Secciones de pared delgada

Elasticidad y resistencia de materiales
SECCIONES DE PARED DELGADA
INDICE
13.1 Introducción.
13.2 Flexión compuesta. Tensiones normales.
a2
r2
13.3 Esfuerzo Cortante. Tensiones tangenciales
r2
e
h
e2
13.4 Centro de Esfuerzos Cortantes.
13.5 Torsión libre. Analogía de la membrana.
perfiles abiertos / perfiles cerrados
r1
r1
a1
e1
Cuando el espesor es del orden de la
décima parte de la altura del perfil se trata
de un perfil de PARED DELGADA.
Dada la distribución de su masa a lo largo
de la sección, conviene usar un sistema
de COORDENADAS CURVILINEAS.
e ≈ 0'1·h
(definir una línea media s a lo largo de la
sección; para cada valor de s existe un
eje tangente a la línea media, otro normal
n y el eje longitudinal x del perfil)
A causa de sus peculiaridades
geométricas las secciones de pared
delgada presentan ciertos
comportamientos distintos a las barras de
geometrías conocidas hasta ahora.
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introducción.
En la barra maciza, el efecto de la aplicación de la
carga P/2 se produce tán solo en el entorno de los
puntos de aplicación (Saint Venant). En la barra de
pared delgada se produce en toda la sección (cada
ala se comporta como una barra flexionada y el
alma se torsiona).
En general, en las secciones de pared delgada ha
de tenerse en cuenta la posibilidad de que cada uno
de los elementos que las forman puede
comportarse como un elemento aislado.
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flexión compuesta. tensiones normales.
En una barra de pared delgada es necesario
imponer equilibrio de fuerzas longitudinales
en un trozo de rebanada.
Constituida por un diferencial de longitud y a
lo largo de la sección, desde el origen de la
coordenada ‘s’ hasta un valor de ‘s’
cualquiera.
En el caso de PERFILES ABIERTOS y trabajando en una diferencial de longitud de la barra.
Teniendo en cuenta la reciprocidad de las tensiones tangenciales (τ XS=τSX; τSX0=τXS0) y, suponiendo que no
existen fuerzas rasantes actuando sobre el contorno de la barra,
se aplica equilibrio de fuerzas en la dirección longitudinal de la barra:
suponiendo que sólo actúa un momento flector M Z, en ejes principales:
siendo SZ el momento estático de la
sección entre 0 y s respecto al eje z . . .
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cortante. tensiones tangenciales.
. . . y trabajando en ejes principales.
Si los ejes no son principales y existe
flexión esviada, la expresión de la
tangencial se complica un poco:
para fijar el criterio de signos se considera que se recorre el perfil de derecha a izquierda y de arriba a abajo.
Si se representan estas tensiones tangenciales sobre un diagrama de
la sección, su forma recuerda a un cierto fluido que recorriera el perfil
como si éste fuese un canal, de ahí el término FLUJO DE CORTANTE,
con el que se las conoce.
SECCION EN 'U'
para determinar el valor de tensión
tangencial por cortante habrá que
determinar el Momento de Inercia de la
sección con respecto al eje OZ
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cortante. tensiones tangenciales.
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cortante. tensiones tangenciales.
Ahora ya se puede calcular al tensión normal en cada parte de la sección.
Comenzando con el ALA
Se toma una cota 's' genérica con origen en el extremo del ala, cuyo momento
estático respecto de OZ es:
h
S Z  s=s· e 1 ·
2
Y considerando el espesor del ala (e1):
Expresión que es lineal en funcion de la coordenada 's'.
Y el flujo de cortante en el ala es:
Continuando por el ALMA
Se toma una cota 's' genérica con origen en el extremo del ala, cuyo momento
estático respecto de OZ es la suma de cada uno de los momentos estáticos de las
áreas simples que la componen (referido a 'y'):
La tensión tangencial en el alma, considerando que el espesor es'e', es:
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cortante. tensiones tangenciales.
Ahora, en el ALMA, la expresión de la tensión tangencial es parabólica:
Puede además comprobarse que los flujos cortantes de ala y alma coinciden en
la unión ala-alma:
SECCION EN ' I '
Lo primero es determinar el valor del momento de inercia respecto del eje OZ
como la inercia de una sección compuesta:
Que resulta ser el mismo que en el perfil en U que ya se ha visto:
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cortante. tensiones tangenciales.
