Introducción a la Teoría de Finales Primos y Teoremas del Punto Fijo

Introducción a la Teoría de Finales Primos y
Teoremas del Punto Fijo
Marta Romero Hernández
Dirigido por Francisco R. Ruiz del Portal
Departamento de Geometría y Topología
Facultad de CC. Matemáticas
Universidad Complutense de Madrid
Máster en Investigación Matemática 2007
Introducción a la Teoría de Finales Primos y
Teoremas del Punto Fijo
Marta Romero Hernández
Universidad Complutense de Madrid
Abstract
This paper contains an introduction to Carathéodory’s theory of prime ends.
It is shown how Cartwright and Littlewood in [3] proved that if I is an orientation preserving transformation of the whole plane into itself wich leaves
a bounded continuum I invariant, and if C(I) consists of a single simply connected domain, then I has at least one fixed point in I.
A continuación se presenta una introducción a la teoría de finales primos de
Carathéodory. Además, se muestra como Cartwright y Littlewood probaron
en [3] que si I es un homeomorfismo del pano que preserva la orientación y
deja fijo a un cierto contínuo acotado I, cuyo complemetario es un dominio
único simplemente conexo, entonces I contiene al menos a un punto fijo.
Palabras clave: Final primo, punto fijo, punto principal.
2000 Mathematics Subject Classification: 37C25, 37B30, 54H25.
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Introducción
Sea D un dominio simplemente conexo en el plano complejo ampliado, tal que
F(D) tiene mas de un punto. Entonces F(D) es acotado.
Un arco simple A que pertenece a D salvo por un único punto a ∈ F(D) decimos que es un half away cut y a es un punto accesible. Un cross cut es un arco
simple Q en D con extremos distintos q1 , q2 ∈ F(D).
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Fig. 1. Half away cut y cross cut
Una cadena {Qn } es una sucesión de cross cuts de forma que ninguno de ellos tenga puntos comunes (en particular de extremos distintos) y tal que cada Qn
separa Qn+1 de Qn−1 . Existen los dominios correspondientes {Dn } donde Dn es
subdominio de D definido por Qn que contiene a Qn+1 salvo por sus extremos.
Entonces D1 ⊃ D2 ⊃ D3 ⊃ · · · y la cadena combinada K de cross cuts y dominios
define un final en D.
Dos cadenas de dominios {Dn } y {D0n }, definidas mediante cadenas de cross
cuts, son equivalentes si para cada n, Dm ⊂ D0n para m ≥ m(n) y D0m0 ⊂ Dn para
m0 ≥ m0 (n). Dos cadenas equivalentes definen el mismo final. De esta forma
definimos un final como una clase de equivalencia de cadenas.
Un dominio D0 contiene a un final E si Dn = Dn (E) pertenece a D0 para todo
n > n0 (D0 ). Si E1 y E2 son finales tal que para todo n Dn (E1 ) ⊃ Dm (E2 ) para
m > m(n), entonces E1 contiene a E2 , es decir, E1 es divisible por E2 . Si Dn (E1 )
y Dm (E2 ) son disjuntos para un m y n suficientemente grandes, entonces E1 y E2
se dice que son finales disjuntos.
La impresión de un final E es el conjunto de puntos E = ∞
n=1 D̄n donde la
cadena {Dn } define E. E es un contínuo o un único punto. La impresión de un
final es independiente de la cadena que define dicho final, y puede ocurrir que dos
finales primos tengan la misma impresión.
T
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Una sucesión de puntos {xn } (o finales {En }) converge a un final E si para
todo n, xn (o En ) está contenido en Dm para n > n(m). Así un arco simple y contínuo C abierto por un extremo y que pertenece a D (salvo por un extremo) se dice
que converge al final E si toda sucesión de puntos de C que no tenga punto límite
en D − E converge a E.
Un final de línea es un final L cuyo conjunto de puntos L no contiene puntos
de D. Corresponde muchas veces a un intervalo en una línea y en caso degenerado
a un punto.
Fig. 2. Impresión de un final y final de línea
Un final primo P es un final que solo es divisible por sí mismo. Carathéodory
probó que cuaquier cadena de cross cuts que tiende a un punto define un final
primo. El conjunto de puntos correspondiente P, es o un único punto o un contínuo que no tiene puntos de D.
Un punto principal h de un final primo P es el punto límite de una cadena
de cross cuts que tienden a un punto. El conjunto H de puntos principales de un
final primo es o un punto accesible a o un contínuo. Los puntos restantes de P
se llaman puntos secundarios, que los denotaremos por S. El conjunto de puntos
secundarios S o no contiene puntos o está formado por contínuos.
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Fig. 3. Final primo formado por un único punto principal a, que es accesible, y un conjunto de
puntos secundarios S.
Podemos expresar las cuatro clases de finales primos de la siguiente manera:
(1) P
(2) P
(3) P
(4) P
=
=
=
=
a
a + S, S 6= 0
H, H 6= a
H + S, H 6= a, S 6= 0.
Lema 1.1. El conjunto de puntos principales de un final E tiene un único punto p
si y solo si p es accesible.
Lema 1.2. El conjunto de puntos principales de un final E es compacto, conexo y
no vacío.
Algunos ejemplos
Fig. 4. Final primo formado por un único punto principal.
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Fig. 5. Final primo formado por un punto principal y un conjunto de puntos secundarios.
El conjunto está formado por una estructura externa en forma de caja abierta
por abajo, y por unas rectas horizontales internas que parten de los laterales y se
acercan a AB, de manera que la distancia entre ellas cada vez es menor (la mitad).
Además, estas rectas disminuyen su longitud que tiende a la mitad de la longitud
de AB. La cadena de cross cuts se construye a partir de arcos de extremos los
puntos de dos rectas horizontales consecutivas, de forma que el dominio interior
de cada cross cut, es el espacio delimitado por la caja con sus rectas interiores y él
mismo. Observamos que a es el único punto principal y el único punto accesible
de AB.
Fig. 6. Final primo formado por un un conjunto de puntos principales.
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La contrucción es muy parecida a la de la Fig. 5. Pero, a diferencia de la
anterior, esta vez las rectas interiores se acercan a los laterales, de forma que su
longitud tiende a la de AB. Cada punto de AB es un punto principal y además no
es accesible.
Fig. 7. Final primo formado por un un conjunto de puntos principales y un conjunto de puntos
secundarios.
Ahora las rectas interiores tienen todas la misma longitud igual a AD. Cada
punto de CD es un punto principal y es accesible. Los puntos de AC y DB son
secundarios y no son acesibles.
