análisis de fluctuaciones financieras a partir de series de tiempo

ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR DE
SERIES DE TIEMPO
RESUMEN EJECUTIVO
No.17-2007
La administración de riesgos (AR) toma cada vez rutas más complicadas, por lo cual es importante considerar el grado de los riesgos que
se presentan en la economía financiera actual, dichos riesgos son producto de las fluctuaciones (o cambios) que sufren los agentes
económicos. La magnitud y frecuencia de las fluctuaciones han propiciado el nacimiento de la ingeniería financiera, cuya importancia
reside en la creación de modelos para protegerse de los riesgos
financieros a través de la cobertura con instrumentos derivados, ya
que éstos son un medio para administrar y distribuir el riesgo de una
manera más eficiente. De esta forma, a partir de la década de 1970, el
mercado de derivados ha crecido de manera exponencial por la necesidad de cobertura sobre los riesgos financieros.
COMITÉ TÉCNICO NACIONAL
DE ADMINISTRACIÓN INTEGRAL DE RIESGOS
Por los Doctores Oswaldo Morales Matamoros y
Alexander Balankin
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
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CONSEJO DIRECTIVO NACIONAL 2007
Presidente
C.P.C. Sergio Federico Ruiz Olloqui Vargas
Presidente del Consejo Técnico
Lic. Federico Casas Alatriste
Secretario CDN y Director General IMEF
IQ MBA Juan Carlos Erdozáin Rivera
COMITÉ TÉCNICO NACIONAL
DE ADMINISTRACIÓN INTEGRAL DE RIESGOS
PRESIDENTE
C.P. Alfonso Salvador Gómez Cardoso
CONTENIDO
INTRODUCCION
CAPITULO 1: MOVIMIENTO BROWNIANO
CAPITULO 2: GEOMETRIA FRACTAL
CAPITULO 3: FLUCTUACIONES EN EL MERCADO
PETROLERO
CONCLUSIONES
REFERENCIAS
INTEGRANTES
Act. Enrique Márquez
C.P. Alfonso Salvador Gómez Cardoso
C.P. Daniel Novoa Villaseñor
C.P. Enrique Daniel Ledesma González
C.P. Enrique Ochoa Báez
C.P. José Alberto Ramírez Rebolledo
C.P. Raúl Márquez Guerrero
C.P. Víctor Escalante Torres
Dr. Fausto Humberto Membrillo Hernández
Dr. Oswaldo Morales Matamoros
Ing. Pablo Pinedo Navarro
Lic. Andrea Ramírez Hernández
Lic. Antonio Olivo Farías
Lic. Federico José Buiter Viviers
Lic. Fernando Alcántara Hernández
Lic. Fernando Labharte Cabrera
Lic. Gerardo Pinto Urrutia
Lic. Itzel García Zamora
Lic. Javier Hernández López
Lic. Juan Carlos Sierra Boche
M. en I. E. y F. Anselmo Moctezuma Martir
Mat. Xavier González Gamio
MBA Claudia Viviana Guevara Vázquez
Sr. Eduardo Riveroll Nava
Sr. Pierre Francois Streit
L.C.P. Martha Arellano Fuentes
Coodinadora del Comité Técnico Nacional
de Administración Integral de Riesgos
INTRODUCCIÓN
La integración económica en la actualidad, como parte
de la globalización económica ha provocado una fuerte
competencia sobre los participantes que actúan en los
mercados de valores con el fin de contar con métodos
más eficientes en el marco operativo para prevenir
desastres financieros. La inserción de la economía mexicana en el orden contextual de la globalización mundial, obliga a que cada vez sea más imperativa la importancia de considerar los tipos de riesgos que trae consigo la apertura de nuestro mercado al exterior, en particular, en el ámbito financiero. Las necesidades de
cobertura impactan sobre el mercado mexicano, esto
es, desde la apertura del sistema financiero mexicano
hasta la inversión extranjera. Debido a lo anterior, las
organizaciones bursátiles y bancarias de México deben
estar preparadas y contar con una estructura sólida, eficiente y confiable, que permita una mejor integración
en los mercados financieros al contar con una adecuada administración de riesgos.
La administración de riesgos (AR) toma cada vez rutas
más complicadas, por lo cual es importante considerar el grado de los riesgos que se presentan en la economía financiera actual, dichos riesgos son producto
de las fluctuaciones (o cambios) que sufren los
agentes económicos. La magnitud y frecuencia de las
fluctuaciones han propiciado el nacimiento de la ingeniería financiera, cuya importancia reside en la
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creación de modelos para protegerse de los riesgos
financieros a través de la cobertura con instrumentos
derivados, ya que éstos son un medio para administrar y distribuir el riesgo de una manera más eficiente. De esta forma, a partir de la década de 1970,
el mercado de derivados ha crecido de manera exponencial por la necesidad de cobertura sobre los riesgos financieros [1].
Administrar riesgos significa tener algún nivel de certidumbre, que comience desde el análisis de las fluctuaciones de las principales variables financieras,
hasta su predicción (estadística): realización de un
análisis de sensibilidad que permita generar escenarios (probabilísticos) extremos con expectativas favorables a la conducta que los agentes económicos
esperan, en condiciones de confianza para invertir [1].
3
En el ámbito financiero las principales fuentes de riesgo comienzan con fluctuaciones (aparentemente
impredecibles) sobre precios, tipos de cambio y tasas
de interés. Dichas fluctuaciones han sido motivo de
constante preocupación para todos aquellos agentes
que ponen en riesgo sus ingresos y estabilidad
financiera. Aquí es importante hacer una pausa para
especificar cómo se miden las fluctuaciones en los
mercados financieros.
Pues bien, las fluctuaciones (o cambios) en los precios se
miden por los incrementos en los precios, los rendimientos logarítmicos de precios o el valor absoluto de estos
últimos. Si denota el precio de algún activo o mercancía
en un cierto día de negociación, el incremento en el precio está definido como
, y el cambio relativo en el precio, rendimiento porcentual,
como
.
