Intervalos de confianza

Probabilidad y Estadı́stica
Grado en Telecomunicaciones, UAM, 2014-2015
Intervalos de confianza
Estadı́sticos básicos para una muestra x1 , x2 , . . . , xn :
Media muestral
n
1
x=
xj
n j=1
Cuasivarianza muestral
n
1 2
s =
(xj − x)2
n − 1 j=1
Notación para percentiles
1. Normal estándar
En Excel:
zα = distr.norm.estand.inv(1 − α)
Algunos valores:
z5% = 1.645, z2.5% = 1.960, z0.5% = 2.576.
2. t-Student, n grados de libertad
En Excel:
t{n;α} = distr.t.inv(2α;n)
Algunos valores:
t{3; 5%} = 2.353, t{3; 2.5%} = 3.182, t{3; 0.5%} = 5.841.
t{4; 5%} = 2.132, t{4; 2.5%} = 2.776, t{4; 0.5%} = 4.604.
t{5; 5%} = 2.015, t{5; 2.5%} = 2.571, t{5; 0.5%} = 4.032.
3. χ2 con n grados de libertad
En Excel:
χ2{n;a} = prueba.chi.inv(α;n)
4. F de Fisher
En Excel:
F{n1 ,n2 ;α} = distr.f.inv(α;n1 ;n2 )
Intervalos I de confianza 1 − α para UNA distribución
Normal N (μ, σ)
Para la media μ:
σ I = x ± zα/2 √ .
n
s I = x ± t{n−1; α/2} √
n
• si σ conocida:
• si σ desconocida:
Para la varianza σ 2 :
I=
(n − 1) s2
,
χ2{n−1; α/2}
(n − 1) s2
χ2{n−1; 1−α/2}
Proporción p:
x (1 − x)
I = x ± zα/2
n
Poisson (λ)
Para la media λ:
√ x
I = x ± zα/2 √
n
Intervalos I de confianza 1 − α para DOS distribuciones
Dos normales, X1 = N (μ1, σ12), X2 = N (μ2 , σ22)
Datos:
• muestra de tamaño n1 de la variable X1 , con media muestral x1 y cuasivarianza muestral s21 .
• muestra de tamaño n2 de la variable X2 , con media muestral x2 y cuasivarianza muestral s22 .
Para la diferencia de medias μ1 − μ2 :
• si σ1 , σ2 conocidas:
I=
x1 − x2 ± zα/2
σ12
n1
+
σ22
n2
• si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2 :
I = x1 − x2 ± t{n1 +n2 −2; α/2} · sp n11 +
donde
s2p =
1
n2
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
.
(n1 − 1) + (n2 − 1)
• si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2 :
s2
s2
I = x1 − x2 ± t{f ; α/2} n11 + n22
2
2
s1 /n1 + s22 /n2
donde f es el entero más próximo a (s2 /n )2 (s2 /n )2 .
1
1
+ n2 2 −12
n1 −1
Para el cociente de varianzas σ12 /σ22 :
s21 /s22
s21 /s22
,
I=
F{n1 −1 , n2 −1 ; α/2} F{n1 −1 , n2 −1 ; 1−α/2}
Comparación de proporciones p1 y p2
Datos:
• muestra de tamaño n1 de la variable X1 ∼ ber(p1 ), media muestral x1 .
• muestra de tamaño n2 de la variable X2 ∼ ber(p2 ), media muestral x2 .
Para p1 − p2 :
I=
x1 − x2 ± zα/2
x1 (1−x1 )
n1
+
x2 (1−x2 )
n2