Valores y Vectores Propios Archivo

Valores y Vectores Propios
Profesores
Omar Darı́o Saldarriaga Ortı́z
Iván Dario Gómez
Hernán Giraldo
2009
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n, decimos que λ es un valor propio de A
si existe un vector v tal que Av = λv. En este caso decimos que v es un
vector propio de valor propio λ.
Teorema
Sea A una matriz de tamaño n×n, entonces λ es un valor propio si y solo si
det(A − λI) = 0.
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n, decimos que λ es un valor propio de A
si existe un vector v tal que Av = λv. En este caso decimos que v es un
vector propio de valor propio λ.
Teorema
Sea A una matriz de tamaño n×n, entonces λ es un valor propio si y solo si
det(A − λI) = 0.
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n, definimos el polinomio caracteristico
pA (λ) de A por
pA (λ) = det(A − λI).
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n, decimos que λ es un valor propio de A
si existe un vector v tal que Av = λv. En este caso decimos que v es un
vector propio de valor propio λ.
Teorema
Sea A una matriz de tamaño n×n, entonces λ es un valor propio si y solo si
det(A − λI) = 0.
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n, definimos el polinomio caracteristico
pA (λ) de A por
pA (λ) = det(A − λI).
Ejemplo
4 −5
Sea
calcular los valores y vectores propios de A.
2 −3
Teorema
Sea A una matriz de tamaño n×n y sean v1 , . . . , vk vectores propios con
valores propios λ1 , . . . , λk , respectivamente. Si los λi son diferentes entre si
entonces los vectores v1 , . . . , vk son linealmente independientes.
Ejemplo
4 −5
Sea
calcular los valores y vectores propios de A.
2 −3
Teorema
Sea A una matriz de tamaño n×n y sean v1 , . . . , vk vectores propios con
valores propios λ1 , . . . , λk , respectivamente. Si los λi son diferentes entre si
entonces los vectores v1 , . . . , vk son linealmente independientes.
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n, el conjunto Eλ = {v : Av = λv} se
llama el subespacio propio de valor propio λ.
Ejemplo
4 −5
Sea
calcular los valores y vectores propios de A.
2 −3
Teorema
Sea A una matriz de tamaño n×n y sean v1 , . . . , vk vectores propios con
valores propios λ1 , . . . , λk , respectivamente. Si los λi son diferentes entre si
entonces los vectores v1 , . . . , vk son linealmente independientes.
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n, el conjunto Eλ = {v : Av = λv} se
llama el subespacio propio de valor propio λ.
Observaciones
Eλ = N ul(A − λI) y por tanto Eλ es un subespacio de Rn .
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n y sean λ1 , . . . λk los valores propios de A,
1
2
Decimos que la multiplicidad algebráica de λi es k si (λ − λi )k es la
máxima potencia de λ − λi que divide a pA (λ).
La multiplicidad geométrica de λi esta dada por dim Eλi .
Observaciones
Eλ = N ul(A − λI) y por tanto Eλ es un subespacio de Rn .
Definición
Sea A una matriz de tamaño n×n y sean λ1 , . . . λk los valores propios de A,
1
2
Decimos que la multiplicidad algebráica de λi es k si (λ − λi )k es la
máxima potencia de λ − λi que divide a pA (λ).
La multiplicidad geométrica de λi esta dada por dim Eλi .
Definición
Sean X = {x1 , . . . , xn } una base de Rn y v ∈ Rn , sabemos que existen
escalares a1 , . . . , an talque v = a1 v1 + · · · + an vn y que esta representación
es única. Entonces decimos que el vector v en términos de la base X
está dado por
 
a1
 
vX =  ...  .
an
Ejemplo
1
1
5
x1 =
, x2 =
. Nótese que v =
= 3x1 + 2x2 ,
−1
1
−1
3
entonces tenemos que vX =
.
2
Sea X =
Definición
Sean X = {x1 , . . . , xn } una base de Rn y v ∈ Rn , sabemos que existen
escalares a1 , . . . , an talque v = a1 v1 + · · · + an vn y que esta representación
es única. Entonces decimos que el vector v en términos de la base X
está dado por
 
a1
 
vX =  ...  .
an
Ejemplo
1
1
5
x1 =
, x2 =
. Nótese que v =
= 3x1 + 2x2 ,
−1
1
−1
3
entonces tenemos que vX =
.
2
Sea X =