HOJA Nº 15.LEYES DE NEWTON Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO (I)

HOJA Nº 15. LEYES DE NEWTON Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO (I)
1. Dos bueyes tiran de una roca de 1.000 kg, mediante dos cuerdas que forman un ángulo de
90º entre sí aplicando cada uno una fuerza de 2900 N. ¿cuál es el módulo de la fuerza
total que actúa sobre la roca?
Solución
La fuerza resultante la calculamos aplicando Newton:
R2 = F12 + F22 = 29002 + 29002
R = 4101 N
2.
Una fuerza tiene de módulo 4 N y forma un ángulo con el eje positivo x de 30º. Calcula las
componentes cartesianas de esta fuerza.
Solución
La fuerza F de 4 N de módulo puede descomponerse en dos
fuerzas perpendiculares de módulos Fx y Fy
El valor del módulo de estas fuerzas lo calculamos mediante
las razones trigonométricas seno y coseno, de manera que
Fx = F·cos(30)
y Fy = F·sen(30)
En este caso Fx = 3,46 N y Fy = 2 N
La fuerza F podemos escribirla en forma vectorial como
ሬ
ሬ⃗ = ૜, ૝૟ · ࢛
ሬ
ሬሬ
ሬ
ሬ
⃗ + ૛ · ሬ
ሬሬሬሬ
ሬ⃗ (ࡺ )
ࡲ
࢛
࢞
࢟
3.
Una persona cuyo coche ha quedado atascado en el barro se las ingenia para sacarlo usando
la mínima fuerza posible, para lo cual realiza el siguiente montaje: ata con una soga el
extremo del paragolpes del auto y el otro extremo a un árbol como se ve en la figura. Luego
tira del punto medio de la cuerda, haciendo una fuerza que calcula en 300N. El automóvil
comienza a moverse cuando la cuerda forma un ángulo θ de 5° (ver figura)¿Con qué fuerza
tira la cuerda del coche?
Solución
Se trata de aplicar la 1ª ley de Newton, el coche está
justa antes de comenzar a moverse, podemos decir
que el sistema está justo en equilibrio. En cuyo caso
la fuerza resultante es 0. Se trata simplemente de
plantear esta afirmación de forma matemática:
Al empujar en el centro de la cuerda la fuerza de
reacción de la cuerda (3ª Ley de Newton) se
descompone en dos: T1 y T2: La condición de
equilibrio es que la suma de todas las fuerzas es 0.
ሬ
⃗ ሬሬሬ⃗ ሬሬሬ⃗
‫ܨ‬ሬሬ
௣ + ܶଵ + ܶଶ = 0
Pero sumar fuerzas no perpendiculares parece
difícil. No lo es, recuerda como trabajabas con los vectores velocidad al estudiar la
composición de movimientos. Trabajabas por componentes. Pues aquí igual. Si la
fuerza total es 0 quiere decir que las componentes horizontal y vertical son cero
Componentes verticales:
Fp - T1·senƟ - T2·senƟ = 0
Componentes horizontales
-T1·cosƟ + T2·cosƟ = 0
Sustituimos los valores conocidos: Ɵ= 5º y Fp= 300 N
300 - T1·0,087 - T2·0.087 = 0
-T1 + T2 = 0
Por tanto tenemos que T1 = T2 = 1720 N
Fijaros como la física ayuda a conseguir mucho con poco esfuerzo: esta persona ha
multiplicado su fuerza ¡ casi por 6!: aplicó 300 N y consiguió 1720N
Lo interesante en este ejercicio es como hacemos la composición de fuerzas: usando
las componentes perpendiculares.
4. En figura adjunta ves un cajón cuyo peso es 736 N colgando de dos cuerdas que pasan por
sendas poleas fijas en los edificios laterales. Los ángulos formados por cada cuerda con la
horizontal son de 50º y 30º . ¿Qué fuerza deben hacer los operarios para que el sistema
esté en equilibrio?.
Solución
El primer paso en estos ejercicios es hacer una
representación vectorial de las fuerzas que actúa.
En este caso tenemos 3 Fuerzas: las tensiones de
las cuerdas y el peso de del cajón. A continuación
calculamos las componentes horizontales y
verticales y pasamos a determinar la fuerza
resultante. Si es 0, el sistema está en equilibrio, y
si no pues no lo está.
Componentes verticales
-736 + T1·sen 50 + T2·sen 30 = 0
Componentes horizontales
- T1·cos 50 + T2·cos 30 = 0
Resolviendo
T1 = 647,2 N
T2 = 480,4 N
Como ves seguimos el criterio de signos habitual: positivo sentido al venir desde la
izquierda y al ir de abajo arriba.
5. Una cuerda se extiende entre dos postes. Un chico de 90N se cuelga de la cuerda como se
observa en la figura. Encuentra las tensiones soportadas por la cuerda.
Solución
Como es habitual el primer paso es "ver" las fuerzas que actúan en este sistema
Como el chico ni sube ni baja, está colgado pues podemos aceptar que este sistema
está en equilibrio y aplicar la condición de equilibrio: fuerza total = 0
Fuerzas verticales ƩFy = 0
- 90 + T1·sen10 + T2·sen 5 = 0
Fuerzas horizontales ƩFx = 0
- T1·cos10 + T2·cos 5 = 0
Tenemos un sistema de ecuaciones que resuelto nos lleva a que
T1 = 346 N y T2 = 343 N
6. Sea una maleta de 25 kg de masa situada sobre una mesa horizontal, determinar la
aceleración que le provocará una fuerza constante de 100 N.
¿Qué velocidad alcanzará al cabo de 10 s?
