Medida del Flujo de Rayos Cósmicos

Medida del Flujo de Rayos
Cósmicos
Física Nuclear y de Partículas
INTRODUCCIÓN
Se denominan rayos cósmicos primarios a las partículas que inciden en la
atmósfera terrestre procedentes del espacio, compuestos principalmente de protones y
partículas alfa pero también de núcleos más pesados. Tras interaccionar con un núcleo
atmosférico (N, O) producen una cascada de partículas compuesta por rayos γ,
electrones, muones, neutrinos, hadrones, etc, que son los llamados rayos cósmicos
secundarios. La mayoría de las partículas que alcanzan la superficie terrestre son
muones procedentes de interacciones nucleares y las desintegraciones subsiguientes.
Los muones de energía superior a 0.2 GeV constituyen la componente dura de la
radiación cósmica secundaria, que es muy penetrante y puede medirse inluso en el
interior de las minas más profundas. El resto de los rayos cósmicos secundarios
(fundamentalmente e±, γ's) forman la llamada componente blanda.
Los rayos cósmicos son la otra única fuente de partículas y productos de reacciones
nucleares de alta energía, aparte de los aceleradores de partículas, y de hecho fueron la
principal hasta la década de 1950, dando lugar a descubrimientos e información sobre
todo un conjunto de nuevas partículas subatómicas para los físicos de partículas (entre
ellas el positrón e+ (primera antipartícula observada) y el muón). Algunas veces las
partículas poseen energías mucho mayores (1020 eV) que las alcanzables con
aceleradores, y su origen es objeto de intensa investigación. Una breve historia de la
física de rayos cósmicos se encuentra en http://www.cab.cnea.gov.ar/auger/historia.html.
El objeto de esta práctica es medir el flujo de la componente dura de muones al
nivel de la superficie terrestre.
MÉTODO EXPERIMENTAL
El método usado consiste en medir el número de coincidencias entre dos
centelleadores colocados paralelamente uno sobre otro en posición horizontal. Este
número será directamente proporcional al flujo total de partículas incidentes con
factores dependientes de la geometría del montaje experimental. Se utilizarán diversos
espesores de plomo para blindar el detector inferior contra la componente blanda de la
radiación.
Descripción de los componentes
Las componentes del montaje experimental se pueden dividir en dos grupos:
detector y elementos electrónicos. El detector de centelleo se compone a su vez de dos
partes: plástico centelleador y fotomultiplicador.
1.-Detector de centelleo
Se cuenta con dos detectores de centelleo cada uno formado por un trozo de
plástico centelleador y un fotomultiplicador. Cuando una partícula cargada atraviesa el
material plástico en el que hay diluidas sustancias activas, se produce una cierta
cantidad de luz. Dicha luz es transmitida primero a través del plástico y luego por unas
guías de luz hasta la ventana del fotomultiplicador. En el interior del fotomultiplicador
los fotones incidentes (del orden de unas decenas a centenas ) son transformados en un
pulso eléctrico de duración típica de unos pocos nanosegundos ( rise time) que se
transmite por los cables de salida.
2.-Electrónica
Para contar las coincidencias entre pulsos procedentes de los dos detectores de
centelleo se dispone de varios módulos electrónicos que siguen el estándar NIM, esto es,
unas normas en cuanto a las características mecánicas (dimensiones) y eléctricas de los
componentes y las señales. Los módulos de los que se dispone para la práctica son los
siguientes:
Fuente de alimentación
Discriminador
Unidad de coincidencias
Contadores
Generador de pulsos
Fan out
3.-Descripción lógica
A continuación se describe brevemente el proceso seguido por los pulsos
procedentes de los detectores hasta el recuento de las coincidencias.
En primer lugar debemos separar las señales accidentales de los
fotomultiplicadores (producidas por ruido térmico en su interior o interacción de
partículas de muy baja energía en los centelleadores) de las producidas por partículas
que depositan mayor cantidad de energía como es el caso de los muones cósmicos. Para
ello se le exige a la señal proveniente de los fotomultiplicadores el que su amplitud
sobrepase un cierto umbral (que fijamos en 40 mV en este experimento). El módulo que
ejecuta esta tarea es el discriminador, cuya entrada es una señal analógica de amplitud y
duración dependiente del proceso que haya tenido lugar en el detector. A la salida del
discriminador tenemos una señal lógica de forma cuadrada con altura y duración
estándar (20 ns) en el caso en que la señal de entrada haya sobrepasado este umbral.
