Razón Una razón es el cociente entre dos cantidades. En una razón

GUIA Nº 1 DE MATEMÁTICA
TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES
Curso: 7ºE. Básica
Razón
Una razón es el cociente entre dos cantidades. En una razón, el numerador se
llama antecedente y el denominador se llama consecuente.
Por ejemplo:
La razón entre a y b se anota:
o
1. En cada caso, escriba la razón y determine su valor.
a) Antecedente 1 y consecuente 2 b) Antecedente 5 y consecuente 15
c) Antecedente 9 y consecuente 5 d) Antecedente 108 y consecuente 4
2. En una razón el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determine el antecedente
3. En una razón el antecedente es 2 y su valor es 0,4. Determine el consecuente.
4. En un curso de 36 alumnos, 9 fueron reprobados. ¿Cuál es la razón entre la
cantidad de aprobados y la cantidad de alumnos del curso?
5. En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es
de 80 metros cuadrados. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del
terreno total?
Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones.
6. Determine el valor de la incógnita en cada una de las siguientes proporciones.
a)
b)
c)
d)
7. En un curso, la razón entre la cantidad de hombres y de mujeres es 3:2. Si la
cantidad de hombres es 18, ¿cuál es el total de alumnos del curso?
8. Dos amigos deben repartirse $ 270.000 en la razón 7:2. ¿Cuánto dinero recibe
cada uno?
Proporción Directa
a es directamente proporcional a b si al aumentar (disminuir) a, b aumenta
(disminuye) en la misma proporción.
9. Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo
género?
10. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52
segundos, si mantiene su rapidez constante?
11. Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos
metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?
12. Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará
ganar $ 27.000?
Proporción Inversa
a es inversamente proporcional a b si al aumentar (disminuir) a, b disminuye
(aumenta) en la misma proporción.
13. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas
demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?
14. La rapidez de un automóvil es de 70 km/hrs y demora 5 horas en recorrer una
cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro
automóvil con una rapidez de 80 km/hrs?
15. 18 operarios se demoran 12 días en realizar un determinado servicio.
¿Cuántos días se demoran 24 trabajadores en realizar el mismo servicio?
16. El año pasado se limpió un canal en 28 días con 60 hombres. Este año se
quiere efectuar el mismo trabajo en sólo 14 días. ¿Cuántos hombres hay que
contratar?
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
17. Completar las siguientes tablas para que su distribución sea una
proporcionalidad directa o inversa según corresponda.
a) P. Directa
Tiempo
( días)
40
b) P. Inversa
Porcentaje
5
6
96
Velocida
d
72
6
12
36
15
4
Tiempo
8
40
18. Una llave que arroja 26 litros por minuto de cierto líquido, demora 1,5 hrs. en
llenar un estanque ¿Cuánto demora en llenarse el mismo estanque, si otra llave
arroja 45 litros por minuto?
19. En un estanque de cultivo de lenguado se necesita tener una densidad de
3 peces por litro. Si el estanque tiene una capacidad de 500 litros. Calcular
cuántos lenguados se deben cultivar.
20. 6 obreros hacen una zanja de 20 metros de longitud. ¿Cuántos metros hacen,
en el mismo tiempo, 42 obreros en las mismas condiciones?
21. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros. ¿Cuál es la capacidad de
los 3/8 del mismo estanque?
22. 5 metros de una plancha de zinc de 2 metros de ancho vale $ 6.000, ¿Cuánto
valen 4 metros de la misma plancha de zinc, pero de 3 metros de ancho?
23. Juan gana un sueldo base de $ 164.000. La empresa en la que trabaja estimula
a sus trabajadores multiplicando el sueldo base por una constante. Juan recibió $
213.200. ¿Cuál es la constante de estímulo?, ¿Cuánto debe recibir Pedro cuyo
sueldo base es de $ 175.000?
24. Un obrero hace un trabajo en 28 días con jornada normal de trabajo (8 hrs.).
¿Cuántas horas diarias deberá trabajar, si debe hacer el mismo trabajo en 16 días?
