Tema B-6. Modulaciones en frecuencia y fase - GTE

Tema B-6. Modulaciones en frecuencia y fase
Joaquín Granado Romero
[Dpto. Ing. Electrónica. Universidad de Sevilla]
[email protected]
Contenido
1.
2.
Introducción
Definición de modulación FM y PM
1.
2.
3.
4.
5.
Frecuencia Instantánea
Desviación en Frecuencia y Fase: Íncice de Modulación
Espectro de señales FM/PM
1.
2.
6.
7.
Relaciones FM-PM
Características de las modulaciones
Modulación PM de un tono
Estimación del Ancho de Banda: Regla de Carson
Modulación de Fase de Banda Estrecha (NBPM)
Generación de señales FM/PM
1.
2.
Generación de señales NBPM/ NBFM
Generación de señales WBPF/ WBMF
1.
2.
3.
8.
Modulador de Armstrong
Moduladores basados en VCO’s
Detección de señales FM/PM
Aplicación: sistema de radiodifusión FM estereofónico
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2/28
Introducción
4
Recapitulando. Hemos visto:
z
z
z
Análisis de señales en la frecuencia/tiempo
Análisis de los sistemas LTI
Técnicas de MODULACIÓN Æ permiten desplazar el espectro de la señal en
banda base o señal de información a una frecuencia adecuada.
z
z
4
Basadas en la variación de alguno de los los parámetros de una señal denominada
portadora (amplitud, frecuencia y fase).
Técnicas AM (Amplitude Modulation)
En este tema veremos.
z
z
FM (Frequency Modulation) o Modulación en frecuencia. La señal de
información hace variar de forma lineal la frecuencia de la señal portadora
PM (Phase Modulation) o Modulación en Fase. La señal de información hace
variar de forma lineal la fase de la señal portadora.
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Definición de Modulación FM / PM
4
Recurrimos a la notación compleja [g(t) es la envolvente de sc(t)]:
(
)
)
)
sc (t ) = Ac cos(ωc t + ϕ c ) = real Ac e j (ωct +ϕc )
(
→ sc (t ) = real g (t )e j (ωct
g (t ) = Ac e jϕc 
4
Caso de Modulación en Amplitud (DSB-AM): m(t) es la señal de
información. La g(t) es real.
g AM (t ) = m(t )
4
Modulación en PM/FM [g(t) es compleja]:
z
g (t ) = Ae jθ (t )
PM: Modulación en Fase (Dp es la Sensibilidad de Fase (rad/v)
θ (t ) = D p m(t )
z
FM: Modulación en Frecuencia (Df es la Sensibilidad de Frecuencia (rad/s/v)
θ (t ) = D f ∫ m(λ )dλ
t
−∞
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4/28
Relaciones FM/PM
4
Equivalencias entre la señal moduladora en FM y PM
m f (t ) =
D p dm p (t )
Df
dt
; m p (t ) =
mf(t)
∫
Df
mp(t)
d
dt
Dp
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Dp
Df
Df
Dp
∫
t
−∞
m p (λ )dλ
MODULADOR
PM
MODULADOR
FM
Generación FM a partir
de un modulador PM
sFM (t)
Generación PM a partir
de un modulador FM
sPM(t)
5/28
Características de la señal FM/PM
4
La expresión general de una señal modulada en FM/PM será:
sPM − FM (t ) = Ac cos(ωct + θ (t ))
4
4
Amplitud constante (A)
Potencia Media constante:
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Ac2
P=
2
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Frecuencia Instantánea
s PM − FM (t ) = Ac cos(ωc t + θ (t ))
4
Frecuencia Instantánea (fi) es la frecuencia de la señal modulada en el
instante ‘t’.
ψ (t ) = (ωc t + θ (t ));
dθ (t )
1 dψ (t )
= fc +
fi (t ) =
;
dt
2π dt
4
4
La señal FM/PM consiste en una portadora que va cambiando instantáneamente alrededor de la fc en función de la señal de información. Su
transformada “instantánea” será una delta.
¿Qué significa S(f)?
z
Será un promedio de las componentes es frecuencia de la señal. En general es
muy complejo su cálculo.
+∞
S ( f ) = ∫ s (t )e − j 2πft dt
−∞
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Máxima Desviación en Frecuencia
4
z
z
4
Para el caso PM:
z
4
1
1 dθ (t )
(
)
(
)
df
t
fi
t
f
F
;
max
=
−
=
∆
=
c
Desviación en Frecuencia:
2π dt
2π
df(t)
dθ (t )
Máxima Desviación en
Si
= D f m (t ) y max {m (t )} = V p ⇒ ∆F
dt
Frecuencia (∆F)
Para el caso FM
Máxima Desviación de
Fase (∆θ)
 dθ (t ) 

