FASÍCULO: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

FASÍCULO:
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Teorema.
Sea
un espacio vectorial sobre
y sea
un producto interno en
; entonces,
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ejemplo: Sean el espacio vectorial
con el producto interno definido por
,
Si
son los ángulos entre los vectores
Obtener
*Solución.
.
y los vectores
y
y los vectores
y
respectivamente.
-
Condición de Ortogonalidad.
Con un producto interno complejo:
*No es ortogonal a pesar de que el producto interno dio 0. Esto sucedió debido a que sólo fue
tomada la parte real. Para que sea ortogonal debe dar 0 en la parte real e imaginaria.
Ejemplo:
Sea
un espacio con producto interno complejo y
tales que
y
.
Determinar
Elevando al cuadrado:
Norma de un vector.
Definición.
Sea
un espacio vectorial sobre
de
, y se representa con
Si
y sea
un producto interno en . Se llama norma
, al número real no negativo definido por
Propiedades (Teorema)
es un espacio vectorial con producto interno, entonces
y
:
i)
ii)
iii)
iv)
Distancia entre dos vectores.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno, y sean
, y se representa con
al número real definido por
. Se llama distancia de
a
-
Propiedades
(Teorema).
Si
es un espacio vectorial con producto interno, entonces
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ángulo entre vectores.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno real, y sean
. Se llama ángulo entre
y
dos vectores no nulos de
al número real , en el intervalo
, tal que
Ortogonalidad.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores
son ortogonales si
.
Teorema de Pitágoras (Teorema).
Sea
un espacio vectorial con producto interno y sean
. Si
son ortogonales
entonces:
Definición.
Sea
un espacio con producto interno y sea
de . Se dice que
Si además
es un conjunto ortogonal cuando
, el conjunto
es ortonormal.
un conjunto de vectores
Definición.
Sea un espacio con producto interno y sea
Entonces
, donde
En particular, si B es una base ortonormal
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Proyección vectorial
Proyección vectorial
Proyección vectorial
Proyección vectorial
una base ortogonal.
Base ortogonal
Proyección vectorial
-
Ejemplo. Sea el conjunto de vectores
. Determinar a partir de G:
a) Una base ortogonal
b) Una base ortonormal
Solución.
a) Base ortogonal
un generador de
b) Base ortonormal.
Sea
Proceso de ortogonalización de Gram (Teorema).
un espacio con producto interno y sea
conjunto
un generador de . El
donde
Es un generador ortogonal de
-
Ejemplo. Sea
el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual
a 2 con coeficientes reales.
una base de
definido por
a) A partir de B, determinar una base ortogonal de
Solución.
.
y el producto interno en
Sea
el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes
reales con producto interno definido por
Y sea
un subespacio de
que tiene como una de sus bases al conjunto
a) Determinar la proyección del vector
b) Expresar al vector
sobre
como una suma
complemento ortogonal del espacio
, donde
y
pertenece al
.
Teorema de Proyección.
Sea
un espacio con producto interno y sea
existe uno y sólo un vector
Dicho vector es la proyección de
a)
Base ortogonal.
tal que
sobre
.
un subespacio de
. Para cada vector
La base ya era ortogonal
Sea el producto interno en
definido por
Y sea
vector
. Determinar el vector
sea mínima.
cuya distancia al
Complemento ortogonal.
Para el producto interno usual en
de los subespacios siguientes de
complementos.
a)
Solución.
b)
Solución.
, obtenga el complemento ortogonal
de cada uno
y dar una interpretación geométrica de dichos
Sea
el espacio vectorial de las matrices de
un subespacio de
con elementos reales
y el producto interno en
por:
a) Determinar el complemento ortogonal de W
b) Expresar al vector
PRODUCTO INTERNO USUAL
 Espacios
 Espacios
como
, donde
y
definido
 Espacios
 Matrices M x n
t
 Ejemplo.- Verificar si el siguiente es un producto interno de
:
Solución:
1.-
Se cumple
2.-
Factorizando II:
Comparando I y II:
Se cumple
3.-
4.-
Se cumple
 Ejemplo.- Sea el espacio vectorial
Y los vectores
Si
son los ángulos entre los vectores
Obtener
:
con el producto interno definido por:
y y los vectores y
respectivamente.
 Ejemplo.- Sea V un espacio con producto interno complejo y
y
, determinar:
Solución:
tal que:
Entonces:
 Ejemplo.- Sea el conjunto
partir de G:
a) Una base ortogonal
b) Una base ortonormal
un generador de E2. Determinar a
 Ejemplo.- Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor ó igual a 2 con
caracteres reales,
una base de
y el producto interno en
definido por:
 Ejemplo.- Para el producto interno usual en , determinar el complemento ortogonal de
cada uno de los subespacios siguientes de :
a)
b)