Conocido el valor del momento de inercia de la sección respecto del eje OZ ya
pueden calcularse las tensiones tangenciales en las alas y el alma:
Comenzando con el ALA
Se toma una cota 's' genérica con origen en el extremo de cualquiera de las alas,
cuyo momento estático respecto de OZ es (área sombreada):
Y considerando el espesor del ala (e1), la tensión tangencial será:
Expresión que es lineal en función de la coordenada 's'.
Y el flujo de cortante en el ala es:
Y continuando con el ALMA
Cuyo momento estático respecto de OZ, por ser una sección compuesta, es la
suma de cada uno de los momentos estáticos de las áreas simples que la
componen (referido a 'y'):
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cortante. tensiones tangenciales.
Y considerando el espesor del ala (e1), la tensión tangencial será:
Expresión que es lineal en función de la coordenada 's'.
Y el flujo de cortante en el ala es:
Como en el caso de la sección en U, el flujo coincide en la unión ala - alma:
Puede comprobarse en la figura que en el alma las tensiones van hacia abajo, mismo sentido que el cortante, y que
la distribución de tensiones tangenciales en las las es tal que existe continuidad en el flujo ala – alma. En las alas se
produce un equilibrio tensional.
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cortante. tensiones tangenciales.
PERFILES CERRADOS
Son perfiles en los que es difícil establecer el origen de la coordenada natural 's'
(al no existir un extremo libre). Por tanto ha de elegirse un origen cualquiera con
la particularidad de que en el punto de origen elegido el flujo de cortante no será
de valor nulo.
SECCION
GENERICA
Del mismo modo que se hizo con los perfiles abiertos,
habrá de establecerse el equilibrio en una rebanada.
Se hace equilibrio de fuerzas en la dirección del eje longitudinal de la barra con la
diferencia de que ahora la tensión tangencial, y por tanto el flujo, no serán nulos para
la coordenada s=0
Considerando esto, el equilibrio según el eje OX será:
En caso de que el perfil sea simétrico (o bien se trabaje
en ejes principales de inercia), se verificará:
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cortante. tensiones tangenciales.
Con lo que la expresión anterior queda reducida a:
En definitiva, la expresión del flujo de cortante anterior es igual a la del perfil abierto
más el término q0 (desconocido).
Independientemente del sistema de ejes elegido, la expresión general del flujo de
cortante de un perfil cerrado es:
Para calcular el término q0 se va a imponer una
condición de deformación angular:
Que consiste en suponer que el desplazamiento
según el eje OX de un punto es igual en las
coordenadas s=0 y s=S, (cuando se ha dado una
vuelta completa al perfil).
Como la sección transversal no gira según
el eje OX ni se deforma en el plano OYZ,
puede afirmarse que los desplazamientos
según los ejes OY y OZ son iguales para
todos los puntos de la sección, o lo que es
lo mismo, para cualquier valor de 's'.
Por tanto el desplazamiento us se
descompone tal y como muestra la figura:
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cortante. tensiones tangenciales.
Sacando de la integral los términos
independientes y considerando que son nulas
las integrales trigonométricas (puesto que al
recorrerse el perfil cerrado completo el ángulo
varía entre cero y 2π:
Y como q0 se ha definido como constante, puede
deducirse:
Proceso que se simplifica enormemente en el caso de que la sección sea simétrica, tal y como puede comprobarse en
el siguiente ejemplo:
Sea la sección formada por dos perfiles U como los ya vistos con
anterioridad.
El origen de la coordenada natural 's' es el eje OY. En dicho punto el
flujo de cortante (q0) es nulo por simetría, por lo que hay que
determinar qs.
El momento de inercia de la sección es el doble del de el perfil en U.
El momento estático es la suma de las secciones simples.
Y las tensiones son la mitad que las del perfil U porque el momento
de inercia es el doble.
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centro de esfuerzos cortantes.
La resultante de las tensiones tangenciales
vistas en las páginas anteriores es el esfuerzo
cortante
A causa de su dirección, esas tensiones
tangenciales generan un MOMENTO
TORSOR que, aplicado en el C.D.G. de la
sección, responde a esta expresión:
El CENTRO DE ESFUERZOS CORTANTES es el punto respecto del cual el momento que
produce el sistema de tensiones tangenciales, citado con anterioridad, es nulo.
ejemplo:
PERFIL EN 'U'
Calcular la fuerza resultante en alas y alma.
