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Física. Junio 2010. Opción A
PAEG UCLM
1.- Dos cargas eléctricas puntuales fijas A y B, de signos opuestos y alineadas a
lo largo del eje X, están separadas una distancia de 2 m. La carga A es 9 veces
mayor que la carga B. Calcular en qué punto del eje X se encontraría en
equilibrio una carga C del mismo signo que la carga A y el mismo valor absoluto
que la carga B.
Razónese brevemente y con claridad si la carga C debe encontrarse situada en el
segmento que une a las cargas A y B o si se encontrará fuera del mismo (es muy
conveniente hacer esquemas claros de cada situación). Para los cálculos tómese
la posición de la carga A como origen de coordenadas.
qA
1. Si la carga C se encuentra
dentro del segmento que une a
las otras dos, el diagrama de
fuerzas es
qB
qC FAC
d =2m
FBC x = d
x=0
A repele a C; B atrae a C y las dos fuerzas tienen el mismo sentido, no puede
haber equilibrio.
2. Si la carga C se encuentra a la izquierda de A, siempre estará más cerca de A
que de B, y puesto que qA = 9 qB, siempre se cumplirá FAC >FBC y tampoco
puede haber equilibrio.
qB
FAC qC FBC q A
d =2m
x=0
x=d
3. Solamente cuando C esté a la derecha de B es posible que la fuerza atractiva
FBC compense a la fuerza repulsiva FAB, y sólo en este caso puede haber
equilibrio.
qA
qA = 9 ⋅ q
qB = q
qB
d =2m
x=0
x=d
qC = q
Equilibrio:
FBC
x−d
qC FAC
x
x
FAC = FBC
9
1
=
x 2 ( x − d )2
k
3
1
=
x x−d
q A ⋅ qC
x2
=k
q B ⋅ qC
(x − d )2
3 x − 3d = x
k
q2
9 ⋅ q2
=
k
x2
(x − d )2
2 x = 3d = 6
x =3m
1
PAEG UCLM
Física. Junio 2010. Opción A
2.- Un muelle de 12 cm de longitud, de masa despreciable, tiene uno de sus
extremos fijo en la pared vertical mientras que el otro está unido a una masa que
descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se aplica una fuerza de
30 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 18 cm. En esta posición se
suelta para que oscile libremente con una frecuencia angular de 3.14 rad/s.
Calcular:
c) La ecuación del MAS resultante
a) La constante recuperadora del resorte.
b) La masa que oscila
d) Las energías cinética y potencial cuando x = 3 cm
x0 = 12 cm
A = xmax − x0 = 6 cm
M
k=
xmax = 18 cm
F
x − x0
M
ω=
x
M
F = −k ( x − x0 )
=
F
A
a)
=
k
M
30
= 5 N/cm = 500 N/m
6
b)
500
M= 2 =
= 50.7 kg
3.14 2
ω
k
x − x0
c) La ecuación del MAS resultante
x = A sin (ω t + δ )
Cuando t = 0 el resorte está completamente estirado, por tanto xt =0 = A
xt =0 = A = A sin δ
sin δ = 1
δ=
π
π⎞
⎛
x = 6 sin ⎜ 3.14 t + ⎟
2⎠
⎝
(x en cm, t en s)
2
d) Las energías cinética y potencial cuando x = 3 cm
1 2 1
k x = 500 ⋅ 0.032 = 0.225 J
2
2
1
1
Energía mecánica del oscilador: E = k A2 = 500 ⋅ 0.06 2 = 0.9 J
2
2
Energía cinética
Ec = E − Ep = 0.9 − 0.225 = 0.675 J
Ep =
2
PAEG UCLM
Física. Junio 2010. Opción A
3.- Un protón (núcleo de hidrógeno) y una partícula α (núcleo de helio, cuya
carga es doble y cuya masa es muy aproximadamente cuatro veces mayor que
la del protón) han sido disparados por un cañón de iones con la misma
velocidad y entran en una zona donde existe un campo magnético uniforme
cuyas líneas son perpendiculares a la velocidad de las partículas. ¿Cuál de las
dos partículas describirá una órbita de mayor radio? Explíquese.
