Ejercicio Nº 4
Para el siguiente circuito halle:
a. La frecuencia de resonancia en radianes/seg
b. Las corrientes I, I1, IC
c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor QL, la potencia reactiva en el
capacitor QC y la potencia aparente S.
Datos:
R=50Ω
L=100mHy
C=10µF
VAB=200V | 90º
f=50Hz
Ejercicio Nº 5
Para el siguiente circuito halle:
a. A la frecuencia de resonancia Xc y C
b. Las corrientes I, I1, IC
c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor QL, la potencia reactiva en el
capacitor QC y la potencia aparente S.
Datos:
R=50Ω
XL=50Ω
VAB=100V | 0º
f=50Hz
64-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Ejercicio Nº 6
Para el siguiente circuito halle:
a. A la frecuencia de resonancia XL y L
b. Las corrientes I, I1, IC
c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor QL, la potencia reactiva en el
capacitor QC y la potencia aparente S.
Datos:
R=80Ω
Xc=200Ω
VAB=200V | 120º
f=50Hz
Ejercicio Nº 7
Para el siguiente circuito halle:
a. La frecuencia de resonancia en radianes/seg
b. Las corrientes I, I1, IL
c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor QL, la potencia reactiva en el
capacitor QC y la potencia aparente S.
Datos:
R=50Ω
L=100mHy
C=10µF
VAB=200V | 150º
f=50Hz
Ejercicio Nº 8
Para el siguiente circuito halle:
a. A la frecuencia de resonancia XL y L
b. Las corrientes I, I1, IL
c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor QL, la potencia reactiva en el
capacitor QC y la potencia aparente S.
Datos:
R=50Ω
XC=50Ω
VAB=100V | 60º
f=50Hz
Ejercicio Nº 9
Para el siguiente circuito halle:
a. A la frecuencia de resonancia XC y C
b. Las corrientes I, I1, IL
c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor QL, la potencia reactiva en el
capacitor QC y la potencia aparente S.
65-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Datos:
R=20Ω
XL=50Ω
VAB=20V | 90º
f=50Hz
Ejercicio Nº 10
Para el siguiente circuito en resonancia se pide:
a. Halle los valores de XC y C
Datos 1:
Datos 2:
b. Halle IL, IR e IC
R=100Ω
R=100Ω
c. P, QL, QC y S
XL=40Ω
XC=100Ω
f=50Hz
f=50Hz
VAB=100V |0º VAB=200V | 30º
Ejercicio Nº 11
Para el siguiente circuito en resonancia se pide:
Datos 1:
Datos 2:
a. Halle los valores de XC y C
R=50Ω
R=80Ω
b. Halle IL, IR e IC
XC=20Ω
XL=80Ω
c. P, QL, QC y S
f=50Hz
f=50Hz
VAB=100V |90º VAB=240V | 45º
Ejercicio Nº 12
Para el siguiente circuito halle:
a. La impedancia total
b. La frecuencia de resonancia
c. El factor de potencia
d. Las tensiones y corrientes en cada componente
e. Verifique si se cumplen las leyes de Kirchoff
f. El carácter del circuito
g. Grafique el diagrama fasorial de impedancias, tensión y corriente totales
h. Potencia aparente, reactiva y activa
66-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Ejercicio Nº 13
Para el siguiente circuito se pide:
a. Calcule la impedancia del circuito
b. Calcular la tensión V que alimenta al circuito
c. Dibuje el diagrama de impedancias y de tensiones en escala
d. Calcule la caída de tensiones en cada uno de los elementos del circuito. Verifique
con el diagrama de tensiones.
e. Calcule las potencias aparente, activa y reactiva del circuito. Dibuje el diagrama de
potencias.
f. ¿Cuál es el valor del factor de potencia?
g. Calcule cuánto hay que modificar el valor del inductor para que el circuito entre en
estado de resonancia a una frecuencia de f = 50Hz
Datos 1
R = 50 Ω
L = 1Hy
C = 10µF
f = 50 Hz
I = 1A ej0º
Ejercicio Nº 14
El circuito encerrado en una línea de puntos representa un artefacto industrial. Mediante el
uso de un Óhmetro se ha medido su componente resistiva que resultó de R = 100Ω
Además se sabe que el factor de potencia de esta carga vale COS ߮= 0,45 se pregunta:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
¿Cuánto vale la inductancia ?
¿Cuánto vale la impedancia equivalente serie?
Dibuje el diagrama de impedancias
¿Cuánto vale la corriente del circuito?
Verifique la segunda LEY DE KIRCHOFF
Calcule y grafique las potencias aparente, activa y reactiva.
Se desea lograr que el factor de potencia del circuito valga aproximadamente 1.
Indique a su criterio cuál el la solución técnica mas apropiada para conseguirlo,
agregue el cálculo de los componentes necesarios para conseguirlo.
h. Luego muestre mediante diagramas de admitancias y/o corrientes y tensiones el
resultado esperado.
67-68
ELECTRONICA ANALOGICA II
5° BTO ELECTRONICA . 2010
Ejercicio Nº 15
En el circuito que se da a continuación la rama R-L encerrada en líneas de puntos
representa un motor. El capacitor C fue conectado en paralelo con el motor con la
intención de mejorar el factor de potencia en la línea, se pregunta:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
¿Cuánto vale la impedancia del motor ?
¿Cuánto vale la impedancia total del circuito?
¿Cuánto vale el factor de potencia?
Si el factor de potencia (COS φ ) no vale 1 ¿Qué solución técnica adoptaría para
lograrlo? Calcule el valor del componente necesario
Calcule el valor de corriente de cada rama del circuito, la tensión sobre cada
componente y el valor de la corriente total.
Calcule y grafique las potencias aparente, activa y reactiva
Dibuje en el caso que corresponda, los diagramas de impedancias, admitancia,
corriente y potencias.
Calcule el valor del capacitor para que el circuito resuene a 1MHz.
Ing. Rubén J. Bernardoni
Datos1
Datos 2
f = 50 Hz
R = 50Ω
L = 100mh
C = 5µF
f = 50 Hz
R = 10Ω
L = 10µHy
C = 2000pF
Ing. Oscar D. Novodvoretz
68-68