Cada discriminador dispone de dos salidas. Una de ellas se empleará para
alimentar un contador de manera que sepamos el número de pulsos procedentes de cada
fotomultiplicador y la otra se dirigirá al módulo de coincidencias.
Las coincidencias entre ambos detectores se evalúan mediante una unidad NIM de
coincidencias. Este módulo consta de varias entradas y una salida. Tendremos una señal
de salida cuando los pulsos de entrada se solapen al menos parcialmente en el tiempo.
Es obvio que la longitud de los cables que conectan los dos discriminadores y la unidad
de coincidencias debe ser la misma. Llevando la salida a otro contador podemos
acumular el número de coincidencias en un espacio de tiempo. El número de
coincidencias registradas en un intervalo de tiempo fijo obedece a la estadística de
Poisson, lo que deberá tenerse en cuenta a la hora de realizar los cálculos con las
medidas obtenidas (concretamente a la hora de calcular la incertidumbre del estimador
del número medio de coincidencias, n (número de coincidencias medido), que viene
dada por tratarse de un fenómeno aleatorio que obedece a la estadística de Poisson por
n ).
Además de este montaje básico, existe uno adicional que llamaremos
"temporizador" que nos ayudará a controlar el tiempo de medida, compuesto por un
generador de pulsos, un contador con posibilidad de preselección de tiempo y un fanout
(que es un módulo que reproduce señales eléctricas). Cuando el contador alimentado
por el generador de pulsos alcanza la cantidad preseleccionada produce una señal de
desbordamiento (overflow) que una vez triplicada en el módulo fanout alimenta las
entradas de validación de los otros contadores, parándolos.
Figura 1: Esquema del montaje
OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
Como mínimo se han de llevar a cabo, y en los casos pertinentes detallar en el
guión que se entregue, los siguientes puntos que posteriormente se detallan:
1.-Montaje del dispositivo experimental
2.-Toma de datos
3.-Estimación de las coincidencias espurias
4.-Determinación de la componente dura de las coincidencias
5.-Cálculo de Iν
6.-Comparación del resultado experimental con los valores tabulados
1.-Montaje del dispositivo experimental
Cableado de la electrónica para montar la "lógica" de coincidencias y recuento de
éstas. Comprensión de la función de los módulos NIM empleados.
2.-Toma de datos
Medida del número de coincidencias de ambos detectores blindando el detector
inferior con diferentes espesores de plomo: 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 5 y 10 cm. Para ello se
colocan láminas de 0.2 cm de grosor y/o ladrillos de 5 cm de grosor sobre el soporte
metálico que rodea al centelleador, de modo que se obtienen los distintos espesores:
En cada caso se tomará como tiempo de medida 15 minutos (9·105 milisegundos
en el módulo contador que usamos como temporizador). En la primera ocasión conviene
medir con un reloj (una precisión de segundos es suficiente) el tiempo que tarda en
pararse la toma de datos, ya que el temporizador puede no estar bien calibrado. El
tiempo de las demás medidas será igual a éste y es el que debe usarse en los cálculos.
Es muy aconsejable obtener más medidas (en caso de que se disponga de tiempo)
para otros espesores intermedios y mayores (7.4 cm y 15 cm, por ejemplo), ya que a
partir de ellas se realizarán ajustes que se detallan en el punto 4, cuya fiabilidad y
precisión dependen de estas medidas.