Básicamente, la AR está determinada por tres eventos
importantes: la liberación económica, que, a su vez,
conlleva al incremento de las fluc-tuaciones de las
variables económicas, y el auge que se da en la industria de los derivados. Las fluctuaciones (cada vez más
frecuentes y de mayor magnitud) en los mercados
financieros han generado un entorno de mayor
incertidumbre y, por lo tanto, han aumentado los riesgos de que las inversiones obtengan los rendimientos
esperados en los plazos establecidos [1].
Además, sobre una base de composición continua,
el rendimiento del precio en un periodo dado
puede ser calculado como el logaritmo del precio final menos el logaritmo del precio inicial:
, donde
.
En cuanto al valor absoluto de los rendimientos logarítmicos, éste describe la amplitud de la fluctuación,
ya que es por definición siempre positivo y no existen
tendencias globales que sean visiblemente obvias.
La incertidumbre está vinculada con el riesgo,
aunque no son lo mismo. Por un lado, la incertidumbre se define como la falta de información que
propicia que el proceso de toma de decisiones
financieras se vea afectado por la presencia de riesgos internos y externos, consecuencia de un diagnóstico estratégico incompleto. Por otro lado, el riesgo es la probabilidad de que las organizaciones
puedan sufrir un daño o pérdida en el futuro debido
a eventos que son simple y sencillamente impredecibles, pero que afectan negativamente en el rendimiento de la inversión; es por ello que el riesgo está
inmerso en toda actividad económica [1].
Sin embargo, en AR la expresión más aceptada para
referirse a fluctuaciones financieras es la de volatilidad, cuya definición en los mercados financieros
es: la desviación estándar del precio, ya que ésta
representa una medida general de la magnitud de
las fluctuaciones del mercado. Con base a lo anterior, para calcular la volatilidad histórica, a diferentes horizontes de tiempo, se utiliza la ecuación:
, donde el
valor promedio de denota el tiempo promedio de
negociación y es el tiempo para realizar las transacciones (excluyendo fines de semana y días festivos
del mercado) [2].
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El análisis, modelado y predicción de la volatilidad en
los mercados financieros trata de responder a la pregunta: ¿qué tan inciertos son los rendimientos esperados de un activo? Para contestar esta pregunta, los
analistas financieros (ya sean contadores, economistas, actuarios, matemáticos o físicos) toman como
punto de partida las bases de datos concernientes a
los registros de los valores de las variables financieras
en cierto instante de tiempo (precios, tasas de
interés, tipos de cambio, etcétera). A dichas bases de
datos se les llama series de tiempo financieras; estas
series de tiempo pueden contener millones de datos
y estar disponibles en Internet.
En principio, se ha demostrado que las series de tiempo de precios, índices, tasas de interés y tipos de
cambio despliegan incertidumbres estocásticas, por
lo que los analistas financieros han optado por
analizar series de tiempo de las fluctuaciones de las
variables financieras antes mencionadas: rendimientos logarítmicos y desviación estándar. En la figura 1
se muestran las curvas de las series de tiempo de:
precios (spot y constantes a 1983) del petróleo crudo
West Texas Intermediate (WTI), rendimientos logarítmicos del WTI y volatilidad histórica del WTI para
cada dos días de negociación (
).
De esta manera, la asociación del riesgo con la volatilidad que existe sobre los rendimientos de activos
consiste en un proceso estocástico, en donde se
puede identificar su distribución de probabilidad y
desarrollar modelos relevantes en función de sus tendencias estadísticas (varianza, desviación estándar y
estimar los coeficientes de correlación), así como
efectuar análisis de sensibilidad sobre las variables
que determinen un cierto nivel de confianza al
momento de observar cambios en la economía.
Figura 1. Curvas de series de tiempo (1986-2003 y
): precios del crudo WTI, rendimientos logarítmicos del WTI y volatilidad
del WTI [3].
De hecho, como se verá más adelante, la primera formulación del modelo del Movimiento Browniano y un
proceso estocástico se dio en una investigación realizada en el área de la Economía. A continuación se
explica la manera en que los economistas han analizado las fluctuaciones financieras a partir de series de
tiempo, apoyándose en el fenómeno del Movimiento
Browniano y en la Teoría de Probabilidad.
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CAPITULO 1: MOVIMIENTO BROWNIANO
En 1969 el Banco Central de Suecia crea el Premio Nobel en Economía. Existen varios laureados con
este premio que han soportado sus trabajos de investigación a partir del Movimiento Browniano
(mB) y su evolución conceptual. Por ejemplo, en 1970 Paul Anthony Samuelson obtiene el Premio
Nobel en Economía y en 1997 Robert Merton y Myron Scholes comparten este premio.
El mB ha permitido el modelado de fluctuaciones propias de diversas variables económicas y
financieras y ha representado una herramienta básica para incorporar elementos de riesgo e
incertidumbre en la dinámica de dichas variables, lo que ha propiciado que el mB, así como sus
aspectos teóricos y prácticos, ocupe el 99% en la teoría de valuación de portafolios y productos
derivados en tiempo continuo. Esto ha implicado que, a partir de la década de 1980, la mayoría
de los departamentos de matemáticas en el mundo cuenten con un programa de posgrado en
matemáticas financieras, poniendo mucho énfasis en la teoría de productos derivados [4].
En 1827 Robert Brown, mientras examinaba partículas de polen en el microscopio, observó que
cuando éstas se encontraban suspendidas en agua se movían sin cesar en forma errática. A dicho
fenómeno se le llamó mB (figura 2a) y se describe mediante la caminata aleatoria (figura 2b):
desplazamientos hacia adelante (azarosos) y retrocesos (también azarosos) de un caminante en
cierto periodo de tiempo [4].
a)
b)
Figura 2. a) Movimiento Browniano de partículas de polen de una hierba suspendidas en agua; b) caminata al azar:
Movimiento Browniano estándar.
En 1905 Albert Einstein escribió un artículo sobre la mecánica estadística en el que proporcionó
la explicación y formulación matemática del mB, demostrando que el movimiento irregular de las
partículas de polen se debía al golpeteo aleatorio de las moléculas invisibles de agua sobre las
partículas de polen. Sin embargo, Louis Bachelier se anticipó a Einstein con una formulación
matemática del mB, tan elegante como la de Einstein, abordando un problema completamente
diferente al del movimiento errático de partículas de polen suspendidas en agua.
