álgebra lineal

Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac
Examen final de Cálculo Multivariado
Área de ciencias básicas
(Viernes 20 de mayo de 2011, 13:15 )
Nombre______________________________________________
Aciertos ______ Calificación ______
Profesor______________________________________________
Instrucciones:
Se permite el uso de cualquier tipo de calculadora, pero no de equipos de comunicación a distancia. El
uso de calculadora se restringe a apoyar la comprobación de resultados, NO SE ADMITIRÁ como
sustituto de los procedimientos correspondientes.
Se permite el uso de UNA hoja de formulario.
Valor de cada reactivo: 4 puntos. Puntuación máxima: 2.8. La calificación se obtendrá dividiendo el
total de aciertos entre 2.8.
El examen constituye el 40% de la evaluación global. Tiempo máximo disponible: 1h 50 min.
Respuestas de más de 1 punto sin procedimiento se anularán.
Problema de modelado.
1. La base de una pecera de volumen V está hecha de acrílico y los lados son de vidrio. Si el costo por
unidad de área del acrílico es cinco veces el costo por unidad de área del vidrio, ¿cuáles son las
dimensiones de la pecera de menor costo en términos de V?
Problema de análisis.
2. Contexto:
Se está diseñando un edificio en forma de prisma rectangular y se quieren minimizar las
perdidas por calor. Los muros oriente y poniente pierden calor a razón de 10 unidades por m 2 por
día (u/m2-d). Los muros norte y sur a razón de 8 u/m 2-d, el piso 1 u/m2-d y el techo 5 u/m2-d.
Cada muro debe tener por lo menos 30 m de largo. La altura debe ser mínimo de 4 m y el volumen debe ser
exactamente 4900 m3. Se requiere encontrar las dimensiones para minimizar las pérdidas de calor
por día.
Modelado del problema:
Para resolver este problema, primero se describen las pérdidas de calor, como función
del largo “ ” de los muros oriente y poniente, y el ancho “ ” de los muros norte y sur. Dado
que el volumen debe ser 4900 m3, la altura , en términos de las variables anteriores, queda
determinada por la ecuación
función
de
nuestras
. Si ahora describimos la pérdida de calor “ ” como
variables,
obtenemos
la
expresión
, en la cual usted debe sustituir
(la
ecuación de la altura), para reducir la expresión de pérdida de calor a una función de dos
variables.
Las cuatro restricciones -en las unidades adecuadas- de las longitudes de los muros oriente
y poniente, norte y sur, altura y volumen correspondientemente son:
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac
Examen final de Cálculo Multivariado
Área de ciencias básicas
(Viernes 20 de mayo de 2011, 13:15 )
Al despejar de la ecuación del volumen la altura
la tercera inecuación
en términos de las variables
y sustituir en
, se habrá reducido el problema a tres inecuaciones de restricción y en
términos exclusivamente de las variables
, las cuales describen una región R en el plano XY.
Ahora la intención es minimizar las pérdidas de calor.
Escriba la función de pérdida de calor y las restricciones en términos de las variables
que
resultaron del proceso anterior. (Este paso no se puntuará pero es indispensable para el análisis).
a) Grafique la región R en un plano cartesiano y determine el mínimo de
en esta región,
analizando con todo detalle el interior y la frontera de R.
b) ¿Es posible diseñar un edificio con menos pérdidas de calor si se permiten muros más cortos?
Justifique su respuesta a partir del análisis realizado en el inciso anterior.
Problemas operativos.
3. Determine el ángulo agudo formado entre el plano que contiene a los puntos
y el plano tangente al gráfico de la función
en el punto
.
4. Se suelta una gota de agua en el punto
sobre la gráfica de la función
. ¿En qué dirección se resbala?
5. Encuentre el polinomio de Taylor a segundo orden de la función
en torno al
punto (0, 0, 1).
6. Evalúe la siguiente integral invirtiendo el orden de integración y detallando cada paso de su
resolución
7. Calcule el volumen contenido debajo de la superficie del gráfico de la función
y sobre la región