TEMA 4: TRIGONOMETR´IA

TEMA 4: TRIGONOMETRÍA
1. ¿Cuántos radianes tiene una circunferencia?
2. ¿Cuántos grados tiene un radián?
3. ¿Cuántos radianes tiene un grado?
4. ¿Cuántos radianes tiene un ángulo α de 210o ?
5. Determina los grados de un angulo β de 5 radianes.
6. Pasa a radianes:
(a) 45o
(b) 135o
(c) 225
(d) 315o
(e) 1295o
(f ) 30o
(g) 40o
(h) -855o
(i) 60o
(j) -1295o
(k) 855o
(l) -1295o
7. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, expresados en
radianes:
3π
a) cos
d) cot 1, 2
2 −2π
b) sin
e) csc 5
3
c) tan 2, 5
f ) sec 3, 1
8. Sea ABC un triángulo rectángulo en B, de modo que AB=10 y BC=5.
b y C.
b
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A
9. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm, y uno de sus
catetos 10 cm, ¿cuáles son las razones trigonométricas de sus ángulos
agudos?
10. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 5 cm y su ángulo opuesto, 20o .
Construye dicho triángulo.
11. En un triángulo rectángulo la hipotenusa AC mide 10 cm y sinA=0,2051.
¿Cuánto miden los dos catetos? ¿Y los ángulos agudos?
12. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 cm y uno de sus
ángulos agudos es tal que su tangente trigonométrica es 0,8, ¿cuál es la
longitud de los dos catetos?
13. Halla tg76o y cos38o .
14. Copie en la calculadora 39o 11 ´48´´. Pasa a o ´´´el ángulo 39.19666667.
15. Halla α y β directamente con la calculadora sabiendo que cosα = 0, 83 y
tgβ = 2, 5.
1
16. Si tgβ = 0, 6924, halla cosβ.
17. Obtén con la calculadora el seno, coseno y tangente de los siguientes
ángulos:
(a)19o
(c)32o
(e)48o
o
o
(b)64.5 (d)70 30´ (f )83o 50´
18. Utiliza la calculadora para hallar el ángulo α en cada caso:
(a) sin α = 0.45
(b) cos α = 0.8
(c)tgα = 2.5
19. Calcula las siguientes razones trigonométricas:
a) sin 700o
b) cos 1125o
c) tan(−400o )
d) cot 495o
e) csc 610o
f ) sec 1635o
20. Halla los ángulos menores que 360o que verifican:
a) sin α = 0, 1875
b) cos α = −0, 3761
c) tan α = 3, 7
d) cot α = −1, 5607
e) csc α = −3, 0123
f ) sec α = 4, 4560
21. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo α del tercer cuadrante
si tanα = 2.
22. Si un ángulo α verifica que sin2 α = 41 , ¿en qué cuadrante se encuentra?
¿Cuál es el valor de α?
23. Si tanα = −1 y cosα > 0, ¿en qué cuadrante se encuentra? ¿Cuánto mide
α?
24. Un ángulo α está en el segundo cuadrante y se sabe que cosα = −3/4.
Halla las restantes razones trigonométricas de α.
25. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo α sabiendo que pertenece
al tercer cuadrante y tanα = 3.
26. Se sabe que un ángulo α del cuarto cuadrante es tal que cscα = −5/3.
¿Cuáles son las restantes razones trigonométricas del mismo?
27. A partir de las razones trigonométricas de 30o , halla el seno, el coseno y
la tangente de 60o , 150o , 210o y 330o (-30o ).
sin(α + β) = sin α cos β + cos β sin α
sin(α − β) = sin α cos β − cos β sin α
sin 2α = 2r
sin α cos α
α
1 − cos α
sin = ±
2
2
2
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
2
cos 2α = cosr
α − sin2 α
α
1 + cos α
cos = ±
2
2
tan α + tan β
1 − tan α tan β
2 tan α
tan 2α =
1 − tan2 α
tan (α + β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
r
1 − cos α
=±
1 + cos α
tan (α − β) =
tan α2
28. Resuelve la ecuación sin 2x = cos x, donde −90o ≤ x ≤ 90o .
29. Resuelve la ecuación sin(2x + 60o ) + sin(x + 30o ) = 0 con 0o ≤ x ≤ 360o .
30. Se sabe que sin 20o = 0, 3420; cos 20o = 0, 9397; tan 20o = 0, 3640 y sin 15o =
0, 2588; cos 15o = 0, 9659; tan 14o = 0, 2679. Calcula las razones trigonométricas
de 35o , 5o y 40o .
31. Sabiendo que cos120o =-0.5, calcular las razones trigonométricas de 60o .
32. Si tanα = 0, 7 y α está en el primer cuadrante, calcula las razones trigonométrics
del ángulo complementario, 90o -α, y del ángulo suplementario, 180o -α.
33. Sabiendo que α + β = 360o y que sinα = 0.4 (90o <α < 180o ) calcula las
razones trigonométricas de β.
34. Los ángulos α y β se diferencian en 180o . Si cosα = −0, 3 y sinα > 0,
determina las razones trigonométricas del ángulo β.
35. Si sinα = 1/3, calcula sin(α + 30o ), sin(α + 45o ), cos(α − 60o ), tan(60o − α).
36. Si tanα = 3, calcula tan2α, sin 2α y coα/2.
37. De un ángulo α del segundo cuadrante se sabe que su cotangente vale -5/3.
Calcula las razones trigonométricas del ángulo α/2.
38. Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una
vez abiertos, formen un ángulo de 60o . Para que la altura de la escalera,
estango abierta, sea de dos metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?
39. Una escalera de 4m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación
si su base dista 2m de la pared?
