Problemas de flujos viscosos y no viscosos (30-11

Problemas de flujos viscosos y no viscosos (30-11-2004)
Flujos viscosos
1. El flujo alrededor de una esfera se puede calcular a bajo número de Reynolds resolviendo
la siguiente ecuación
∇p = µ∇2 u.
con condiciones de contorno ur = uθ = 0 para r = a. La soulución es
3a
a3
ur = u0 cos θ 1 −
+ 3
2r 2r
!
3a
a3
uθ = −u0 sin θ 1 −
− 3
4r 4r
!
Calcúlese la presión sobre la superficie de la esfera y la fuerza de rozamiento.
2. Calcúlese el rozamiento viscoso por unidad de longitud en un tubo cilı́ndrico.
3. Calcúlese el rozamiento viscoso por de superficie en un flujo de Couette-Poiseuille plano.
4. Calcúlese la fuerza de rozamiento sobre un plano que se pone en movimiento de repente.
5. Un fluido fluye a lo largo de un plano inclinado un ángulo α. La superficie superior
está sometida a la presión atmosférica p0 , y su distancia al plano es uniforme. No hay
tensiones de cizalla en la superficie. Calcúlese la velocidad. (Hay que tener en cuenta la
gravedad. Se considera que la velocidad no varı́a a lo largo del plano.)
Flujos no viscosos
6. Un vórtice lineal se caracteriza por el siguiente campo de velocidades (en coordenadas
cilı́ndricas)
1
ur = 0,
uθ = .
r
Escrı́base el potencial de velocidades correspondiente en coordenadas cilı́ndricas.
7. Escrı́base el potencial de velocidades para dos vórtices lineales de igual magnitud colocados en x = −a y x = +a. Considérense vórtices de igual signo y de distinto signo.
Calcúlese la velocidad y la presión en el plano x = 0, en ambos casos. ¿ Dos vórtices
opuestos se atraerán o se repelerán?
8. Demuéstrese que el potencial
1
+q
(x − x0 )2 + y 2 + z 2
(x + x0 )2 + y 2 + z 2
φ= q
1
representa una fuente enfrentada a un plano. Hállense velocidad y presión máximas y
mı́nimas en el plano x = 0.
9. Hacer un esquema del flujo resultante del potencial
2
φ = 3r cos θ − .
r
¿ En qué punto se anula la velocidad?
10. Demuéstrese que la transformación ζ = ez convierte la tira 0 < y < 2π en un cı́rculo.
11. Demuéstrese que la transformación
ζ = sin z =
eiz − e−iz
2i
convierte la tira −π/2 < x < π/2 en el plano completo pero con cortes en y = 0,
1 < x < ∞, −∞ < x < −1.
12. Escrı́base el potencial complejo para 2 vórtices de igual magnitud situados en x = −a,
x = a. Escrı́base el potencial de velocidad Φ y la función de corriente Ψ. Calcular el
campo de velocidades.
13. El potencial
1
− 3i log z
z
representa el flujo alrededor de un cilindro con vorticidad. Calcúlese la velocidad y la
presión sobre la superficie del cilindro. Hállense los puntos de velocidad cero sobre el
cilindro.
W (z) = 5z +
14. Calcúlese la fuerza que un vórtice situado en x = a, y = 0 ejerce sobre una pared en
x = 0.
15. Calcúlese la fuerza que una fuente situada en x = a, y = 0 ejerce sobre una pared en
x = 0.