3.-Estimación de las coincidencias espurias
Cálculo de la probabilidad de observar coincidencias espurias, debidas al azar,
dados los ritmos de detección de ambos contadores, y la duración de los pulsos lógicos
que han de solaparse (20 ns). Es suficiente hacer este cálculo para la primera medida,
sin blindaje (se obtendrá un número muy pequeño, y en el caso de medidas con
blindajes sería todavía menor). Un modo de hacer la estimación es con la siguiente
expresión:
n = (n1 – n12)( n2 – n12)(l1 + l2)
Siendo n el número de coincidencias aleatorias por unidad de tiempo, n1 y n2 el
número de pulsos por unidad de tiempo que se da en cada detector, l1 y l2 la duración de
los pulsos respectivos (en nuestro caso 20 ns), y n12 el número de coincidencias
auténticas por unidad de tiempo. La justificación de esta fórmula es la siguiente:
El último factor, que expresa la dependencia de n con la duración de las señales de
1 y 2 debe tener esa forma de suma, ya que dada una señal del detector 1 y una señal del
detector 2, mientras que la suma l1 + l2 sea la misma, la probabilidad de que coincidan
ambos pulsos es la misma, independientemente de lo que valgan por separado l1 y l2
(estamos suponiendo que sólo se pueden dar coincidencias simples, o lo que es lo
mismo, que la probabilidad de que se den dos pulsos en uno de los detectores separados
por menos de 20 ns es despreciable, de modo que no podemos tener un pulso en un
detector que solapa con 2 pulsos del otro):
En realidad esto no es estrictamente cierto, pero cuanto menor es el tamaño de los
pulsos en relación con el tiempo de medida se comete menos error.
Por otro lado, en la fórmula deben jugar papeles idénticos las señales procedentes
del detector 1 y las del detector 2, ya que nada los distingue; vemos que eso lo cumple
(es simétrica en 1 y en 2). Además, basándonos en que la fracción del tiempo de medida
ocupada por pulsos es muy pequeña, podemos aproximar y suponer que lo que le ocurra
a un pulso dado es completamente independiente de los demás pulsos, se obtendría el
mismo resultado (la misma probabilidad de coincidencia) si no estuvieran los demás
pulsos. Esto se traduce en que n debe ser directamente proporcional al número de pulsos
por unidad de tiempo en el detector 1 que pueden dar lugar a una coincidencia aleatoria.
De esto da cuenta el primer factor. El segundo factor da cuenta de que de modo
independiente, y por la misma razón, n también es muy aproximadamente proporcional
al número de pulsos por unidad de tiempo en el detector 2 que pueden dar lugar a una
coincidencia aleatoria
Como n ya no puede depender de más variables lo único que podría faltar sería
otro factor constante, pero es la unidad, puesto que suponiendo que n1- n12 = n2 – n12 = 1
(sólo hay 1 pulso por unidad de tiempo en cada contador que puede dar lugar a una
coincidencia aleatoria), dicha probabilidad es simplemente n = l1 + l2 (sería el cociente n
= (l1 + l2)/(tiempo total de medida), pero como por definición de n tomamos este tiempo
como la unidad de tiempo, se reduce a n = l1 + l2) .
Una deducción más rigurosa de la dependencia en l1 y l2 , junto con una
justificación de que no se dan coincidencias múltiples, se puede ver en el apéndice 1.
4.-Determinación de la componente dura de las coincidencias
Representación en una gráfica del número de coincidencias frente al espesor x del
blindaje de plomo. Lo que se obtendrá será un número progresivamente menor, debido
al principio sobre todo a la absorción de la componente blanda por parte del plomo
(caída brusca), siendo luego causada sólo por la absorción de la componente dura (caída
suave), una vez que la blanda ha sido completamente absorbida. Determinar por
extrapolación el número de coincidencias debidas a la componente dura en el caso x = 0.
Para ello hemos de tener en cuenta que dado un flujo de partículas de cierta energía
cinética, el número de partículas que pasa espesores crecientes de plomo seguirá
típicamente una exponencial decreciente. La absorción también dependerá de la
naturaleza de las partículas. En nuestro caso tenemos el flujo dividido en dos partes
distintas, la dura, compuesta por muones, muy energética y muy penetrante, y la blanda,
menos energética y poco penetrante. Ambas componentes se puede considerar que
tienen una energía bastante bien definida, con lo que deberíamos ajustar los puntos
obtenidos a la suma de dos exponenciales decrecientes, f(x) = A1e-x/b1 + A2e-x/b2 ; la que
decaiga más lentamente corresponde a la componente dura (la primera exponencial, por
ejemplo), cuyo valor queremos conocer antes de que empiece a atravesar el plomo, para
poder calcular hallar el flujo que llega al detector de arriba. Este valor es por tanto el
correspondiente a espesor x = 0 , A1. No es necesario hacer este ajuste para estimar con
bastante precisión A1 , ya que en un rango de datos adecuado f(x) se comporta
aproximadamente como una recta, cuya ordenada en el origen es precisamente A1.