25. 4 hombres deben hacer una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer
la obra 6 hombres?
26. Para reunir un capital 6 socios, aportan $ 200.000 cada uno. ¿Cuánto deben
aportar 15 socios para reunir el mismo capital?
27. Durante un año determinado. Las exportaciones de harina de pescado de dos
pesqueras es en total 320.000 toneladas, las cuales están en la razón de 13: 7
¿Cuántas toneladas exporta cada una de ellas respectivamente?
28. En un sector de una pesquera se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00
hrs. El proceso para maximizar la producción es el siguiente:
del
tiempo que
se
ocupa
para
la
reparación
de motores,
se
utiliza
para
construir
accesorios.
de la
jornada,
para
reparación
de
otros
instrumentos
.
del
tiempo
destinado a
reparación
de
otros
instrumento
s, se utiliza
para afinar
detalles.
del
tiempo
utilizado para los
accesorios
se
destina
para
almorzar. El resto de
la jornada se destina
para
actividades
recreativas.
¿Cuántas horas se
destinan a cada
actividad
respectivamente?
del
tiempo se
destina a
reparar
motores.
29. Diez operarios confeccionan 192 abrigos en 20 días de trabajo. ¿Cuántos días
deben trabajar 18 operarios para confeccionar la misma cantidad de abrigos?
a) 15 días b) 8 días c) 9 días d) 16 días
30. Un automovilista condujo 600 km con 40 litros de gasolina. ¿Cuántos litros
necesitaría para recorrer 1500 km?
a) 90 litros b) 100 litros c) 80 litros d) 60 litros
31. 4 trabajadores se demoran 30 días en arreglar una casa. Si la casa debe estar
lista en sólo 20 días, ¿cuántos trabajadores se necesitan?
a) 8 b) 7 c) 6 d) 9
SOLUCIONES
RAZONES Y PROPORCIONES
1. a)
b)
c)
d)
2. 3
3. 5
4.
5.
6. a) x = 5
c) y = 7,5
7. 30
9. $ 2.133
11. 560 metros
b) x = 35
d) y = 7
8. $ 210.000 y $ 60.000
10. 1.560 metros
12. 10 horas
13. 50 horas
14. 4,375 horas
15. 9 días
16. 120 hombres
17.
Tiempo
( días)
40
48
96
120
4
18. Tiempo: 0,87 hrs.
19. 1500 lenguados
20. 140 metros
21. 468,75 litros
22. $7.200
23. K = 1,3 , Pedro recibirá $227.500
24. 14 horas
25. 8 días
26. $ 80.000
27. 208.000 y 112.000
28.
4 - 3 - 2 - 1 - 1 - 1 horas
Respuestas de selección múltiple
Pregunta
Respuesta
29
c
30
b
31
c
Porcentaje
Velocidad
Tiempo
5
6
12
15
0.5
72
36
36
54
40
6
12
12
8
10.8
EJERCICIOS ADICIONALES DE RAZONES Y PROPORCIONES
1.- Calcula el valor de cada razón y determina si estas razones forman una
proporción, luego verifica si los productos cruzados son iguales:
9 8
3 0.3
4 8
2)
3) 


50
5
5 2
5 4
2.- Calcula el valor de x en las siguientes proporciones:
2
x
3x 4
5 5
x3 x5
1)
2)
4

 3)


67 9
5 9
2x 8
5
4
1)
5) 0,6: 3 = 4: x
5 9
6) 2,6: 7,8 = 3: x
7) 2,01 = 6
4,02 x
8) 3: 2 = 5: x
4 3 6
3.- Resuelve los siguientes problemas
1. Los médicos recomiendan que una persona debiera dormir 8 horas diarias.
¿En qué razón están el número de horas aconsejables de dormir y el número
de horas de un día?. Haz los mismos cálculos para una semana. ¿Qué
información nos da esta razón?
2. Un automóvil varía su rapidez de 20 Km./h a 60 Km./h. Expresa este cambio
por medio de una razón e interprétala.
3. La razón en que se encuentran los elementos que componen el agua H 2O
(hidrógeno y oxigeno) es 2:1 ¿Qué significa esta relación?
