Gravitación

Gravitación
Resumen:
En esta unidad se pretende que los alumnos, mediante la observación de las órbitas de los satélites
galileanos de Júpiter y de las estrellas cercanas al centro galáctico, determinen las masas de Júpiter y
del agujero negro en el centro de la Vía Láctea.
Contenidos:
Las tres leyes de Kepler y la ley de la gravitación de Newton
1. Observación de los satélites de Júpiter
Identificación y observación de los satélites
Análisis de las observaciones
Determinación de la masa de Júpiter
2. El centro de la Galaxia
Metodología y observaciones
Determinación de la masa del objeto central
Nivel:
Segundo ciclo de ESO y Bachillerato
Referencia:
L'astronomia a les aules. Manual didàctic per a educació primària i secundària
www.astronomia2009.cat/bin/view/Main/Recursos#Manual_did_ctic_L_astronomia_a_l
Autores:
Carme Jordi (Departamento de Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona)
Robert Estalella (Departamento de Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona)
Coordinadora apuntes pedagógicos “Con A de Astrónomas”:
Josefina F. Ling (Universidad de Santiago)
Ayudantes de maquetación y traducción:
Surinye Olarte Vives, Alejandra Díaz Bouza
GRAVITACIÓN
Introducción
La ley de la gravitación de Newton rige los movimientos de los cuerpos celestes (dejando
de lado los efectos de la Relatividad General). La observación de los movimientos de
planetas, satélites, cometas y estrellas, permite deducir las ecuaciones empíricas de
Kepler y también determinar las masas de los cuerpos en movimiento.
El objetivo es proporcionar material al profesor para realizar ejercicios para deducir las
masas en el Sistema Solar e incluso en el centro de la Galaxia. El profesor puede adaptar
el nivel de los ejercicios y su profundidad al nivel del curso que imparte.
Imagen de Júpiter y los cuatro satélites galilea nos,
tal y como se observa con telescopios de pequeñas dimensiones
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Las tres leyes de Kepler y la ley de la gravitación de Newton
Johannes Kepler dedujo tres leyes para el movimiento de los planetas entorno al Sol a
partir de sus propias observaciones y de las de su maestro Tycho Brahe. Las tres leyes
son:
1. Los planetas describen órbitas elípticas y el Sol está en uno de sus focos (Fig. 1)
Focus
Sol
Fig. 1 Órbita elíptica de un planeta entorno al Sol
2. El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales (ley de conservación de las áreas, Fig. 2):
Fig. 2 Representación de la ley de las áreas: las áreas azules son todas iguales
3. El período P de translación alrededor del Sol al cuadrado es proporcional al
semieje mayor de la órbita d al cubo:
P 2 es proporcional a d 3
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Los valores de los periodos P (expresados en años) y de los semiejes d (expresados en
unidades del semieje de la órbita de la Tierra) de las órbitas los podéis ver en la siguiente
tabla:
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
P(años)
0.24
0.615
1
1.88
11.86
29.457
84.36
165.5
d (dTierra)
0.387
0.723
1
1.524
5.203
9.539
19.24
30.14
P2/d3
1
1
1
1
~1
~1
1
1
[Aquí el profesor puede hacer notar las proporciones entre las distancias medias d, las
proporciones entre los años, puede hacer calcular el cociente P2/d3 para que los alumnos
comprueben ellos mismos la igualdad de todos los cocientes. El profesor también puede cambiar
las unidades suponiendo por ejemplo que cogemos Marte como referencia y no la Tierra.]
Johannes Kepler, 1571-1630
Isaac Newton 1642-1727
La formulación de la ley de la gravitación por parte de Isaac Newton años más tarde
como
→
→
F=GMm r
r3
permite deducir las leyes empíricas de Kepler y las generaliza a cualquier caso de dos
cuerpos masivos que se ejercen atracción gravitacional mutua: un planeta y un satélite
(natural o artificial), el Sol y un cometa, dos estrellas, etc.
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En particular, de la ley de la gravitación se deduce que si un cuerpo de masa m describe
una órbita elíptica de semieje d entorno a un cuerpo de masa M con periodo P:
G (M + m) = 4π2 d3
P2
Y si la masa M es mucho más grande que m, como en el caso del Sol que es mucho más
masivo que un planeta, podemos despreciar m y entonces:
GM
4π2
~ d3
P2
Y por tanto, deducimos que P2 es proporcional a d 3, que no es más que la tercera ley de
Kepler.
Metodología:
Los ejercicios que proponemos son:
1. Determinación de la relación entre la masa de Júpiter y la masa del Sol, mediante
la observación del movimiento de los satélites de Júpiter
2. Determinación de la masa del agujero negro del centro de la Galaxia, mediante la
observación de los movimientos de las estrellas de su entorno
La primera actividad se realiza mediante observaciones con telescopio. En caso de no
tener telescopio, o en el caso de querer hacer una simulación previa a la sesión de
observación, es muy útil utilizar un programa gratuito (en inglés) que se puede descargar
desde el web proyecto CLEA: http://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.html
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1. Observación de los satélites de Júpiter
Este experimento combina observación con cálculo siguiendo la misma metodología que
ya se siguió en el siglo XVI y que permitió determinar la relación entre la masa de Júpiter
y la del Sol.