Veamos por qué: tenemos f(x) = A1e-x/b1 + A2e-x/b2 , con b2 << b1 (la componente
blanda 2 decae mucho más rápidamente que la dura 1), y además A2 ≈ A1 (se observa en
los datos tabulados y al ajustar los datos experimentales; de hecho A1 es mayor que A2 ).
Por tanto para b2 << x << b1 se tiene que A2e-x/b2 ≈ 0 y que f(x) ≈ A1 (1- x / b1 ) = A1 –
(A1 / b1 )x . Con nuestro dispositivo experimental resulta que se toman los datos en el
rango de distancias x adecuado, del orden de 10 cm, donde se verifica que b2 << x <<
b1 , y por tanto los valores correspondientes a distancias de ese orden (donde se observa
que el decaimiento se ha suavizado mucho) se pueden usar para realizar un ajuste lineal
y obtener el valor de la componente dura a espesor x = 0 , A1 .
En cualquier caso, como del ajuste lineal podemos deducir b1 , podemos comprobar
que la aproximación lineal a la exponencial es buena viendo que los valores xi
manejados para realizar el ajuste verifican siempre que xi << b1.
5.-Cálculo de Iν
Con el número calculado en el apartado anterior (número de muones que atraviesan
ambos detectores (flujo de muones a través de ambos detectores) por unidad de tiempo),
calcular el flujo por unidad de ángulo sólido, por unidad horizontal de área y por unidad
de tiempo en la dirección vertical, J(θ = 0, φ) (θ = ángulo cenital, φ = ángulo azimutal),
llamado Iν. Como con este montaje no se mide directamente J(θ = 0, φ), sino el flujo
total de los muones que logran atravesar simultáneamente los dos centelleadores, para
poder calcular este valor hay que conocer cómo varía con el ángulo cenital θ el flujo de
muones por unidad de ángulo sólido, por unidad de tiempo y de superficie orientada en
θyφ:
J(θ, φ) = A· cos2 (θ)
Donde A es una constante, que vemos que es igual a J(θ = 0, φ), A = Iν :
J(θ, φ) = Iν · cos2 (θ)
(1)
Esta dependencia con θ es debida a la absorción de los rayos cósmicos por parte de
la atmósfera.
Cuando se dice que el flujo es por unidad de superficie orientada significa que éste
es el flujo que se mide cuando se sitúa la superficie de área unidad que es atravesada por
los muones con su normal en la dirección del flujo (es decir, se va orientando la
superficie conforme se mide el flujo proveniente de distintas direcciones, de modo que
el flujo a medir siempre incide normalmente sobre la misma). Si se tiene este dato y se
quiere saber cuál es el flujo que atravesará, proveniente de la dirección (θ, φ), una
superficie horizontal de área unidad, habrá que multiplicar por un factor cos(θ) asociado
a que nuestra superficie no orientada ofrece un área de impacto menor que la orientada:
Jsuperficie horizontal unitaria (θ, φ) = J(θ, φ)·cos(θ) .
Cuando se dice que el flujo es por unidad de ángulo sólido, se entiende lo siguiente:
que si se observa el flujo sobre la superficie horizontal unitaria proveniente de un
pequeño entorno de direcciones dado en coordenadas esféricas por (θ,θ + dθ), (φ,φ + dφ)
(que tiene asociado un diferencial de ángulo sólido dΩ = sen(θ)dθdφ), el resultado será
Jsuperficie horizontal unitaria (θ, φ)·sen(θ)dθdφ = J(θ, φ)·cos(θ)·sen(θ)dθdφ
Si se quiere calcular el flujo proveniente de todo un conjunto de direcciones, dado
por un intervalo (θ1,θ2 )×(φ1,φ2), no hay más que integrar la expresión previa a dicho
intervalo. Haciéndolo hasta θ = π/2 , para todo φ y para el área del detector superior,
obtenemos el número total de muones que inciden sobre éste por unidad de tiempo (en
función de Iν). A continuación realizaremos una simulación Montecarlo del montaje
experimental, determinando con ésta la relación entre el número total de muones que
inciden sobre el detector superior y el de muones que atraviesan ambos detectores, lo
que nos permitirá finalmente calcular Iν a partir del valor que tenemos del número de
coincidencias debidas a la componente dura, calculado en el anterior apartado. Debe
calcularse también la incertidumbre en el valor de Iν y especificar las fuentes de ésta.
