Sistemas en Tiempo Discreto

Sistemas en Tiempo Discreto
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
Procesamiento Digital de Señales
Departamento de Maestría
DICIS - UG
Índice
3.1. Introducción
3.2. Áreas de aplicación de los sistemas discretos
3.3. Clasificación de los Sistemas Discretos
3.4. Representación de sistemas discretos mediante diagramas a bloques.
3.5. Tareas
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Introducción
3.1. Introducción
Un sistema en tiempo discreto es un operador matemático que transforma
una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La
notación T[.] es usado para representar un sistema general, tal como se
muestra en la Figura 1. en el cual, una señal de entrada x(n) es transformada en una señal de salida y(n) a través de la transformación T[.]. Las
propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en
algún número de formas diferentes.
x(n)
T[.]
y(n) = T[x(n)]
Figura 1. Sistema Discreto en tiempo como una transformación T[.] que
mapea una señal de entrada x(n) en una señal de salida y(n)
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Áreas de Aplicación
3.2. Áreas de Aplicación
Algunos ejemplos de sistemas discretos son:
Radar
Sonar
Equipos biomédicos tales como
-Tomógrafos
-Econógrafos
-Resonancia Magnética
-Electrocardiógrafos
-etc
Computadores
Equipos industriales
Equipos militares
Etc.
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2
Áreas de Aplicación
Procesamiento de Voz
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5
Áreas de Aplicación
Procesamiento de Video
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6
3
Áreas de Aplicación
Trafico WEB
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7
Áreas de Aplicación
El Radar de Apertura Sintética (SAR)
Resolución en Rango (Tiempo)
Resolución en Azimuth (Espacio)
Estrecho de Gibraltar
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4
Áreas de Aplicación
El Radar de Apertura Sintética Inverso (ISAR)
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Áreas de Aplicación
El Radar de Penetración
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5
Áreas de Aplicación
Sistemas Biomédicos (Ultrasonido)
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Arreglos de sensores
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Áreas de Aplicación
Sistemas Biomédicos
Tomografías
Resonancia Magnética
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6
Áreas de Aplicación
Detección de Derrames de Petróleo en el Mar
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Áreas de Aplicación
Verificación de Cultivos
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14
7
Áreas de Aplicación
Radio Astronomía
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Áreas de Aplicación
Verificación de zonas Inundadas por Ríos
Límites
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8
Áreas de Aplicación
Análisis de los Fenómenos Naturales
Erupción del Popocatepetl
Huracan Ivan en las costas de Yucatán
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Áreas de Aplicación
Aplicación en la Cartografía
Hospital de Pemex
Prepa Salamanca
FIMEE
Salamanca, Gto.
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9
Áreas de Aplicación
Investigación y Prevención Criminal
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Áreas de Aplicación
Protección Civil: Combate al Fuego
Radares de penetración para la
detección temprana de
personas atrapadas por el
fuego en edificios.
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Áreas de Aplicación
Detección de Contaminantes – CO y CO2
Industrias
Automóviles
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Clasificación de los Sistemas
3.3. Clasificación de los Sistemas Discretos
Tanto en el análisis como en el diseño de sistemas es conveniente realizar
una clasificación de los mismos según las propiedades generales que lo
satisfacen. De hecho, las técnicas matemáticas que se desarrollan para
analizar y diseñar sistemas en tiempo continuo dependen fuertemente de
las características generales de los sistemas que se consideren. Por esta
razón, es necesario desarrollar una serie de propiedades y categorías que
puedan usarse para describir las características generales de los sistemas
en tiempo discreto.
Se debe destacar que, para que un sistema disponga de una propiedad
determinada, está debe cumplirse para cada señal posible en la entrada del
sistema. Si una propiedad se satisface para algunas señales de entrada pero
no para otras, el sistema no posee tal propiedad. En ese caso, un contraejemplo es suficiente para demostrar que un sistema no posee tal
propiedad.
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Clasificación de los Sistemas
Sin embargo, para demostrar que el sistema tiene alguna propiedad, se
debe probar que esta propiedad se cumple para cualquier señal de entrada
posible.
3.3.1. Sistemas Estáticos y Sistemas Dinámicos
Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su
salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada
en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas y/o futuras en la
entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con
memoria. Si la salida del sistema en el instante n está determinada
completamente por las muestras de entrada en el intervalo de n – N a n,
entonces, se dice que el sistema tiene memoria de duración N. Por otro
lado, si N = 0, se dice que el sistema es estático.
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Clasificación de los Sistemas
Si N se encuentra en el intervalo de [0,∞), entonces se dice que el sistema
tiene memoria finita, y finalmente, si N = ∞, entonces se dice que el
sistema tiene memoria infinita.
