Problemas

Métodos Estadı́sticos de la Ingenierı́a
(Curso 10/11)
Tema 4 : Variables aleatorias. Distribuciones discretas y continuas.
1. Dada la siguiente función de distribución:


0





(x + 3)/16
F (x) = P (ξ ≤ x) = (x + 4)/16



(x + 6)/16



1
Se pide:
si
si
si
si
si
x < −2,
√
− 2 ≤ x < 2,
√
2 ≤ x < 2,
2 ≤ x < 4,
x ≥ 4.
√
a) P (ξ ∈ Q); b) P (ξ ∈ I); c) P (ξ ∈ [−1, 2]); d) P (ξ ∈ (2, 4]); e) P (ξ ∈ ( 2, 3])
2. ¿Cuáles de las siguientes funciones son realmente funciones de distribución?


0 si x < 0
arctan(x)
F2 (x) =
F1 (x) = x si 0 ≤ x < 1/2
− ∞ < x < +∞

π

1 si x ≥ 1/2
(
(
0
si x < 1
0
si x < 0
F3 (x) =
F4 (x) =
1 − 1/x si x ≥ 1
1 − exp(−x) si x ≥ 0
3. En cierto juego, el jugador A lanza 6 dados y gana si obtiene al menos un “6”, mientras que le jugador B lanza
12 dados y gana si obtiene al menos dos “6”. ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar?
4. De los 40 alumnos que hay en clase 25 son repetidores. Si escogemos 3 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que al menos uno sea repetidor?
5. Una compañı́a de seguros contra accidentes considera que una proporción de 0.001 de la población sufre cierto
tipo de accidente al año. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 3 asegurados con la compañı́a sufran esta
clase de accidente en un año dado si la compañı́a tiene asegurados a 10000 personas (seleccionadas al azar de la
población)?
6. Un lepidopterista desea capturar un ejemplar de cierta clase de mariposa que se encuentra en un porcentaje del
15 %. Halla la probabilidad de que tenga que capturar 10 mariposas de otra clase antes de cazar: a) un ejemplar
de la clase deseada; b) tres ejemplares de la clase deseada.
7. Consideremos tres formas posibles de declarar inocente o culpable a un reo. En la primera, un único juez decide,
con probabilidad p = 0,9 de tomar la decisión correcta. En la segunda, se decide por mayorı́a de las tres personas
de un jurado. De ellas, dos son responsables y toman la decisión correcta con probabilidad p = 0,9, y la otra
es un irresponsable que absuelve o condena de acuerdo con el resultado del lanzamiento de una moneda. En la
tercera, se decide por mayorı́a de un jurado de 15 personas que deciden independientemente, cada una de las
cuales toma la decisión correcta con probabilidad p = 0,8. ¿Con cuál de estos tres procedimientos es mayor la
probabilidad de tomar la decisión correcta?
8. Un empleado de un banco sustituye cautelosamente un billete legal por uno falso en cada fajo de cien billetes.
Si el interventor del banco toma un billete al azar de cada uno de 50 fajos. ¿Cuál es la probabilidad de que tope
con un billete falso?
9. De los 50 representantes de cierto estado en una convención polı́tica, 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato
B. Si se seleccionan aleatoriamente 5 representantes, ¿cuál es al probabilidad de que entre estos 5, al menos 2
apoyen al candidato A?
1
10. Un fabricante recibe 40 motores y selecciona 8 para examinarlos. Si el lote contiene 2 motores con serios defectos,
¿cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado? (el lote se acepta si el fabricante no detecta fallos en los
motores que selecciona para el examen).
11. Una centralita telefónica recibe 300 llamadas de media cada hora. No puede establecer más de 12 conexiones
por minuto. Se pide: a) La probabilidad de que quede rebasada en un minuto dado; b) La probabilidad de que
reciba una sola llamada en un minuto dado.
12. El promedio de partı́culas radioactivas que pasan por un contador durante un milisegundo es 4. Se pide: a)
¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado milisegundo pasen 6 partı́culas por el contador? b) ¿Cuál es
la probabilidad de que en cierto segundo pasen entre 3975 y 4050 partı́culas?
13. Determinada variable aleatoria X viene definida por la siguiente función de densidad:
f (x) =
a)
b)
c)
d)
k
x2
si 1 < x < 2.
¿Cuál es el valor de k?,
¿Cuál es la media y la varianza de la variable aleatoria X?
¿Cuál es su función de distribución?
Calcula P (1,0 < X ≤ 1,5) y P (X = 1,6).
14. La duración (en años) de cierta componente electrónica tiene una tasa de fallo h(t) = t2 /72. ¿Cuáles son las
funciones de densidad y de fiabilidad? Halla la probabilidad de que una componente elegida al azar dure más de
5 años. ¿Cuál debe ser el periodo de garantı́a si el fabricante desea que como máximo se averı́a en el 10 % de las
componentes en dicho periodo?
15. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenaje que contienen una cantidad fija de
gasolina y que se llenan cada lunes. La proporción de esta reserva que se vende durante la semana es de sumo
interés para el distribuidor. Se comprobó empı́ricamente que esta proporción podı́a representarse mediante una
distribución Beta de parámetros p = 4 y q = 2. Halla la probabilidad de que el mayorista venda al menos el 90 %
de su reserva durante una semana dada.
16. El precio de venta de cierto artı́culo, Y , sigue una distribución N (µ, σ). Se sabe que el 20 % de las ventas
son superiores a 1000 euros y que el 30 % sobrepasan a 800 euros. Se pide: a) La media y la varianza de la
distribución; b) Si los costes se relacionan con los precios de venta según la expresión C = 350 + Y − 0,00012Y 2 ,
¿cuál es el coste medio?
17. Si X1 , X2 , . . . , Xn , . . . es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (v.a.i.i.d)
con función de densidad f (x) = 8exp(−8x) para x > 0, y S100 = X1 + X2 + .... + X100 . Calcula: a) P (S100 ≤ 10);
b) P (11 ≤ S100 ≤ 13).
18. Una moneda se lanza 4000 veces. Se pide: a) La probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre
1980 y 2040; b) Un intervalo centrado en 2000 con una probabilidad 0.95.
19. El peso de las personas de cierta población se distribuye normalmente con media 72 kg. y desviación tı́pica 10
kg. Cuatro personas entran en un ascensor cuya carga máxima es de 350 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que
entre las cuatro superen esa carga máxima?
20. Con la misma distribución de lo pesos del problema anterior, dos personas quieren jugar en una palanca en un
jardı́n. Suponiendo que podrı́an hacerlo si los dos difieren en menos de 5 kg. de peso, calcula la probabilidad de
que esto ocurra.
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21. Un estudio de las tendencias (a lo largo de cinco años) en los sistemas de información logı́stica de las industrias
reveló que los mayores avances en la computarización tuvieron lugar en el transporte. Actualmente, el 90 % de
todas las industrias contienen archivos de pedido abiertos de embarque en su base de datos computarizada. En
una muestra aleatoria de 10 industrias, sea Y el número de ellas que incluyen dichos pedidos. Calcula: P (Y = 7),
P (Y > 5), la media y la varianza de Y .
22. Un fabricante utiliza fusibles eléctricos en un sistema electrónico. Los fusibles se compran en lotes grandes y
se prueban secuencialmente hasta que se observa el primer fusible defectuoso. Se supone que el lote contiene el
10 % de fusibles defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros
cinco fusibles probados? Halla la media y varianza de la variable aleatoria Y1 : “Número de fusibles probados
hasta que se observó el primer fusible defectuoso”. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite observar al menos
15 fusibles para obtener el segundo fusible defectuoso?
23. Se realiza un experimento para seleccionar un catalizador apropiado para la producción comercial de etilendiamina (EDA), un producto que se utiliza en jabones. Suponga que un ingeniero quı́mico selecciona al azar tres
catalizadores para probarlos entre un grupo de 10 catalizadores, seis de los cuales tienen baja acidez, y cuatro
son muy ácidos. Calcula: a) La probabilidad de que no se escogerá un catalizador muy ácido; b) La probabilidad
de que se escoja exactamente un catalizador muy ácido.
24. Suponga que el número, Y , de grietas por espécimen de concreto con cierto tipo de mezcla de cemento tiene
aproximadamente una distribución de probabilidad de Poisson, y que el número medio de grietas por espécimen
es de 2.5. Calcula: a) La probabilidad de que un espécimen escogido al azar tenga exactamente 5 grietas; b) La
probabilidad de que el número medio de grietas de 100 especı́menes elegidos aleatoriamente esté comprendido
entre 2.25 y 2.55.
25. El Departamento de Transporte (DOT) de Estados Unidos ha determinado que la licitación ganadora (más baja)
Y (en dólares) por contratos de construcción de carreteras tiene una distribución con función de densidad