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Louis Bachelier en 1900 presentó en la Sobornne de París su tesis doctoral: "Théorie de la
Spéculation", a través de la cual distingue a las finanzas como una ciencia sujeta al rigor
matemático. En esta tesis Bachelier estudió el comportamiento de los precios de activos
financieros y estableció un "modelo matemático" que describía los movimientos de dichos precios: el mB (figura 3a) [4].
a)
b)
Figura 3. a) Movimiento Browniano de una serie de tiempo de fluctuaciones financieras; b) Movimiento Browniano
Geométrico de una serie de tiempo de fluctuaciones financieras.
La primera parte de la tesis de Bachelier contiene una descripción de los productos derivados disponibles en el mercado francés en su
tiempo, tales como contratos Forward y
Opciones. Posteriormente desarrolla un modelo probabilístico del movimiento del precio de
un activo y establece el principio de valuación
de que la "esperanza condicional de la ganancia del especulador es cero". El término condicional se refiere a que la información actual es
tomada como dada. Implícitamente Bachelier
acepta en este principio que el mercado valúa
activos utilizando martingalas (procesos estocásticos cuyo valor futuro esperado depende
sólo del valor actual y no de anteriores al mismo); asimismo, establece que el precio evoluciona como un proceso de Markov homogéneo
en el tiempo (en donde la distribución de probabilidad de un estado futuro sólo depende de
la información actual y no de la anterior).
También muestra que la función de densidad
asociada a este proceso satisface la condición
(actualmente) conocida como ecuación de
Chapman-Kolmogorov y verifica que la densidad Gaussiana con varianza creciente linealmente en el tiempo es la solución de esta
ecuación. Bachelier muestra que la familia de
funciones de densidad asociadas al proceso
que conduce el precio satisface la ecuación de
calor. Finalmente, el modelo probabilístico que
describe el movimiento del precio de un activo
es aplicado para valuar varios tipos de
Opciones (francesas) cuyas primas se pagan al
vencimiento [4].
Como puede verse, Bachelier se adelantó a su
tiempo con la introducción de conceptos como: Movimiento Browniano, proceso Markoviano, esperanza condicional y martingala.
Dichos conceptos fueron redescubiertos y popularizados por prominentes matemáticos varios años después. Por ejemplo, los procesos
Markovianos aparecen en 1906, la noción formal de esperanza condicional es introducida
por Kolmogorov en 1933 y el concepto de martingala es elaborado por Lévy hasta 1937 [4].
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Entre las contribuciones de la tesis de Bachelier
a las matemáticas financieras también desatacan: el modelo de la dinámica de los precios de
las acciones de la bolsa de París a través del mB,
la primera representación gráfica del precio de
un contrato de Opción, la formulación de mercados eficientes, la primera fórmula de valuación de un contrato de Opción y la primera
definición cuantitativa de riesgo de mercado [4].
Paul Antonhy Samuelson, profesor en el
Massachussets Institute of Technology (MIT) de
1968 a 1970, a través de su trabajo sobre la
valuación de Warrants, da a conocer la investigación de Bachelier. Alrededor de 1960, Samuelson, en una visita a la Soborne, lee la tesis
de Bachelier lo que influye de manera fundamental en su trabajo posterior sobre Opciones
de precios, por el que recibe el Premio Nobel
de Economía en 1970.
Samuelson se percata de que una de las limitaciones más importantes del trabajo de Bachelier es que los precios de los activos pueden
tomar valores negativos, enmendando este
inconveniente hasta 1965 con la publicación
de su artículo "Rational Theory of Warrant
Prices". En dicho artículo Samuelson introduce
el concepto de Movimiento Económico Browniano, lo que en la actualidad se conoce como
Movimiento Geométrico Browniano. Cuando
Samuelson resuelve el problema de Bachelier,
eliminando la posibilidad de que un activo
tenga precios negativos, se crean nuevos inconvenientes con la aparición de parámetros
desconocidos. En el artículo de Samuelson, en
donde el precio del activo subyacente es conducido por el Movimiento Geométrico Browniano (figura 3b) y el precio de la Opción se
calcula como el valor presente de la esperanza
del pago al vencimiento, el valor de la Opción
depende de dos parámetros desconocidos. El
primer parámetro, , es el rendimiento medio
esperado del subyacente, el cual es un
7
parámetro de tendencia relacionado con las
preferencias al riesgo de los agentes. El segundo,
, es el rendimiento que pagan las
Opciones que se utiliza para traer a valor presente el pago esperado de la Opción al
vencimiento [4].
En 1973 Fischer Black y Myron Scholes publicaron su artículo "The Pricing of Options and
Corporate Liabilities", en el cual corrigen los
inconvenientes del artículo de Samuelson, ya
que no hay parámetros desconocidos,
y
, en el precio de la Opción y, más importante
aún, no surgieron limitaciones adicionales. En
el mismo artículo Black y Scholes proporcionan
una derivación alternativa de su fórmula de
valuación empleando el modelo CAPM (Capital
Asset Pricing Model) para describir la relación
(lineal) entre el riesgo y el rendimiento esperado de un activo bajo condiciones de equilibrio
de mercado [4].
Los supuestos básicos (o condiciones ideales
de los mercados de Opciones y Acciones) del
modelo de Black y Fischer son los siguientes:
• el activo subyacente es una Acción que no
paga dividendos durante la vida del contrato;
• el precio del activo subyacente es conducido por el Movimiento Geométrico Browniano, es decir, el precio es log-normal;
• la volatilidad del precio del activo subyacente
se mantiene constante a través del tiempo;
• las ventas en corto del subyacente en
cuestión son permitidas;
• el mercado del subyacente es líquido y
divisible, es decir, el subyacente siempre se
puede comprar y vender en cualquier fracción de unidad;
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• no hay costos de transacción (comisiones e
impuestos);
los distintos derivados financieros que se encuentran
disponibles en el mercado [4].