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Teorema de Carathéodory
Es necesario describir la topología en el conjunto de finales primos antes de enunciar el teorema.
Sea U un abierto de D. Decimos que un final E está contenido en U si existe
una cadena {Dn } que define a E y cada uno de sus elementos Dn está contenido en
U . Sea D∗ = D∪E donde E es el conjunto de finales primos de D. Un conjunto
U∗ en D∗ es abierto si y solo si U∗ ∩ D∗ es abierto en D y U∗ ∩E= {E : E tiene una
cadena cuyos elementos pertenecen a U∗ ∩D }. Llamamos a D∗ con esta topología
la compactificación por finales primos de D.
Teorema 2.1. (Carathéodory) 1 Sea D un conjunto abierto conexo y simplemente
conexo cuya frontera tiene más de un punto. Entonces D∗ es homeomorfo a un
disco cerrado, donde los puntos de D van a ser los puntos de interior del disco, y
los finales primos corresponden con los puntos de S1 , el borde del disco. Además,
si F es un homeomorfismo de Z 2 con D invariante bajo F, entonces existe una
aplicación F ∗ de D∗ tal que F ∗ = F en D.
Gracias a este resultado podemos ver el comportamiento de F en el borde de
D, estudiando el comportamiento de F en el borde de S1 . Los finales de línea λ
de |z| > 1 son arcos de |z| = 1 y los finales primos π son puntos eiθ en |z| = 1.
Fijándonos que son puntos límite de cadenas de cross cuts y de dominios en
|z| > 1. Como cada punto de |z| = 1 pertenece a uno y solo a un final primo
de |z| > 1, podemos utilizar el punto eiθ para especificar el final primo sin perder
ambigüedad.
Además cualquier curva simple contínua C en D convergente a un final primo
P se corresponde con un half away cut γ en |z| > 1 convergente a un punto eiθ
en |z| = 1 y al revés. Un cross cut Q en D se corresponde con un cross cut χ de
1 Ver
[6] para una demostración diferente y muy breve del teorema de Carathéodory.
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|z| > 1 y un cross cut χ de |z| > 1 se corresponde con un cross cut generalizado Q0 .
Una cadena K de cross cuts {Pn } que define un final E de D, le corresponde a
una cadena κ que define un final ε de |z| > 1. Y al revés, a una cadena κ de cross
cuts {χn } que define un final ε de |z| > 1 le corresponde una cadena generalizada
K0 de D formada por cross cuts generalizados {P0 n }.
Los finales primos se transforman en finales primos bajo F, luego F induce
una aplicación F ∗ en D∗ . Sea τ un homeomorfismo de D∗ en D, clausura de D. Entonces el círculo S1 es invariante bajo el homeomorfismo inducido f = τ ◦F ∗ ◦τ −1
en D.
Poincaré probó que asociado a cada homeomorfismo γ que preserva la orientación del círculo hay un número de rotación, una medida de rotación de los
puntos del círculo mediante la iteración de γ. Para definir este número, primero
es conveniente considerar un levantamiento de γ. Una aplicación G de R es un
levantamiento de γ si π ◦ G = γ ◦ π, donde π es un recubrimiento de R a S1 ; luego
π(x) = exp(2πix). Sea
pG (x) = limn→∞ Gn (y)/n
para x en S1 e y ∈ R tales que π(y) = x. Definimos el número de rotación r de γ
como el único número en [0, 1) tal que pG (x) − r es un entero. Este número está
bien definido:
(1) El valor r = r(γ) es independiente de x y en particular del levantamiento de G
en γ.
(2) Una aplicación γ del círculo tiene puntos de periodo mínimo q si r(γ) es una
fracción irreducible de la forma p/q, para algún entero positivo p. La aplicación
γ tiene puntos fijos si y solo si r(γ) = 0. Además, si γ tiene puntos periódicos,
todos ellos han de tener el mismo periodo.
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(3) Si γ tiene un punto periódico de periodo n, entonces todo punto del círculo es
ó bien un punto fijo de γ n ó bien es asintótico a un punto fijo en las iteraciones de
γ n.
3
Teorema del punto fijo
Cartwright y Littlewood abordan en un principio la demostración de este difícil
teorema, inducidos por la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales sobre la
teoría de oscilaciones no lineales, por ejemplo de la forma
ẍ + f (x)ẋ + g(x) = p(t)
donde f , p son contínuas, g cumple la condición de Lipschitz, p(t) tiene periodo 1, y g(x)/x ≥ 1 para un x suficientemente grande. Una de las más famosas
ecuaciones de este tipo fue presentada por van der Pol en 1920:
ẍ − k(1 − x2 ) f (x)ẋ + x = bkλ cosλ
En su trabajo, Cartwright y Littlewood hicieron uso de una transformación
analítica, desarrollada por Birkhoff, del plano en sí mismo con complicadas curvas
invariantes. El difeomorfismo indicaba que las soluciones periódicas no estables
y subharmónicas de la ecuación correspondían a puntos fijos del conjunto. Esto
les permitió desarrollar algunos teoremas del punto fijo para contínuos invariantes
por un difeomorfismo del plano. En particular, necesitaban un teorema del punto
fijo que pudiera aplicarse a un contínuo invariante acotado cuyo complementario
fuera un único dominio simplemente conexo que no tuviera una curva de Jordan
que tienda a él. Este teorema es más general que el teorema del punto fijo de
Brouwer, pues I no necesita ser localmente conexo, sin embargo las codiciones de
I son más restrictivas.
Para poder estudiar el teorema del punto fijo necesitamos ver unas definiciones
y lemas previos:
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Si P1 y P2 se corresponden con los puntos eiθ1 y eiθ2 respectivamente en
|z| = 1, decimos que P1 está a la izquierda de P2 si θ1 < θ2 y cerca de él. De la
misma forma decimos que P1 está a la derecha de P2 si θ1 > θ2 y cerca de él.
Lema 3.1. Un final de línea L de D se corresponde con un final de línea λ de
|z| > 1. L contiene un conjunto de finales primos P correspondiente a los puntos
eiθ en |z| = 1 cuando θ1 ≤ θ ≤ θ2 . Si L no es un final primo, entonces L contiene
una infinidad de puntos accesibles.
Lema 3.2. Si C es una curva simple contínua, abierta por un extremo, convergente a P, entonces C̄ −C contiene a un contínuo H. Además, existen curvas CH
tales que C̄H − CH = H.
