Tensiones y deformaciones en compuestos de fibra corta

MATERIALES COMPUESTOS
Capítulo 6: Tensiones y deformaciones
en compuestos de fibra corta
•
El modelo shear lag
–
–
–
–
–
•
Distribución de tensiones y deformaciones
La longitud de transferencia de carga
Transferencia de carga a través de los finales de fibras: shear lag modificado
Predicción de la rigidez
Predicción del fin del comportamiento elástico
El método de Eshelby
–
–
–
–
Un elipsoide desajustado
El elipsoide homogéneo equivalente
La tensión subyacente
Rigidez del compuesto
MATERIALES COMPUESTOS
El modelo shear lag
•
•
•
•
El más utilizado para describir el comportamiento de compuestos
reforzados por fibras cortas alineadas
Propuesto por Cox (1952); desarrollado por Outwatter (1956),
Rosen (1960), Dow (1963), ...
Se centra en la transferencia de tensiones axiales entre fibra y
matriz a través de tensiones tangenciales en la intercara
El modelo se basa en la consideración del efecto de las tensiones
tangenciales en matriz e intercara
MATERIALES COMPUESTOS
El modelo shear lag
Distribución de tensiones y deformaciones (I)
x=0
Por equilibrio de un cilindro
hueco de radios r1 y r2:
2π r1τ 1dx = 2π r2τ 2 dx
τ
r
∴ 1 = 2
τ 2 r1
La tensión de cortadura en la
matriz para un radio ρ , será:
uR (x)
τ =τi
ur (x)
σ1
σ1
r
ρ
donde:
r ⇒ radio de la fibra
τi ⇒ cortadura en la intercara
MATERIALES COMPUESTOS
Distribución de tensiones y deformaciones (II)
du
En torno a la fibra:
du
τ
τ  r
=γ =
= i  
dρ
Gm Gm  ρ 
R
τρ
dρ
r
ρ
Para una cierta x, la diferencia de desplazamiento entre la matriz, correspondiente a
un radio R, y la intercara, será:
u
R
τ i r dρ
∫u du = Gm ∫r ρ
R
σf + dσf
σf
r
(u
τi
x
x+dx
R − ur ) =
τir
 R
ln  
Gm  r 
Despejando τi, y sustituyendo Gm, queda:
τi =
(u
R
− ur ) E m
2(1 + ν m ) r ln ( R / r )
MATERIALES COMPUESTOS
Distribución de tensiones y deformaciones (III)
En la expresión anterior, R corresponde a un punto de la matriz
suficientemente alejado. ¿Cual?. Depende de Vf. Para apilamiento
2
hexagonal:
1
R
π r2
π
Vf =
Y queda:
τi =

⇒

2R R 3
(
(u
R
)

≈
 =
r
Vf 2 3 Vf
− ur ) E m
(1 + ν ) r ln (1 / V )
m
f
Además, haciendo un equilibrio de fuerzas en la fibra:
2 πrdxτ i = − πr 2 dσ f ⇒
Luego:
dσ f
dx
=−
2( u R − ur ) E m
(1 + ν ) r ln (1 / V )
2
m
f
dσ f
dx
=−
2τ i
r
MATERIALES COMPUESTOS
Distribución de tensiones y deformaciones (IV)
En la expresión anterior, los desplazamientos son desconocidos, pero sí
podemos obtener sus diferenciales.
- Si la fibra está bien pegada a la matriz y no hay cortantes en la fibra:
σf
dur du f
=
= εf =
dx
dx
Ef
duR
≈ ε m ≈ ε1
dx
- R está alejado de la fibra, luego:
Por tanto, derivando la expresión anterior y sustituyendo, queda:
d 2σ f
dx 2
(
n2
= 2 σ f − E f ε1
r
)

2 Em
donde: n = 
 E f (1 + ν m ) ln 1 / V f

(
)