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centro de esfuerzos cortantes.
Las fuerzas en las dos alas son iguales y
de sentido contrario, por lo que
constituyen un par de fuerzas de
magnitud:
El momento total que producen TODAS las tensiones
tangenciales que actúan en la sección es:
La suma del que producen las alas más el que
produce el alma.
(siendo c la distancia horizontal entre resultante y
punto de aplicación)
(su dirección es en OX y su sentido hacia fuera del
papel)
En caso de que el cortante actúe en OZ, la
distribución de tensiones tangenciales sería como en
esta figura de la derecha.
Cuya resultante vertical es nula y la horizontal igual al
esfuerzo cortante en OZ.
Resumiendo:
Cortante VY => C.E.C. sobre OY
Cortante VZ => C.E.C. sobre OZ
Cortante VYZ => C.E.C. sobre punto (y,z)=(0,c)
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Procedimiento para calcular el C.E.C. en
una sección cualquiera.
centro de esfuerzos cortantes.
1. Obtener la distribución de tensiones tangenciales
debida a los esfuerzos cortantes V Y y VZ.
2. Calcular el momento en un punto cualquiera (no
tiene por que ser el c.d.g. de la sección)
3. Relacionar el momento respecto a ese punto con el
momento respecto a otro punto.
(MO=VY·cZ+VZ·cY)
ejemplo:
PERFIL CIRCULAR ABIERTO
1. Tensiones tangenciales debidas al cortante V Y:
Para s=R·θ
2. Momento estático de la sección:
3. Momento de inercia de la sección:
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centro de esfuerzos cortantes.
4. Expresión de las tensiones tangenciales en la sección:
5. Momento en un punto cualquiera (por simplicidad en el
centro):
Respecto al cortante VZ:
Para determinar la coordenada vertical del C.E.C. (cY)
ha de tenerse en cuenta la existencia de simetría en
carga y forma, por lo que el momento según OY será
nulo.
La distribución de tensiones de VZ puede verse a la
izquierda de estas líneas:
Conclusiones acerca de la posición del C.E.C.:
1. Si la sección tiene un eje de simetría el C.E.C. se encuentra en ese eje.
2. Si la sección tiene dos ejes de simetría, el C.E.C. está en su intersección.
3. Si la sección está formada por varios rectángulos concurrentes, el CEC está en su confluencia.
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centro de esfuerzos cortantes.
Resumiendo:
La determinación del C.E.C. es muy importante a la
hora de la obtención de esfuerzos.
Si una barra está sometida a una fuerza transversal
aplicada fuera de su CEC se verá sometida, además, a
un momento torsor de igual valor que el que provoca la
fuerza en el C.E.C.
En el diseño de elementos resistentes habrá que evitar
que las fuerzas transversales aplicadas sobre una
determinada sección actúen fuera del C.E.C.
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torsión libre. analogía de la membrana.
Objeto de estudio:
Perfiles de sección abierta sometidos a torsión pura; es
decir, resultante de fuerzas nula y resultante de
momentos paralela al eje longitudinal de la barra
pasando por el C.E.C.
Viabilidad del modelo:
En los problemas que involucran torsión sobre
secciones de pared delgada las simplificaciones propias
de la resistencia de materiales no son del todo validas.
Ha de acudirse a analogías de comportamiento.
Analogía de la membrana:
Si se considera una membrana de la misma forma que
la sección resistente cuya torsión se desea estudiar y se
la somete a una diferencia de presión entre ambos
lados, la forma que adopta la membrana informa de
cómo es el estado tensional derivado del esfuerzo de
torsión.
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torsión libre. analogía de la membrana.
En consecuencia:
1. La tangente a una curva de nivel, en cualquier punto, de la
membrana deformada da la dirección de la tensión tangencial en
el punto correspondiente de la sección sometida a torsión.
2. La pendiente máxima de la membrana, en cualquier punto, es
igual al valor de la tensión tangencial, en el punto
correspondiente, de la sección sometida a torsión.
3. El doble del volúmen comprendido entre la superficie
deformada de la membrana y el plano de su contorno es igual al
momento torsor que solicita la sección
...lo anterior es fácil de probar para una sección circular...
