control robusto qft de una lanzadera espacial tipo vega

CONTROL ROBUSTO QFT DE
UNA LANZADERA ESPACIAL TIPO VEGA
Carlos Molins, Jorge Elso, Irene Eguinoa, Mario García-Sanz
Departamento de Automática y Computación, Universidad Pública de Navarra
Campus Arrosadía, 31006 Pamplona. E-mail:[email protected]
Resumen
El presente trabajo aborda el problema de control de
posicionamiento y orientación de una lanzadera
espacial tipo Vega. En primer lugar se desarrolla un
modelado general de la lanzadera espacial en el que
se tienen en cuenta las variaciones de masa,
gravedad, densidad del aire, etc. A continuación se
determina un área de trabajo y se extrae un modelo
lineal al que se asocia una incertidumbre en los
parámetros. Sobre dicho modelo se aplica la técnica
de control robusto QFT para diseñar los
controladores que gobiernan los ángulos de
inclinación y la coordenada de altura del centro de
gravedad de la lanzadera espacial. Finalmente, se
realiza la validación del sistema mediante
simulación.
Palabras Clave: Lanzaderas Espaciales, Control
Robusto, QFT, Modelado.
1
INTRODUCCIÓN
Las mejoras tecnológicas en la miniaturización de
componentes y en el almacenamiento y gestión de la
energía permiten una considerable reducción de la
dimensión y peso de los satélites, independientemente de la misión para la que hayan sido
diseñados. Además, se está llevando a cabo una
importante política de reducción de costes en los
programas espaciales. Como consecuencia, las
agencias espaciales se están centrando en desarrollar
nuevos satélites más ligeros, que requieran menos
gastos y se desarrollen en un periodo más corto. La
Agencia Espacial Europea está dedicando un gran
esfuerzo en el desarrollo de nuevas lanzaderas
espaciales que satisfagan los requerimientos antes
mencionados. Unos de sus resultados es la lanzadera
espacial Vega (Figura 1), cuyo desarrollo comenzó
en 1998 a partir de la tecnología y componentes
empleados en la lanzadera Ariane 5, y que se
pretende lanzar al espacio a finales de 2007.
Figura 1: Lanzadera Espacial Vega (ESA)
El presente trabajo aborda el modelado, control y
simulación de una lanzadera espacial tipo Vega.
El modelo matemático se obtiene aproximando la
lanzadera por un sólido rígido libre en el espacio
(seis grados de libertad). El modelo queda definido
por la ecuación de traslación, que describe el
movimiento del centro de gravedad, y la ecuación de
rotación, correspondiente a los tres posibles giros de
la lanzadera en el espacio (orientación).
Respecto al control, se realiza el diseño apoyándose
en la técnica de control robusto QFT, aplicada sobre
el sistema lineal con incertidumbre que se obtiene al
linealizar el modelo general en cierto rango de puntos
de trabajo.
La validación del modelo y el diseño se realiza
mediante
un
simulador
implementado
en
Matlab/Simulink.
2
MODELADO
2.1
MODELO GENERAL
2.1.1 Descripción del sistema
El sistema bajo estudio está formado por la Tierra,
que gira con una velocidad angular constante, y por
la lanzadera espacial, que es de masa variable debido
a la pérdida de componentes y al consumo de
combustible durante su vuelo. La orientación de la
lanzadera en cualquier instante, definida por el
sistema de ejes XB,YB,ZB, se considera respecto del
sistema de referencia no inercial definido por los ejes
XNI,YNI,ZNI, que tienen como origen el centro de la
Tierra, y que giran solidarios a ella (ver Figura 2). A
su vez, el posicionamiento del centro de gravedad de
la lanzadera se realiza respecto del centro de la
Tierra.
De acuerdo con la Figura 2 y la Figura 3, el siguiente
diagrama nos muestra los cambios de orientación
tomados en cuenta para llegar a la orientación de la
lanzadera espacial, partiendo del sistema de
referencia no inercial solidario a la Tierra.
Tierra
θ
XNI,YNI,ZNI
ψ
β
α
φ Lanzadera
X1,Y1,Z1 XR,YR,ZR X2,Y2,Z2 X3,Y3,Z3 XB,YB,ZB
Durante el vuelo la lanzadera va a estar sometida a
las siguientes fuerzas y momentos:
1. Fuerza gravitatoria. Es la principal fuerza que
deben vencer los motores con el empuje
proporcionado por los gases de escape. Esta
fuerza no genera momentos respecto del centro de
gravedad de la lanzadera.
2. Fuerza aerodinámica. Se genera únicamente
cuando la lanzadera atraviesa la atmósfera y actúa
sobre el centro de presiones (Cp). Está compuesta
por la componente Lift (L, que genera momentos
respecto del centro de gravedad de la lanzadera,
lo que produce su inclinación) y Drag (D, que se
opone al movimiento de la lanzadera sin generar
momentos).
3. Fuerza de empuje: la proporcionan los gases
expulsados por los motores a gran velocidad. Se
encarga de vencer las fuerzas que se oponen al
movimiento y de generar los momentos
necesarios para que la lanzadera siga la
trayectoria deseada.
2.1.2 Movimiento de traslación
A partir de [1] y [2] se tiene que la ecuación del
movimiento de traslación de la lanzadera espacial en
el sistema de referencia no inercial es el siguiente
Figura 2: Descripción del sistema