Solución
Primero representamos la situación desde el punto de
vista de la dinámica
La fuerza N aparece como reacción de la mesa sobre la maleta y tiene el mismo
módulo que el peso, por tanto las fuerzas verticales se anulan. Al no existir
rozamiento (superficie lisa) solo queda la fuerza horizontal, sentido hacia la derecha, y
módulo 100 N. Aplicando la segunda ley de Newton tenemos que
100 = 25·a; a = 4 m/s2
F = m·a;
La velocidad que alcanzará admitiendo que parte del reposo es
v = v0+ a·t = 0 + 4·10 = 40 m/s
7. Halla la fuerza necesaria para detener en 8 s con deceleración constante:
a. Un camión de 3000 kg que marcha a la velocidad de 20 m/s por una carretera recta
y horizontal.
b. Una pelota de 0.5 kg que va con una velocidad de las mismas características que el
camión del apartado anterior.
Solución
a. Usando la 2ª Ley de Newton tenemos que la relación entre fuerza y aceleración
ƩF = m·a
En las condiciones del ejercicio tenemos qeu calcular la aceleración para obtener el
tiempo que tarda en detenerse, pues conocemos la masa del camión. Recordemos la
cinemática y apliquemos la definición de aceleración media (el intervalo de tiempo es
de 8 s) para calcular el módulo de la aceleración:
ܽ=
߂‫ ݒ‬0 − 20
=
= −2,5݉ /‫ݏ‬ଶ
߂‫ݐ‬
8
La aceleración tiene sentido opuesto a la velocidad.
Luego la fuerza necesaria será de
ƩF = 3000·(-2,5) = -7500 N
misma dirección que el movimiento pero de sentido opuesto al desplazamiento.
b. lo mismo pero para una pelota, solo cambia la masa luego
ƩF = -0,5·2,5 = -1,25 N
La fuerza es opuesta al desplazamiento (signo negativo)
Otro camino
Usando la cantidad de movimiento, recuerda que la fuerza se puede medir por la
variación de la cantidad de movimiento (trabajamos en el SI, velocidades en m/s,
Fuerzas en N y cantidad de movimiento en kg·m/s)
ሬ⃗ =
Ʃࡲ
ሬ
⃗ି࢖
ሬ
ሬ
ሬ⃗࢏
࢖ሬሬሬ
ࢌ
∆࢚
ሬ
⃗ = ૟૙૙૙૙ · ሬ
⃗
࢖ሬሬ⃗ଙ = ૜૙૙૙ · ૛૙ · ሬ
࢛ሬሬሬ
࢛ሬሬሬ
࢞
࢞
ሬ
⃗ = ૜૙૙૙ · ૙ · ሬ
⃗=૙
࢖ሬሬሬ
࢛ሬሬሬ
ࢌ
࢞
Por lo tanto podemos calcular la fuerza
ሬ⃗ =
Ʃࡲ
૙− ૟૙૙૙૙
ሬ⃗࢞ = −ૠ૞૙૙࢛
ሬ⃗࢞ࡺ ࢛
ૡ
Repetimos el proceso para la pelota
ሬ⃗ =
Ʃࡲ
ሬ
⃗ି࢖
ሬ
ሬ
ሬ⃗࢏
࢖ሬሬሬ
ࢌ
∆࢚
ሬ
⃗ = ૚૙ · ሬ
⃗
࢖ሬሬ⃗ଙ = ૙, ૞ · ૛૙ · ሬ
࢛ሬሬሬ
࢛ሬሬሬ
࢞
࢞
ሬ
⃗ = ૙, ૞ · ૙ · ሬ
⃗=૙
࢖ሬሬሬ
࢛ሬሬሬ
ࢌ
࢞
Por lo tanto podemos calcular la fuerza
ሬ⃗ =
Ʃࡲ
૙− ૚૙
ሬ⃗࢞ = −૚, ૛૞࢛
ሬ⃗࢞ࡺ ࢛
ૡ
Como ves en este segundo método hemos usado notación vectorial, aunque como el
movimiento es un una dirección podemos hacerlo como en el primer método, trabajar
con módulos..
8. A un cuerpo de 20 kg en reposo le aplicamos una fuerza de 98 N para desplazarlo en línea
recta. Halla la aceleración del cuerpo. ¿Qué velocidad tendrá a los 5 s?¿qué impulso ha
sufrido el cuerpo?.
Solución
Con la 2ª ley de Newton
para saber la velocidad al cabo de 5 s utilizo las ecuaciones del movimiento acelerado
De la segunda ley de Newton calculo la aceleración
ƩF = m·a
Conozco la fuerza (98 N) y la masa (20 Kg) por tanto la aceleración es a = 4,9 m/s2
Velocidad
v = v0 + a·t = 0 + 4,9·5 = 24,5 m/s
La segunda parte podríamos haberla resuelto por cantidad de movimiento
ሬ⃗ =
Ʃࡲ
ሬ
⃗ − ࢖
ሬ
ሬ
ሬ⃗࢏
࢖ሬሬሬ
ࢌ
∆࢚
Conocemos la velocidad y el tiempo por tanto podemos despejar la variación de la
cantidad de movimiento (como es movimiento rectilineo en una dimensión podemos
trabajar con módulos y simplificar la notación)
pf - pi = 98·5 = 490 Kg·m/s
pi es cero (parte del reposo) por tanto pf = 490 kg·m/s
pf = m·v = 20·v = 490 N·s, despejas v y tenemos que v = 490/20 = 24,5 m/s
Por último el impulso mecánico: I = F·△t (trabajamos con módulos porque estamos
en movimiento rectilineo unidimensional, en el plano o el espacio tenemos que
trabajar con vectores)
I = 98·5 = 490 N·s