Valores típicos que se obtienen haciendo la simulación Montecarlo son, en función
de a y b, lados mayor y menor de los detectores, y de la separación h entre ambos:
a (cm)
b(cm)
h(cm)
Fracción que atraviesa ambos detectores, una
vez atravesado el superior (%)
27
9
26
15
28
10
24
19
29
11
22
23
En el apéndice 2 se explica todo lo relacionado con la simulación Montecarlo.
6.-Comparación del resultado experimental con los valores tabulados
Los valores tabulados que hay en el laboratorio (del Review of Particle Properties
Physical Review D54, parte 1, 1996) son los siguientes:
Total
Componente dura
(≈ µ+)
Componente blanda
(≈ e+)
Iν (m-2s-1sr-1)
110
80
30
J1 (m-2s-1)
180
130
50
J2 (m-2s-1)
240
170
70
Siendo: Iν nuestra J (θ = 0, φ), flujo proveniente de la dirección vertical por unidad
de ángulo sólido por unidad horizontal de área, J1 el flujo total que desde arriba
Π
atraviesa la unidad horizontal de área, J 1 =
2 2Π
∫ ∫ J (θ ,ϕ ) ⋅ cosθ ⋅ senθ dθ dϕ
0
Π
J2 =
, y
0
2 2Π
∫ ∫ J (θ , ϕ ) ⋅ senθ dθ dϕ
0
, que corresponde, dada una semiesfera de radio R, al
0
flujo de aquellos muones que tras atravesar la superficie semiesférica pasan por el
centro de la semiesfera (es decir, aquellos que inciden normalmente a la superficie),
dividido por la superficie, 2πR2 :
flujo de muones que atraviesan normalmente la sup erficie semiesférica de radio R
2π R 2
Por tanto sólo contamos los muones que pasan por el centro:
J2 =
APÉNDICE 1
SIMULACIÓN MONTECARLO
1.- Papel que juega en el cálculo de Iν
Conociendo el flujo de muones, el número de coincidencias registrado por nuestro
montaje por unidad de tiempo podría predecirse integrando la expresión (1) sobre la
superficie del detector superior, y para todas las direcciones (θ,φ) tales que la trayectoria
del muón intersecte ambos centelleadores. La expresión (1) tiene simetría cilíndrica,
mientras que la geometría del detector se expresa de manera sencilla sólo en
coordenadas cartesianas, lo que complica considerablemente el cálculo. Por esta razón
es preferible realizar el cálculo mediante una simulación por ordenador del montaje
experimental, siguiendo el método llamado Montecarlo. Para ello generaremos de
manera aleatoria trayectorias de muones que incidan sobre el centelleador superior y
determinaremos, qué fracción fMC de éstas intersecta también el detector inferior (la
determinación será tanto más precisa cuanto mayor sea el número de trayectorias
simuladas). Los puntos de impacto sobre el detector superior deben generarse de manera
aleatoria y uniforme, al igual que los ángulos acimutales φ, a la vista de la expresión (1).
Los ángulos cenitales θ deben generarse también de forma aleatoria, pero no uniforme,
sino siguiendo la distribución que indica (1). Para realizar la simulación es preciso
medir las dimensiones del montaje real (superficie de los centelleadores y distancia
entre éstos).
Una vez conocida la fracción fMC de trayectorias posibles que intersectan ambos
detectores, obtendremos el número de coincidencias (en función de Iν) multiplicando
fMC por el número de muones que llegan al detector superior, que se obtiene integrando
(1) entre θ = 0 y π/2. Esta integral sí puede realizarse de manera analítica. Comparando
la expresión obtenida con el número de coincidencias medido podemos obtener Iν.
2.- Cómo obtener un generador de números aleatorios
Este apéndice trata de explicar cómo obtener un generador de números aleatorios
que responda a una distribución conocida a partir de una uniforme.
Casi todos los ordenadores y lenguajes de programación, poseen un generador
intrínseco de números pseudo-aleatorios uniformes en el intervalo 0, 1. Quisiéramos
pues, aprovechar este generador para obtener números aleatorios que sigan otra
distribución.
Sea f (x) la densidad de probabilidad que queremos generar y F (x) su función de
distribucion, definida como
F ( x) =
∫
x
a
f ( x)dx
(donde a es el origen inferior en el que está definido f(x), por ejemplo, para una
gaussiana a = -∞).