Ejemplo 1. Determine si los siguientes sistemas Discretos son estáticos
(sin memoria) ó dinámicos (con memoria)
a) y(n) = ax(n)
b) y(n) = nx(n) + bx3(n)
Estáticos o sin memoria
c) y(n) = x(n + 1) + 3x(n – 1)
d) y ( n) =
n
∑ x(n − k )
Dinámicos o con memoria
k =0
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Clasificación de los Sistemas
3.3.2. Sistemas invariantes e variantes en el tiempo
Un sistema se dice invariante en el tiempo si sus características de entrada
y salida no cambian con el tiempo. Para entender esto, supóngase que se
tiene el sistema T[.] en reposo y que, cuando es excitada con una señal
x(n), produce una señal de salida y(n). Entonces, se puede escribir
y (n ) = T [x(n)]
(1)
Supóngase ahora que esa misma entrada es retardada k unidades de tiempo
para dar lugar a x(n – k), y de nuevo se aplica al mismo sistema. Si las
características del sistema no cambian con el tiempo, la salida del sistema
del sistema en reposo será y(n – k), es decir, la salida será la misma que la
correspondiente a la entrada x(n), excepto que este estará retardada las
mismas k unidades de tiempo que se retardó la entrada.
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Clasificación de los Sistemas
Esto conduce a definir un sistema invariante en el tiempo o invariante ante
desplazamientos de la siguiente forma:
Teorema: un sistema en reposo T[.] es invariante en el tiempo o invariante
a desplazamientos si y solo si
x( n) → y (n )
T
x(n − 1) → y (n − 1)
T
(2)
para toda señal de entradas x(n) y todo desplazamiento temporal k.
Para determinar si un sistema dado es invariante en el tiempo, necesitamos
realizar el test especificado en la definición precedente. Básicamente,
excitamos al sistema con una secuencia de entrada arbitraria x(n) que
produce una salida y(n). En seguida, se retarda la señal de entrada la cantidad
k y se recalcula la salida. En general, se puede escribir la salida como
y (n, k ) = T [ x(n − k )]
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Clasificación de los Sistemas
Si la salida cumple con y(n,k) = y(n – 1), para todos los valores de k, el
sistema es invariante en el tiempo. En cambio, si la salida no cumple para
un valor de k, el sistema es variante en el tiempo
Ejemplo 2. Determine para cada uno de los sistemas discretos si son
variante o invariantes en el tiempo
y (n ) = x(n ) − x(n − 1)
a)
y(n − k ) = x(n − k ) − x(n − k − 1)
Sol.
y como:
y (n − k ) = y (n, k )
y(n, k ) = x(n ) − x(n − 1)
∴ Es un sistema Invariante en el tiempo
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Clasificación de los Sistemas
b)
y(n ) = nx(n )
y(n − k ) = (n − k )x(n − k ) ⇒ y(n − k ) = nx(n − k ) − kx(n − k )
y(n − k ) ≠ y(n, k )
como: y (n, k ) = nx(n )
∴ Es un sistema Variante en el tiempo.
c)
y(n ) = x(− n )
y(n − k ) = x(− n − k )
como:
y(n, k ) = x(− n )
y(n − k ) ≠ y(n, k )
∴ Es un sistema Variante en el tiempo.
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Clasificación de los Sistemas
3.3.3. Sistemas Lineales y No-Lineales
Los sistemas, en general, pueden subdividirse en lineales y no lineales.
Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición. De
forma sencilla se puede decir que el principio de superposición exige que
la respuesta del sistema a una suma ponderada de señales sea igual a la
correspondiente suma ponderada de las salidas a cada una de las señales
de entrada. En otras palabras, un sistema T[.] es lineal si para dos entradas
x1(n) y x2(n) y dos constantes a y b se cumple la siguiente propiedad
T [ax1 (n) + bx2 (n)] = aT [ x1 (n)] + bT [ x2 (n)]
(3)
Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada x1(n) y x2(n), y cualesquiera constantes arbitrarias a y b.
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Clasificación de los Sistemas
El principio de superposición dado en la relación (3) se puede expresar en
dos partes. Para la primera parte, se supone que b = 0, entonces se reduce a
T [ax1 (n )] = aT [x1 (n )]
Esta relación muestra la propiedad de multiplicación ó escalonado de un
sistema lineal. Esto es, si la respuesta del sistema a x1(n) es y(n), entonces la
respuesta del sistema ax1(n) es simplemente ay(n). Por tanto, cualquier
escalonado de la entrada produce un escalonado igual de la salida correspondiente. Para la segunda parte, se supone que a = b = 1, entonces de tiene
T [x1 (n ) + x2 (n )] = T [x1 (n )] + T [x2 (n )]
Esta relación muestra la propiedad aditiva de un sistema lineal. La propiedad aditiva y multiplicativa definen el principio de la superposición tal y
como se aplica a los sistemas lineales.