Lema 3.3. Cualquier curva simple C que corta a cada Qn de una cadena de un
final primo P una única vez a cada uno, divide a cada Dn de la cadena, en dominios derecho e izquierdo, Dn (r,C), Dn (l,C) tales que D1 (l,C) ⊃ D2 (l,C) ⊃ · · ·,
D1 (r,C) ⊃ D2 (r,C) ⊃ · · ·, y todos los dominios son simplemente conexos. Dn (l,C)
contiene finales primos a la izquierda de P, y Dn (r,C) contiene finales primos a
la derecha de P.
Es fácil contruir una curva simple C que corte a cada Qn una única vez uniendo
cualquier punto de D1 − D2 al punto x1 de Q1 , y al punto x2 de Q2 por arcos de
D1 − D2 . Luego uniendo x2 a Q3 por un arco simple de D2 − D3 , y así los demás
(Ver Fig. 8.).
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Fig. 8. Curva que separa cada Dn en dominios derecho e izquierdo.
Lema 3.4. Dado cualquier punto p de un final primo P, existe una curva simple
contínua C p convergente a P, tal que P ⊇ C̄(p) −C(p) ⊇ p.
Consideramos cualquier curva C, cualquier cadena {Qn } convergente a P, y
cualquier sucesión de puntos {yn } convergentes a p punto de P. Para cada n existe
un m(n) tal que o yn pertenece a Qm o yn pertenece a Dm − Dm+1 . Si yn no está en
Qm , podemos utilizar el arco C del lema anterior uniendo xm de Qm al punto xm+1
de Qm+1 , mediante la suma de dos arcos simples que no se cortan salvo en el punto
yn , y que unen a xm con yn y a ym con xm+1 . Comenzando por n = 1 omitimos
todos los puntos de la sucesión {yn } salvo a y1 que pertenezcan a Dm(1) − Dm(1)−1 .
Repitiendo el proceso con los restantes puntos de la sucesión obtenemos la curva
requerida.
Lema 3.5. Cualquier final E de D, que no es un final primo, contiene a un final de
línea L(E) de D − E acotado por finales primos disjuntos Pl (D − E), Pr (D − E),
y existen finales primos Pl y Pr respectivamente de D tales que
Pl (D − E) ⊇ H(Pl ),
Pr (D − E) ⊇ H(Pr ),
Además L(E) no es un final primo de D − E.
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Si E es un final de línea de D, entonces resulta evidente pues en ese caso,
D − E = D, y L(E) = E = L, Pl (L) y Pr (L) son finales primos en D.
Si E no es un final de línea en D, consideramos una aplicación de D en |z| > 1,
E se va a corresponder con un final ε, y el conjunto D − E que es un dominio
simplemente conexo, va a transformarse en un subconjunto δ (ε) de |z| > 1, el
cual va a ser también simplemente conexo. La cadena K de cross cuts Qn de D
es también una cadena de cross cuts de D − E, y la cadena de dominios Dn de
D, determina la correspondiente cadena de dominios Dn − E de D − E con las
propiedades usuales. De esta forma se define un final de línea L(E) de D − E
tal que para todo final de D − E que esté contenido en L(E) también va a estar
contenido en E.
Como hemos establecido que E no es un final de línea de D, entonces ninguna
sucesión de cross cuts Qn puede converger a un punto, luego no puede definir un
final primo en D − E. Por lo tanto, L(E) no es un final primo, y entonces, está
acotado por finales primos disjuntos Pl (D − E)y Pr (D − E) contenidos en E.
Los cross cuts Qn de D − E se corresponden con cross cuts χn de δ (ε) en
|z| > 1, y los extremos de χn están en |z| = 1 y tienden a los puntos eiθ1 y eiθ2 de
|z| = 1.
El final de línea L(E) se corresponde con el final de línea λ (ε) de δ (ε) acotado
por la izquierda y por la derecha por los finales primos πl (ε), πr (ε) de δ (ε).
Como los puntos eiθ con θ < θ1 y cerca de él, no pertenecen al conjunto cerrado
de puntos de λ (ε) existe un cierto entorno N(θ ) para cada punto eiθ con θ < θ1
y cerca de él, que no contiene a ningún punto de λ (ε). Por lo tanto, podemos
tomar un half away cut γl de δ (ε) convergente a eiθ1 . Sea α1 ≤ θ ≤ α2 cualquier
intervalo cerrado cerca de θ1 y a su izquierda, por el teorema de Heine-Borel,
existe un número entero positivo ζ1 tal que para todos los puntos de |z| > 1 cuya
distancia al arco α1 ≤ θ ≤ α2 es menor que ζ1 entonces pertenecen a N(θ ) para
algún θ de ese arco. Por lo tanto, para cualquier punto de |z| > 1 con θ = α1 y a
distancia ζ1 de |z| = 1, se puede unir a cualquier otro punto θ = α2 con distancia
ζ1 de |z| = 1 por un arco γ1 en δ (ε).
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A partir de la sucesión {αn } con α1 < α2 < ..., αn → θ1 , obtenemos una sucesión de números {ζn }, ζn → 0, y arcos {γn }. Tomando el extremo de γn en θ = αn ,
coincide con el extremo de γn+1 en θ = αn y obtenemos una curva contínua que es
el half away cut γl que buscábamos. De la misma forma encontramos un half away
cut γr que converge a eiθ2 . Entonces, los dominios de la parte izquierda definidos
por γl de |z| > 1 son los mismos que los de δ (ε). Volviendo por la aplicación del
principio, los dominios del lado izquierdo definidos por la correspondiente curva
Cl de D−E son los mismos que los de D. Luego por el Lema 3.2, C̄l −Cl ⊇ H(Pl ),
para todo Cl , y por el Lema 3.4, todos los puntos de Pl (D − E) están contenidos
en algún Cl . De la misma forma resolvemos para la parte derecha.
Vamos a considerar ahora una transformación I de Z 2 (1, 1) contínua y que
preserva la orientación, además deja fijo al punto del infinito y también a un cierto
contínuo acotado I cuyo complementario C(I) es un dominio único, de modo que
I = I(I), C(I) = I(C(I)), F(I) = I(F(I)).
Si F es un contínuo, su complementario está formado por uno o más dominios, cuya frontera es conexa. Si F está acotado, entonces uno de esos dominios
U(F) es una componente no acotada, y como su frontera es conexa, entonces es
simplemente conexo en Z 2 . Los demás dominios Bn , n = 1, 2, . . . si existen, se
llaman dominios interiores de F y son también simplemente conexos y acotados.
El conjunto
C(U(F)) = F ∪
S
n Bn
= F ∪B
donde B, que es la unión de los dominios interiores de F, es un contínuo acotado,
y su complementario U(F) es un domininio único simplemente conexo. Luego,
si F es cualquier contínuo acotado tal que F = I(F), cualquier resultado para I,
también va a ser válido para I = F ∪ B. Además, si F es un contínuo acotado, la
hipótesis de que C(F) es un dominio único, equivale a C(F) = U(F).