Se puede demostrar que la variable aleatoria r definida como:
r = F (x)
está distribuida uniformemente (véase la demostración al final del apartado). Esta
propiedad puede usarse para obtener nuestro generador.
Para obtener un número aleatorio que siga nuestra distribución, llamaremos al
generador de nuestro ordenador, que nos proporcionará un número r. Calcularemos x =
F-1 (r) , y ya tenemos el número que buscamos (x, que sigue la distribución f (x)).
EJEMPLO
Supongamos que queremos un generador con f (x) = e-x .
Figura 1: Ejemplo
1)
Calculemos:
F ( x) =
2)
r = 1 − e− x
∫
x
0
x
f ( x)dx = ∫ e − x dx = 1 − e − x
0
Lo
igualamos
→ x = − ln(1 − r )
al
número
aleatorio
uniforme
3)
Para obtener números aleatorios x que sigan una distribución f (x) = e-x ,
llamamos a nuestro generador uniforme y calculamos x con la fórmula anterior.
* Demostración de que r = F (x) está distribuida uniformemente:
Queremos
generar
f ( x) : [a, b] → ℜ
puntos
según
una
distribución
f
(x),
con

x
dF ( x)

b
= f ( x) .
Si
 f ( x) ≥ 0 , f ( x)dx = 1 . Tenemos F ( x) = ∫a f ( x' )dx' →
dx
∫

a

tenemos una función cualquiera G(x) cuyo valor medio queremos calcular hallaremos
G ( x) =
b
∫ G( x' ) f ( x' )dx' ,
a
pero haciendo el cambio de variable de x a F(x), se tiene
1
b
dF ( x)
dF =
dx = f ( x)dx , F ( x = a ) = 0 , F ( x = b) = 1 → ∫ G ( x' ) f ( x' )dx' = ∫ G ( F )dF
a
dx
0
, por lo que vemos que cuando expresamos las funciones en términos de la variable F, la
distribución de probabilidad asociada a F es la distribución uniforme, que vale 1 en el
intervalo [0,1], es decir, F está distribuida uniformemente.
3.- Generador de números gaussianos
Queremos ahora generar números aleatorios distribuidos según una gaussiana de
media 0 y sigma 1. Podríamos intentar aplicar el método anterior, pero fracasaríamos ya
que la gaussiana no es integrable analíticamente y por lo tanto no podríamos obtener
una fórmula para F (x). Sin embargo existen otras técnicas que no explicaremos en
detalle.
Damos a continuación un método práctico para obtenerlos:
1)
Obtener dos números aleatorios de una distribución uniforme u y v
2)
Calcular:
x = − 2 ln u cos(2π v )
y = − 2 ln u sin (2π v )
3)
x e y así calculados son dos números aleatorios independientes que
siguen una distribución gaussiana (de media 0, varianza 1)
Este método es exacto y fácil de programar, pero tiene la desventaja de que no es
muy rápido debido al cálculo del logaritmo, seno y coseno.
El siguiente algoritmo es una mejora a este método:
1)
Generar dos números aleatorios uniformes u y v
2)
Calcular w = (2u – 1)2 + (2v – 1)2
3)
Si w > 1 ir a 1)
4)
Devolver x = uz e y = vz, con z = − 2
ln w
w
Esta variación elimina el seno y el coseno a expensas de un rechazo del ≈ 21% en
el paso 3.
Para
saber
algo
más
sobre
los
métodos
de
http://www.physics.carleton.ca/courses/75.502/slides/intro/index.html
Montecarlo:
4.- Alternativas al uso de la simulación Montecarlo
Supongamos que hacemos la siguiente aproximación para calcular la fracción f de
muones que, antes de atravesar el panel de abajo, atraviesan también el panel de arriba:
Tenemos los dos paneles (detectores) y tomamos una pequeña área A en el inferior,
de acuerdo con el siguiente esquema:
De todos los muones que atraviesan el área A tan sólo una fracción f habrá
atravesado la placa superior. Si tomamos una esfera centrada en A de radio h y
suponemos que el flujo es aproximadamente isotrópico, podemos estimar f como:
f =
área panel arriba área panel arriba
=
área semiesfera
2Πh 2
Donde también se ha cometido un error por no formar parte exactamente la
superficie del panel de la esfera, y por no depender f del área A escogida.