La fuerza magnética sobre las partículas cargadas
que se mueven dentro de un campo B es una fuerza
centrípeta cuyo valor es:
RH =
El radio será R =
mv
qB
Rα =
mH v
qH B
mα v
qα B
F =qvB=
RH mH qα
2 1
=
= =
Rα
q H mα 4 2
m v2
R
RH =
Rα
2
El radio de la órbita descrita por la partícula α es mayor que el del protón
4.- La sonda Cassini de la NASA está explorando en la actualidad el sistema
de lunas de Saturno. La masa de Titán, la mayor de ellas, es el 2.26% de la
masa de la Tierra, y su radio es el 40% del radio de la Tierra. ¿Cuál es la
aceleración de la gravedad en la superficie de Titán? (En la superficie de la
Tierra gTierra = 9.8 m/s2).
g titán = G
M titán
2
Rtitán
g tierra = G
M tierra
2
Rtierra
2
g titán = g tierra
2
M titán Rtierra
2.26 ⎛ 1 ⎞
2
⋅ 2 = 9.8 ⋅
⋅⎜
⎟ = 1.38 m/s
M tierra Rtitán
100 ⎝ 0.40 ⎠
5.- La luz amarilla procedente de una lámpara de sodio tiene una longitud de
onda de 589 nm. Cierto emisor de microondas produce una radiación de 5,89
milímetros. ¿Cuál de las dos transporta más energía? ¿Cuántas veces más?
Constante de Planck h = 6.62⋅10-34 J⋅s; velocidad de la luz en el vacío c = 3⋅108 m/s; 1 nm = 10-9 m
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PAEG UCLM
Física. Junio 2010. Opción A
E = h⋅ f = h⋅
E Na = h ⋅
EMW = h ⋅
c
λ
La luz procedente de
→ A mayor longitud de onda, menor energía. la lámpara de sodio
transporta más energía
c
λ Na
c
E Na λMW 5.89 ⋅10 −3 m
= 10 4
=
=
−9
E MW
λ Na 589 ⋅10 m
10000 veces más
λMW
6.- En un laboratorio se ha experimentado con un haz luminoso cuando incide
desde el agua hacia el aire (naire = 1) para observar el fenómeno de la reflexión
total.
1.- ¿A qué llamamos ángulo límite?
2.- ¿Qué condiciones deben cumplir los medios para que se produzca reflexión
total?
3.- Calcula el ángulo límite sabiendo que el índice de refracción del agua es 1.33.
4.- Realiza un dibujo que muestre la reflexión total indicando los nombres
correspondientes a los diferentes rayos y ángulos.
1.- Cuando la luz pasa de un medio de índice de refracción superior a otro inferior
el ángulo de refracción es mayor que el ángulo de incidencia. El ángulo límite es
aquel ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es 90º.
2.- La reflexión total se produce cuando el ángulo de incidencia sobre la interfase
del rayo que procede del medio de mayor índice de refracción es mayor que el
ángulo límite. En este caso no hay rayo refractado, toda la luz se refleja.
3. y 4.naire = 1
refractado
r
nagua = 1.33
incidente
Ley de Snell
r = 90 º
incidente
i < ilim
nagua sin i = naire sin r
refractado
incidente
i = ilim
Aplicando la ley de Snell
naire = 1
1.33 ⋅ sin ilim = 1 ⋅ sin 90 º
nagua = 1.33
No hay rayo refractado
i > ilim
reflejado
Reflexión total
sin ilim =
1
1.33
ilim = 48.8º
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PAEG UCLM
Física. Junio 2010. Opción B
r
1.- Un haz de protones de energía 208 eV entra en una
B
región donde hay un campo magnético uniforme de Y
X
0.08 T perpendicular a su trayectoria. Se pide:
a) Determinar la velocidad y el radio de curvatura que Z
los protones describirán dentro del campo magnético.
Indicar si el haz se desviará hacia la derecha o hacia la izquierda (suponemos que el
haz viaja en sentido del eje X positivo y el campo magnético es perpendicular al
plano XZ, como muestra la figura.
b) Calcular el tiempo que los protones tardarán en describir una órbita completa
alrededor de las líneas del campo magnético.