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Clasificación de los Sistemas
Si un sistema produce una salida distinta a cero cuando la entrada es cero el
sistema no está en reposo o es no lineal.
Ejemplo 3. Determine para cada uno de los sistemas discretos si son
lineales o no-lineales.
a)
y(n ) = nx(n )
y(n ) = T [nx(n )]
⇒
y(n ) = nT [x(n )]
∴ Es un Sistema Lineal en el tiempo.
b)
( )
y(n ) = T [x(n )]
y(n ) = x n 2
2
⇒
[ ( )]
y(n ) = T x n 2
∴ Es un Sistema Lineal en el tiempo.
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Clasificación de los Sistemas
c)
y(n ) = x 2 (n )
⇒
[
]
y(n ) = T x 2 (n )
∴ Es un Sistema No-Lineal en el tiempo.
d) y (n ) = exp( x(n ))
⇒
y(n ) = T [exp(x(n ))]
∴ Es un Sistema No-Lineal en el tiempo.
e) y (n ) = ax(n ) + b
y(n ) = T [ax(n ) + b] ⇒ y(n ) = aT [x(n )] + b
∴ Es un Sistema Lineal en el tiempo.
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Clasificación de los Sistemas
3.3.4. Sistemas Causales y No Causales
Teorema: Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en
cualquier instante n (es decir y(n)) depende solo de las entradas presentes
y pasadas (es decir, de x(n), x(n – 1 ), x(n – 2), ...). En términos
matemáticos, la salida de un sistema causal verifica una ecuación de la
forma
(4)
y (n ) = F [x(n ), x(n − 1), x(n − 2),...]
donde, F[.] es una función arbitraria. Si un sistema no satisface esta
definición se dice que no es causal. En un sistema no causal, depende no
solo de las entradas pasadas y presentes sino también de las futuras.
Es evidente que un sistema en tiempo real no se dispone de las entradas
futuras de la señal y, por lo tanto, un sistema no causal no puede ser
implementado físicamente.
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Clasificación de los Sistemas
Por otra parte, si la señal se graba de manera que el procesado no se
realiza en tiempo real, es posible implementar sistemas no causales, ya que
todos los valores de la señal se encuentran disponibles en el momento del
procesado. Este es, a menudo, el caso de señales geofísicas e imágenes.
Ejemplo 4. De los siguientes sistemas, determine si son causales o no.
Explique ampliamente.
a)
y(n ) = x(n ) − x(n − 1)
Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras actuales y pasadas
en el tiempo.
b) y (n ) = x(n ) + 3x(n + 4)
Es un Sistema NO-Causal porque depende de las muestras futuras en el
tiempo.
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Clasificación de los Sistemas
c)
y (n ) = x(− n )
Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras pasadas en el
tiempo.
d)
y (n ) =
n
∑ x(k )
k = −∞
Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras actuales y
pasadas en el tiempo.
e)
( )
y (n ) = x n 2
Es un Sistema NO-Causal porque depende de las muestras futuras en el
tiempo.
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Clasificación de los Sistemas
3.3.5. Sistemas Estables e Inestables
La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerada
en cualquier aplicación práctica de un sistema. Los sistemas inestables
presentan un comportamiento errático y extremo que es causa del
desbordamiento del sistema en aplicaciones prácticas. Aquí se define
matemáticamente lo que se quiere decir con un sistema estable y, sus
consecuencias de esta definición en sistemas invariantes con el tiempo.
Teorema: Un sistema arbitrario en reposo se dice que es limitada en la
entrada y salida (BIBO, bounded input–bounded output), si y solo si toda
la entrada acotada produce una salida acotada.
Matemáticamente, el acotamiento de las secuencias de entrada y de salida,
x(n) e y(n), se traducen en la existencias de un par de números finitos,
digamos Mx y My, tales que
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Clasificación de los Sistemas
x(n ) ≤ M x < ∞
y
y (n ) ≤ M y < ∞
(5)
Si para alguna entrada acotada x(n) la salida no es acotada (es infinita), el
sistema se clasifica como inestable.
Ejemplo 5. Se considera un sistema no-lineal descrito mediante la
siguiente relación de entrada-salida: y(n) = y2(n – 1) + x(n), con la entrada
del sistema la señal acotada definida como x(n) = Cδ(n), donde C es una
constante y además y(–1) = 0. Entonces la secuencia de salida es,
y(0) = C, y(1) = C2, y(2) = C4, ... , y(n) = C2n
Claramente, la salida no está acotada si 1 < |C| < ∞. Por lo tanto, el sistema
es inestable dado que la entrada acotada a producido una salida no acotada.