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Sea D el dominio simplemente conexo C(I). Sea z la transformación usual
de C(I) y sus finales primos en |z| ≥ 1 y sea zθ la transformación de los finales
primos de C(I) en |z| = 1. Además sea τ = τz = zIz−1 , τθ = zθ Iz−1
θ . Como I es
(1, 1) contínua y preserva la orientación en C(I) y es contínua en F(I) entonces se
verifica el siguiente lema:
Lema 3.6. Los finales de D con sus correspondientes cadenas se transforman
en finales del mismo tipo; finales no lineales, finales de línea, finales primos de
primer, segundo, tercer y cuarto tipo. En nuestra notación
I(K), I(Qn ), I(Dn ), I(L), I(P), I(P), I(H), I(S), I(CH )...
tienen las mismas propiedades en general que K, Qn , Dn , L... respectivamente.
Decimos que E es un final fijo si I(E) = E. Luego, I(E) = E, y si E = P = I(P)
entonces I(H) = H y I(S) = S.
Lema 3.7. Un final fijo E bajo la transformación I se corresponde con un final ε
de |z| > 1 fijo bajo τ y al revés. Si E es un final de línea ó primo, ε es un final de
línea ó primo. Como los puntos de |z| = 1 son accesibles, si ε es un final primo
entonces va a contener a un punto fijo, y si es un final de línea, entonces sus dos
extremos son fijos.
Lema 3.8. Si {En } es una sucesión de finales convergentes a E entonces {I(En )}
es una sucesión convergente a I(E). Si {εn } y ε son los finales de |z| > 1 correspondientes a En y a E, entonces εn converge a ε, y τ(εn ) converge a τ(ε) puesto
que τ es continua en |z| ≥ 1.
Un final fijo E bajo I es estable en C(I) si existe una cadena K(E) de dominios
Dm tal que para cualquier m
In (D̄m ) ⊆ D̄m+1 para n > n(m).
Es fácil ver que si es estable para una cadena, es estable para todas, luego la definición es independiente de la cadena. Un final fijo E es inestable en C(I) bajo I si
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es estable bajo I−1 , la inversa de I. De igual forma se define para los finales ε de
|z| > 1 fijos bajo τ. Un final E que no es estable ni inestable en C(I) se dice que
es no estable en C(I).
Lema 3.9. A un final fijo E estable o inestable en C(I) le corresponde un final fijo
ε estable o inestable de |z| > 1 y al revés.
Un punto fijo eiθ0 de |z| = 1 es estable por la izquierda (derecha) si todo eiθ
con θ < θ0 (ó θ > θ0 ) cerca de él converge a eiθ0 bajo τθn cuando n → ∞. Si todos
los finales primos cerca del final primo P0 de C(I) a la izquierda (o a la derecha)
convergen a P0 bajo In cuando n → ∞ decimos que P0 es estable por la izquierda
(derecha). Un final primo fijo puede ser estable por la derecha o por la izquierda
y no ser estable en C(I). Un final primo estable por la izquierda (derecha) por I−1
decimos que es inestable por la izquierda (derecha).
Lema 3.10. Un final de linea fijo y estable L de C(I) está acotado por dos finales
primos fijos Pl y Pr estables por la izquierda y por la derecha respectivamente.
Un final de línea estable λ de |z| > 1 está claramente acotado por dos finales primos fijos πl y πr correspondientes a los puntos eiθ1 y eiθ2 , estables por la
izquierda y por la derecha respectivamente.
Lema 3.11. Si P es un final primo fijo tal que para alguna cadena K = K(P) de
cross cuts Qn que tienden a un punto h (punto accesible) de P, I(Qn ) tiene al
menos un punto en común con Qn para todo Qn , entonces h es un punto fijo. En
particular si P = I(P) y I preserva el área, entonces todo punto princial de P es
fijo.
Supongamos que existe un punto qn en Qn tal que I(qn ) pertenece a Qn . Como
Qn tiende a un punto cuando n → ∞, la distancia [qn , I(qn )] es menor que η para
todo η > 0 siempre que n > n0 (η). Si h no es fijo, existe un d > 0 tal que para
todo punto x suficientemente cerca de h se mueve a una distancia de al menos d
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bajo I. Eligiendo η < d y n suficientemente grande, podemos poner x = qn y
llegamos a una contradicción.
Si P es fijo y I preserva el área, entonces Dn no puede contener o ser contenido por I(Dn ), luego Qn ∩ I(Qn ) 6= 0. Por lo tanto las hipotesis se satisfacen
para toda cadena de cross cuts que tiende a un punto.
En los casos donde Qn ∩ I(Qn ) = 0, P tiene alguna clase de final cercano a él
el cual es estable bajo I o I−1 como veremos en el siguiente lema:
Lema 3.12. Si P es un final primo fijo y para alguna cadena K = K(P), I(Qm )
pertenece a Dm salvo por sus extremos que son diferentes a los de Qm . Entonces
para cada m la sucesión In (Dm ), n = 1, 2, ... forma una cadena que define a un
final primo fijo E(m) que es estable en C(I) y, o bien E(m) = P para todo m > m0 ,
o bien E converge a P cuando m → ∞.
Como Qm es un cross cut, también lo es I(Qm ), y como este pertenece a Dm
(2)
salvo por sus extremos, va a determinar un subdminio Dm ⊂ Dm . I es (1, 1) y
(2)
(1)
contínua, luego I2 (Qm ) determina un dominio Dm ⊂ Dm y de esta forma repetimos el proceso. Resulta una cadena que tiene las propiedades necesarias para
definir a un final E(m) que va a ser fijo y estable en C(I). Como Dm converge a
P, entonces E(m) también va a coverger a P, puesto que está contenido en Dm , a
menos que E(m) = P para m > m0 .
Lema 3.13. En el lema anterior, si E(m) es un final de línea L(m), y L(m) 6= P
para cualquier m, entonces L(m) está acotado por finales primos fijos Pl (m),
Pr (m), al menos uno de los cuales es diferente de P y converge a P cuando m → ∞.
Lema 3.14. Si existe un punto fijo en |z| = 1 bajo τ0 , entonces todo punto en
|z| = 1 es fijo o tiende a un punto fijo bajo τn cuando n → ∞ .
Escribimos z = eiθ en |z| = 1, y podemos suponer que θ = 0 es un punto
fijo, entonces θ = 2π es también fijo. La transformación τθ es (1, 1) contínua y
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preserva el orden para 0 ≤ θ ≤ 2π, y podemos escribirlo como θ1 = θ1 (θ ) donde
0 ≤ θ1 (θ ) ≤ 2π, donde θ1 (θ ) es una función contínua creciente de θ .
