TEMA I.13 - Ondas Estacionarias Longitudinales

TEMA I.13
Ondas Estacionarias Longitudinales
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de Astronomı́a
Universidad de Guanajuato
DA-UG (México)
[email protected]
División de Ciencias Naturales y Exactas,
Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
TEMA I.13:
Ondas Estacionarias Longitudinales
J.P. Torres-Papaqui
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Ondas Estacionarias Longitudinales
El fenómeno de reflexión de onda, también se aplica a una onda en un
fluido dentro de un tubo de longitud finita.
Las ondas estacionarias en un fluido son ondas de sonido (Ej. voz humana
o instrumentos de viento).
Las ondas estacionarias en un fluido son desplazamientos del fluido o
variación de presión: modo de desplazamiento.
El tubo de Kundt es un aparato para demostrar ondas longitudes en un
gas y medir su velocidad (ver Figura I.13.01).
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Figura I.13.1: Tubo de Kundt para determinar la velocidad del sonido en un gas.
Los N y A son los nodos y antinodos de desplazamiento.
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En este tubo, el polvo se acumula entre nodos separados de
λ
2.
Como la frecuencia f es conocida, podemos determinar la velocidad de la
onda: ν = λ f .
Las partı́culas en ambos lados opuestos del nodo, vibran en oposición de
fase.
Como las partı́culas se acercan, la presión aumenta. En el nodo de
desplazamiento, el gas experimenta compresión y expansión máxima (ver
Figura I.13.2).
Las partı́culas en ambos lados opuestos a un antinodo de desplazamiento,
vibran en fase. La distancia es constante y no hay variación de presión.
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Figura I.13.2: Las partı́culas en los lados opuestos de un nodo de desplazamiento
vibran en oposición de fase, creando un antinodo de presión.
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Esto define un nodo de presión: donde la presión y densidad no varı́an.
El antinodo de desplazamiento es, por tanto, un nodo de presión.
Y el nodo de desplazamiento, es un antinodo de presión.
En el extremo de un tubo cerrado, el desplazamiento es cero, pero la
presión varı́a de manera máxima: nodo de desplazamiento = antinodo de
presión.
En el extremo de un tubo abierto, el desplazamiento es máximo, pero la
presión no varı́a: antinodo de desplazamiento = nodo de presión.
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Ejemplo: Altavoz direccional
La frecuencia del altavoz es: f = 200 Hz.
Dirigido a una pared, hay una distancia donde no se escucha nada. Esto se
pasa en un antinodo de desplazamiento (ver Figura I.13.3).
Como la pared debe ser un nodo de desplazamiento, la distancia entre
nodo y antinodo de desplazamiento adyacente es λ4 .
Usando ν = 344 m/s (a una temperatura de 20 o C ), deducimos la
longitud de la onda:
λ=
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344 m/s
ν
= 1.72 m
=
f
200 s −1
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Figura I.13.3: Si dirigimos una onda sonora a una pared, interfiere con la onda
reflejada creando una onda estacionaria.
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La posición del próximo antinodo de desplazamiento:
El segundo antinodo será a: d =
El tercero: d =
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3λ
4
+
λ
2
=
5λ
4
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λ
4
+
λ
2
=
3λ
4
λ
4
=
1.72 m
4
= 0.43 m.
= 1.29 m
= 2.15 m
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
En un órgano, un soplador, alimenta en aire a una presión de 103 Pa
(10−2 atm) al extremo inferior de los tubos (ver Figura I.13.4).
El corriente de aire entra por la abertura estrecha (boca) del tubo.
La columna de aire vibra en el tubo a la frecuencia fundamental +
armónicos.
Hay dos tipos de tubos:
1. extremo abierto: nodos de presión
2. extremo tapado: antinodo de presión
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
Figura I.13.4: Cortes seccionales de un tubo de órgano en dos instantes separados
medio periodo.
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
Tubo tapado
Tubo abierto
f1
λn
con n
fn
=
ν
2L
(I.13.1)
f1
=
2L
(I.13.2)
n
= 1, 2, 3, ...
λn
=
con n
=
=
nν
2L
= n f1
=
fn
(I.13.3)
ν
4L
(I.13.4)
4L
(I.13.5)
n
1, 3, 5, ...
nν
4L
= n f1
=
(I.13.6)
Ver Figura I.13.5
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
Figura I.13.5: En el panel izquierdo corte seccionales de un tubo abierto que
muestra los tres primeros modos normales. En el panel derecho corte seccionales
de un tubo tapado que muestra los tres primeros modos normales.
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
Ejemplo: Órgano
Un dı́a cuando νsonido = 345 m/s, la frecuencia fundamental de un órgano
con tubo tapado da: f1 = 220 Hz.
La longitud del tubo es, por tanto:
L=
345 m/s
ν
=
= 0.392 m
4 f1
4 · (220 Hz)
La frecuencia del primero sobretono es f3 = 3f1 = 660 Hz y del segundo f5
= 5f1 = 1100 Hz.
Para un tubo abierto, si λ es igual, por tanto, f es también igual y una
frecuencia de 1100 Hz es la frecuencia del tercero armónico:
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
Pero como f3 = 3f1 =
3ν
2L
= 1100 Hz ⇒ Labierto =
3·(345 m/s)
2·(1100 Hz)
= 0.470 m
En un órgano siempre están presentes varios modos.
Al igual que una cuerda vibrante, las ondas estacionarias son complejas en
el tubo.
Están ondas producen ondas viajeras con mismo contenido armónico.
Los tubos estrechos producen ondas ricas en armónicas superiores.
Los tubos gruesos producen ondas principalmente del modo fundamental.
El contenido armónico depende de la forma de la boca.
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
Para un instrumento de viento, el principio es el mismo.
En una flauta, al taparse y destaparse los agujeros con los dedos, se
cambia la longitud L de la columna de aire y por tanto el tono.
La flauta es similar a un tubo abierto.
El clarinete es similar a un tubo tapado.
Las frecuencias de cualquier instrumento de viento siempre son
proporcionales a la velocidad del sonido νsonido .
Como νsonido depende de la temperatura, los tonos de estos instrumentos
varı́an con la temperatura.
En general, como νsonido ∝ Taire , el tono de un instrumento de viento
aumentará con la temperatura.
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
Ejercicio: Calcular la frecuencia fundamental de un tubo de órgano de 10
m de longitud que está (a) abierto por sus extremos y (b) cerrado por un
extremo.
Ejercicio: A 16o C la frecuencia fundamental de un tubo de órgano es
440.0 Hz. ¿Cuál será la frecuencia fundamental de tubo si la temperatura
aumenta a 32 o C? ¿Serı́a preferible construir el tubo con un material que
se dilatara sustancialmente cuando aumente la temperatura o con un
material que mantuviera su longitud a todas las temperaturas normales?
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