∑ F = m  a

NI
(
)
(
)
 dm  
+ 2 ω ⊗ ∧ V NI + ω ⊗ ∧ ω ⊗ ∧ r NI − v e 
 
 dt  
(1)
donde
∑F
es la resultante de las fuerzas gravitatoria y
aerodinámica,
Figura 3: Ángulos de Euler
m
es la masa total de la lanzadera (variable con
el tiempo),
a NI
es la aceleración relativa del centro de
gravedad de la lanzadera con respecto a los
ejes fijos a la Tierra, XNI,YNI,ZNI,
r NI
V NI
es la posición relativa del centro de gravedad
de la lanzadera en los ejes fijos a la Tierra,
XNI,YNI,ZNI,
 I xx (t ) I xy (t ) I xz (t )


I (t ) =  I yx (t ) I yy (t ) I yz (t ) ,
 I zx (t ) I zy (t ) I zz (t )


es la velocidad relativa del centro de
gravedad de la lanzadera en los ejes fijos a
la Tierra, XNI,YNI,ZNI,
ω⊗
es la velocidad angular de la Tierra,
ve
es la velocidad de los gases de escape con
respecto a la lanzadera, y
 dm  es el término relacionado con la fuerza de
ve 

 dt 
(3)
es la matriz de inercia de la lanzadera en los ejes
XB,YB,ZB cuando éstos no coinciden con los ejes
principales de inercia de la lanzadera, y
ω x 
 
= ω y 
ω 
 z  XB,YB, ZB
{ω }
XB ,YB, ZB
(4)
es el vector velocidad angular de la lanzadera.
empuje que proporcionan los motores.
Esta expresión de la ecuación de traslación coincide
con las que aparecen en [3] y [4]. En [7] se describe
otro modelo, a partir del cual, con una serie de
consideraciones, se puede llegar al descrito en este
trabajo.
2.1.3 Movimiento de rotación
La lanzadera se considera un sólido rígido libre en el
espacio, por lo que puede girar en los tres ejes que
definen su orientación, XB,YB,ZB. En la Figura 4 se
muestran las velocidades angulares de la lanzadera
asociadas a los giros de la misma.
Las aceleraciones angulares de la lanzadera se
pueden determinar a través de la 2ª ley de Newton,
que relaciona la velocidad de cambio del momento
angular h con la resultante de los momentos
exteriores, M . De este modo, la ecuación de
rotación en el sistema de ejes de la lanzadera
XB,YB,ZB es
•
M = h+ ω ∧ h .
(5)
En este caso, los únicos momentos exteriores son los
generados por la fuerza aerodinámica (Lift, L) y por
la fuerza de empuje de los motores.
Suponiendo que los ejes XB,YB,ZB coinciden con los
ejes principales de inercia de la lanzadera, se obtiene
el modelo de la ecuación de rotación descrito en [3] y
[4]. Otros modelos de la ecuación de rotación se
pueden hallar en [7] y [10].
Los modelos descritos por estas ecuaciones de
traslación y rotación presentan una gran complejidad,
debido a la variación de la masa, la variación de la
matriz de inercia, movilidad del centro de gravedad
de la lanzadera, etc.
2.2
Figura 4: Velocidades angulares de la lanzadera
El momento angular de la lanzadera espacial en el
sistema XB,YB,ZB viene dado por
h = I (t ) ω ,
donde
(2)
MODELO PARTICULAR
La lanzadera espacial que se estudia en el presente
trabajo está basada en la lanzadera espacial Vega,
que tiene una altura aproximada de 30 metros, una
masa de 136 toneladas y consta de cuatro etapas.
El modelo particular es una simplificación del
modelo general desarrollado en el punto anterior,
válido para la primera etapa de la lanzadera. Para
llegar al mismo se toman las siguientes hipótesis:
•
La aceleración de la gravedad y la densidad del
aire se consideran constantes con una
incertidumbre asociada.
•
La masa y la velocidad de la lanzadera se
consideran constantes con una incertidumbre
asociada.
•
Los ejes XB,YB,ZB coinciden con los ejes
principales de inercia de la lanzadera.
•
Los coeficientes Cl (coeficiente de lift) y Cd
(coeficiente de drag) se consideran constantes y
de valor Cl=0,0012 y Cd=1,2, con una
incertidumbre asociada.
Las velocidades y aceleraciones angulares de la
lanzadera se definen en función de los ángulos de
Euler mostrados en la Figura 3, como se muestra a
continuación:
{ω}XB ,YB,ZB
0
ω x 
 