:
 dt 
1
D fVp ;
=
2π
∆θ = max {θ (t )}:
Si θ (t ) = D p m (t ) y max {m (t )} = V p ⇒ ∆θ = D pV p ;
Interpretación de (∆F):
z
z
z
Si Vp ↑ Æ ∆F ↑ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de
frecuencias mayor.
Si Vp ↓ Æ ∆F ↓ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de
frecuencias menor.
En cualquier caso ∆f (equivalente al índice de modulación en AM) no afecta a la
potencia que se transmite. En AM si afecta.
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Índices de Modulación de Fase y Frecuencia
4
4
PMI-Phase Modulation Index (βp):
FMI-Frequency Modulation Index (βf):
z
z
B: Ancho de Banda de m(t) (señal de
información)
A mayor índice de modulación mayor desviación
en frecuencia para un mismo B.
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β p = ∆θ
∆F
βf =
B
9/28
Espectro de señales PM
4
4
4
Buscamos la Transformada de Fourier de una señal modulada
en fase (PM).
Utilizando la notación compleja de una señal PM:
1
j (ωc t +θ (t ))
jω c t
F
sPM (t ) = Ae
= g (t )e ←→ [G ( f − f c ) + G ( f + f c )]
2
F
g (t ) = Ae jθ (t ) ←→
¿ G ( f )?
¿Cómo se calcula G(f)?
z
z
z
G(f) y q(t) no tienen una relación lineal Æ no es posible aplicar el
principio de superposición
No es posible obtener una expresión general de G(f)
Estudiamos una caso simple donde mp(t)=Amsen(ωmt)
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Modulación PM de un tono
Características de la señal
de información
g (t ) = Ae
;
n = +∞
A
jnω m t
→ Cn =
g (t ) = ∑ Cn e
Tm
n = −∞
 1
C n = A
 2π
∫
+π
−π
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e
θ (t ) = D p Am sen(ωmt );
β p = D p Am ;
g(t) es periódica Tm=1/fm
Podemos hacer el desarrollo en series de Fourier
de la señal g(t) y después calcular G(f)
jβ p sen (ω m t )
m p (t ) = Am sen(ωmt );
(
j β p sen (α )− nα
∫
+
Tm
2
T
− 2m
e
jβ p sen (ω m t ) − jnω m t
e

dα  = A J n ( β p )