Si θ1 (θ0 ) > θ0 , como θ1 (θ ) es creciente, θ2 (θ0 ) = θ1 (θ1 (θ0 )) > θ1 (θ0 ), al
igual que θ3 (θ0 ) > θ2 (θ0 ) y reiterando. Por lo tanto {θn (θ0 )} es una sucesión
creciente que tiende a un límite α ≤ 2π, y por continuidad θ1 (α) = α, luego α es
fijo. Igualmente, si θ1 (θ0 ) < θ0 , θn (θ0 ) → β ≥ 0 y β es fijo.
Lema 3.15. Si |z| > 1 contiene a un final de línea fijo que tiene más de un final
primo, entonces, o bien todo punto eiθ de λ es fijo, o bien λ contiene a un punto
fijo eiθ0 el cual es inestable por la izquierda o por la derecha. Si |z| = 1 contiene
a un punto fijo eiα , entonces, o bien todo punto de |z| = 1 es fijo, o bien existe un
punto fijo en |z| = 1 el cual es inestable por la izquierda o por la derecha.
Supongamos que el conjunto de puntos de λ es el intervalo eiθ , α ≤ θ ≤ β <
α + 2π, supongamos que algun punto θ = θ0 no es fijo. Entonces α < θ0 < β .
Si θ1 (θ0 ) > θ0 , θn (θ0 ) → β 0 , θ0 < β 0 ≤ β , y de la misma manera utilizando τ −1
obtenemos θn (θ0 ) → α 0 , α ≤ α 0 < θ0 , luego α 0 es inestable por la derecha. Si
θ1 (θ0 ) < θ0 , τ −1 (θ0 ) → β 0 > θ0 y β 0 es inestable por a izquierda, luego llegamos
al resultado en ambos casos. Si existe un punto fijo eiα , podemos tomar λ como
la circunferencia entera, el método sigue valiendo para β = α + 2π.
Lema 3.16. Si eiθ0 es un punto de |z| = 1 perteneciente a un final de línea fijo y
estable λ y eiθ0 es un punto fijo inestable por la izquierda (derecha) entonces para
toda cadena K de cross cuts χm que tiende a eiθ0 , τ(χm ) contiene a un punto de
χm para todo m > m0 .
Supongamos que no se verifica, y que para alguna cadena de cross cuts {χm }
tenemos que τ(χm ) ∩ χm = 0. Entonces τ(χm ) pertenece completamente a δm ,
salvo por sus extremos que son diferentes a los de χm . Como τ(χm ) no pertenece
al exterior de δm y τ n (δm ) ⊃ δm , entonces el final primo correspondiente a eiθ0 no
está contenido en un final de línea estable. Por el Lema 3.12, la cadena τ n (χm )
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define un final estable ε(m), y este va a contener por el Lema 3.5 un final de línea
estable λ (m) de δ (ε(m)) acotado por los finales primos fijos correspondientes a
los finales primos πl (m) y πr (m) de δ . O bien el punto eiθ (m) correspondiente a
θ
πl (m) coincide con ei 0 , o bien por el Lema 3.13 θ (m) tiende a θ0 cuando m → ∞.
En el primer caso, los extremos del lado izquierdo de los cross cuts τ n (χm )
tienden a θ0 cuando n → ∞, luego eiθ0 no es inestable por la izquierda. En
el segundo caso, existe una infinidad de puntos fijos eiθ (m) cerca de eiθ0 por la
izquierda, y de nuevo eiθ0 no es inestable por la izquierda.
Repetimos el mismo razonamiento para demostrar que eiθ0 es inestable por la
derecha.
Lema 3.17. Si C(I) tiene un final primo fijo, entonces todo final primo de C(I) es
fijo o converge a un final primo fijo bajo In cuando n → ∞.
Lema 3.18. Si C(I) tiene un final de línea fijo L que contiene a más de un final
primo entonces, o bien todo final primo contenido en L es fijo y L tiene una infinidad de puntos accesibles, o bien L contiene al menos un final primo fijo, el
cual es inestable por la izquierda o por la derecha. Si C(I) tiene solo un final
primo fijo P, entonces P es inestable por la izquierda o por la derecha.
Lema 3.19. Si P0 es un final primo fijo perteneciente a un final de línea fijo y
estable L, y P0 es inestable por la iquierda o por la derecha, entonces para toda
cadena K de cross cuts {Qm } que tiende a un punto h0 de P0 , I(Qm ) contiene a
un punto de Qm para todo m > m0 .
Lema 3.20. Si P0 satisface las hipótesis del lema anterior, se verifica que todo
punto principal en él es un punto fijo, luego P0 contiene a un punto accesible o a
un contínuo de puntos fijos.
18
Lema 3.21. Todo final de línea estable L que tiene más de un final primo contiene
a un final primo para el cual todo punto principal es fijo.
Teorema 3.1. Todo final primo fijo no estable contiene al menos a un punto fijo.
Demostración. Supongamos que P0 es un final primo fijo no estable. Por el
Lema 3.11, si existe una cadena K de cross cuts {Qm } que tiende a un punto de P0
tal que I(Qm ) ∩ Qm 6= 0 para cualquier m, esa cadena define a un punto principal
fijo y obtenemos el resultado que buscábamos.
Si no, existe una cadena de cross cuts {Qm } que tiende a un punto tal que,
o bien I(Qm ) pertenece a Dm salvo por sus extremos, o bien I−1 (Qm ) pertenece
por completo a Dm salvo por sus extremos, siendo éstos distintos a los de Qm en
ambos casos. En este último caso, podemos cambiar I−1 en lugar de I y escribir
inestable por estable, luego suponemos que I(Qm ) pertenece a Dm .
Por el Lema 3.12, para cada m existe un final primo fijo E(m) estable en C(I)
y si E(m) = P0 para todo m > m0 , entonces P0 es estable y llegamos a una contradicción. Si no, entonces E(m) converge a P0 cuando m → ∞ y, o bien E(m)
contiene puntos de C(I), o bien E(m) es un final de línea L(m). En el primer
caso E(m) define a un final de línea L(E(m)) de C(I) − E(m). En ambos casos, el
final de línea es estable en el dominio correspondiente y contiene más de un final
primo, luego por los Lemas 3.18, 3.19 y 3.21 L(m) ó L(E(m)) contiene a un final
primo fijo P(m) o P(E(m)) según el caso, entonces todo punto principal de él es
fijo. Como L(m) o L(E(m)) converge a P0 cuando m → ∞, el final primo fijo
P(m) o P(E(m)) converge a P0 cuando m → ∞, luego los puntos fijos de L(m) o
de L(E(m)) o bien están en P0 o bien tienden a P0 cuando m → ∞. Por lo tanto,
por la continuidad existe un punto fijo en P0 .
