Geometría de cuasi-cristales en edificios islámicos

 Geometría de cuasi-cristales en edificios
islámicos medievales
J. Rubén G. Cárdenas
El conocimiento de las cualidades de los números y las figuras ayuda
a entender los modos de influir de los seres celestiales y los sonidos
musicales en las almas de los oyentes.
Corán
En los mosaicos que adornan las edificaciones medievales del mundo
islámico, se han encontrado aplicaciones de geometría avanzada
semejantes a la geometría encontrada por matemáticos y físicos en los
cuasi-cristales decagonales, en las décadas de los setenta y ochenta del
siglo XX en Occidente. Si esto es cierto, el conocimiento medieval de
esta geometría sería anterior al de Occidente en más de 500 años.(1)
Para la religión islámica, la geometrización de su arquitectura es la
representación de un cosmos bien ordenado. Es justamente la
apariencia cristalina de los mosaicos lo que da gracia y movimiento a la
piedra. Sus formas geométricas evocan los copos de nieve, los
diamantes, las olas del mar, el titilar de las estrellas y muchas imágenes
más de la naturaleza. El orden natural y su perfección se vuelven
sagrados en esta geometría islámica, son un escudo que protege del
caos, del mal o Satanás.
Si queremos entender la arquitectura islámica, conviene que repasemos
sus ideas más importantes:
El cosmos es una unidad de vida y articulada, ordenada según el
número.
El artesano debe imitar a la naturaleza, que siempre crea de acuerdo al
número y a la medida. Debe trabajar según la divina proporción
presente en todos los planos de la naturaleza. "Dios es el origen de
todo, el uno es el principio de los números, la línea lo es de la
geometría, el sol es centro y generador de la astronomía, la esencia lo
es de la lógica y, en música, la base generatriz es el movimiento, y, a
partir de él, se producen todas las demás relaciones y las melodías, que
son infinitas según designio divino y diferentes en cada nación". (A)
Según la religión islámica, el número es el origen de todos los seres. La
llave que ordena el microcosmos y el macrocosmos, lo espiritual y lo
material. Las características de cada número en sí mismo y en relación
con los demás son el fundamento del orden perfecto e infinito que
impregna todo el cosmos. Los entrelazados de los mosaicos islámicos
parecen derivar de los mosaicos romanos. Sus figuras derivan de una o
varias figuras regulares inscritas en un círculo, que se desarrollan según
los principios del polígono estrellado. Los diseños de naturaleza análoga
se penetran y entrelazan y forman una red continua de líneas que
irradian de uno o varios centros. El entrelazado semeja el movimiento
de una sola cinta en el que parecen irse trazando con la vista estas
imágenes geométricas.
En un contexto científico, podemos definir a un cristal como una porción
homogénea de materia con una estructura atómica ordenada y definida,
es decir, con forma externa limitada por superficies planas y uniformes
simétricamente dispuestas. Cuando están bien formados suelen
aparecer como entidades homogéneas de formas geométricas definidas.
Sin embargo su morfología externa no es suficiente para definir un
material como cristal. ¿Qué diferencia a los cristales de otros tipos de
materiales? La estructura cristalina consiste en la agrupación de los
iones, átomos o moléculas de acuerdo a un patrón que se repite
periódicamente (2) como en una alfombra oriental o en los mosaicos, o
que forma filas como en la figura 1. En esas series de agrupaciones
siempre hay una parte que se repite.
En los cristales, los átomos, los iones o las moléculas se empaquetan y
dan lugar a motivos que se repiten desde cada 5 angstrom hasta
centenas de angstroms (1 angstrom = 10-8 centímetros) en tres
dimensiones para formar lo que se denomina red cristalina. El conjunto
de elementos o elemento que se repite por traslación ordenada, genera
toda la red (todo el cristal) y se le conoce como celda unidad.
Figs. 1,2-Diferentes arreglos que pueden considerarse ?cristalinos? ya
que la condición de periodicidad a partir de un punto de referencia se
cumple. Imagen tomada de ?Una ojeada a la materia? de Guillermo
Aguilar Sahagún et al
Pero hay ocasiones en las que las repeticiones se rompen, no son
exactas, y es lo que diferencia a los cristales de los vidrios o en general
de los llamados materiales amorfos (desordenados o poco ordenados).