4. En un cine, la razón entre el número de damas y el de varones que asisten a
una función es 0,6. Según este indicador:
a) ¿Había más mujeres o más hombres en esa función?
b) Si había 30 mujeres, ¿cuántos varones asistieron a la función?
c) Si había 25 varones, ¿cuántas personas asistieron en total a la función?
5. Una prueba de matemática tiene 12 preguntas. Un alumno responde
correctamente 8 preguntas y omite 2. Escribe la razón entre:
a) el número de preguntas correctas y el número total de preguntas
b) el número de preguntas incorrectas y el número total de preguntas
c) el número de preguntas omitidas y el número total de preguntas
6.
Las edades de dos hermanos están en proporción directa, 7 es a 9 y las
edades de
ellos suman 64, entonces la edad de cada uno de los dos
hermanos es:
7.
Determina si cada afirmación corresponde a una variable directamente
proporcional,
inversamente proporcional o a ninguna de ellas. Justifica
cada una de ellas:
1.-La altura de una persona varía según su edad
2.-La velocidad con que un automóvil recorre 80 Km varía según el tiempo
elegido para recorrer dicha distancia.
3.-La velocidad de lectura de una persona varía según la edad de la persona.
4.-El tiempo usado en llenar un estanque varía según la cantidad de agua que
arroja una manguera
5.-Si en una función de teatro las entradas tienen un único valor, el dinero
recaudo en esa función varía según el número de asistente
8. Rodrigo y un grupo de familiares y amigos organizaron un viaje a la playa muy
singular: se trata de recorrer 100 km en cualquier vehículo. ¡Lo importante no
es cuánto demore sino que llegar!. El papá de Rodrigo se fue en automóvil
para preparar la llegada, pero otros lo hicieron en autos viejos, en motocicletas
antiguas y hasta en bicicletas.
La tabla muestra algunos de los tiempos empleados y sus respectivas
velocidades.
Al graficar estos datos se obtuvieron los puntos marcados.
VELOCIDAD
En km/h
10
80
60
50
40
25
20
TIEMPO
en h
1
11/4
1⅔
2
21/2
4
5
a) ¿Se puede trazar una línea recta por esos puntos?
b) Si la velocidad aumenta, ¿qué pasa con el tiempo empleado?
c) Traza una línea curva por los puntos dibujados. ¿esta línea te ayuda a
conocer aproximadamente cuanto tiempo empleara un vehículo que viaja a
70 Km./h?
d) ¿Podrías usar el grafico para saber aproximadamente a qué velocidad se
deberá viajar para demorar 3 horas?
e) Si en la tabla formas el cociente entre la velocidad y el tiempo, ¿obtienes
un valor constante? ¿y si formas el producto de los valores en cada línea?
9. El curso de Alejandro, que tiene 35 niños, está planificando una visita a la
casa de Pablo Neruda en isla Negra. Tendrán que arrendar un bus que cobra
$42.000. No hay seguridad de que ira el curso completo.
a) ¿Cuánto deberá pagar cada niño si el día del paseo asisten solamente 34,
33, 32 o 31 niños?
b) ¿Qué tipo de variación observas que se da en esta situación?
c) Si llamamos x e y a las variables de este problema, calcula el valor de la
constante
k = x *y
d) ¿Qué valor representa k en el contexto del problema?
10.
En una caballeriza hay suficientes fardos de pasto para que 4 caballos se
alimenten 20 días, consumiendo la misma ración cada día.
a) Si la cantidad de alimento y la ración diaria se mantiene constante, ¿qué
tipo de proporcionalidad se da entre la cantidad de caballos y el número de
días que podrán alimentarse?
b) Escribe una ecuación que represente este problema.
c) Calcula para cuantos días alcanzaran los fardo si hay 1, 2, 5, 8 o 10
caballos en el establo.
11.
a)
b)
c)
d)
12.
6.
7.
8.
8.
10.
Un estanque vacía se puede llenar vertiendo en él el contenido de 5
bidones de 10 litros de capacidad.