•
= ω y 
= α 
•
β 
ω 
 z  XB ,YB ,ZB   XB ,YB ,ZB
(7)
• 
ω 
  XB,YB,ZB
• 
0 
ω• x 
 •• 
 
= ω y 
= α 
••
• 
β 
ω
z

 XB,YB,ZB
 
XB,YB,ZB
(8)
•
Los ángulos de rotación de la lanzadera β, α y
φ se consideran muy pequeños.
•
ψ y θ tienen el valor 5,23º y 52,65º
respectivamente.
Las expresiones de las fuerzas y momentos que
actúan sobre la lanzadera son:
•
La lanzadera no gira respecto de su eje de
simetría, con lo que ωx = 0.
Fuerza gravitatoria:
•
No hay momentos aplicados sobre el eje de
simetría de la lanzadera.
La masa, velocidad, densidad del aire y aceleración
de la gravedad se toman constantes debido a que la
dinámica de la lanzadera se considera mucho más
rápida que la velocidad de variación de estas
variables. No obstante, se asocia una incertidumbre al
modelo que engloba las variaciones en el entorno del
punto de trabajo desde la altitud h = 0 metros hasta h
= 21120 metros.
Las principales consecuencias de las hipótesis
anteriores son:
•
El centro de gravedad de la lanzadera es fijo.
•
Las fuerzas gravitatoria y aerodinámica son
constantes, con incertidumbre asociada.
•
Los momentos debidos a las fuerzas
aerodinámicas
son
constantes,
con
incertidumbre asociada.
•
La matriz de inercia de la lanzadera es
 I xx

I =0
0

0
I yy
0
0

0 .
I yy 
{F }
peso XR ,YR , ZR
(9)
Fuerza aerodinámica:
{Faerodinámicas }XB,YB,ZB
− D 


=  − L1 
− L 
 2  XB ,YB,ZB
(10)
Fuerza de empuje:
{F
}
empuje XB ,YB , ZB
 FTx 
 
=  FTy 
F 
 Tz  XB ,YB, ZB
(11)
Momento debido a la fuerza de empuje:
{M
(6)
− m g 


= 0 
 0 

 XR ,YR, ZR
}
empuje XB ,YB , ZB


0


=  FTz OG g 
(12)
− F OG 
g  XB ,YB , ZB
 Ty
donde OGg es la distancia entre el punto de
aplicación de la fuerza de empuje y el centro de
gravedad de la lanzadera.
Momento debido a la fuerza aerodinámica:
{M aerodinámicas }XB,YB,ZB


0


=  L2 C p Gg 
− L C G 
 1 p g
3.1
Controlador para α
La planta para la que se va a diseñar este controlador
es
(13)
P1 =
XB,YB, ZB
K , con K ∈ [1.8633 × 10-6, 2.2782 × 10-6].
s2
donde CpGg es la distancia entre el punto de
aplicación de la fuerza aerodinámica y el centro de
gravedad de la lanzadera.
Especificación de estabilidad:
Aplicando todo lo descrito en este apartado a las
ecuaciones (1) y (5) y linealizando en torno al punto
de trabajo se obtienen las siguientes ecuaciones en el
dominio de Laplace:
que garantiza un margen de ganancia de 5.26 dB y un
margen de fase de 49º.
T ( j ω ) ≤ 1 .2
TRL (ω ) ≤ T ( jω ) ≤ TRU (ω )
y NI (s ) = FTx (s ) a 21 + FTy (s ) a 22 + FTz (s ) a 23 + α (s ) p 4 + β (s ) p5 + p 6
(14)
TRL (s ) =