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Representación de Sistemas
3.4. Representación de sistemas discretos mediante diagramas de
bloques
Es de importancia introducir los conceptos de la representación de los
sistemas en tiempo discreto mediante diagramas a bloques debido a que
puede de alguna forma simplificar la tarea de implementación de dichos
sistemas en esquemas computacionales. Con este fin se definirán algunos
bloques básicos que pueden ser interconectados para formar sistemas
complejos.
Nodo Derivador de Señal. La Figura 12. muestra como una señal x(n)
puede ser derivada en dos líneas diferentes a través del nodo Derivador
x(n)
x(n)
x(n)
Figura 12. Nodo
Derivador de señal
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Representación de Sistemas
Sumador. La Figura 13. muestra un sistema que realiza la suma de dos
señales x1(n) y x2(n) para formar otra secuencia (en suma) denotada por
y(n). Obsérvese que no es necesario almacenar ninguna de las secuencias
para realizar la suma. En otras palabras, es una operación sin memoria.
+
x1(n)
y(n) = x1(n) + x2(n)
x2(n)
Figura 13. Sumador de Señal
Escalado. Esta operación se muestra en la Figura 14; consiste
simplemente en aplicar un factor de escala a la entrada x(n). Obsérvese
que se trata también de una operación sin memoria.
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Representación de Sistemas
x(n)
a
y(n) = ax(n)
Figura 1.14. Multiplicador por una Constante
Multiplicador. La Figura 1.15. muestra la multiplicación de dos señales,
x1(n) y x2(n) para formar otra secuencia (en producto), que se denota en la
figura por y(n). Como en los casos previos, la operación de multiplicación de
señales es una operación sin memoria.
x1(n)
×
x2(n)
y(n) = x1(n)x2(n)
Figura 1.15. Multiplicador
de señal
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Representación de Sistemas
Retardador de Señal. El retardador de señal es un sistema especial que
retraza una posición la señal que pasa por él. La Figura 1.16. muestra este
sistema. Si la señal de entrada es x(n), la salida es x(n – 1). De hecho, la
muestra x(n – 1) se almacena en memoria en el instante n – 1 y se extrae
de la memoria en el instante n para formar y(n) = x(n – 1), por tanto, el
bloque básico si tiene memoria. El uso del símbolo z–1 para denotar el
retardador de una muestra de la señal se entenderá al estudiar la
transformada z.
x(n)
z–1
y(n) = x(n – 1)
Figura 1.16. Retardador de Señal
Adelantador de Señal. Al contrario que el retardador de señal, el
adelantador de señal adelanta una muestra a la entrada x(n) en tiempo para
producir x(n + 1).
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Representación de Sistemas
La Figura 1.17. muestra esta operación, el operador z se usa para denotar
el avance de una muestra en el tiempo. Debe observarse que dicho
avance es imposible en tiempo real, dado que, de hecho, implica conocer
el futuro de la señal. Por otra parte, si almacenamos la señal en un
ordenador, se dispone de todas las muestras en cualquier momento. En
aplicaciones de estas características, que no se desarrolla en tiempo real,
es factible adelantar la señal x(n) en el tiempo.
x(n)
z
y(n) = x(n + 1)
Figura 1.17. Adelantador de señal
Aquí se presentan la implementación en bloques de algunos sistemas en
tiempo discreto que son ampliamente utilizados en el procesamiento, las
cuales son:
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Representación de Sistemas
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Representación de Sistemas
Ejemplo 6. Utilizando los bloques básicos obtenga el diagrama a bloques
del sistema discreto dada la siguiente relación de entrada y salida
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Representación de Sistemas
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Representación de Sistemas
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Representación de Sistemas
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Tarea
3.5. Tarea
1. Determine las propiedades de los siguientes sistemas discretos
h1 (n ) = cos[x(n )]
h2 (n ) =
h4 (n ) = x(− n + 2)
h5 (n ) = x(n )
n +1
∑ x(k )
k = −∞
h3 (n ) = x(n ) cos(ω0 n )
h7 (n ) = x(2n )
h8 (n ) = x(n )u (n )
h6 (n ) = x(n ) + nx(n + 1)
2. Realice la implementación de los siguientes sistemas discretos
y(n ) = y(n − 2) + 3 y(n − 1) + 3x(n ) − 2 x(n − 1) + 2 x(n − 2)
y(n ) = x(n ) − x(n − 1) + y (n − 1)
y(n ) = x(n − 2) + x(n + 2) − x(n )
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