1. El dibujo de la derecha muestra como, por simetría, cada círculo concéntrico
es una curva de nivel de al deformada (sometida por tanto a una presión
uniforme P y traccionada uniformemente mediante una fuerza N). Ya se ha
visto que la tensión tangencial en secciones circulares depende tan solo del radio
(τ=G·r·θ)
2. Aplicando equilibrio de fuerzas verticales en uno de los círculos concéntricos
de la figura de la derecha se verifica:
y como
entonces:
3. Finalmente, para calcular el volumen encerrado por la membrana y el plano
horizontal se calculará primero la cota de la deformada:
Integrándola luego a lo largo de toda la proyección
horizontal de la membrana:
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...y algo más complejo en otro tipo de sección...
torsión libre. analogía de la membrana.
Sección rectangular:
1. Las curvas de nivel de la deformada de la membrana
son las que se muestran en la figura superior, siendo las
tensiones tangenciales tangentes a las mismas.
2. Cuando más cerca del borde, mayor es la pendiente
radial de al deformada y, por tanto, mayor es el valor
de tensión tangencial.
3. En los extremos mayores la pendiente es mayor
(véase la planta). Por ello el valor de tensión tangencial
es máximo en la mitad del lado mayor, como ya se
enunció.
Una sección abierta es aquella en la que una dimensión es mucho mayor que la otra, siendo la línea media recta o curva, o
bien una serie de figuras de esas características unidas en algún punto.
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torsión libre. analogía de la membrana.
Secciones abiertas vs. secciones cerradas,
En general, las secciones abiertas trabajan mucho peor
a torsión que las cerradas. Ello puede comprobarse en
la distribución de tensiones esquematizada para las dos
secciones del dibujo que representan la analogía de la
membrana aplicada a ambas secciones.
Nótese como en el perfil abierto se produce un cambio
de pendiente de la deformada a lo largo del espesor de
la sección mientras que en el cerrado dicha pendiente
permanece constante a lo largo del mismo.
En las secciones abiertas el momento torsor es del
orden de la magnitud de la fuerza total por el espesor:
Mientras que en las cerradas lo es por la altura de la
sección:
(para ambas, la fuerza es la tensión característica por
el área)
La comprobación de tensiones es contundente:
La tensión tangencial en secciones cerradas es mucho menor que en secciones abiertas; las secciones
cerradas trabajan mucho mejor a torsión.
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torsión libre. analogía de la membrana.
SECCION RECTANGULAR ABIERTA FORMADA POR UN RECTÁNGULO
El resultado es independiente se si la directriz es recta o
curva. Las dimensiones son exS, con 3/S --> ∞.
Ya se han visto los valores de tensión tangencial
máxima y giro por unidad de longitud:
SECCION RECTANGULAR ABIERTA FORMADA POR VARIOS RECTANGULOS
En las secciones de este tipo, el momento torsor se
reparte entre todos los rectángulos que las componen.
El giro es una característica de la sección y, como tal,
común a todos los rectángulos que la componen.
Para obtener la tensión en cada rectángulo se
combinan las tres expresiones anteriores:
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SECCION CERRADA
La tensión tangencial debida al torsor es
aproximadamente constante a lo largo de la sección:
Ya se ha comentado el concepto de 'flujo de cortante'.
El cual es constante para la variable natural 'S'.
En este caso, el equilibrio de fuerzas se estudia en una
diferencial de longitud.
Y el torsor es el momento resultante de ese flujo según
en eje OX.
A* = superficie encerrada por la línea media de la sección
Siendo la tensión tangencial debida a ese torsor:
Y el giro por unidad de longitud se obtiene del análisis
de desplazamientos por métodos que involucran la
energía de deformación:
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torsión libre. analogía de la membrana.
SECCION CIRCULAR ABIERTA
VS.
SECCION CIRCULAR CERRADA
TENSIÓN TANGENCIAL DEBIDA AL
TORSOR
GIRO POR UNIDAD DE LONGITUD
COMPARACION DE TENSIONES
COMPARACION DE GIROS
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SECCION RECTANGULAR ABIERTA
VS.
SECCION RECTANGULAR CERRADA
TENSIÓN TANGENCIAL DEBIDA AL
TORSOR
GIRO POR UNIDAD DE LONGITUD
COMPARACION DE TENSIONES
COMPARACION DE GIROS
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