Si {Dn } es una sucesión de dominios simplemente conexos que contienene el
punto del infinito tal que D1 ⊇ D2 ⊇ · · · y
I=
T∞
n=1 Dn
19
Entonces decimos que I es externamente estable.
Lema 3.22. Si J es una curva cerrada de Jordan, existe una transformación (1, 1)
contínua W del plano en si mismo tal que J se corresponde consigo mismo.
Sea ze una transformación conforme del dominio exterior De de J en |z| > 1,
y zi una transformación (1, 1) conforme del dominio interior Di de J en |z| > 1.
La continuidad de las transformaciones ze y zi hacen que |z| = 1 se corresponda
(1, 1) y de forma contínua con J. Pero diferentes puntos de J eiϕ y eiθ pueden
corresponderse con el mismo punto de J por ze y zi respectivamente.
La transformación ze z−1
i transforma θ de forma (1, 1) y continua en ϕ. Ahora
0
iϕ
poniendo z = |z|e para z = |z|eiθ en |z| < 1, tenemos una aplicación (1, 1) contínua z0 de |z| ≤ 1 en si mismo que hace que eiϕ se corresponda con eiθ . Luego si
W = ze en De y en J, y W = z0 zi en Di , tenemos que W es una aplicación (1, 1)
contínua en un entorno de J al igual que en D̄e y en D̄i por separado.
Teorema 3.2. Si C(I) no tiene finales primos fijos, I contiene un punto fijo.
Demostración. Si transformamos C(I) en |z| > 1 como ya hemos visto, se sigue
por el Lema 3.6 que no existe ningún punto de |z| = 1 fijo por τθ , y usando la
notación del Lema 3.14, θ1 = θ1 (θ > θ ) es una función contínua creciente de θ
cuyos valores están entre θ1 (0) > 0 y θ1 (0) + 2π para 0 ≤ θ ≤ 2π. Por lo tanto
el vector [eiθ , eiθ1 ] es no nulo y dibuja una vuelta perfecta cuando θ va de 0 a 2π.
Como τ es continua para |z| ≤ 1, cuando z = reiθ con r > 1, el vector [z, τ(z)]
dibuja también una circunferencia perfecta cuando θ aumenta de 0 a 2π, siempre
que r esté suficientemente cerca de 1 y r < r0 . Además, para todo r > 1 existe un
r0 = r0 (t) > 1 tal que si z1 = τ(z), entonces z1 ≥ r0 si |z| ≥ r.
Fijado r ≤ r0 , y sea J la curva en C(I) correspondiente a |z| = r0 . Sea W la
transformación del Lema 3.22, y sea σ = WJW−1 . Entonces σ es una aplicación
(1, 1) y contínua del plano y coíncide con θ cuando |z| ≥ r. Por lo tanto, el vector
[z, σ (z)], el cual pertenece a |z| ≥ r0 para |z| = r, gira una vuelta como cuando z
describe |z| = r. Ahora si contraemos |z| = r de forma contínua a un punto de
20
|z| ≤ r, el vector varía de forma contínua y obtenemos una contradicción a menos
que σ tenga un punto fijo; pero esto implica que J = W−1 σ W tiene un punto fijo
en el dominio interior de J, donde J es la curva correspondiente a |z| = r0 . Como
r0 está arbitriariamente cerca de 1, entonces J está arbitrariamente cerca de I, luego
I contiene al menos un punto fijo.
Teorema 3.3. I tiene al menos un punto fijo.
Si I es localmente conexo, la demostración viene incluida en el Teorema de
Lefschetz; otros casos particulares están demostrados por métodos relacionados
con la descomposición de conjuntos.
La demosración del teorema consta de dos partes, primero partimos de un caso
concreto para luego probar que uno de los hechos no puede ocurrir.
Lema 3.23. O bien I tiene un punto fijo, o contiene un contínuo I 0 con las siguientes propiedades
(1) I(I 0 ) = I 0 , y C(I) es un único dominio simplemente conexo.
(2) C(I) tiene un final primo fijo.
(3) Para todo final primo fijo P(I 0 ) de C(I 0 ), el conjunto de puntos principales es
igual a F(I)
(4) F(I 0 ) es un contínuo indescomponible
(5) C(I 0 ) tiene un final de línea fijo L(I 0 ) acotado por l derecha y por la izquierda
por finales primos P1 (I 0 ) y P2 (I 0 ) tales que P1 (I 0 ) es inestable en C(I 0 ) y P2 (I 0 )
es estable en C(I 0 ), y para cualquier otro final primo de L(I 0 ) converge a P2 (I 0 )
bajo In cuando n → ∞.
Demostración. Supongamos que I no tiene puntos fijos entonces, por el Teorema 3.4, C(I) tiene un final primo fijo P. Por el Lema 3.6, I(H) = H y I(H) =
H ∪ B(H) verifica (1).
Si para todo final primo fijo, H es idéntico a F(I), I(H) = I y se verifican (2) y
(3). El apartado (4) se satisface de (3) por los resultados de Rutt. Además, como
21
no todo final primo puede contener un punto fijo, por el Teorema 3.1, es estable
en C(I) o es inestable. Si tomamos los puntos correspondientes de |z| = 1, que
si existen solo estos dos tipos de finales primos fijos, el estable y el inestable, se
alternan, y entre cada par existe un final de línea cuyo final primo interior converge
a un final primo estable. Eligiendo a un final de línea acotado por la izquierda por
un final primo fijo inestable, obtenemos (5).
Si existe un final primo fijo (que no contiene puntos fijos) para el cual H no
es idéntico a I, podemos poner I (1) = I(H) subcontínuo propio de I, y repetimos
el mismo razonamiento para I (1) en lugar de I. Va a ocurrir que o I (1) verifica
las hipótesis anteriores ó conseguimos un subcontinuo propio de I (1) , I (2) , tal que
I(I (2) ) = I (2) y C(I (2) ) es un único dominio.
Si repetimos el razonamiento o bien llegamos al resultado que buscábamos, o
bien obtenemos una sucesión I (1) ⊇ I (2) ⊇ . . . tal que I(I (n) ) = I (n) y C(I (n) ) es un
único dominio. Sea
I1 =
S∞
n=1 I
(n) .