2d
5
si
≤ y ≤ 2d,
f (y) = 8d
5
0
en otro caso,
donde d es la estimación que hace el DOT del costo del trabajo. Se pide: a) La media y la desviación tı́pica de
Y ; b) ¿Qué fracción de las licitaciones ganadoras por contratos de construcción de carreteras están por debajo
de la estimación del DOT?
26. El acero que se utiliza en las tuberı́as de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento
para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tuberı́a empleada en un proyecto
de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, noviembre de 1979) se especificó un
espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Si un gran número de mediciones de espesor dieron una media de
0.635 pulgadas y una desviación tı́pica de 0.082 pulgadas, ¿qué porcentaje aproximado de estas mediciones fue
inferior a 7/16 pulgadas?
27. El tiempo necesario para ensamblar cierta clase de catalizador tiene una distribución aproximadamente exponencial de media 20 minutos.
a) Si un operario ensambla un lote de 5 catalizadores, para cada catalizador se mide el tiempo de ensamblaje,
¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 de estos tiempos sean superiores a 25 minutos?
b) Halla la probabilidad de que el tiempo total de ensamblar 100 catalizadores sea menor que 40 horas (una
semana de trabajo).
28. El tiempo (en meses después del mantenimiento) que transcurre antes del fallo de un equipo de vigilancia por
√
televisión de cierta empresa tiene una distribución de Weibull con parámetros α = 2 y θ = 60. Si la empresa
quiere que la probabilidad de fallo antes del siguiente mantenimiento programado sea de 0.05, ¿con qué frecuencia
deberı́a efectuarse el mantenimiento periódico el equipo?
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