Probabilidades condicionales - Departamento de Ingeniería Química

Instituto Tecnológico de Celaya
P
Departamento de Ingeniería química
robabilidades condicionales
Es muy confuso hablar de la probabilidad de un evento sin especificar como se define el
evento.
Eventos dependientes
Eventos independientes
P( A ∩ B ) = P( A ) . P( B / A )
Probabilidad condicional
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Regla especial de la multiplicación
Con frecuencia, la probabilidad de un evento
se ve influida por la ocurrencia (o no
presentación) de otro evento relacionado.
Resulta útil emplear el símbolo P (A B) para
representar la probabilidad condicional
del
evento A en relación con el espacio muestral.
En general, si P (A B) = P (A), se dice que el
evento A es independiente del evento B. A y B
son independientes siempre que uno sea
independiente del otro. En forma intuitiva,
podríamos afirmar que dos eventos son
independientes si la probabilidad de la
incidencia de uno u otro no se ve afectada de
ninguna manera por la incidencia o no
incidencia del otro. En este caso obtenemos la
regla especial de la multiplicación .
Esta regla
se utiliza a veces como definición de
independencia .
Si se tienen tres eventos A, B y C:
P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) • P( B / A ) • P( C / A ∩ B )
Eventos independientes
P( A ∩ B ∩ C ) = P( A) • P( B) • P(C )
Para cualquier caso:
P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A ´ ∩ B ´ ∩ C ´ )
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002
Instituto Tecnológico de Celaya
Departamento de Ingeniería química
Ejemplo
Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de
carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y
400 del tipo D
a. Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B,
¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos,
b. Si la flecha seleccionada es del tipo C, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga defectos del tipo II?
c. Si la flecha seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la
probabilidad de que sea del tipo A.
d. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?
e. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?
A continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección:
TIPO DE FLECHA
DEFECT
O
I
II
S-DEF
TOTAL
A
B
C
D
54
28
118
200
23
12
165
200
40
14
246
300
15
5
380
400
TOTA
L
132
59
909
1100
a) E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = {200 elementos o
flechas}
A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = {909 flechas o
elementos}
A∩E = {165 elementos del tipo B y que no tienen defectos}
p(A/E) = 165/200 = 0.825
b) E = evento de que la flecha sea del tipo C ={300 flechas}
A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II ={59 flechas}
A∩E = {14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II }
p(A/E) = 14/300 = 0.04667
c) E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = {132 flechas}
A = evento de que la flecha sea del tipo A = {200 flechas}
A∩E = {54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A}
p(A/E) = 54 / 132 = 0.40901
d) En este caso se trata de una probabilidad simple, ya que no hay un evento
que esté condicionando al evento del cual se desea determinar su
probabilidad
D = evento de que una flecha no tenga defectos = {909 flechas}
Espacio muestral = {1100 flechas}
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002
Instituto Tecnológico de Celaya
Departamento de Ingeniería química
p(D) = 909/1100 = 0.82636
e) F = evento de que una flecha tenga defectos = {132 + 59 = 191 flechas}
Espacio muestral= {1100 flechas}
p(F) = 191 / 1100 = 0.17364
Ejemplo
Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres
hijos.
a). Determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones.
b) ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón.
c)¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón.
d) Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de
que el segundo hijo sea varón?
e) Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad
de que tenga puras hijas?
Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio
muestral, para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde
representemos uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde
solo consideraremos partos de un solo bebé, no múltiples y se considera que
existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña.
H = niño y M = niña
Espacio muestral = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}
a) A = evento de que la familia tenga puros hijos varones = {HHH}
p(A) = 1/8 = 0.125
b) B=evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón={MMM,
HMM, MHM, MMH}
p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5
c) C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varón = {HHH, HHM,
MHH, MHM }
P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5
d) Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional,
se requiere definir dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el
evento A;
E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija = {tenga una o más
hijas}
E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}
A = evento de que el segundo hijo sea varón = { HHH, HHM, MHH, MHM }
A∩E = { HHM, MHH, MHM }, luego: p(A/E) = 3/7 = 0.42857
e) E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón
A = evento de que la familia tenga puras hijas
E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}
A = {MMM}
A∩E = {MMM} = {1 elemento}
P(A/E) = 1/4 = 0.25
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002
Instituto Tecnológico de Celaya
P
Departamento de Ingeniería química
rocesos estocásticos
Un proceso estocástico es aquel en el que se representan todos y cada uno de los pasos
necesarios para realizar una actividad, además de las formas o maneras en que cada uno
de los pasos puede ser llevado a efecto y sus respectivas probabilidades, dicho de otra
manera, cualquier proceso en el que se involucren probabilidades es un proceso
estocástico.
Ejemplo
En un lote de autos usados, el 25% son de la marca Ford, el 45% son
Chevrolet y el 30% son Chrysler, de los cuales, 2 de cada 8 autos Ford son
estándar, 1 de cada 10 autos Chevrolet son estándar y 2 de cada 10 autos
Chrysler son también estándar, un cliente compra un auto de este lote.
a. ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado por el cliente sea
estándar?
b. ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado un auto Chevrolet
estándar?
c. ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado sea Ford o
Chrysler automático?
a. Haciendo uso de un diagrama de árbol como se muestra, se facilita hacer el
cálculo de probabilidades.
P(seleccionar un auto estándar) =
p(seleccionar un Chevrolet o Chrysler o
Ford estándar)
= p(Ch∩S) + p(Chr∩S) + p(F∩S) =
p(Ch)p(S/Ch) + p(Chr)p(S/Chr) +
p(F)p(S/F)
= 0.45*1/10 + 0.30*2/10 + 0.25*2/8 =
0.045 + 0.06 + 0.0625 = 0.1675
b) p(seleccionar un Chevrolet estándar) =
0.45*1/10 = 0.045
c) p(seleccionar un Ford o Chrysler
automático) = p(F∩A) + p(Chr∩A)
= p(F)p(A/F) + p(Chr)p(A/Chr) = 0.25*6/8 + 0.30*8/10 = 0.1875 + 0.24
=0.4275
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002