¿Cuántos bidones de 2,5 litros se deben verter para llenar el mismo
estanque vació?
Repite este cálculo para bidones de 5, 8, 20 y 25 litros.
Haz un grafico que represente esta situación
Utiliza el grafico anterior para determinar la capacidad que debe tener un
bidón para que con el contenido de dos de ellos se llene el estanque vació
Calcula, aplicando las propiedades de las proporciones:
Si a + b = 54 ^ a : 4 = b: 5, calcula a ^ b
Si x – y = 21 ^ x : y = 7 : 4, calcular x e y
Calcula x, y , z si: x + y + z = 50 ^ x: y: z = 3: 5: 2
Calcula el valor de x, y, z si:
x – y + z = 10 ^ x: y: z = ½: 3: 5/6
a/7 = b/3 = c/2.
Si a-b-c = 16, calcula a, b, c.
13.
Resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de las
proporciones:
1.-Las edades de un padre y su hijo están en la razón 10: 3. Si entre ambos
tienen 78 años, ¿cuántos años más tiene el padre que el hijo?
2.-Dos personas se reparten $1.200, de modo que sus partes están en la razón
8: 4. ¿Qué cantidad le toca a cada uno?
3.-Las aristas de dos cubos miden 3 y 5 cm respectivamente. ¿En que razón
están sus volúmenes?
4.-Los ángulos interiores de un triangulo están en razón 4:9:2. ¿Cuál es la
medida de cada uno?
5.-Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas de modo que sus partes
estén en la razón 1:2:3: 4. ¿Cuánto recibe cada una?
14.
Resuelve los siguientes problemas analizando si se trata de una proporción
directa, nversa o compuesta:
1.-En 12 días, cuatro personas hacen un trabajo. ¿Cuántos días se demoraran 6
personas en realizar el mismo trabajo?
2.-Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres se
necesitarían si se quiere pintar en 80 días?
km
3.-Una travesía en velero por la bahía demora 50 minutos, a 80 h . Si por
problemas de viento y marejadas no se puede desarrollar más que una
km
velocidad de 50 h , ¿Cuánto tiempo demoraría en recorrer la misma distancia?
km
4.-A una velocidad de 80 h , un auto demora 6 horas en recorrer cierta
km
distancia. Si la velocidad fuera de 100 h , ¿Cuánto tiempo demoraría en
recorrer la misma distancia?.
5.-12 obreros hacen 144 m de un camino. ¿Cuántos metros harán 42 obreros en
las mismas condiciones?
6.-Un jardinero planta un sitio de 50 m2 en 60horas. ¿Cuánto demoraran dos
jardineros en plantar un sitio de 60 m2, en iguales condiciones?
7.-Doce animales consumen 300 kg de alimentos en 30 días. ¿En cuantos días,
60 animales consumirán 600 kg de alimentos?
8.-6 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 40 m de un muro en 12 días.
¿Cuántos días necesitan 4 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 m
de la misma obra?
9.-8 llaves llenan un estanque de 6.000 litros en 4 horas. ¿En cuantas horas
llenan 6 llaves un estanque de 4.000 litros en iguales condiciones?
10.-Una modista cose 6 camisas en 8 horas. ¿Cuántas horas tardaran 4
modistas en coser 12 camisas?
11.-Si con 600kg de algodón pueden trabajar 12 telares durante 4 días, a razón
de 80 horas diarias, ¿Cuántos kilogramos necesitaran 18 telares para trabajar
10 días, a razón de 6 horas diarias?
12.-En un criador de aves, una tonelada de alimento dura 15 días, siendo la
ración de cada ave de 200 gramos. Si la ración fuera de 300 gramos, ¿Cuántos
días duraría el alimento?
13.-Una llave que entrega 15 litros por segundo tarda 24 horas en llenar un
estanque. ¿Cuánto tiempo tardara en llenarlo otra llave que entrega 25 litros por
seg?
14.-Tres maquinas iguales trabajando 6 horas cada día fabrican 1.800 piezas.
¿Cuántas piezas pueden fabricar 5 maquinas trabajando 10 horas cada día?