1.1 Objetivos
• Observación de los satélites galileanos de Júpiter (Io, Europa, Ganímedes y
Calisto)
• Determinación de sus periodos
• Determinación de las distancias medias al planeta
• Determinación de la masa de Júpiter
1.2 Material
• Telescopio
• Papel para dibujar a escala (si se hace en papel milimetrado o cuadriculado
es más fácil) o también se puede utilizar cualquier programa gráfico de
ordenador
• Calculadora
1.3 Identificación de los satélites
A continuación se da un algoritmo para calcular la elongación de cada satélite galileano
respecto a Júpiter, en unidades de radios de Júpiter, para un día y un tiempo dados. Un
valor positivo de la elongación significa que el satélite está al este de Júpiter, y un valor
negativo, al oeste.
Figura 1.1: Júpiter y los 4 satélites galileanos identificados con sus iniciales
Algoritmo:
Entrada
Cálculo
Año(>1988)
A=Año – 1989
X=365*A + INT (A/4)
Mes(1-12)
X= X + M(Mes) (valores de la tabla)
Datos
MES
1
2
3
M
0
31
59
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si (Mes>2 i Año bisiesto) X = X + 1
Día
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X = X + Día
X es el número de días desde el 0 enero 1989
Hora
T = X + Hora/24
Min.
T = T + Min./1440
90
120
151
181
212
243
273
304
334
Calculo para Io
Calculo para Europa
FASE = 203.40586*(T+0.7448)
(grados)
E = 6.9*SIN(FASE)
(radios de Júpiter)
FASE = 101.29163*(T+2.9205)
(grados)
E = 9.4*SIN(FASE)
(radios de Júpiter)
Cálculo para Ganímedes
Cálculo para Calisto
FASE = 50.234517*(T+5.5280)
(grados)
E = 15*SIN(FASE)
(radios de Júpiter)
FASE = 21.487980*(T+4.3926)
(grados)
E = 26*SIN(FASE)
(radios de Júpiter)
Si no se puede utilizar este algoritmo, el proyecto CLEA tiene un módulo dedicado a Júpiter que
permite hacer las simulaciones (http://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.html).
1.4 Observación de los satélites
La observación se debe hacer cada dos horas para Io y Europa; para Ganímedes,
durante un mínimo de cuatro días con dos o tres observaciones diarias; para Calisto un
mínimo de ocho días con una o dos observaciones diarias.
Enfocad con el telescopio a Júpiter y a los satélites, y mediante la predicción que habéis
hecho con los algoritmos, identificadlos todos. Dibujad sus posiciones respecto al planeta
en el papel milimetrado (o directamente sobre el ordenador). Medid la distancia al
planeta, en unidades de radios de Júpiter, y anotad el valor juntamente con el tiempo en
que se ha hecho la observación en la tabla siguiente:
Distancias al centro de Júpiter, en radios de Júpiter
Día
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Hora
Io
Europa
Ganímedes
Calisto
1.5 Análisis de las observaciones
Dibujad en una gráfica los valores de las distancias obtenidas en función del tiempo de la
observación, y determinad el valor máximo de la distancia del satélite a Júpiter (r 0).
Coged dos puntos observados de la curva, uno a cada lado del máximo, y anotad los
valores de las distancias, en radios de Júpiter, (r 1 i r 2) y los tiempos (t 1 i t 2) de
observación (ver Fig. 1.2).
Figura 1.2: Movimiento de un satélite en el entorno de Júpiter en una órbita circular
De la figura anterior podemos deducir:
cosθ1 =
r1
r
; cosθ 2 = 2
r0
r0
Para calcular el periodo del satélite, si suponemos una órbita circular, tendremos:
t 2− t 1
P (días) = 360º θ − θ
2
1
Donde los tiempos se deben expresar en días y en fracción de días. El radio de la órbita
del satélite alrededor de Júpiter será:
d (Km.) = R· r 0
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donde R es el radio de Júpiter, en quilómetros (71400 Km.), y r 0 es la distancia máxima
obtenida, en radios de Júpiter. Para que los profesores lo tengáis como referencia, los
resultados tendrían que ser los de las dos primeras columnas de la tabla siguiente
(podéis hacerlo con r 0 o con d ):
Io
Europa
Ganímedes
Calisto
P(días)
1.769
3.551
7.155
16.69
r 0 (RJúpiter)
5.91
9.40
15.0
26.4
P 2/ r 03
~66
~66
~66
~66
Podéis hacer calcular el cociente P 2/ r 03 a los alumnos y hacerles notar que el
resultadlo también da una constante, porque también rige la tercera ley de Kepler.