)
Función de Bessel
de 1ª clase y orden n.
Cálculo numérico
11/28
Modulación PM de un tono
4
La envolvente compleja g(t) se puede expresar como una serie Fourier
quedando:
n = +∞
g (t ) = A ∑ J n ( β p )e jnωmt
n = −∞
4
Aplicando las propiedades de la transformada.
G( f ) =
n = +∞
∑ C δ ( f − nf ) =A ∑ J
n = −∞
4
n = +∞
n
m
n = −∞
n
( β p )δ ( f − nf m )
Interpretación:
z
z
z
z
G(f) está formada por deltas situadas en nfm cuya magnitud está controlada por
la función de Bessel Jn(β).
Si (β) ↓ Æ Jn decrece rápidamente y las componentes en frecuencia se concentran.
Si (β) ↑ Æ Jn decrece léntamente y las componentes en frecuencia se expanden.
β controla el ancho de banda de la señal PM
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Funciones de Bessel de 1ª especie
beta=0.5
beta=1
1
0.8
0.9
β=0.5
0.8
0.7
β=1
0.6
for i=1:length(n)
t_bessel(i,:)=besselj(n(i),beta);
end
0.5
J n(beta)
0.6
J n(beta)
clear
beta=[0.5 1 2 4 8]
n=[0:1:10]
0.7
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
1
2
3
4
5
6
n
7
8
9
10
0
11
1
2
3
4
5
beta=2
6
n
7
8
9
10
11
beta=4
0.7
0.5
0.4
0.6
0.3
β=2
0.5
β=4
0.2
J n(beta)
J n(beta)
0.4
0.3
0.1
0
-0.1
0.2
-0.2
0.1
-0.3
0
1
2
3
4
5
6
n
7
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8
9
10
11
-0.4
1
2
3
4
5
6
n
7
8
9
10
11
13/28
Espectro de la señal PM
S( f )
A
2
( )
1
4
BW
β=0.2
4
4
fc
1
Representamos el espectro normalizado
(A/2).
Para β=0.2 aspecto de delta en fc
Si β ↑ Æ BW ↑
f
BW
β=1.0
1
fc
f
BW
β=2
fc
1
f
BW
β=5
fc
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f
Jn(0.2)=[0.9900 0.0995 0.0050 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000]
Jn(1)=[0.7652 0.4401 0.1149 0.0196 0.0025 0.0002 0.0000]
Jn(2)=[0.2239 0.5767 0.3528 0.1289 0.0340 0.0070 0.0012]
Jn(5)=[-0.1776 -0.3276 0.0466 0.3648 0.3912 0.2611 0.1310]
14/28
Regla de Carson
4
4
4
El Ancho de Banda (BW) de una señal FM/PM depende del
Indice de Modulación (β).
El cálculo de BW3dB sería muy complejo.
Se demuestra que el 98% de la potencia de la señal se
encuentra en un intervalo de frecuencias dado por:
BW = 2(β + 1)B
z
z
4
donde B es el ancho de banda de la señal de información
β es el Índice de Modulación
Aunque es una regla aproximada resulta muy útil y sencilla de
aplicar.
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15/28
Modulación de Fase de Banda Estrecha
4
Partiendo de la expresión de la envolvente compleja de una
señal PM/FM y suponiendo variaciones de fase muy pequeñas
(|θ(t)|<0.2 rad.):
g (t ) = Ae jθ (t ) ≅ A[1 + jθ (t )]
4
La señal modulada tendrá la forma:
{
s (t ) = real g (t )e
4
j (ωc t )
}≅ A cos(ω t ) − Aθ (t )sen(ω t )
c
c
La señal (NBPM: Narrow Band Phase Modulation) se
caracteriza por.
z
z
z
Una portadora pura
Una señal DSB-AM desfasada 90º respecto a la portadora anterior
Las señales NBPM pueden generarse con circuitos moduladores AM.
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16/28
Generación de señales FM
4
4
Nos centramos en circuitos que generan señales FM
Consideraciones generales
z
z
Moduladores Directos: consiste en generar señales FM a partir de un
modulador FM
Moduladores Indirectos: generan una señal FM a partir de circuitos
generadores PM.
mf(t)
z
4
∫
Df
Dp
MODULADOR
PM
sFM (t)
Emplearemos sistemas Variantes en el Tiempo
Veremos generación de señales:
z
z
NBFM (Narrow Band FM)
WBFM (Wide Band FM) o simplemente FM
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17/28
Generación NBFM
mf(t)
sNBFM (t)
∫
sen(ωct)
s NBPM (t ) = A cos(ωc t ) − Aθ (t )sen(ωc t )
cos(ωct)
−π/2
OL
4
4
4
4
Esquema basado en un modulador NBPM (Mod. Indirecta).
Basado en moduladores DSB-AM.
Podemos generar señales NBFM a partir de moduladores
DSB-AM vistos anteriormente.
OL: Oscilador Local
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Generador NBPM
18/28
Generación WBFM o simplemente FM
4
4
Basados en NBFM
4
z
Añadimos un multiplicador de
frecuencias
z
Modulador Armstrong.
Basados en circuitos VCO’s:
z
El multiplicador en frecuencia es un
elemento No Lineal que aumenta el
Índice de Modulación.
z
z
VCO: Voltage Controlled Oscilators): Circuitos que generan una
señal seno de frecuencia
controlada por la entrada.
Idealmente de forma lineal
Son circuitos realimentados
vi(t)
mf(t)
Modulador
NBFM
Multiplicador “n”
de Frecuencia
sFM (t)
4
β1≈0.2
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β2 =nβ2
4
VCO
sen(kvit)
Veremos el fundamento de los VCO’s
basados en circuitos resonantes
Existen otras tecnologías de VCO’s
19/28
Generación de FM basada en NBFM
4
Ejemplo de multiplicador de
frecuencia
mf(t)
Modulador
NBFM
Multiplicador “n”
de Frecuencia
β1≈0.2
sFM (t)
β2 =nβ2
v out (t ) = v in2 (t );
v in (t ) = sen (ω c t + θ (t ));
θ (t ) = β in m (t ); → v out (t ) = sen 2 (ω c t + β in m (t ))
1
v out (t ) = {1 + cos (2ω c t + 2 β in m (t ))}
2
β out = 2 β in
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20/28
Circuitos Resonantes variables
4
VCO’s con circuitos resonantes
z
z
z
z
Basados en LC que oscilan dadas unas condiciones
iniciales.
Frecuencia de oscilación (resonancia):
1
;
ωi =
LC
Si el condensador varía con la señal de información:
C = C 0 + am (t );
La frecuencia de oscilación (aprox. por Taylor):
ωi =
1


