Semana 11 Movimiento parabólico

Semana 10
Movimiento
Semana
11circular uniforme
Movimiento parabólico
¡Empecemos!
Continuando con los temas de
Física, esta semana te presentamos uno de los más interesantes
tipos de movimientos: el movimiento parabólico o proyectil,
que consiste en una composición de un movimiento rectilíneo uniforme de avance horizontal y un movimiento vertical
uniformemente acelerado.
Para comprender mejor el movimiento parabólico te proponemos un conjunto de actividades que muestran de forma práctica y teórica los elementos
básicos como el movimiento en dos dimensiones y la forma vectorial de representar los desplazamientos y velocidades, así como las formas analíticas
del movimiento parabólico.
¿Qué sabes de...?
Para que puedas desarrollar tus saberes en el tema de movimiento parabólico, es importante que tomes en cuenta lo siguiente:
1. Repasa el tema sobre el movimiento rectilineo uniforme y movimiento
rectilineo uniformemente acelerado.
a) ¿Cuáles son las características de un MRU?
b) ¿Cuáles son las características de un MRUV?
2. Representa en el plano cartesiano los siguientes vectores:
a) A = 2i + 3j
a) B = 4i - 6j
El reto es...
Con tus compañeros y compañeras realiza el reto que se plantea. Para comenzar necesitamos algunos materiales:
241
Semana 11
Movimiento parabólico
• Resorte de comprensión de 1cm de diámetro.
• Tabla de 5cm de ancho y de largo igual a la longitud del resorte.
• Trozo de madera de 2cm2 y 1cm de espesor.
• Una canica (metra) y una esfera de metal.
• Silicón.
• Cinta métrica y transportador.
• Cronómetro.
Ahora, sigue estos pasos:
1. Pega el trozo de madera en una de las caras laterales de la tabla y fija
sobre ella el resorte.
2. Fija con ayuda del transportador el ángulo de inclinación del montaje,
puedes utilizar los libros y cuadernos para darle estabilidad.
3. Ubica la canica en el resorte, comprímelo y déjalo libre para que expulse
la canica.
4. Pídele a un compañero que mida el tiempo de vuelo de la canica. Ensaya
antes de tomar las medidas que serán utilizadas.
5. Mide las distancias entre la salida de la canica del resorte y el punto donde cae.
6. Anota tus mediciones en la tabla 12.
Tabla 12
Ángulo
Distancia (m)
Tiempo de vuelo (s)
15º
30º
45º
60º
75º
7. Repite los pasos para cada ángulo de la tabla 12 y elabora las mediciones para la canica y la esfera de metal.
Analiza tus resultados respondiendo a los siguientes planteamientos:
242
a) Realiza una representación gráfica de los lanzamientos. ¿Qué
comportamiento tienen los lanzamientos cuando variamos los
ángulos?
Semana 11
Movimiento parabólico
b) Encuentra el valor de las componentes de la velocidad inicial
para la canica y la esfera metálica.
c) Calcula el tiempo en que la canica y la esfera metálica alcanzan
la altura máxima.
Vamos al grano
Movimientos en dos dimensiones.
Movimientos parabólicos
Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición
de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal con velocidad constante
(MRU) y otro vertical con aceleración constante (MRUA).
Vy=0
V
Vy
Vy0
V0
Vx0
Vx0
θ
Vy
Vx0
θ
V
θ0
Vx0
Vx0
Vy0
Figura 32
El movimiento de media parábola, lanzamiento horizontal, puede considerarse como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme de avance
horizontal y un movimiento de caída libre.
Notas
• Un cuerpo lanzado horizontalmente y otro que se deja caer libremente
desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
• Dos cuerpos lanzados, uno verticalmente hacia arriba y el otro parabólicamente, que alcancen la misma altura, tardan lo mismo en caer al suelo.
• La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical
es igualmente válida en los movimientos parabólicos.
243
Semana 11
Movimiento parabólico
Lanzamiento horizontal
Este caso de movimiento parabólico se produce cuando el ángulo de inclinación es igual a cero y, por lo general, el lanzamiento se encuentra a una
altura, es decir, la velocidad vertical inicial es nula y equivalente a una caída
libre, mientras la velocidad horizontal permanece constante si despreciamos
la fricción del aire.