• el mercado opera en forma continúa;
Es también importante destacar el artículo de Robert
Merton, "Theory of Rational Option Pricing", publicado
en 1973, en donde se obtienen resultados similares a
los de Black y Scholes y varias extensiones, entre las
que destacan: tasas de interés estocásticas, pago
continuo de dividendos, un análisis de Opciones
Americanas, generalización de la fórmula de Samuelson para Opciones perpetuas y la valuación de Opciones con barreras. Merton, asistente de Samuelson en el
MIT, continúo su trabajo sobre valuación de Opciones,
manteniendo varios de los supuestos de Black y
Scholes. Pero en el modelo de Merton no se supone
una tasa de interés constante y libre de riesgo, sino un
bono cupón cero cuyos rendimientos son gobernados
por un proceso de Gauss-Wiener, lo cual genera una
estructura de plazos para la tasa de interés [4].
• existe un mercado de crédito y un sistema bancario en los que los agentes pueden prestar y pedir
prestado a una tasa de interés constante para
todos los plazos, y libre de riesgo (tasa de interés
pasiva igual a la activa); y
• los mercados están en equilibrio, es decir, no existen oportunidades de arbitraje libres de riesgo.
Bajo estos supuestos, el precio de la Opción dependerá sólo del precio de la Acción, del tiempo de vencimiento, ya que se diversifica (elimina) completamente el riesgo de mercado y el rendimiento del
portafolio es conocido. Asimismo, el valor de la
Opción es independiente del rendimiento esperado
de la Acción y un incremento en el periodo de maduración (o en la tasa de interés libre de riesgo, o en la
varianza) propiciará un incremento en el valor de la
Opción. Finalmente, con base a los supuestos anteriores, es posible crear una estrategia de cobertura
(dinámica) consistente en una posición larga en la
Acción y una posición corta en la Opción.
En su artículo, Black y Scholes obtienen una ecuación
diferencial parcial de segundo orden, parabólica y lineal, cuya solución es el precio de una Opción Europea cuando la condición final es el valor intrínseco de
la Opción. En la investigación de Black y Scholes, esta
ecuación diferencial parcial es transformada en la
ecuación de difusión de calor (con soluciones explicitas, que describen cómo se difunde, al transcurrir el
tiempo, el calor en una varilla de longitud infinita
después de que ha sido calentada en un tiempo inicial). Desde entonces, la ecuación diferencial parcial
de Black y Scholes ha sido muy popular, pues representa la base para valuar muchos y muy diversos productos derivados, ya que, para diferentes condiciones
de frontera, sus soluciones representan los precios de
Por sus excepcionales contribuciones a lo que hoy se
conoce como matemáticas financieras en tiempo
continuo, Robert Merton y Myron Scholes se hicieron
acreedores al Premio Nobel de Economía en 1997,
para entonces Fischer Black, quien fue adiestrado en
física y la fuerza conductora detrás del modelo de
Black-Scholes-Merton, tenía dos años de fallecido.
Con los enfoques financieros clásicos (del Movimiento Geométrico Browniano) se establece que los
mercados financieros son impredecibles, que hay un
comportamiento aleatorio de los precios que se ajusta a una distribución normal, y que se rigen por la
hipótesis del mercado eficiente [2,5]. Aunque el mB
(o caminata aleatoria) fue un triunfo de las finanzas
cuantitativas, llegando a ser la base del análisis moderno de los portafolios de inversión y la piedra
angular del modelo de Black y Scholes para la asignación del precio de una Opción, las colas pesadas de
las distribuciones de las fluctuaciones reales de los
precios pueden propiciar grandes desastres financieros no contemplados en la distribución Gaussiana
(basada en la caminata aleatoria), tal y como ocurrió
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en el desplome del Lunes Negro en 1987 y en la crisis
en agosto y septiembre en 1998, ocasionados por un
comportamiento no lineal y la sobreestimación del
principio Gaussiano para las fluctuaciones de precios
[6], a través de la diversificación de los portafolios de
inversión con el fin de eliminar el riesgo ocasionado
por la volatilidad. A continuación se comenta un
"caso práctico" de la aplicación del modelo de B-S [2].
CASO PRÁCTICO
Long Term Capital Management (LTCM) era una
empresa de fondos de inversión (hedge funds) fundada por Merriwether (ex-jefe del grupo de arbitraje
de "Salomón Brothers") bajo el principio del modelo
de B-S. Este fondo tenía como socios a Merton y
Scholes, quienes jugaron un papel estratégico en el
fondo para la operación. LTCM atrajo a los ejecutivos
de alto nivel del grupo de arbitraje de "Salomon
Bros." y a profesionales de banca de inversión muy
orientados hacia las matemáticas.
La estrategia inicial aplicada por LTCM era la convergencia, en la cual se considera a la distorsión de precios como una anomalía transitoria y que la convergencia de precios de los dos instrumentos se da tarde
o temprano. Esto le generó utilidades iníciales de 15
millones de dólares, dando pie a que los socios repitieran la estrategia en muchos otros mercados internacionales, produciendo rendimientos de alrededor
de 17% en 1997. Sin embargo, a finales de 1997,
cuando el fondo ya no pudo producir los resultados
logrados, disminuyó su base de capital apalancable y
el posible "colchón" de liquidez; por otro lado, se
redujo la relación de apalancamiento de 25:1 a 18:1.
La crisis de Rusia ocasionó que los diferenciales a
bonos gubernamentales de Estados Unidos, que
LTCM esperaba se corrigieran, se hicieran aún mayores provocando pérdidas masivas en el fondo.
Siempre estaban largos en activos, de mayor
rendimiento cierto, pero con una liquidez ciertamente menor. En momentos de alta volatilidad por
efecto de crisis, el estar en mercados menos líquidos
9
puede impedir realizarlos en corto plazo o, en todo
caso, a precios muy por debajo del precio justo.
Los administradores del fondo de inversión vendieron
volatilidad vía Swaps de tasas de interés, esperando
que los mercados se estabilizaran; lejos de ello, la
volatilidad siguió en aumento y la seguimos experimentando aún hoy día. En estas condiciones, el
fondo perdió prácticamente su base de capital en
agosto de 1998, en virtud de las grandes necesidades
de recursos para cubrir las pérdidas en sus derivados.
Con ello, tuvieron que recurrir a una liquidación masiva de activos, que no podía realizarse rápidamente
por su iliquidez relativa. Los socios tuvieron que abrir
los libros de inversión del fondo y ocurrieron demandas masivas, especialmente de "Goldman Sachs".