En 1984 investigadores del National Bureau of Standards en los Estados
Unidos descubrieron un nuevo tipo de material que parecía violar uno de
los más sagrados principios de la cristalografía (la rama de la física que
describe la estructura atómica de los materiales). El nuevo material
parecía poseer el mismo tipo de orden de los cristales convencionales,
pero contenía elementos de simetría considerados imposibles en un
sólido macroscópico o cristal. Aunque su estructura en detalle y algunas
de sus propiedades son aún sujeto de controversia, con el tiempo se
hizo evidente que este nuevo estado estructural de la materia es de un
orden intermedio entre el de los materiales con máximo nivel de orden,
los cristales, y los amorfos. Como este tipo de orden intermedio resultó
ser cuasiperiódico porque su estructura cristalina tiene una periodicidad
irregular y no se puede construir mediante la repetición de una celda
unidad, se les llamó cuasicristales o sólidos cuasiperiódicos (3). Otra
característica es que exhiben simetrías icosaédricas o decagonales que
no presentan los sólidos cristalinos; forman las estructuras bastante
comunes de las aleaciones con metales como el cobalto, el hierro y el
níquel.
En la década de los 70, anterior al descubrimiento de los cuasicristales,
el físico inglés Roger Penrose se interesó en resolver un problema
matemático clásico: cómo cubrir totalmente un plano con figuras
diferentes, sin que éstas se encimen y que embonen sin dejar huecos
entre ellas, y donde además los patrones creados no se repitan. La
solución que encontró Penrose era originalmente de seis figuras y más
tarde la logró reducir a dos: la flecha y el papalote.
Combinándolas se puede cubrir totalmente un plano con patrones
irregulares de gran armonía. Así pues, a los patrones irregulares
(cuasipatrones) de figuras poligonales que no se repiten ni se enciman y
que embonan sin dejar huecos se les asocia un patrón de Penrose. La
característica más importante del patrón de Penrose es que los
resultados de experimentos de difracción óptica realizados con él,
coinciden cualitativamente con los de microscopía electrónica hechos en
cuasicristales reales, lo que demuestra que ambos poseen el mismo tipo
de orden aunque difieran en detalle. El orden traslacional de largo
alcance en un patrón de Penrose deriva de la existencia de un conjunto
estricto de reglas que deben seguirse al añadir nuevas piezas (rombos)
al patrón irregular y que obligan a que sigan un orden cuasiperiódico.
Fig. 3-Mosaico de Penrose, museo de las ciencias Universum.
Los mosaicos presentes en varias edificaciones islámicas, son dibujos o
pinturas creados al introducir pequeñas piezas de vidrio, piedra o
terracota en una base de cemento u otro material de fijación. En la
imagen que se muestra a continuación hay una pequeña figura poligonal
(derecha), que se repite a lo largo del mosaico en diferentes posiciones
(izquierda.
Fig. 4 Imagen tomada de ?Una ojeada a la materia? de Guillermo
Aguilar Sahagún et al
Para construir la pieza, se parte de un cuadrado y se obtiene otro
polígono de igual área, mediante el recorte de una o varias regiones y
su recolocación como lo muestra la figura anterior. Aunque no todos los
mosaicos medievales islámicos se forman así, casi todos tienen un
mismo denominador; se puede encontrar una pequeña región poligonal
del mosaico mediante giros, traslaciones y simetrías que permiten
reproducir todo el mosaico. En matemáticas este tipo de mosaico se
conoce como periódico.
Fig.5-Mosaico que muestra un patrón cuasi cristalino de Penrose.
Santuario de Darb-i Imam. Isfahan, Iran. Imagen tomada de The New
York Times.
Hace dos años (2005), Peter J. Lu, un estudiante de doctorado en física
en la Universidad de Harvard, se quedó impresionado por el patrón
geométrico que observó en un muro en Uzbekistán. Le recordaba un
diseño cuasi-cristalino; examinó entonces las fotografías de otros
mosaicos de Afganistán, Irán, Irak y Turquía al tiempo que le pedía
apoyo a Paul J. Steinhardt, un cosmólogo de Princenton que es una
autoridad en cuasi-cristales. En su trabajo final, Lu y Steinhardt
concluyeron que en el siglo XV, los diseñadores y artesanos islámicos
habían desarrollado técnicas para construir casi perfectamente la
geometría de un cuasi-cristal con patrón de Penrose, cinco siglos antes
de su descubrimiento en el Occidente.
Fig. 6-Reconstrucción del patrón del Santuario Darb-i Imam. Imagen
tomada de The New York Times.
Algunos de los patrones más complejos, llamados girih en persa, que
consisten en conjuntos de cinco polígonos ordenados, cada cual con una
línea decorativa única en el patrón; con una muy pequeña distorsión
visual y sin huecos. Si la vista se mueve a través de cada polígono
(decágono, pentágono hexágono, rombo y un moño) esto se ve como
una línea decorativa. Lu descubrió que los azulejos que se entrelazaban
fueron ordenados de manera que crearan patrones que nunca se
repiten; esto es, cuasi-cristales.
Fig.7-El pentágono, rombo, hexágono, el ?moño? y el decágono son las
formas básicas usadas para la ceración de un mosaico. Imagen tomada
de The New York Times.