En las observaciones visuales la estimación de la distancia de los satélites a Júpiter
depende mucho del observador: unos tienden a sobrevalorar la distancia y los otros a
subvalorarla. Está bien que el experimento lo realicen diferentes alumnos de manera que
tengáis bastantes medidas y podáis minimizar los errores personales. Si el profesor lo
cree conveniente puede hacer una discusión del concepto de la media y la dispersión de
los valores deducidos por los diferentes alumnos, del descarte de medidas discordantes,
etc., o sea básicamente introducir a los alumnos a los conceptos de tratamiento
estadístico.
1.6 Determinación de la masa de Júpiter
Pasad el periodo P a años (1 año = 365,2422 días) y el radio d a unidades astronómicas
(UA) (1 UA = 149,6·106 km.) La masa de Júpiter la podemos calcular mediante la
expresión:
M=
d³
P²
donde M se obtiene en masas solares. Calculad la media de las masas calculadas a
partir de diferentes satélites.
1.7 Cuestiones
• ¿Qué leyes de Kepler sobre el movimiento planetario se han utilizado? ¿Qué
hipótesis adicionales sobre la masa y la órbita de los satélites galileanos se han
considerado?
• ¿Cuáles son los principales errores cometidos al hacer la estimación de las
distancias de los satélites a Júpiter?
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• Las estrellas conocidas con menos masa tienen una masa del orden de la cuarta
parte del Sol. ¿Cuánto más masivo debería ser Júpiter para que pudiese brillar
como una estrella?
1.8 Ejercicios adicionales
• Podéis pasar la masa de Júpiter a Kg. Y también su relación a la masa de la
Tierra sabiendo que MSol = 1,99·1030 Kg. = 332,932 Mtierra
• Comparad la fuerza de la gravedad en la superficie de Júpiter con la de la Tierra y
la del Sol. Evidentemente, podéis comparar con cualquier planeta y luna del
Sistema Solar. Para tener información buscad por ejemplo en el sitio web de
“Nine Planets” http://www.nineplanets.org/
• Podéis comparar la fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra y sobre Júpiter
• Podéis tomar la órbita de un cometa y calcular la fuerza atractiva del Sol en el
perihelio y en el afelio
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2. El centro de la galaxia
La Galaxia que habitamos contiene 100 mil millones de estrellas, más gas y polvo. Todo
ello está en rotación alrededor del centro galáctico. Basándonos en la tercera ley de
Kepler otra vez, o sea en la ley de la gravitación, calcularemos la masa del objeto situado
en el centro galáctico.
2.1 Objetivos
• Determinación de la masa del objeto central
• Deducción de que se trata de un agujero negro
2.2 Metodología
• Obtención de observaciones de estrellas cerca del centro galáctico
• Estudio del movimiento de estas estrellas
• Aplicación de la tercera ley de Kepler
2.3 Observaciones
No podemos observar el centro galáctico con alta resolución con los telescopios que
tenemos normalmente a nuestro alcance. Se requieren observaciones con telescopios
especializados y de gran diámetro. Por eso utilizaremos observaciones disponibles en la
red.
Por ejemplo, podemos tomar las primeras imágenes que se publicaron en el año 2002
por parte de científicos del Observatorio Europeo del Sur (ESO), y que se muestran en la
Fig. 2.1. El sitio web es: http://www.eso.org/public/outreach/press-rel/pr-2002/pr-1702.html. En la figura de la izquierda se puede observar el conjunto de estrellas cerca del
centro. Está señalada la estrella llamada S2. En la figura de la derecha se ve el
movimiento de esta estrella a lo largo de 10 años.
2.4 Determinación de la masa del objeto central
Se trata de una órbita elíptica semejante a la de los planetas que giran alrededor del Sol.
El cálculo de la órbita da un periodo de 15,73 años.
• Medid el semidiámetro de la órbita, considerando la escala que se indica en la
figura (la medida de la flecha equivale al espacio que recorre la luz en 2 días; la
velocidad de la luz es de 300.000 Km./s)
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• Aplicad la tercera ley de Kepler, tal como lo habéis hecho para el caso de la
pareja Sol-Júpiter a la pareja Centro-Estrella S2
• Deducid la masa del objeto en el centro de la Galaxia
Figura 2.1: Estrellas cerca del centro galáctico y órbita de la estrella S2
2.5 Ejercicios adicionales
El objeto central es muy masivo, pero no luce como millones de veces nuestro Sol. De
hecho, en la Fig. 2.1 (izquierda) solo se ven estrellas. Es porque el objeto central es muy
masivo y también muy compacto. Se trata de un agujero negro.
• Calculad la distancia al centro del agujero negro a la que la velocidad de escape
es igual a la velocidad de la luz
• Comparad el valor de la gravedad a esta distancia con la gravedad a la superficie
de la Tierra o del Sol
El Sol describe una órbita prácticamente circular en el entorno del centro galáctico con un
radio de unos 28000 años luz y con un periodo de 250 millones de años
• Calculad la velocidad lineal del Sol
• ¿Qué masa hay situada entre el centro galáctico y el Sol para que se mueva a
esta velocidad?
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