Tarea 2. Mecánica Cuántica II. A entregar: Miércoles 4 de

Tarea 2. Mecánica Cuántica II.
A entregar: Miércoles 4 de septiembre de 2013.
Matriz de Densidad
1.Estados puros
Considera un estado puro ρ = |φihφ| en un espacio de Hilbert.
• a)Demuestra que ρ permanece puro bajo transformaciones unitarias. En
particular, se mantiene puro bajo el operador de evolución temporal.
• Supón ahora por simplicidad que el espacio de Hilbert tiene dimensión N .
b) Demuestra que para un operador de densidad, es necesario y suficiente
que T r(ρ2 ) = 1 para que ρ describa un estado puro.
• c) Considera |1i, |2i, |3i, ...|M i, una serie de vectores de norma 1 no neP
cesariamente ortonormales. Dado el operador de densidad ρ = M
i=1 |iihi|,
muestra que es necesario y suficiente que todos los vectores sean iguales
hasta una fase para que ρ describa un estado puro.
2.Sistemas de dos niveles
• a)Muestra que en el caso N = 2, la matriz de densidad más general (no
necesariamente estado puro) tiene la forma
a
b exp(ic)
b exp(−ic)
1−a
e indica los requisitos que tienen que satisfacer los coeficientes de dicha
matriz. ¿Bajo qué condiciones el estado descrito es un estado puro?
• b)Del inciso anterior muestra que tambien es posible escribir a la matriz
de densidad
1
ρ = (I + P~ · σ),
2
donde P~ = hσi. Establece bajo que condiciones el estado es puro.
• c) El Hamiltoniano para una partı́cula de masa m, carga q y espı́n 1 mo~ está dado por
viéndose en un campo magnético B
Ĥ = −µ̂ · σ,
donde µ̂ = g Ŝ con g la razón giromagnética. Muestra que el vector de
polarización satisface la ecuación de movimiento
dP~
e ~
=− B
× P~ .
dt
mc
~ es uniforme es posible resolver dicha ecuación.
Muestra que cuando B
• d) Considera un haz de electrones polarizados 50 % en la dirección del eje X,
30 % en la dirección del eje Y y el resto no sin polarizar. Determina la matriz
de densidad del sistema y escribela como en el inciso b) identificando P~ .
~ = B ẑ,
Si se coloca al sistema en un campo magnético externo uniforme B
determina ρ(t).
• e)Muestra que si dos estados puros son ortogonales, sus vectores de polarización son de la misma magnitud y antiparalelos.
• f) Considera un sistema descrito por la matriz de densidad
1/2 1/2
ρ=
1/2 1/2
¿Corresponde esta matriz a un estado puro o mixto? . Dada la observable
6 −2
M=
.
−2 9
¿Qué valores se obtienen al realizar una medición de M y con qué probabilidades?.
• g) Muestra que no existe ninguna transformación unitaria que transforme
la matriz
a
0
ρ=
0 1−a
en una matriz de la forma
ρ=
1 0
0 0
correspondiente a un estado puro. 0 < a < 1.
3. Sistemas Compuestos.
• a) Sea un sistema de dos partı́culas indistinguibles de espı́n 1/2. Considera
que el sistema se encuentra descrito por un estado puro, cuyo vector de
estado es
1
|φi = √ (|+i1 |−i2 + |−i1 |+i2 ) .
2
Construye la matriz de densidad de dicho sistema y muestra que satisface
las propiedades de un estado puro. Muestra que el estado de la partı́cula
1 es un estado mixto (realiza la traza parcial). Haz lo mismo si el estado
inicial es |φi = |+i1 |−i2 y compara con el primer caso.
• b) Considera ahora que el sistema en la base acoplada esta descrito por la
matriz de densidad


0 0
0
0
 0 1/3 0
0 


 0 0 1/3 0 
0 0
0 1/3
¿Corresponde a un estado puro o una mezcla?. Si se hace una medición de
S 2 , ¿qué valores se pueden medir?. Ahora se mide Sˆz , ¿cuál es la probabilidad de que se mida Sz = ~, 0 ó -~(No te debe tomar más de una lı́nea
responder estas tres preguntas). Si medimos Sx , ¿siguen siendo inmediato
las probabilidades de medir cualquiera de los valores propios?
Punto extra. Supón que las partı́culas son distinguibles y que se mide el
espı́n de la partı́cula 1 y se encuentra que la partı́cula 1 estaba en el estado
|+iz . ¿Cuál es el estado final del sistema después de hacer la medición?.
Discute ahora que valores se pueden medir al observar S 2 , Sz con probabilidad distinta de cero. ¿Cómo se modifica el Postulado No.5 de la Mecánica
Cuántica (Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë) cuando el estado del sistema es
una operador de densidad? (Sugerencia: Ver Quantum Mechanics, Albert
Messiah, Vol I, pag 333. 1ra Edición)