40. Representa las siguientes funciones:
(a) y = sen(x)
(b) y = sen(2x)
(c) y = cos(x)
(d) y = tg(x)
41. Simplifica al máximo estas expresiones:
π
3π
+ α − sin
−α
(a) sin
4
4
π
(b) sin(π + α) − cos
−α
2
3
(c) tan(-α) + tan(π − α)
(d) sin(5π − α) + sin (π + α) − sin
3π
+α
2
42. Halla sinx a partir de tanx.
43. Expresa cosx en función de tanx/2.
44. Resuelve la ecuación trigonométrica sin2x=cosx, donde -90o ≤ x ≤ 90o .
45. Resuelve la ecuación sin(2x+601)+sin(x+30o )=0 con 0o ≤ x ≤ 360o .
46. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
(a) sin2x=sinx, 0o <x<360o
(b) 2sin2 x = sin x, 0o <x<360o
(c) cot2 x − csc x = 1, 0o <x<360o
(d) 10sin2 x + cos x = 7, 0o <x<360o
(e) cos2x-2sin2 2x = 1, 0o <x<360o
1
(f) cos2 x − sin2 x = , 0o <x<360o
2
(g) cosx=sinx, 0o <x<360o
47. Halla la longitud del lado de un pentágono regular inscrito en un cı́rculo
de 10 cm de radio.
48. Un triángulo isósceles tiene una base de 10 cm y los dos ángulos iguales
de la base miden 75o cada uno. Determina la longitud de su altura y la de
los dos lados iguales.
49. Desde un punto A se observa el ancho de una columna cil´ndrica de 0,8
m de diámetro bajo un ángulo de 6o . Halla la distancia del punto
A al eje de la columna.
50. Una escalera de 2 m de longitud está apoyada a una pared y se separa de
ella 0,5 m. Calcula el ángulo que forma con el suelo.
51. Al observar un árbol desde un punto situado a 10 m de su base se mide
un ángulo de 35o . ¿Qué altura tiene el árbol?
52. Una construcción en forma de pirámide cuadrangular mide 40 m de altura
y, su base, 50 m de lado. Halla el ángulo de inclinación de sus caras
laterales respecto del suelo.
53. Para medir la distancia de un barco (situado en el punto P) a la costa
(punto Q), nos situamos en un punto B de la costa a 300 m del punto
Q y medimos el ángulo PBQ, que resulta ser de 72o . ¿A qué distancia se
encuentra el barco de la costa?
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54. Desde un determinado punto situado en el suelo se observa una torre bajo
un ángulo de 22o . Si nos apartamos 10 m de la base de la torre, el ángulo
de visión es de 15o . ¿Qué altura tiene la torre? ¿A qué distancia de su
base se encuentra el primer punto de observación?
55. Desde un punto A al pie de una colina, una persona camina 300 m subiendo una pendiente de 24o y, a continuación, asciendo 100 m en la misma
dirección por una pendiente de 31o hasta alcanzar la cima de la colina.
Calcula la distancia en lı́nea recta de A a la cima de la colina y el ángulo
de elevación de la misma observado desde A.
56. Comprueba:
sin α
1 + cos α
=
sin α
1 − cos α
57. Demuestra:
3 − 4 cos2 α = 4 sin2 α − 1
58. Comprueba esta identidad:
cos α
1 + sin α
+
= 2 sec α
1 + sin α
cos α
59. Comprueba:
1
cos α
=
sec α + tan α
1 + sin α
60. Demuestra:
2 tan α + cot α
= 1 + sin2 α
tan α + cot α
61. Comprueba:
2 tan α
= 1 + tan2 α
sin 2α
62. ¿Puede ser sec α = 0.5? ¿Por qué?
63. Si sinα = 0, 5 y tanα es negativa, ¿en qué cuadrante se encuentra el ángulo
α?
64. ¿Puede ser que el seno, el coseno y la tangente de un ángulo sean todos
negativos?
65. Si cotα es negativa, ¿qué signo tiene el producto secα · csc α?
66. Si la medida de un ángulo aumenta de 0o a 90o , su coseno, ¿aumenta o
disminuye? ¿y su seno? ¿y su tangente?
67. Al aumentar de 90o a 180o , ¿cómo varı́an el seno y el coseno de un ángulo?
¿Y si el ángulo varı́a de 270o a 360o ?
68. Si tanα = 3,¿cuánto vale tan(180o -α)?
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69. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa vale 1 y uno de los ángulos
agudos mide 30o . ¿Cuál es la longitud de los dos catetos?
70. Sabemos que sinα = 0, 2 y que está en el primer cuadrante. ¿Cuánto vale
cos(90o + α)? ¿Y sin(180o +α)?
71. Calcula tan(α + β + γ) en función de tanα, tan β y tan γ.
72. Un sistema de dos ecuaciones trigonométricas con dos incógnitas es un
conjunto formado por dos ecuacines trigonométricas en les que intervienen
dos ángulos distintos. Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:
√
sin x + cos y = √2
csc x + sec y = 2 2
73. Halla una fórmula que exprese sin4α en función de sinα y de cosα.
74. Resuelve la ecuación trigonométrica: 4cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x = 1.
x
x
75. Comprueba que cosx = cos4
− sin4
.
2
2
76. Resuelve la ecuación trigonométrica:sin4 x − cos4 x =
1
.
2
77. Resuelve la ecuación trigonométrica: sin4 x − cos2 x = 0.
78. Comprueba la siguiente preposición:”Si ABC es un triángulo rectángulo, y
AH la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces, AH2 = BH ·CH”.
79. Una cometa está sujeta a una cuerda de 25 m de largo y se eleva de manera
que la cuerda forma un ángulo de 37o con el suelo. ¿A qué altura vuela?
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