Masa del protón 1.67⋅10-27 kg; carga del protón 1.602⋅10-19 C; 1eV = 1.602⋅10-19 J
r
r
r
a) La fuerza magnética sobre cargas móviles está dada por F = q ⋅ v × B
r
r
En este caso, q >0 y el sentido de la fuerza es el mismo del producto v × B
X
(Eje Y sentido saliente)
r
r
B = B0 ⋅ j
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
r
r
v = v0 ⋅ i
⋅
⋅
⋅
⋅
R
⋅
⋅
⋅
⋅
v0 =
Z
B0 = 0.08 T
Ec =
1
m v02
2
a)
2 Ec
2 ⋅ 208 ⋅1.602 ⋅10
=
m
1.67 ⋅10 − 27
r
r
r r
(
−19
)
= 199765 m/s
r
Producto v × B = v0 ⋅ B0 i × j = v0 ⋅ B0 k
Visto desde arriba, la desviación es hacia la derecha
Fuerza magnética
sobre los protones
a la entrada
r
r
r r
F = q ⋅ v × B = q v0 ⋅ B0 k
Igualando módulos de fuerzas
centrípeta y magnética
Fuerza
centrípeta
m v02
Fc =
R
a)
m v0 1.67 ⋅10 −27 ⋅199765
=
= 0.026 m = 2.6 cm
R=
q B0
1.602 ⋅10 −19 ⋅ 0.08
b) Los protones recorren su órbita de radio R con velocidad constante v0,
T=
2π R 2π ⋅ 0.026
=
= 8.19 ⋅10 −7 s
v0
199765
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PAEG UCLM
Física. Junio 2010. Opción B
2.- Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 300 kg de masa hasta situarlo
en una órbita circular a una distancia de la superficie terrestre igual a ¾ del radio de
la Tierra. Calcula:
a) Velocidad y periodo del satélite en órbita.
b) Energía cinética, potencial y mecánica del satélite en órbita.
c) Intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del sátélite.
Datos. G = 6.67⋅10-11 N m2 kg-2; MTierra = 5.98⋅1024 kg; RTierra = 6370 km
a)
7
⎛ 3⎞
R = ⎜1 + ⎟ RTierra = RTierra = 11147500 m
4
⎝ 4⎠
Fuerza atracción Newton = Fuerza centrípeta
⋅m
M
v2
=m
G Tierra2
R
R
m
RTierra
R
M Tierra
M Tierra
5.98 ⋅10 24
−11
= 6.67 ⋅10
= 5982 m/s
v= G
(7 / 4) 6370 ⋅103
R
Periodo de la órbita
2π R 2π ⋅ (7 / 4 ) 6370 ⋅103
T=
=
= 11709 s = 3 h 15 min
5982
v
b) Energía potencial gravitatoria del satélite E p = −G
M Tierra ⋅ m
= −1.07 ⋅1010 J
R
Energía cinética del satélite EC = 1 G M Tierra ⋅ m = 5.37 ⋅109 J
2
R
Energía mecánica
⋅m
1 M
= −5.37 ⋅109 J
E = EP + EC = − G Tierra
2
R
c) Intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del sátélite.
g =G
M Tierra
= 3.21 m/s 2
2
R
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PAEG UCLM
Física. Junio 2010. Opción B
3.- (a) ¿De qué depende el potencial eléctrico? ¿Qué unidad tiene? (b) Un campo
eléctrico uniforme es paralelo al eje OX. ¿En qué dirección puede ser desplazada
una carga en este campo sin que se realice trabajo sobre ella? Razónese la respuesta.
(a) El potencial alrededor de una carga q depende de la naturaleza
del medio que la rodea (constante k), del valor de la carga y de la
distancia r desde la carga al punto donde se calcula el potencial.
V =k
q
r
Unidad S.I. 1 voltio = 1 J/ C
4.- (a) Sobre la lente convergente mostrada
en la figura inciden los rayos 1 y 2
procedentes
del
espacio
objeto.
