Objetivos de la materia: Desarrollar formal y sistemáticamente

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO
AÑO ACADÉMICO: 2015
CARRERA: Ingeniería Mecánica, Ing. Electrica, Ing.
Civil, Ing. Automotriz
CÁTEDRA: Análisis Matemático I
JEFE DE CÁTEDRA: Ing. Laura Gelsi
PROGRAMA ANALÍTICO:
MODALIDAD: Presencial
CANTIDAD TOTAL / HORAS: 128
CANTIDAD HORAS / SEM: 4
Objetivos de la materia:
Desarrollar formal y sistemáticamente competencias y habilidades de cálculo diferencial e integral
necesarias como herramienta fundamental para la ingeniería y concurrentemente brindar una
estructura de pensamiento lógico formal contribuyente a la independencia intelectual necesaria a
toda profesión, a fin de:

enfrentar y resolver problemas.

conocer y manejar con soltura conceptual conjuntos numéricos.

reconocer y representar funciones.

interpretar correctamente los conceptos de límite y continuidad.

comprender y calcular incrementos y razones de incrementos y saber utilizarlos en el
estudio de funciones.

alcanzar un adecuado dominio del cálculo diferencial, como elemento integrador del nivel
alcanzado.

resolver y aplicar derivadas.

interpretar la derivada como una razón de cambio, utilizarla correctamente para la
optimización y aprender la información que brinda la derivada con respecto a la función
original.

seguir la evolución del concepto de integral definida y su cada vez más ajustada
apreciación.

relacionarla con el cálculo diferencial.

resolver y aplicar integrales.

alcanzar un adecuado dominio del cálculo integral, como elemento integrador del nivel
alcanzado.

aplicar la integración para el cálculo de áreas, volúmenes, longitudes, valor promedio de
una función y resolución de ecuaciones diferenciales.

operar correctamente con sucesiones y series numéricas.