1/ 2
MATERIALES COMPUESTOS
Distribución de tensiones y deformaciones (V)
La solución a la ecuación diferencial anterior (lineal de segundo orden),
es del tipo:
 nx 
 nx 
σ f = E f ε1 + Bsenh   + D cosh  
 r 
 r 
Aplicando como condiciones de contorno σf =0 para x=±L; siendo L la
mitad de la longitud de la fibra y con s=L/r; queda:


 nx 
σ f = E f ε1 1 − cosh   sech ( ns) 
 r 


n ε1
 nx 
τi =
E f senh   sech ( ns)
 r 
2
MATERIALES COMPUESTOS
El modelo shear lag
La longitud de transferencia de carga (I)
80
70
Longitud de la fibra: 5r
Longitud de la fibra: 50r
60
σf (MPa)
50
40
30
20
10
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distancia al centro de la fibra (x/r s)
(Para un poliester / 30% vidrio)
MATERIALES COMPUESTOS
La longitud de transferencia de carga (II)
12
Longitud de la fibra: 5r
Longitud de la fibra: 50r
8
τi (MPa)
4
0
-4
-8
-12
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distancia al centro de la fibra (x/r s)
(Para un poliester / 30% vidrio)
MATERIALES COMPUESTOS
La longitud de transferencia de carga (III)
•
•
•
•
Longitud de transferencia de carga: longitud necesaria para que
el valor de σ f se estabilice ⇒ el material presenta máxima rigidez
(al trabajar la fibra al máximo posible)
Condición:
sech(ns) = 1/cosh(ns) << 1
Con 0’1 << 1 ⇒ cosh(ns) > 10 ⇒ st ≈ 3/n
Los valores de n rondan:
– Para PMC: n ≈ 0’1
⇒
st ≈ 30
– Para MMC: n ≈ 0’4
⇒
st ≈ 7
– Para CMC: n ≈ 1
⇒
st ≈ 3
Para obtener la máxima rigidez, se deberán utilizar fibras de
longitud superior a la st
MATERIALES COMPUESTOS
El modelo shear lag
Transferencia de carga a través de los extremos de fibras
MATERIALES COMPUESTOS
Modelo shear lag modificado (I)
•
Aproximación al valor de la tensión en el extremo de las fibras
(Clyne, 1989): media entre el pico en la fibra y la remota en la
matriz:
σ f 0 + σ m0
σe =
2
•
Con σ f0 obtenida a partir del shear lag sin modificar (para x=0)
y σ m0=Emε 1
Con estos valores queda:
ε E (1 − sech ( ns) ) + E
•
σe =
•
1
[
f
m
2
] = ε E'
Y, con la nueva condición de contorno (σ f=σ e para x=±L):
(
)


 nx 
(
)
σ f = ε1  E f − E f − E ' m cosh   sech ns 
 r 


1
m
MATERIALES COMPUESTOS
Modelo shear lag modificado (II)
70
60
σf (MPa)
50
40
Shear lag: 2r
Shear lag: 10r
Shear lag modificado: 2r
Shear lag modificado: 10r
30
20
10
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distancia al centro de la fibra (x/r s)
(Para un poliester / 30% vidrio)
MATERIALES COMPUESTOS
El modelo shear lag
Predicción de la rigidez (I)
•
La carga aplicada se distribuye entre los componentes, en cada
sección, según una regla de mezclas:
σ1
σ1
σ 1 = V f σ f + Vm σ m
•
La tensión media en la fibra será:
E f ε1 L  cosh ( nx / r ) 
tanh ( ns ) 

σf =
1−
dx = E f ε1  1 −


L ∫0 
cosh ( ns ) 
ns 
•
Y en la matriz:
σ m ≈ E m ε1
MATERIALES COMPUESTOS
Predicción de la rigidez (II)
•
Según lo anterior, el módulo elástico del compuesto valdrá, según
el modelo shear lag:
tanh ( ns ) 

Ec = V f E f 1 −
 + Vm E m

ns 
•
Y según el shear lag modificado:
(
)

E f − E ' m tanh ( ns ) 