a
LC 0 1 +
m (t )
C0


≅
ω i = ω 0 + k f m (t ); donde k f
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1
LC
0
C
L


a
 1 −
m (t ) ;
C0


aω 0
= −
2C 0
21/28
Demoduladores
4
Basados en dos elementos:
z
DISCRIMINADOR DE FRECUENCIAS
z
z
Dispositivo que proporciona una ganancia proporcional a la frecuencia de la
señal de excitación
DETECTOR AM
z
Generalmente se empleará un detector de envolvente
sFM (t)
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Discriminador
de
Frecuencia
sAM(t)
Detector
de
Envolvente
m f(t)
22/28
Demoduladores
+
Rd
D
Ld
e(t)
+
C
RL
VDEMOD(t)
Basado en discriminador
simple RL
VFM (t)
4
-
H (ω ) =
E (ω )
jL ω
;
=
V FM (ω ) R + jL ω
-
Discriminador
Detector de Envolvente
|H(ω)|
1
ωc
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ω
23/28
Demoduladores
Ld
Rd
Cd
+
D
C
RL
VDEMOD (t)
+
e(t)
Basado en discriminador
RLC
I FM (t)
4
-
-
Discriminador
H (ω ) =
E (ω )
1
=
I FM (ω )

1
1
+ j  C d ω −
Rd
Ldω

|E(ω)|
ωc
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ωresonancia



;
Detector de Envolvente
ω
24/28
Aplicación
4
4
4
Estudiamos el actual sistema de radiodifusión FM-estéreo.
FM-estéreo nace cuando ya existían emisoras FM-mono
En FM-estéreo se transmiten dos fuentes de sonido, dando sensación de
profundidad en la audición:
z
z
4
4
Canal R (Right): audio derecho
Canal L (Left): audio izquierdo
FM-estéreo emplea FDM (Frequency Division Multiplexing),consistente en
modular cada fuente de información a una frecuencia de portadora diferente
de forma que no solapan los espectros y puedan ser recuperados.
Carácterísticas de la FM-estéreo:
z
z
z
z
Frecuencias de portadora: 88.1MHz a 107.9 MHz
Existen un total de 100 canales (emisoras) separadas cada 200KHz
Índice de Modulación β=5. Máxima desviación ∆F=75KHz.
Ancho de banda de la señal de información B=15KHz Æ BW=180KHz
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25/28
Transmisor FM
+
mR(t)
+
-
mL(t)
mR(t)+mL(t)
+
mR(t)-mL(t)
mf(t)
Mod
DSB-SC
SFM (t)
4mR(t)
/2
OL
38KHz
4
Mod
FM
y mL(t) son las fuentes de audio
4Mod. DSB-SC: Modulador Double Side
Band AM Carrier Supressed
4OL: Oscilador Local a 38 KHz
4Mod. FM: Modulador WBFM en la banda
88.1-107.9 MHZ.
A la entrada del Modulador FM la señal mf(t) estará
compuesta por:
z
z
z
mR(t)+ mL(t) sin procesar
mR(t)- mL(t) sin procesar modulada en DSB-AM con portadora
de 38KHz
Un tono piloto a 36KHz/2=18KHz. Este tono permite la
demodulación coherente y que el receptor sepa que la emisión
es FM estéreo.
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Mf(f)
19KHz
38KHz
26/28
f
Receptor FM Estéreo
LPF
15KHz
SFM(t)
Demod
FM
BPF
23-53 KHz
Mf(f)
mR(t)+mL(t)
+
2mR(t)
+
LPF
15 KHz
+
mR(t)-mL(t)
2mL(t)
PLL
38KHz
19KHz
4
4
4
4
38KHz
f
Demodulación FM
Recuperación de la información “mono” (mR(t)+ mL(t)) mediante el filtrado de las
componentes a baja frecuencia (LPF de 15KHz)
Demodulación coherente de la señal mR(t)- mL(t) mediante la recuperación de la
portadora por un PLL y posterior filtrado.
Obtención de las componentes R-L
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Conclusiones
4
4
4
4
4
4
4
La técnica de modulación FM/PM se basa en portar la información en
variaciones de frecuencia y fase.
Concepto de Frecuencia Instantánea Æ dificultad para calcular la
transformada de Fourier de una señal FM/PM (componentes estacionarias
de frecuencias).
Una señal FM/PM tiene una potencia media constante que no depende del
Índice de la Modulación.
El BW de la señal FM/PM es proporcional al ancho de banda de la señal de
información y al Índice de Modulación según la regla de Carson.
Un tipo de PM denominado NBPM similar a AM.
Generadores y Detectores FM/PM
Sistemas FM estéreo que actualmente se utilizan comercialmente
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