aproximar funciones mediante serie de potencias.
F SAC 75-01-05-02 ED.: 02
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FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO
AÑO ACADÉMICO: 2015
CARRERA: Ingeniería Mecánica, Ing. Electrica, Ing.
Civil, Ing. Automotriz
CÁTEDRA: Análisis Matemático I
JEFE DE CÁTEDRA: Ing. Laura Gelsi
PROGRAMA ANALÍTICO:
MODALIDAD: Presencial
CANTIDAD TOTAL / HORAS: 128
CANTIDAD HORAS / SEM: 4
UNIDAD TEMÁTICA 1:
Conjuntos numéricos.
Contenidos:
Números naturales. N. Ordinales y cardinales. El infinito. Conjuntos numerables. El cero. Conjunto N 0 . Los
enteros Z. Operaciones en N, N 0 y Z. El conjunto de los números racionales Q. Numerabilidad de Q.
Operaciones en Q. Los números irracionales. Los números reales R. No numerabilidad de R. La recta real.
Completitud. Los números complejos C. Conjuntos numéricos en R. Intervalos, entornos, entornos reducidos.
UNIDAD TEMÁTICA 2:
Funciones.
Contenidos:
Funciones de R en R. Dominio e imagen. Representación gráfica de funciones. Funciones lineales,
parabólicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, racionales, etc. Composición de funciones.
Asíntotas verticales y oblicuas. Sistema de coordenadas polares. Gráficos en coordenadas polares.
Funciones definidas en forma implícita y paramétrica. Gráficos.
UNIDAD TEMÁTICA 3:
Límite y Continuidad.
Contenidos:
Evolución del concepto de límite. Arquímedes, Kepler, Newton, Leibniz, Cauchy. La aritmetización
del límite. El límite ε, δ. Propiedades. Cálculo de límites. Indeterminaciones: cero/cero;
infinito/infinito; 1;  - ; etc. Límite infinito y límite para x  . Teoremas relativos al cálculo de
límites. Infinitésimos. Definición. Orden de infinitésimos. Comparación de infinitésimos. Teoremas
relativos al cálculo con infinitésimos. Infinitos. Continuidad en un punto y en un intervalo.
Propiedades de las funciones continuas. Teoremas relativos a las funciones continuas.
Discontinuidades, tipos de discontinuidades.
UNIDAD TEMÁTICA 4:
Derivada.
Contenidos:
El problema de la tangente. Cociente incremental. Definición de derivada en un punto. Derivadas
laterales. Función derivada. Cálculo de derivadas de funciones elementales. Teoremas relativos al
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO
AÑO ACADÉMICO: 2015
CARRERA: Ingeniería Mecánica, Ing. Electrica, Ing.
Civil, Ing. Automotriz
CÁTEDRA: Análisis Matemático I
JEFE DE CÁTEDRA: Ing. Laura Gelsi
PROGRAMA ANALÍTICO:
MODALIDAD: Presencial
CANTIDAD TOTAL / HORAS: 128
CANTIDAD HORAS / SEM: 4
cálculo de derivadas. Derivada de función de función. Derivada de funciones inversas. Derivada de
funciones definidas en forma paramétrica, polar e implícitas. Derivadas sucesivas. Tablas.
UNIDAD TEMÁTICA 5:
Aplicaciones a la derivada.
Contenidos:
Recta tangente y recta normal. Estudio de funciones: función creciente, función decreciente, puntos
estacionarios. Máximos, mínimos. Concavidad, convexidad, puntos de inflexión. Teorema de Rolle.
Teorema del valor medio. Teorema de Cauchy. Regla de L'Hopital. Angulo entre curvas. Aplicaciones
a la física. Problemas de optimización. Velocidad y aceleración. Razones de cambio relacionadas.
UNIDAD TEMÁTICA 6:
Diferencial.
Contenidos:
La diferencial de una función. Relación con el incremento. Propiedad invariante de la diferencial.
Diferenciales de orden superior. Aplicación de las diferenciales al cálculo de errores. Aproximación.
UNIDAD TEMÁTICA 7:
Integral Definida.
Contenidos:
Áreas y volúmenes. Introducción histórica del concepto de integral. Partición. Norma de una
partición. Suma inferior y suma superior. Acotación de las sumas inferior y superior. La integral
definida según Riemann. Condiciones de integrabilidad. Propiedades de las integrales definidas.
Teorema del valor medio del cálculo integral. Función integral. Regla de Barrow. Integrales
impropias. Tipos. Integración numérica: fórmula del punto medio, de los trapecios y de Simpson.
UNIDAD TEMÁTICA 8:
Integrales Indefinidas.
Contenidos:
Integrales inmediatas. Integración por sustitución. Integración por partes. Integración por
descomposición en fracciones simples. Integración de expresiones donde aparecen radicales.
Integración de expresiones de la forma Pn (x)/Qm (x). Tablas de integrales.
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CARRERA: Ingeniería Mecánica, Ing. Electrica, Ing.
Civil, Ing. Automotriz
CÁTEDRA: Análisis Matemático I
JEFE DE CÁTEDRA: Ing. Laura Gelsi
PROGRAMA ANALÍTICO:
MODALIDAD: Presencial
CANTIDAD TOTAL / HORAS: 128
CANTIDAD HORAS / SEM: 4
UNIDAD TEMÁTICA 9:
Aplicaciones de las Integrales.
Contenidos:
Aplicaciones geométricas y físicas de la integral definida. Longitud de arco. Calculo de áreas,
longitudes y volúmenes. Resolución de ecuaciones diferenciales por el método de variables
separables.
UNIDAD TEMÁTICA 10:
Sujeciones y series numéricas.
Contenidos:
Sucesión como aplicación de N (N 0 ) en Z, Q, R y C. Término genérico. Límite de una sucesión.
Sucesiones convergentes y divergentes. Series de términos positivos. Sucesión de sumas parciales.
Serie convergente y divergente. Propiedad del término general de una serie convergente. Criterio
general de convergencia de Cauchy. Criterios de comparación: series mayorantes convergentes y
minorantes divergentes. Serie geométrica, armónica y armónica generalizada. Criterios de
convergencia: Cauchy o de la raiz; D'Alambert o del cociente; de Raabe y de la integral. Suma de una
serie. Aproximación. Series alternadas. Criterio de convergencia. Series de términos cualesquiera.
Series absolutamente convergentes.
UNIDAD TEMÁTICA 11:
Aproximación de funciones.
Contenidos:
Serie de potencias alrededor de un punto. Campo de convergencia. Coeficientes. Radio de
convergencia. Teorema de Cauchy Hadamard. Cálculo de los coeficientes para una función derivable.
Serie de Taylor. Polinomio de Taylor. Término complementario. Serie de Mc Laurin. Desarrollo en
serie de potencias de funciones elementales sen(x), cos(x), ln(1+x), ln(1-x), etc. Operaciones con
series de potencias. Cálculo aproximado de integrales mediante desarrollos en serie de potencias.
Derivación e integración de series de potencias.
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO
AÑO ACADÉMICO: 2015
CARRERA: Ingeniería Mecánica, Ing. Electrica, Ing.
Civil, Ing. Automotriz
CÁTEDRA: Análisis Matemático I
JEFE DE CÁTEDRA: Ing. Laura Gelsi
PROGRAMA ANALÍTICO:
MODALIDAD: Presencial
CANTIDAD TOTAL / HORAS: 128
CANTIDAD HORAS / SEM: 4
Bibliografía obligatoria para el alumno:
Texto elaborado por la cátedra de libre disponibilidad para los alumnos en forma electrónica en el
aula virtual asignada a Análisis Matemático I para ingeniería.
Bibliografía para el docente:
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Cálculo Multivariable. J. Stewart. International Thompson Editores. Mexico 1999.
Cálculo Diferencial e Integral N. Piskunov Montaner y Simon.
Introducción AL Cálculo y al Análisis Matemático. R Courant y F John Limusa
Cálculo Avanzado Watson Fulks Limusa
Cálculo Diferencial e Integral. Edwin Purcell y Dale Varberg Prentica Hall
Calculus Tom M. Apostol Reverte
Análisis Matemático Tom M. Apostol Reverte (teórico)
Elementos de Cálculo Diferencial e Integral Sadosky Guber Lib y Ed. Alsina
Bibliografía complementaria:
 Calculus Tom M. Apostol Reverte
 Análisis Matemático Tom M. Apostol Reverte (teórico)
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