Finalmente, el Federal Reserve Board intervino y organizó un "salvamento privado", mediante el cual las
instituciones financieras involucradas aportaron
3,650 millones de dólares para el 90% del fondo y el
10% remanente fue a los inversionistas iníciales,
mientras que los socios quedaron sin liquidación en
virtud de que tuvieron que encarar otras deudas relacionadas con el fondo [2].
Los fondos de inversión, como LTCM, parten de una
estrategia de arbitraje para una inversión que consideran sin riesgo, al construir y aplicar portafolios de
inversión diversificados y tomar pociones cortas y
largas en distintos activos. El arbitraje (especulación
en mercados financieros) se sustenta en el supuesto
de que las fluctuaciones en los precios son independientes e idénticamente distribuidas por la normal,
omitiendo contemplar eventos con probabilidad de
ocurrencia del 0.1% o menos, llamados eventos
extremos. Los eventos extremos son los causantes
de las grandes crisis financieras como la de Rusia
(1998) y de México (1994); sobre todo, cuando la
volatilidad es de gran magnitud y muy frecuente. Al
no considerar la alta volatilidad que podía desatar
un evento extremo, LTCM entró en operaciones
direccionales que los llevó a asumir enormes riesgos de liquidez monetaria [2].
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
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El caso de LTCM muestra cómo los economistas y
financieros aplican un modelo (sustentado en el
Movimiento Geométrico Browniano) preconcebido
con algunos parámetros desconocidos, forzando el
ajuste del modelo a una serie de tiempo que no es
estacionaria, mediante la "mejor elección de los
parámetros" (con métodos robustos y rigurosos);
concluyendo que los datos son difíciles de ajustar en
escalas de tiempo muy amplias.
Existe otro enfoque para analizar el comportamiento
(fluctuaciones) de los sistemas económicos y
financieros: considerarlos como sistemas complejos,
cuya dinámica manifiesta una parte aleatoria, causada por la no-linealidad característica de los sistemas
dinámicos y/o por el ruido estocástico externo; como
ejemplos de sistemas dinámicos complejos se
T
10
encuentran los sistemas físicos, biológicos, de cómputo, sociales y económicos [3]. La forma de estudiar
el comportamiento histórico de muchos sistemas
complejos es a través del análisis de series de tiempo
que contienen registros de las fluctuaciones de
dichos sistemas; al graficar dichas series de tiempo,
se obtienen curvas rugosas.
Las "curvas rugosas" son aquellas que manifiestan la
evolución de los sistemas complejos en el tiempo y/o
espacio (figura 4). Dichas curvas no son suaves, al
contrario, presentan muchos quiebres que se aprecian mejor conforme se aumenta la escala de observación, como es el caso del perímetro de las costas, el
perfil de la montañas y el contorno de las nubes; por
lo mismo, estas curvas no son derivables en ningún
punto (es decir, no poseen tangente).
Océano Pacifico
Curva de
esfuerzo deformaci ón
Función del perfil de
temperatura
Precios del petr óleo
Usd/barril
Propagaci ón de
grieta en hoja de
papel
Figura 4. Sistemas complejos, de diversa naturaleza, que exhiben invariancia de escala, y cuyo comportamiento histórico se ajusta por
leyes de potencia y distribuciones de colas pesadas [3].
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
11
Por ende, es necesario emplear herramientas cuantitativas no-lineales que permitan establecer el
grado de rugosidad de las curvas rugosas, como la Teoría del Caos, la Lógica Difusa, los
Algoritmos Genéticos, las Redes Neuronales y la Geometría Fractal. En este trabajo se aplica la
Geometría Fractal para caracterizar series de tiempo del mercado petrolero.
CAPITULO 2: GEOMETRIA FRACTAL
A diferencia del enfoque del mB, con el Enfoque Fractal se busca hallar un modelo (empírico)
para predecir (de forma estadística) las fluctuaciones en los mercados financieros a partir del
análisis de series de tiempo porque no existe un solo modelo (estocástico o determínistico) que
ajuste con infinita precisión los datos recabado en los mercados reales [2]. A aplicar el Enfoque
Fractal, muchas de las propiedades estadísticas de los mercados financieros han revelando sorprendentes similitudes entre la dinámica de la volatilidad y el crecimiento de interfaces rugosas
en medios porosos (sistema complejo con alto grado de rugosidad). A continuación se presentan
brevemente conceptos de Fractales y de interfaces, ya que los autores aplicaron estos conceptos
al análisis de la volatilidad del mercado petrolero.
Los Fractales, término acuñado por Benoit Mandelbrot en la década de 1970, son geometrías (o
curvas) complejas e irregulares (rugosas) que permanecen invariantes a los cambios de escala y
cuya longitud infinita se encuentra contenida en un área finita; los fractales conservan la misma
estructura general a cualquier escala de tiempo-espacio. Como ejemplos de fractales están: la
longitud de la costa de Gran Bretaña, la estructura de los vasos sanguíneos, el agrupamiento de
galaxias, los electroencefalogramas y los electrocardiogramas, el contorno de las montanas y de
las nubles, el perfil de grietas que se propagan a través de un medio poroso y las fluctuaciones
de precios en diversos mercados financieros [5].
El propósito de la Geometría Fractal es el de cuantificar el grado de rugosidad de las señales complejas, así como determinar si dichas señales poseen propiedades: invariancia de escala y su comportamiento histórico se ajusta por leyes de potencia y distribuciones de colas pesadas [3].
Existes dos tipos de fractales: auto-similares y auto-afines. Los fractales auto-similares son
isotrópicos, es decir, permanecen invariantes cuando la escala se cambia uniformemente en todas
las direcciones, como es el caso del conjunto de Mandelbrot (figura 5) [5].
Figura 5. El conjunto de Mandelbrot.
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12
Los fractales auto-afines son conjuntos que permanecen invariantes bajo una escala (estadística
o literalmente) de transformación anisotrópica (figuras 6a-b). A pesar de sus diferencias, en una
escala de transformación las direcciones no son completamente independientes. Si al hacer una
ampliación, uno de los ejes de coordenadas se transforma en un factor
,
, el resto
de los ejes coordenados deben ser reescalados en un factor
,
, con el objeto
de preservar al conjunto invariante (figuras 6a-b). Los exponentes
son llamados exponentes
de rugosidad, o exponentes de Hurst (
), e indican cuál es el grado de anisotropía (o rugosidad) del conjunto [5].