Prolónguese la trayectoria de ambos rayos
una vez se refractan en la lente. ¿Cuál es el
criterio seguido para hacerlo?
(b) Dibuja la trayectoria de los rayos en el
caso de que la lente fuera divergente.
El rayo 2 que alcanza la
lente pasando por el
foco objeto F se refracta
de modo que emerge de
la lente paralelamente al
eje óptico del sistema.
Rayo 1
Rayo 2
F’
Rayo 1
A
Líneas de campo
(b) Una carga puede ser desplazada en un campo
sin realizar trabajo si se mueve a lo largo de una
línea (o superficie) equipotencial. En el caso
propuesto aquí, por ejemplo desde A hasta B o
desde C hasta D. La razón es que al hacerlo así la
fuerza que el campo ejerce sobre la carga es
perpendicular al desplazamiento y su producto
escalar es igual a cero.
C
r
E
B
D
X
Equipotenciales
Rayo 1
F’
F
Rayo
2
El rayo 1 que incide
paralelamente al eje óptico se
refracta pasando por el foco
imagen F’
F’
F
Rayo
2
Divergente: el rayo 1 que entra paralelo al
eje óptico se refracta de forma que la
prolongación del refractado pasa por F’.
F
Divergente: el rayo 2 que entra apuntado
al foco F se refracta paralelo al eje óptico.
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PAEG UCLM
Física. Junio 2010. Opción B
5.- (a) El núcleo radiactivo del uranio-238 (92 protones y 146 neutrones) emite una partícula
α dando lugar a un núcleo X que a su vez se desintegra emitiendo una partícula β y
originando un núcleo Y. Comparar el número atómico y la masa atómica del núcleo original
de uranio y del núcleo Y.
(b) En el año 1898 Marie y Pierre Curie aislaron 220 mg de radio. El periodo de
semidesintegración del radio es 1620 años. ¿A qué cantidad de radio han quedado reducidos en
la actualidad (año 2010) los 220 mg?
(a) Cada vez que se emite una partícula α el número atómico del núcleo progenitor
disminuye en 2 unidades y su número másico se reduce en 4 unidades; cuando se emite una
partícula β el número atómico aumenta una unidad y la masa no varía.
234
234
238
234
90 X →
91Y + β
92 U → 90 X + α
El núcleo Y contiene 91 protones. Es un núcleo del elemento que antecede al uranio
(protoactinio). Su número másico es de 4 unidades menos debido a la partícula α que se
emitió originalmente, es decir, contiene 234 nucleones.
(b) Número de núcleos radiactivos
que quedan pasado un tiempo t:
ln 2
λ=
N = N 0 ⋅ exp(− λ ⋅ t )
T
Desde 1898 a 2010 → 112 años
Fracción de átomos remanentes
N
= exp(− ln 2 ⋅ t / T )
N0
T = 1620 años
N
= exp(− ln 2 ⋅112 / 1620) = 0.9532
N0
Igual proporción
en masa
Cantidad de radio remanente = 0.9532 × 220 mg = 209.7 mg
6.- En el laboratorio del instituto medimos cuatro veces
el tiempo que un muelle separado de su posición de
equilibrio tarda en describir 20 oscilaciones de pequeña
amplitud. Los resultados de la medición aparecen en la
tabla. Determina el valor de la constante elástica del
muelle.
En oscilaciones de pequeña amplitud → MAS
ω=
T2
Con estos valores de k se hace el promedio.
Valor promedio
k media =
Tiempo 20
Experiencia
Platillo + pesa
oscilaciones
1
290
16,4
2
310
17,2
3
330
18,15
4
430
20,46
k 4π 2
=
m T2
k 2π
=
m T
Calculamos los periodos (dividiendo por 20 los datos
de tiempos) y luego se calculan 4 valores de k usando
4π 2 m
Experiencia
k=
Masa (g)
k=
4π 2 m
T2
Periodo T (s)
Masa (kg)
k (N/m)
1
0,8200
0,29
17,0
2
0,8600
0,31
16,5
3
0,9075
0,33
15,8
4
1,0230
0,43
16,2
17.0 + 16.5 + 15.8 + 16.2
= 16.4 N/m
4
8