Entonces, I1 es fijo y C(I1 ) es un único dominio. Si es un único punto, es por
lo tanto fijo y llegamos a una contradicción; luego I1 es un contínuo y podemos repetir el razonamiento anterior a partir de los finales primos de C(I1 ). De
esta forma, o llegamos al resultado buscado ó conseguimos una nueva sucesión
que define al contínuo I2 , del cual obtenemos I3 , I4 . . ., y de esta nueva sucesión
T
resulta I11 = ∞
m=1 Im . Los conjuntos que obtenemos son todos invariantes contínuos cuyos complementarios son respectivamente, un único dominio simplemente
conexo. Podemos repetir este proceso hasta obtener uno de los cuales cuyos finales primos fijos tengan para cada uno de ellos sus puntos principales idénticos
a la frontera. No podemos reducir ningún conjunto a un único punto, y cualquier
conjunto que no satisfaga (3) puede utilizarse para construir otro. Luego, llegamos
al resultado en culquiera de los casos.
Para terminar la demostración del Teorema del punto fijo hay que legar a una
contradicción con las propiedades del contínuo I 0 del Lema 3.23 cuando I e I 0 no
22
contienen puntos fijos. Lo vemos en el siguiente lema:
Lema 3.24. Si I 0 no contiene puntos fijos y I 0 , L(I 0 ), P1 (I 0 ) y P2 (I 0 ) satisfacen
las propiedades (1), (2), (3), (4), y (5) del Lema 3.23, entonces existe una curva
simple C∗ definida como x = x(t), −∞ < t < ∞, tal que x(t) converge a P1 y a P2
cuando t → −∞ y t → +∞ respectivamente, y I(C∗ ) = C∗ .
Demostración. Sea {Qm } una cadena de cross cuts y de dominios Dm convergentes a P1 . Como P1 no tiene puntos fijos entonces Qm ∩ I(Qm ) = 0 para m > M
por el Lema 3.11. Como P1 es inestable, entonces I−µ (Qm ) converge a P1 cuando
µ → ∞ para un m suficientemente grande.
Por lo tanto, I(Qm ) está fuera de Dm y I−1 (Qm ) está en el interior. Sea m
suficientemente grande y Dm (µ) un dominio de la cadena de P1 definido por
I−1 (Qm ). Entonces Dm (µ + 1) ⊂ Dm (µ) para todo µ y todo m > M.
Sean qm (µ +1) y qm (µ) los extremos de los cross cuts I−µ (Qm ) y I−µ−1 (Qm )
respectivamente, los cuales pertenecen al final de línea L(I 0 ) acotado por P1 y
P2 . Como In (P) converge a P2 cuando n → ∞ para todo P de L(I 0 ), todos los
puntos que pertenezcan, o estén suficientemente cerca ó sean finales primos de
qm (µ) a qm (µ + 1) convergen a P2 . Luego, existe un subdominio D(µ, m) de
Dm (µ) − Dm (µ + 1) el cual converge a P2 , y tiene un final de línea acotado por los
finales primos comrrespondientes a qm (µ) y qm (µ + 1) como parte de su frontera.
Podemos unir un punto x0 de I−µ−1 (Qm ) al punto x1 = I(x0 ) de I−µ (Qm )
por una curva contínua simple C que pertenece a D(µ, m) salvo por sus extremos
x0 y x1 . C divide a Dm (µ) − Dm (µ + 1) en dos subdominios, uno de los cuales
es D(µ, m), y además converge a P2 , como Cm = Im (C) converge a P2 . Además,
C1 = I(C) que pertenece a Dm (µ) − Dm (µ + 1) está fuera de Dm (µ) y no contiene
a ningún punto, salvo a x1 en común con C, y de forma general Cn−1 solamente se
corta en Cn en un único punto xn , para cualquier n entero. Por lo tanto
C∗ = C ∪ I(C) ∪ I2 (C) ∪ . . . ∪ I−1 (C) ∪ I−2 (C) ∪ . . .
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es una curva contínua simplemente conexa tal que I(C∗ ) = C∗ . En este caso, C
debe estar definida por x = x(t) con 0 ≤ t ≤ 1, donde x(0) = x0 y x(1) = x1 , y para
cualquier otro n entero, x = x(t) con n ≤ t ≤ n + 1 y x(n) = xn .
24
4
Ejemplos
Como ya hemos visto, gracias al Teorema de Carathéodory, sabemos que dado
un conjunto simplemente conexo cuya frontera tiene más de un punto existe un
homeomorfismo entre la compactificación por finales primos del conjunto con el
disco cerrado.Los puntos del conjunto van a ser los puntos del interior del disco,
y los finales primos se corresponden con los puntos de S1 .
Sea F(I) una curva que comienza en el punto (2, 0) y describe una espiral que
rodea al exterior del disco unidad ξ 2 + η 2 = 1. El conjunto I está formado por
dicha curva y el disco ξ 2 + η 2 ≤ 1. Vamos a considerar como transformación
que deja a I invariante (y por lo tanto deja a los puntos (2, 0) y (0, 0) fijos) a la
rotación del disco y de la espiral en la misma dirección, de forma que los puntos
de la espiral se van acercando cada vez más a la frontera del disco.
Fig. 9. Curva formada por disco y espiral que rotan en la misma dirección, acercándose más entre
ellos.
Para construir el homeomorfismo, basta con recorrer la frontera de nuestro conjunto y estudiar sus finales primos, a partir de las distintas cadenas de cross cuts:
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Paso 1. A partir del punto (2, 0) que es fijo, recorremos la parte exterior de la
curva por cadenas de cross cuts simples. A su vez, trasladamos este razonamiento
al disco, partiendo de un punto fijo que se corresponde con el (2, 0) y moviéndonos
por la circunferencia.
Fig. 9A. Cadenas de cross cuts en la parte superior de la curva.
Paso 2. La cadena de cross cuts representada en la Fig. 9B. define un final primo
formado por un único punto principal que se corresponde con la circunferencia.
Éste es un buen ejemplo de un final primo fijo que no contiene a ningún punto
fijo, pues los únicos puntos fijos del conjunto son (2, 0) y (0, 0).
Fig. 9B. Cadena de cross cuts que definen un único punto principal.
26
Paso 3. Para terminar, recorremos la parte interior de la curva con cadenas cross
cuts simples hasta llegar al punto (2, 0).
Fig. 9C. Cadenas de cross cuts en la parte interior de la curva.
En el siguiente ejemplo (Véase Fig. 10) las rectas ξ = cte son invariantes, y
las rectas η = 0, η = 41 , η = 43 y η = 1 son fijas, luego todo punto en ellas es fijo.