Los fractales auto-afines estadísticos son los que prevalecen en la naturaleza (por ejemplo, el
crecimiento de interfaces rugosas en medios desordenados y el mB; figuras 7a-b) y en los sistemas inventados por el ser humano (por ejemplo, las fluctuaciones de precios en los mercados
financieros (figura 7c). Como puede apreciarse en las figuras 7a-c, el exponente de Hurst (o
rugosidad) es también un indicador para determinar si un fenómeno o una serie de tiempo presentan un comportamiento fractal y mide la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie
de tiempo. Se dice que el fenómeno (o curva) tiene comportamiento: (i) aleatorio si
(ruido blanco, mB, proceso no estacionario, distribución normal y simétrica), (ii) persistente si
(invariancia de escala asociada a correlaciones positivas a largo plazo, proceso estacionario, ley de potencias, distribución de colas pesadas), y (iii) antipersistente si
(invariancia en la escala asociada a correlaciones negativas a largo plazo, proceso estacionario,
ley de potencias, distribución asimétrica) [5].
a)
b)
Figura 6. a) Fractal auto-afín deterministico; b) Fractal auto-afín estadístico (Movimiento Browniano fraccional).
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
a)
b)
13
c)
Figura 7. a) Crecimiento de una interfase en un medio poroso; b) Movimiento Browniano para diferentes valores del exponente de Hurst
( ) o rugosidad ( ); c) fluctuaciones de precios en diferentes mercados financieros (multifractales).
El último concepto que se trata es el de multifractales. La mayoría de los fractales (llamados multifractales) en la naturaleza tienen diferentes dimensiones
fractales dependiendo de la escala, ya que están compuestos de varios fractales con diferentes dimensiones cada uno, es decir, mientras que la estructura
fractal queda caracterizada por un único exponente
de escala, la descripción completa de una estructura
multifractal puede requerir varios exponentes. Por
ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot es un multifractal en el que los conjuntos de Mandelbrot y Julia
están relacionados (figura 5).
Los multifractales son una clase generalizada de procesos auto-afines, si reproducen estas dos características empíricas: distribuciones de colas pesadas en las
fluctuaciones de precios y agrupamiento de la volatilidad. En la ecuación
, se considera que
y que este escalamiento sólo se
mantiene en
. Una forma más general de expresar esta ecuación es
, la cual enfatiza que lo escala son las fluctuaciones de precios, y
no los precios por sí mismos. Aquí
se reemplaza
por , pero depende del tiempo, por lo que es posible el escalamiento para variar de un punto a otro [6].
En economía y finanzas, Benoit Mandelbrot es conocido, desde principios de la década de 1960, como
uno de los pioneros en estudiar las fluctuaciones de
precios en los mercados financieros. Aún cuando el
modelo de Bachelier del mB llegó a ser ampliamente
aceptado en el ámbito académico, Mandelbrot fue el
primero en advertir de las limitaciones del modelo de
Bachelier para analizar y modelar las fluctuaciones en
los mercados financieros [7].
Una de estas limitaciones es que las series de tiempo
de precios no son estacionarias, en el sentido de que
el mecanismo que las genera no es el mismo durante
periodos sucesivos de tiempo; ya que se considera a
la varianza como finita y al precio como una función
continua del tiempo, es decir, no se reconoce la posible presencia de discontinuidades (eventos extremos). Sin embargo, Mandelbrot, en su artículo "The
Variation of Certain Speculative Prices" (1963) [8],
enfatizó la importancia, aún en una primera aproximación, de las fluctuaciones de grandes proporciones
(con diez desviaciones estándar o mayores) que pueden suscitarse debido a repentinas discontinuidades
en los precios, mediante el mecanismo de varianza
infinita y distribuciones estables de Levy [7].
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
14
Según Mandelbrot, estas discontinuidades en los precios no son factores ajenos a los mercados
financieros que se pueden omitir o estudiar por separado; por el contrario, la distribución de
dichas discontinuidades es mucho más importante que el ruido originado por los pequeños cambios del mB, ambos ajustados a una distribución de ley de potencias y representados por un escenario basado en distribuciones estables de Levy (figura 8) [7].
a)
b)
Figura 8. a) La línea continua negra representa la forma de la distribución de Levy; la línea punteada roja es la campana
de Gauss; y los puntos blancos son los rendimientos logarítmicos. b) Amplitud de la zona donde se encuentran las colas
de la distribución de Levy, ajustada por una ley de potencia (línea negra punteada), la distribución normal, ajustada por
una función exponencial (línea continua azul) y los rendimientos logarítmicos, ajustados por una distribución lognormal
(línea continua roja).
A partir de estos hallazgos de gran dependencia, Mandelbrot (en 1965) introdujo el modelo del
Movimiento Browniano fraccional (mBf, figura 6b), el cual consiste en un proceso auto-afín
estadístico que caracteriza pequeñas fluctuaciones de precios en la parte media de la campana y
grandes fluctuaciones de precios en la largas colas de la misma campana [7].
Aún cuando se ha observado que los exponentes de Hurst son índices imparciales, el modelo del
mBf no reproduce (de manera confiable) algunas características empíricas ("stylized facts") de las
series de tiempo financieras: distribuciones de colas pesadas en las fluctuaciones de precios y el
agrupamiento de la volatilidad. Por ello, el propio Mandelbrot aplicó su concepto de multifractales (desarrollado por él a inicios de la década de 1970), a fin de desarrollar el modelo del escenario multifractal para las fluctuaciones de los precios. En este modelo multifractal, dado a conocer en su libro "Fractals and Scaling in Finance" (1997), Mandelbrot combina colas de leyes de
potencia y dependencia a largo plazo ajustada por leyes de potencia con el tiempo intrínseco de
negociación (concepto clave que permite la aplicación de multifractales en los mercados
financieros). En el este modelo el precio es una función Browniana fraccional de un tiempo
(instante) de negociación, el cual es por sí mismo una función multifractal no decreciente del
tiempo cronológico (figura 9), ya que no se ajusta a una sola escala de tiempo (
) [8].