Figura 33
Por ser un movimiento en el plano, las ecuaciones que lo caracterizan son
vectoriales, donde cada una de las componentes tiene un comportamiento
independiente y ambas ecuaciones dependen del parámetro t (tiempo), el
cual al despejarlo en una y sustituirlo en la otra, permite obtener una función
que determina la trayectoria.
Tabla 13. Ecuación de posición lanzamiento horizontal
Ecuación de posición
Componente horizontal de avance (MRU)
x = vot
r = xi + yj
Componente vertical de caída (MRUA)
1
y = yo - gt2
2
Al combinar las componentes queda la ecuación de la trayectoria:
244
y = yo -
x
1
g
vo
2
2
(1)
Semana 11
Movimiento parabólico
Tabla 14. Ecuación de velocidad de lanzamiento horizontal
Ecuación de velocidad
Velocidad de avance horizontal:
vx = vo
Velocidad de caída vertical:
v = vx i + v y j
vy = - gt
El valor del módulo de la velocidad viene dado por:
v 2x + v 2y
v=
(2)
Movimiento parabólico completo
Es producido cuando el lanzamiento posee un ángulo de inclinación mayor
a 0º y una velocidad de impulso inicial, lo cual indica que el movimiento ocurre en dos dimensiones, como se observa en la figura 34.
y
Vo
?
Vo sen θo
0
Vo cos θo x
Figura 34
La velocidad inicial tiene dos componentes: Vox y Voy que valen:
vox = vo · cos α
voy = vo · sen α
(3)
Dichos componentes producen el avance (x) y la elevación (y).
Tabla 15. Ecuación de posición lanzamiento parabólico completo
Ecuación de posición
Componente horizontal de avance
x = voxt
r = xi + yj
Componente vertical de altura:
1
y = voyt - gt2
2
245
Semana 11
Movimiento parabólico
Tabla 16. Ecuación de velocidad lanzamiento parabólico completo
Velocidad del avance horizontal:
Ecuación de velocidad
vx = vox
Velocidad de caída vertical:
v = vxi + vyj
vy = voy - gt
En los casos en que exista altura inicial y0 la ecuación de la altura es:
1
y = yo + voy · t - 2 gt2
(4)
Alcance horizontal y altura máxima de un proyectil
Cuando realizamos el lanzamiento de un proyectil, hay dos puntos que son
especiales:
La altura máxima (h=Ymax) que puede alcanzar el proyectil según la velocidad inicial y el ángulo de disparo. Y la obtenemos por la fórmula:
y
V
Vy
Vx
Vi
Vyi
(5) 2g
V
Vx
Vx
Ymax = h
h=
v02 sen θ0
Vy
θ
Vxi
Vx
R = Xmax
x
Vy
V
Figura 35
El alcance horizontal (R=Xmax), es la distancia máxima en sentido horizontal que puede lograr el proyectil según la velocidad inicial y el ángulo de
disparo. Y se obtiene mediante la fórmula:
v02 sen 2θ0
R = g
246
(6)
Semana 11
Movimiento parabólico
También es importante conocer el tiempo de vuelo, es decir, el que transcurre desde que el proyectil sale hasta que alcanza nuevamente la misma altura, el cual podemos determinar por la relación siguiente:
2v0 sen θ0
t
=
v
g
(7)
Para comprender la aplicación de las fórmulas y cómo realizar un análisis
para solucionar una situación que involucre el movimiento parabólico, estudiemos lo siguiente:
Situación 1: Un futbolista le da una patada a un balón que sale formando
un ángulo de 37º con la horizontal. La velocidad que le comunica es 12m/s.
Suponiendo que la pelota se mueve en un único plano, calcula:
a) La altura a la que llega el balón.
b) La distancia horizontal que recorre.
c) El tiempo que está en el aire.
d) Escribe el vector posición en función del tiempo.
e) Escribe el vector velocidad en función del tiempo.