Consideramos la aplicación I que mueve a todos los puntos de ξ = cte que están
entre η = 14 y η = 34 , acercándolos a η = 34 . Así, el conjunto I formado por las
rectas ξ = 0, 0 ≤ η ≤ 1; η = 0, 0 ≤ ξ ≤ 1; η = 1, 0 ≤ ξ ≤ 1 y los segmentos
ξ = 2−2n+1 , 0 ≤ η ≤ 43 ; ξ = 2−2n , 14 ≤ η ≤ 1, n = 1, 2, . . . permanece invariante
bajo I.
Es un contínuo acotado, cuyo complementario está formado porun único dominio, que como ya vimos en la sección 1. Tiene un final primo cuya impresión
es el conjunto ξ = 0, 0 ≤ η ≤ 1 con puntos principales η = 0, 14 ≤ η ≤ 34 y puntos
secundarios η = 0, 0 ≤ η ≤ 14 y 34 ≤ η ≤ 1.
27
Fig. 10. Conjunto I. Las rectas punteadas indican los puntos fijos.
Paso 1. Partiendo del punto (1, 1), que es fijo, tomamos cadenas de cross cuts para
η = 1, 0 ≤ ξ ≤ 1, por la parte exterior de I. Los puntos de la forma ξ = 2−2n ,
η = 1 son fijos y se acercan al punto (0, 1).
Fig. 10A. Parte exterior de I formada por finales primos fijos, que a su vez son puntos fijos.
28
Paso 2. La cadena de cross cuts de la Fig. 10B. define el final primo formado por
un conjunto de puntos principales y un conjunto de puntos secundarios. Aunque
solo van a ser puntos fijos (0, 14 ) y (0, 34 ). Repetimos el argumento del Paso 1. para
la recta η = 0, 0 ≤ ξ ≤ 1, que tiene puntos fijos de la forma ξ = 2−2n+1 , η = 0,
hasta llegar al punto (1, 0)
Fig. 10B. Cadena de cross cuts que define a un final primo formado por un conjunto de puntos
principales y un conjunto de puntos secundarios.
Paso 3. Finalmente recorremos la frontera de I por la parte interior. Existen finales
primos (por ejemplo en los segmentos de la forma ξ = 2−2n+1 , 41 ≤ η < 34 ) que
no son estables y tienen puntos principales que no son puntos fijos. Recordamos
el Teorema 3.1 que dice que todo final primo fijo no estable contiene al menos un
punto fijo. Se acumulan los puntos fijos en las cercanías del (0, 0), y tomando el
final primo correspondiente al segmento ξ = 0, 0 ≤ η ≤ 1 volvemos al punto de
partida por la parte interior igual que antes.
29
Fig. 10C. Cadena de cross cuts que define a un final primo formado por un conjunto de puntos
principales y un conjunto de puntos secundarios.
Sea el conjunto construido a partir de los segmentos que parten del (0, 0) a
los puntos ( 21n cos( 2πn ), 21n sen( 2πn )), n = 1, 2, . . .. En esta ocasión, la aplicación I
mueve a todos los puntos, por su segmento correspondiente, acercándolos al punto
(0, 0) y manteniendo fijos los extremos de cada segmento.
Fig. 11. Conjunto construido por rectas que disminuyen a medida que se acercan a Oξ .
30
Si recorremos la frontera de I, a partir del punto (0, 0) y bordeando todos
los segmentos, podemos observar, a diferencia del anterior, que se va a repetir
infinidad de veces el final primo correspondiente al punto (0, 0). Además, los
extremos de los segmentos son puntos fijos que van a tender a su vez al origen
cuando se acercan al eje Oξ .
Fig. 11A. Cadenas de cross cuts en F(I).
En [3], Cartwright y Littlewood probaron que si I es un homeomorfismo del
plano que preserva la orientación y que deja invariante a un continuo I externamente estable, y que si I deja fijo a un final primo asociado a la componente no
acotada del complementario de I, entonces I tiene un punto fijo en I. De la misma
forma, Alligood y Yorke [1] probaron que un final primo fijo de un entorno acotado implica la existencia de un punto fijo en su frontera. En las demostraciones
de ambos, tiene un gran peso el hecho de que el contínuo (o el entorno acotado)
atrae (o repele) a puntos cercanos mediante la iteración del homeomorfismo. Esa
condición se elimina en el teorema de Barge y Gillette [2]: Sea F es un homeomorfismo del plano que preserva la orientación y que deja invariante a un contínuo
I. Si además I separa al plano en exactamente dos entornos y al menos uno de ellos
tiene un final primo fijo, entonces F tiene un punto fijo en I.
31
Sea I un contínuo formado a partir de dos discos cerrados disjuntos, junto con
un par de arcos que forman espirales en cada uno de los discos (Vease Fig. 12.).
Tomamos como aplicación I, al homeomorfismo que mantiene la orientación del
plano y gira los dos discos hacia una misma dirección, a partir del centro de cada
uno. Además, los arcos los mueve de forma que las espirales en uno de los discos
se van alejando de su circunferencia, mientras que en el otro disco se acercan a su
circunferencia correspondiente.Los arcos permanecen invariantes pero sin puntos
fijos.
Fig. 12. EL homeomorfismo I no contiene puntos fijos en F(Ui ).
Este contínuo I, separa al plano en dos dominios exactamente, uno interior Ui ,
que está delimitado por los dos arcos espirales, y otro exterior Ue , que es su complementario. I tiene finales primos fijos asociados a cada entorno. Observamos
que los centros de los discos son los puntos fijos de I bajo I, mientras que los
finales primos fijos se corresponden con las dos circunferencias. Por lo tanto se
verifica el teorema de Barge y Gillette.
Consideremos esta vez como contínuo a la frontera de Ui , Fr(Ui ), formada por
los arcos espirales y las circunferencias en sus extremos (la frontera de los discos
cerrados disjuntos). Se sigue verificando que hay finales primos fijos asociados
a la frontera de Ui , pero I no tiene puntos fijos en ella. Ahora I ya no separa al
plano en dos entornos, sino en cuatro, es por tanto una condición indispensable
que el contínuo separe al plano en exactamente dos dominios.
32
Sea el conjunto formado por la intersección de dos segmentos iguales y perpendiculares que se cortan en el punto medio. La aplicación I va a consistir en un
giro de 90o en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Fig. 13. Contínuo simple formado por dos segmentos iguales y perpendiculares que se cortan en
el punto medio.
A diferencia del ejemplo anterior, en este caso F(I) va a tener un punto fijo,
el centro, y el resto de los puntos no van a ser fijos. Además, no va a tener ningún
final primo fijo, como se muestra en Fig. 13.
33
References
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34