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
15
Figura 9. Conjunto de cartones multifractales generados al azar con el modelo multifractal.
CAPITULO 3: FLUCTUACIONES EN EL MERCADO PETROLERO
Actualmente, a pesar de la variedad de crudos que se ofrecen en el mercado, solamente existen
dos crudos "marcadores" que sirven de referencia para la fijación de los precios internacionales del
petróleo: el WTI y el Brent porque el mercado les ha asignado una función referencial de valor para
las negociaciones del resto de los tipos de crudo (incluyendo los de México). Asimismo, el WTI y el
Brent reúnen requisitos de calidad en grados API (grado de viscosidad) y en contenido de azufre.
Además, el volumen que se negocia diariamente para estos dos marcadores, en los mercados de
futuros, o a través de contratos adelantados, supera la producción mundial diaria de petróleo.
En este capítulo se dan a conocer las propiedades estadísticas de las series de tiempo concernientes a volatilidades históricas de precios (constantes a dólares de 1983) del crudo WTI, las
cuales comprenden el periodo: 02/ enero/1986-31/diciembre/2003 (4,550 datos). Ver figura 10a.
Para obtener 100 series de tiempo de volatilidades históricas de los precios,
, para diferentes horizontes de estudio:
(figuras 10b-d, se utilizó la siguiente ecuación:
, donde es el tiempo de negociación (días) y
denota el
promedio de una ventana de tamaño .
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
Precio, $/bll
Vn
a)
35
16
c)
3
n= 8
2
20
1
5
02/01/1986
0
06/11/1992
0
11/09/1999
1024
Fecha
Vn
2048
3072
4096
Dias habiles
Vn
b)
3
d)
n = 20
3
n= 3
2
2
1
1
0
0
0
1024
2048
3072
4096
0
1024
2048
3072
4096
Dias habiles
Dias habiles
Figura 10. a) Evolución histórica de los registros diarios de los precios (constantes a 1983) del WTI (1986-2003). b)-d)
Volatilidades históricas para horizontes de b)
, c)
y d)
.
En primer lugar, se realizó un análisis estadístico a las cien series de tiempo de la volatilidad
histórica, con el propósito de determinar qué distribución ajustaba mejor a dichas series de tiempo (figuras 11b-d). Para dicho análisis se empleó el software @Risk 4.5, desarrollado para analizar
situaciones sensibles al riesgo; este software ordena las distribuciones estadísticas, empezando
con las que mejor ajustan los datos, mediante tres criterios estadísticos: de la Chi-cuadrada, de
Anderson-Darling, y de Kolmogorov-Smirnov.
f
0.15
f
a)
b)
f
10
0.001
0.001
0.1
0
1
2
1
0.05
0
15
price
25
2
0.1
1
10
1
0
5
0.1
3
0.1
2
10
c)
0
0
0.5
1
1.5
V18
0
0.5
1
V3
Figura 11. Distribuciones de la probabilidad condicional de: a) precios del petróleo, ajustados por la distribución (de colas
ligeras) Logística; b) volatilidad histórica de precios para el horizonte ; ajustada por la distribución (de colas pesadas) Loglogística; c) volatilidad histórica de los precios para
; ajustada por la distribución (de colas Ligeras).
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
17
Asimismo, se realizó un análisis fractal para determinar el valor del exponente de Hurst (
)o
rugosidad (
), mediante cuatro métodos de trazado auto-afín: Rango Reescalado, RugosidadLongitud, Variograma y Ondoletas. Para ello se aplicó el software Benoit 1.3. En la figura 12 se
presentan las gráficas de estos métodos.
1
100
a)
c)
3
3
2
2
R/S
DS
10
1
1
0.1
1
1
1
10
100
intervalo de tiempo,
1000
10
100
intervalo de tiempo,
τ
H
b)
V
d)
1000
τ
H=0.83
0.75
2
H=0.5
0.5
0.01
4
0.25
0.0001
0
1
10
intervalo de tiempo,
100
τ
1
10
horizonte de tiempo, n
100
Figura 12. Gráficas fractales de las volatilidades históricas de los precios del petróleo, obtenidas por los métodos de: a)
rugosidad-longitud, b) variograma y c) rango reescalado; los números corresponden a los diferentes horizontes de tiempo: 1., 2., 3.y 4.días hábiles. d) Dependencia del exponente de Hurst con respecto
al horizonte (los valores de
fueron promediados a través de los cinco métodos de trazado auto-afín), en coordenadas
semi-logarítmicas (los círculos y cuadrados son los datos experimentales, mientras que la línea continua representa el
ajuste de los datos por medio de una ley de potencia).
Con base a la caracterización de la volatilidad históricas de los precios del WTI, se procedió a
generar 300 (curvas auto-afines) de los escenarios de los rendimientos logarítmicos de precios
(ver figura 13); para esto, también se empleó el software Benoit 1.3. Al obtener estas curvas, de
manera aleatoria, se procedió a calcular los precios (figuras 14 y 15).
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
18
Figura 13. Ventana del software Benoit 1.2, a partir de la cual se generaron las 300 trazas que se emplearon de punto de
partida para predecir los precios del petróleo (Enfoque Fractal).
Figura 14. Precios mensuales pronosticados, con el Enfoque Fractal, del petróleo crudo WTI (enero de 2004 a noviembre
de 2016) a dólares constantes de 2003.
Figura 15. Precios mensuales históricos y pronosticados del petróleo crudo WTI (a dólares constantes de 2003), con el
Enfoque Fractal.
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
19
Finalmente, en la tabla 1 y figura 16 se aprecia únicamente el escenario de precios promedio
proyectados (figura 14) bajo condiciones estables del mercado, el cual es el escenario más probable que ocurra.
Tabla 1. Proyecciones de cinco empresas internacionales (E(1)-E(5)), de PEMEX y del Enfoque Fractal (Tesis) para los precios anuales del petróleo crudo WTI (2004-2015), en dólares constantes de 2003.