Soluciones
Datos:
• El ángulo de inclinación θ0 = 370
• La rapidez inicial v0 = 12 m/s
• Es un movimiento parabólico completo.
a) Para determinar la altura máxima usamos la fórmula (5):
2v0 sen θ0 (12 m/s)2 sen 370
h=
=
= 4,42 m
2g
2 (9,8 m/s2)
La altura que logra alcanzar el balón antes de comenzar a caer es de
4,42 metros.
b) Para conocer el alcance horizontal máximo empleamos la fórmula
(6):
v02 sen 2θ0 (12 m/s)2 sen2 (370)
R=
=
= 14,12 m
g
9,8 m/s2
247
Semana 11
Movimiento parabólico
La distancia que recorre el balón hasta el momento en que toca el suelo es de 14,12 metros.
c) Para calcular el tiempo que tarda el balón desde el momento que es
pateado y cae al suelo empleamos la siguiente fórmula (7):
2v0 sen θ0 2 (12m/s) sen 370
t
=
=
= 1,47m
v
g
9,8m/s2
El balón vuela por los aires 1, 47 seg.
d) La escritura del vector posición en función del tiempo requiere que
conozcamos las componente en X e Y en función del tiempo (tabla
15):
• Componente en x: debemos calcular:
vx0 = v0 cos θ0 = 12m/s · cos 37º = 9, 5m/s
Por tanto, la componente es x = vxot = 9,5t (omitimos las unidades por
simplicidad).
• Componente en y: debemos calcular:
vy0 = v0 sen θ0 = 12m/s · sen 37º = 7, 2m/s
Por tanto, la componente es y = vyot - 1 gt = 7,2t - 4,9t2 (omitimos las
2
unidades por simplicidad).
El vector posición en función del tiempo se escribe :
r = (9,5t) i + (7,2t - 4,9t2) j
e) Tomando los resultados anteriores, podemos escribir el vector velocidad en función del tiempo (tabla 16) de la siguiente manera:
• Componente en vx : Como vx = vx0 = 9,5m/s
• Componente en vy : Como vy = vy0 - gt = 7,2 - 9,8t
El vector velocidad en función del tiempo se escribe:
v = (9,5t) i + (7,2 - 9,8t) j
248
Semana 11
Movimiento parabólico
Para saber más…
Consulta la siguiente web interactiva que simula colocando los parámetros iniciales el lanzamiento de un proyectil: http://goo.gl/wXhTb
Aplica tus saberes
1. Una pelota rueda del borde horizontal de una mesa de 1.23m de altura. Golpea el suelo en un punto 1.80m horizontalmente lejos del borde.
Calcula:
a) ¿Durante cuánto tiempo estuvo en el aire?
b) ¿Cuál era su velocidad en el instante que dejó la mesa?
2. Un proyectil se dispara horizontalmente desde un cañón ubicado a 45m
sobre un plano horizontal con una velocidad en la boca del cañón de
250m/s. Calcula:
a) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire?
b) ¿A qué distancia horizontal golpea el suelo?
c) ¿Cuál es la magnitud de la componente vertical de su velocidad
al golpear el suelo?
3. Cierto aeroplano tiene una velocidad de 180m/s y baja en picada con un
ángulo de 27° debajo de la horizontal cuando emite una señal de radar.
La distancia horizontal entre el punto de emisión y el punto en el que la
señal golpea el suelo es de 2300m. Calcula:
a) ¿Cuánto tiempo estará en el aire?
b) ¿A qué altura estaba el aeroplano cuando se emitió la señal?
Comprobemos y demostremos que…
1. Realiza un informe sobre la experiencia vivida en “El reto es” y entrégalo
a tu facilitador.
2. Encuentra con tus compañeros las soluciones de los problemas y ejercicios y consulta con tu facilitador las dudas que tengas.
249
Semana 11
Movimiento parabólico
3. Autoevalúa tu desempeño:
a) Especifica las tareas que has realizado.
b) Cita la característica que más valoras de tu trabajo.
c) Cita la característica que menos valoras de tu trabajo.
d) Auto calificación definitiva (de 0 a 20pts.).
250