 +V E
Ec = V f E f 1 −
m m


E f ns


•
El valor máximo posible será el equivalente a la regla de mezclas
de un laminado unidireccional, y se alcanza cuando:
10
tanh ( ns )
<< 1 ⇒ s RM ≈
ns
n
PMC: sRM en torno a 100
MMC: sRM en torno a 25
MATERIALES COMPUESTOS
El modelo shear lag
•
Fin del comportamiento elástico
El comportamiento elástico puede terminar de muchas formas:
–
–
–
–
•
Causas habituales de pérdida de linealidad:
–
–
•
Deformación plástica de la matriz
Despegue y deslizamiento de la intercara
Formación de cavidades o grietas en la matriz (especialmente en los extremos de fibras)
Rotura de fibras
PMC y MMC: despegue de la intercara (o fluencia de la matriz)
CMC: agrietamiento de la matriz
Tensión a la que se pierde la linealidad (supuesta conocida la τi*):
Vf Ef 
2 τ *i
2 τ *i 
*
(
)
V
E
V
E
ns
σ
=
+
coth(
)
−
ε =
coth ns ⇒ 1
m m
nE f  f f
ns 
nE f
(
*
1
•
)
Cuando se despega la intercara, transmite τi* ⇒ para que se puedan
*
σ
romper las fibras:
f
*
s =
2 τ *i
MATERIALES COMPUESTOS
El método de Eshelby
•
•
•
Propuesto por Eshelby (1950); y desarrollado por él mismo a lo
largo de los años 50.
Problema: una matriz infinita, con un cuerpo rígido y libre de
tensiones en su interior
Procedimiento que utiliza:
–
–
–
–
•
•
Se saca el cuerpo de la matriz y se le permite deformarse libre de tensiones
Se aplican unas fuerzas en su superficie para devolverlo a su geometría original
Se vuelve a introducir en la matriz, eliminando las fuerzas
Se permite al cuerpo adoptar una nueva forma, deformando a la matriz
El método de Eshelby permite calcular las tensiones residuales en
la inclusión (que será uniformes en su interior, por ser elipsoidal)
Fue desarrollado para inclusiones en aceros, pero es útil para
compuestos de fibra corta, utilizando un elipsoide con las
dimensiones r y L de la fibra como semiejes.
MATERIALES COMPUESTOS
El método de Eshelby:
Un elipsoide desajustado
•
Por el ∆T, aparece:
(
ε T * = ∆T α f − α m
•
)
Al reinsertar el elipsoide, a
partir de su nueva dimensión,
quedará:
σ f = C f (ε C − ε T * )
donde Cf es la matriz de
rigidez de la inclusión (fibra)
y el término entre paréntesis
la deformación relativa a la
que se produciría sin matriz
MATERIALES COMPUESTOS
El método de Eshelby:
El elipsoide homogéneo equivalente
•
Se sustituye la inclusión por
una nueva, del mismo
material que la matriz, pero
diferente tamaño, queda:
(
)
ε T = ε T ε T * , C f , Cm , S ; S = S ( s, ν m )
•
Y Eshelby demostró que:
ε C = Sε T
con lo que resulta ser:
σ f = Cm (ε C − ε T ) = C m ( S ε T − ε T )
MATERIALES COMPUESTOS
El método de Eshelby:
La tensión subyacente
•
Lo visto, es aplicable a una inclusión (fibra) en una matriz infinita; para
poder aplicarlo a un compuesto con muchas fibras (Vf), se sobreimpone
una tensión subyacente, σ b, que se puede obtener a partir del equilibrio
de fuerzas en una sección cualquiera:
(
)
Vm σ b + V f σ f + σ b = 0
•
Sin embargo, en el caso de los compuestos reales, se puede realizar la
aproximación a base de suponer unos valores medios de tensión,
correspondientes uno a las fibras y otro a la matriz. En ese caso, la
ecuación de equilibrio sería:
Vm σ m + V f σ f = 0
conociendo la σf , se puede obtener su media y, por tanto, la tensión
media en la matriz
MATERIALES COMPUESTOS
El método de Eshelby:
Rigidez del compuesto
•
Aplicamos una tensión σA,
que se sobreimpone a la
restringida, sin ∆T:
σ f + σ A = C f (ε C + ε A ) = C m (ε C − ε T + ε A )
A
•
−1
con: ε = C m σ
Al realizar el equilibrio, se
considera la media de la
tensión real menos la sA:
A
Vm σ m − σ A + V f σ f − σ A = 0
•
Y al final resulta:

Cc = Cm−1 − V f

{(
)[
]
C f − Cm S − V f ( S − I ) + Cm
}(
−1
)

C f − Cm Cm−1 

−1