Lu y Steinhardt reconocieron que los artesanos del siglo XIII habían
comenzado a crear patrones del mosaico de esta manera. Los girihs
geométricos de la estrella y del polígono, como los de los cuasi-cristales,
pueden ser rotados libremente algunos grados, digamos 36o; de tal
manera que siempre otros azulejos continuarían encajando en el patrón.
Esto hace posible un patrón infinitamente grande que no se repite.
Fig. 8-Torre de la tumba de Gunbad-i Kabud en Maragha, Irán. Foto
tomada cerca de los 1870s, por A. Sevruguin. (Imagen tomada de
tomada de: Harvard College Library)
Esos mosaicos hermosos y elaborados son distintivos de la arquitectura
islámica medieval alrededor de Asia Central y en el Medio Este.
Historiadores de arte han supuesto por mucho tiempo que los elementos
simples de los patrones fueron creados con herramientas elementales,
como reglas o compases. Pero no ha habido explicación de cómo los
artistas y arquitectos pudieron haber creado la inexplicable complejidad
de los patrones en los azulejos que adornan los edificios medievales. Las
reglas y los compases funcionan bien para las simetrías de los patrones
más ?simples? pero probablemente se requirieron herramientas más
poderosas para realizar una simetría decagonal. Además, si bien es
posible crear patrones individuales con herramientas básicas, es
increíblemente difícil replicarlos a gran escala sin que se den grandes
distorsiones geométricas. La colocación y el bosquejo individual de
decágonos con una regla hubiera sido excesivamente difícil, es mucho
más probable que los artesanos utilizaran los azulejos particulares que
Lu encontró descomponiendo las ilustraciones. Para los artesanos
islámicos medievales, estos azulejos podrían haber sido una especie de
herramienta para generar enormes patrones, sin tener que optar por el
proceso más largo, detallado y a menudo sujeto a error de crear cada
línea de segmento individualmente.
Los resultados encontrados por Peter J. Lu de la Universidad de Harvard
y Paul J. Steinhardt de la Universidad de Princeton, están publicados en
la revista Science del mes de marzo del 2007.
(1) En Occidente se creía que en los cristales podían darse solamente
ciertas simetrías ?permitidas?, pero en los 80?s se descubrió que había
materiales que poseían simetrías ?prohibidas? cosa que no se conocía.
Resultaba ser que el nuevo material parecía poseer el mismo tipo de
orden que se encuentra en los cristales convencionales pero contenía
elementos de simetría considerados imposibles en un sólido
macroscópico. El patrón de Penrose, justamente en la década de los
70?s resolvió un ?acertijo matemático? de índole topológico en términos
de teselaciones (párrafo 7) mas no encontró que eso se diera en la
naturaleza. Ni lo ligó con los cuasicristales (que aun no se conocían).
Mas bien a los cuasicristales se les asocia con el patrón de Penrose. Pero
la geometría de Penrose y de los cuasicristales, no se conoció hasta el
siglo XX...en Occidente.
(2)En los cristales periódicos, si tomas un elemento de ellos y lo rotas,
giras, traslapas, solo al elemento que escogiste, puedes generar a todo
el cristal., si en el cristal periódico se halla por ejemplo, un rombo,
puedes generar a todo el arreglo ?jugando? con el rombo
(3) Cuasipatrones, patrones irregulares, porque se encuentran entre las
estructuras con máximo nivel de orden en la naturaleza, los cristales y
los amorfos. Y enfatizo que aunque se repita, esto no consituye un
patrón regular.
REFERENCIAS
?Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic
Architecture,? Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt Science 315, 1106
(2007).
?Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles?.
Martin Gardner, Mathematical Games, Scientific American, January,
1977, p. 110-121.
?Tilings and Patterns? Grunbaum, B and Shephard, G. C. Freeman,
1987.
?Medieval Islamic architecture presages 20th century mathematics?
David Baron.Harvard University Gazette. Febrero 22. 2007.
?La física de los cuasicristales?. David Romeu Casajuana. Instituto de
Física. ?Temas útiles?. Sociedad Mexicana de Crsitalografía. 2005.
?The Physics of quasicrystals?. P.J.Steinhardt.S.Ostlund. World Scientific
?Una ojeada a la materia?. Guillermo Aguilar Sahún,Salvador Cruz
Jiménez, Jorge Flores Valdéz. FCE. México.1987.
La Arquitectura como expresión religiosa: La mezquita Rosario Ros
Larena .ISBN-84-9714-060-5 ?Liceus?: el portal de las Humanidades en
su pagina de Internet.
(A)?Elementos de arquitectura islámica?. José Carlos Fernández. Web
Islam.