х ыь срьжсп ½ - Docencia DIM-UChile

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
MA1101 Introducción al Algebra 10-1
Pauta Control 1
P1.
a) Se sabe que [∼ (p1 ⇐> p2 ) ⇒ (p4 ⇒ p3 )] es falsa, de donde ∼ (p1 ⇔ p2 ) es ∨ y p4 ⇒ p3 )] es F . De
esto se onluye que p4 es ∨ y p3 es F . Además p1 ⇔ p2 es F de donde p1 y p2 tienen valores distintos,
(1.5 puntos)
es deir, uno de ellos es F o bien p1 ∧ p2 ⇔ F .
Sigue que ∼ [(p0 ∨ p5 ) ∧ (p1 ∧ p2 )] ⇔ (p3 ⇔ p4 ) se puede evaluar omo ∼ [(p0 ∨ p5 ) ∧ F ] ⇔ (F ⇒ V )
(1.5 puntos)
⇔∼ F ⇔ V ⇔ V ⇔ V ⇔ V
Se onluye que la proposiión es verdadera.
b) b1) (∀x ∈ F )[φ(p, x) ∨ x = p] signia que p está más adelante que ualquier persona de la la, o es el
únio (x = p).
(1.0 puntos)
Se onluye que p está primero en la la.
b) b2) (∀x ∈ F )[φ(x, p) ∨ x = p] signia que toda persona de la la está más adelante que p, o es el únio
(x = p).
(1.0 puntos)
Se onluye que p está último en la la.
b) b3) La proposiión (∃x ∈ F )(φ(x, p)∨φ(p, x)) es verdadera para ualquier la de más de dos personas,
pero no se umple la uniidad (∃!x ∈ F ).
En onseuenia, la proposiión es verdadera para una la de solo dos personas, donde, es evidente que
(1.0 puntos)
la persona p está primero o segundo.
P2.
a) A, B ⊆ U A ⊆ B ⇔ B c ⊆ Ac .
/B⇒X∈
/ A pues A ⊆ B por hipótesis ⇒ X ∈ Ac . Sigue que B c ⊆ Ac
Dem.: (⇒) Sea X ∈ B c ⇒ x ∈
(1.0 puntos)
(⇐) Sea x ∈ A ⇒ x ∈
/ Ac ⇒ x ∈
/ B c pues B c ⊆ Ac ⇒ x ∈ B .
(1.0 puntos).
Asi, x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇔ A ⊆ B
b) A, B, C ⊆ U [(A ∩ B) ⊆ C] ⇒ [(A ∩ C c ) ⊆ B c ].
Apliando la parte (a) a la hipótesis queda
(1.0 puntos).
[(A ∩ B) ⊆ C] ⇒ [C c ⊆ (A ∩ B)c ] ⇒ [C c ⊆ (Ac ∪ B c )]
Así C (A ∪ B )/ ∩ A (interseión on A) ⇒ (A ∩ C ) ⊆ [A ∩ (A ∪ B )] = [(A ∩ A ) ∪ (A ∩ B c )] =
φ ∪ (A ∩ B c ) = A ∩ B c .
(2.0 puntos).
c
c
c
c
Es deir (A ∩ C ) ⊆ (A ∩ B ) pero A ∩ B ⊆ B
de donde por transitividad (A ∩ C c ) ⊆ B c
(1.0 puntos).
c
c
c
c
1
c
c
c