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
E (1)
24.24
23.86
23.45
23.54
23.55
23.54
23.57
23.60
23.63
23.68
23.73
23.84
E (2)
24.08
24.25
23.23
23.51
23.77
23.98
25.28
25.76
26.23
26.70
27.18
27.65
E(3)
26.65
24.54
24.02
23.51
23.92
24.28
24.64
25.31
25.88
26.50
27.01
27.53
E(4)
26.50
25.91
26.05
26.19
26.32
26.46
26.58
26.73
26.85
26.99
27.11
27.24
E(5) Pemex Tesis
27.94 26.34 30.31
24.71 24.45 30.45
23.23 23.80 30.70
23.03 23.78 30.75
23.01 23.89 30.80
23.01 23.98 30.88
23.10 24.45 30.92
22.99 24.41 30.99
23.08 24.60 31.07
23.08 24.78 30.94
23.08 24.95 30.90
23.08 25.14 31.10
Figura 16. Proyecciones de precios del petróleo WTI generadas: por cinco consultoras estadounidenses (E(1)-E(5)), por
Pemex y con el Enfoque Fractal (Tesis).
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
20
CONCLUSIONES
En este trabajo se dan a conocer dos enfoques
diferentes para analizar, caracterizar y modelar las
fluctuaciones de las variables financieras que
reflejan el comportamiento de los mercados
financieros. Estos enfoques son: el del Movimiento Browniano y el Fractal; en ambos enfoques, es necesario contar con registros del
comportamiento histórico de las variables
financieras que se quieran estudiar, es decir,
series de tiempo financieras; entre más datos
se tengan, mejor será el análisis realizado.
rugosas y complejas), la cual persigue determinar si un sistema complejo y/o serie de tiempo
presentan invariancia de escala, leyes de potencia y distribuciones de colas pesadas. Bajo este
enfoque, Benoit Mandelbrot desarrolló los modelos del Movimiento Browniano fraccional y el
de multifractales; este último es aplicado mejor
al análisis y modelación de la volatilidad puesto
que considera diferentes escalas de tiempo y
permite establecer si una serie de tiempo llega
a ser estacionaria (correlaciones a largo plazo).
El Enfoque Browniano se basa en el fenómeno del
Movimiento Browniano. El Movimiento Browniano, propuesto por Louis Bachelier en 1900,
es el primer modelo estocástico que lidia con
las fluctuaciones de los precios; este modelo
plantea que los precios y rendimientos logarítmicos de precios son variables aleatorias independientes y distribuidas por la normal, por lo
que el comportamiento de las fluctuaciones se
considera un proceso estocástico que no es estacionario y para el cual
(
). El
modelo de Black y Scholes, la piedra angular de
la teoría financiera moderna y herramienta fundamental para realizar estrategias de cobertura contra los riesgos financieros que las
fluctuaciones originan, se basa en los supuestos del modelo de Bachelier. El modelo de Black
y Scholes establece que al diversificar el
portafolio de inversión, automáticamente se
elimina el riesgo, puesto que no considera la
presencia de discontinuidades (eventos extremos con 10 o más desviaciones estándar).
Prueba de que estos eventos deben ser considerados son la crisis económica de México
(1994, efecto Tequila) y la quiebra de la empresa de fondos de inversión Long Term Capital
Management (1997).
Con base al Enfoque Fractal se presentan los
resultados del análisis de la volatilidad de los
precios del crudo WTI; a partir de estos resultados se generaron 300 escenarios de rendimientos logarítmicos y se comparan con los pronósticos realizados por cinco compañías consultoras de PEMEX, cuyos modelos se basan en el
enfoque del Movimiento Browniano. Al comparar los resultados, se aprecia que los pronósticos de precios de las cinco consultoras van a
la baja, mientras que los obtenidos con el
Enfoque Fractal son ascendentes. Además, con
el Enfoque Fractal se contempló un escenario
máximo de 60 dólares por barril para 2006.
Por otra parte, se tiene el Enfoque Fractal,
basado en la Geometría Fractal (o de curvas
Dado lo anterior, se concluye que el Enfoque
Fractal puede ser una herramienta cuantitativa
más confiable para caracterizar el comportamiento de las fluctuaciones de los mercados
financieros, ya que los considera sistemas complejos que despliegan estructuras muy rugosas
a diferentes escalas de tiempo-espacio. Esto, a
su vez, permitiría generar pronósticos de precios, índices, tasas y tipos de cambio más precisos, los cuales ayudarían a los administradores de riesgos a desarrollar estrategias de
cobertura más confiables.
ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES
FINANCIERAS A PARTIR
DE SERIES DE TIEMPO
21
REFRENCIAS
[1] REYES Zarate, F.J. Consideraciones acerca de la Administración de Riesgos en México. DEPFE-UNAM, México, 2001.
[2] BOUCHAUD & M. Potters. Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management. Cambridge
University Press, Cambridge, 2000.
[3] MORALES O. Tesis Doctoral: Modelos Mecánicos de la Dinámica Fractal del Mercado Petrolero. Instituto Politécnico
Nacional, México, 2004.
[4] VENEGAS Martínez, F. “De Bachelier a Merton: 100 Años del Movimiento Browniano en Economía y Finanzas”.
Panorama Económico, Instituto Politécnico Nacional, México, 2002. Vol. I No. 1 pp. 9-64..
[5] SETHNA, J.P., Dahmen K.A., & Myers Ch. Crackling Noise. Nature 410, 2001, pp. 242-250.
[6] Multifractals in Finance: Toward Realistic Models of Price Series. Cooperneff Insight, quarter 1. 2002, pp. 8-10.
[7] Mandelbrot M B. Special Release on Mandelbrot's Contributions in Finance. Universidad de Chicago, Graduate School
of Business, 1966, pp 10-13.
[8] Fractals in Finance: Similar Structure on All Scales. Cooperneff Insight, Quarter 3, 2001. pp. 8-10.
ESTIMADO SOCIO
Cualquier comentario, observación
o sugerencia a este Boletín
favor de hacerlo llegar
directamente a los autores
Dr. Oswaldo Morales Matamoros
Profesor Investigador Titular
Instituto Politécnico Nacional
e-mail: [email protected]
Dr. Alexander Balankin
Profesor Investigador Titular
Instituto Politécnico Nacional
e-mail: [email protected]