 L2

 − A  − B
+  2  L1
2 
 s   s 
β (s ) = FTy (s )
(17)
36
0.03448 s + 1.455 s 2 + 14.44 s + 36
(18)
3
Especificación de rechazo de perturbaciones a la
entrada de la planta:
α (s )
siendo aij y pi funciones de transferencia con
incertidumbre asociada en sus parámetros y A, B
parámetros con incertidumbre.
En principio debería haber seis ecuaciones, puesto
que se trata de un sistema de seis grados de libertad,
pero al considerar en las hipótesis que la lanzadera no
gira respecto de su eje de simetría se elimina la
ecuación relacionada con el ángulo de giro en ese eje.
B
L2
A
=
0.1745
= 0.000114
1528.53
(19)
El controlador G1 y el prefiltro F1 diseñados son:
G1 (s ) =
3.58 × 10 9 s 2 + 3.62 × 10 9 s + 1.37 × 10 8
s 3 + 75 s 2 + 1250 s
F1 (s ) =
3
(16)
2.701 s + 29.71
s 2 + 7.273 s + 29.71
TRU (s ) =
z NI (s ) = FTx (s ) a 31 + FTz (s ) a 33 + α (s ) p 7 + β (s ) p 8 + p 9
 A B
+ 2
2 
s  s
(15)
Especificaciones de tracking:
x NI (s ) = FTx (s ) a11 + FTy (s ) a12 + FTz (s ) a13 + α (s ) p1 + β (s ) p 2 + p3
α (s ) = FTz (s )
∀ω ,
DISEÑO DE CONTROLADORES
MEDIANTE QFT
(20)
0.6947 s 2 + 14.87 s + 66.69
s 2 + 32.22 s + 66.69
(21)
Loop-shaping
100
Para la síntesis de los controladores se ha empleado
la metodología del control robusto QFT [6].
Lo(j.0,1)
Lo(j.0,5)
50
Lo(j.1)
Open-Loop Gain (dB)
Lo(j.2)
En este trabajo sólo se controlan las variables α, β y
zNI, dejando el control de las otras dos variables, xNI e
yNI, para futuros trabajos.
0
Lo(j.10)
Lo(j.5)
Lo(j.20)
-50
Lo(j.50)
Lo(j.100)
Respecto a los emparejamientos entre variables
manipulables y variables a controlar, observando (14)
se deduce que α se controlará con FTz, que β se
controlará con FTy y que zNI se controlará con FTx.
-100
-150
-360
-315
-270
-225
-180
-135
Open-Loop Phase (deg)
-90
-45
Figura 5: QFT loop-shaping para G1
0
3.2
Controlador para β
La planta para la que se va a diseñar este controlador
es P = K , con K ∈ [-2.2782 × 10-6, -1.8633 × 10-6].
2
100
Lo(j.0,1)
s2
50
Las especificaciones de estabilidad, tracking y
rechazo de perturbaciones son las mismas que las
definidas en el apartado 3.1.
Open-Loop Gain (dB)
Lo(j.1)
Así, el controlador G2 y el prefiltro F2 diseñados son:
− 3.58 × 109 s 2 − 3.62 × 109 s − 1.37 × 108
s 3 + 75 s 2 + 1250 s
G2 (s ) =
Lo(j.0,5)
Lo(j.2)
0
Lo(j.5)
-50
Lo(j.10)
Lo(j.50)
Lo(j.100)
Lo(j.20)
-100
(22)
-150
-350
F2 (s ) =
0.6947 s + 14.87 s + 66.69
s 2 + 32.22 s + 66.69
2
-300
-250
-200
-150
Open-Loop Phase (deg)
-100
-50
0
(23)
Figura 7: QFT loop-shaping para G3
Loop-shaping
100
4
Lo(j.0,1)
Lo(j.0,5)
VALIDACIÓN
50
Tras la obtención del modelo lineal y la síntesis de
los controladores, sólo queda la validación de los
diseños realizados. Para realizarla, se implementa un
simulador con Matlab/Simulink a partir de (14).
Lo(j.1)
Open-Loop Gain (dB)
Lo(j.2)
0
Lo(j.10)
Lo(j.5)
Lo(j.20)
-50
Lo(j.50)
Lo(j.100)
En el simulador aparecen cinco lazos, uno para cada
una de las variables a controlar. Entre ellos, de
acuerdo con (14), existen interacciones.
-100
-150
-360
-315
-270
-225
-180
-135
Open-Loop Phase (deg)
-90
-45
0
Figura 6: QFT loop-shaping para G2
3.3
Controlador para zNI
La planta empleada para el diseño de este controlador
es P3 = K , con K ∈ [6.7378 × 10-7, 1.1375 × 10-6].
s2
Las especificaciones de estabilidad y de tracking son
las mismas que las definidas en los apartados 3.1 y
3.2. La especificación de rechazo de perturbaciones a
la entrada de la planta se define como sigue:
Durante la etapa bajo estudio se pretende que α y β
tengan valor cero, es decir, que la lanzadera no pierda
su vertical original. Por eso, la señal de referencia de
estos ángulos será una señal de valor cero (ver
BETAref y ALFAref en Figura 10 y Figura 11). La
señal de referencia para Z es una rampa con distintas
pendientes por tramos (ver Zref en Figura 12).
Además, se han introducido unas perturbaciones en
la salida de los lazos de α y β para ver la reacción del
sistema ante vientos laterales que hacen que la
lanzadera pierda su vertical (ver Figura 8 y Figura 9).
0,2
Z (s )
= 0.001
perturbaciones
(24)
0,15
β(rad) 0,1
0,05
El controlador G3 y el prefiltro F3 diseñados son:
0
0
G3 (s ) =
5.76 × 10 s + 7.77 × 10 s + 7.2 × 10
s 3 + 190 s 2 + 4800 s
10
2
10
9
10
20
30
40
tiempo(s)
(25)
Figura 8: Perturbación lazo β
F3 (s ) =
0.2437 s + 131.6 s + 4875
s 2 + 1503 s + 4875
2
(26)
50
5
5.855
0,3
Z, Zref
x 10
Z
Zref
0,25
0,2
5.85
α(rad) 0,15
0,1
Z, Zref(m)
0,05
0
0
10
20
30
40
50
tiempo(s)
5.83
0
Las Figuras 10, 11 y 12 muestran las señales de
referencia y las señales de salida correspondientes a
los lazos de las variables a controlar.
BETA, BETAref
BETAref
BETA
BETA, BETAref (rad.)
0.02
0
-0.02
-0.06
-0.08
10
15
20
25
30
tiempo(seg.)
35
40
45
50
Figura 10: Referencia y señal de salida de β
ALFA, ALFAref
0.08
ALFAref
ALFA
0.06
ALFA, ALFAref(rad.)
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
15
20
25
30
tiempo(seg.)
35
40
45
50
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha desarrollado en primer lugar un
modelo matemático general de una lanzadera
espacial tipo Vega y se han comentado sus
similitudes con otros modelos existentes entre las
referencias consultadas. Posteriormente se ha
particularizado dicho modelo para unas determinadas
hipótesis y se ha llegado a un modelo lineal
multivariable con incertidumbre paramétrica. Con
dicho modelo, se ha realizado la síntesis de los
controladores mediante la técnica de control robusto
QFT. Finalmente, se ha llevado a cabo una
validación mediante un simulador implementado con
Matlab/Simulink en la que se ha observado el buen
comportamiento del sistema durante la primera etapa
de la lanzadera (despegue y ascensión a través de la
atmósfera).
Agradecimientos
-0.1
-0.12
0
10
Figura 12: Referencia y señal de salida de zNI
5
-0.04
5
5
En la Figura 12 se observa cómo la señal de salida de
zNI sigue a la referencia sin problemas, salvo al
principio, donde se aprecian las dificultades que
genera la gran inercia de la lanzadera en el paso de
reposo a despegue.
0.06
0
5.84
5.835
Figura 9: Perturbación lazo α
0.04
5.845
5
10
15
20
25
30
tiempo(seg.)
35
40
45
50
Figura 11: Referencia y señal de salida de α
En la Figura 10 y la Figura 11 se observa cómo
inicialmente las señales de salida de β y α siguen la
referencia perfectamente, posteriormente se desvían
debido a las perturbaciones, y finalmente, tras la
acción de control, vuelven a seguir a la referencia.
Los autores agradecen la ayuda prestada por el
Ministerio de Educación y Ciencia a través del
proyecto CICYT DPI’2006-15522-C02-01.
Referencias
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partícula y del sólido rígido, Publicaciones Ok
Punt, Barcelona, pp. 35-77, 180-213
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Iervolino, R., (2002) Attitude control of a small
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IEEE International, Conference on control
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