7. INTERFERENCIA DE LA LUZ

ÓPTICA CRISTALINA
Mario Vendrell
7. INTERFERENCIA DE LA LUZ
La interferencia de dos o más ondas luminosas puede ser
descrita como la interacción entre ellas que da como resultado una
onda distinta de la simple suma de las componentes. El proceso básico
es el descrito en el capítulo primero como composición de ondas, sin
embargo en esta sección se tratará de aportar las bases teóricas
necesarias para comprender los fenómenos de interferencia que tienen
lugar en el microscopio de polarización y en los que se basa buena
parte del estudio de la interacción entre la luz y los cristales que
sirven de base a la Mineralogía óptica.
7.1. Condiciones para la interferencia
Para que dos ondas produzcan una interferencia apreciable es
necesario que se propaguen en la misma dirección y sentido, y
mantengan que entre ellas una diferencia de fase constante (es lo que
se denomina luz coherente). En la geometría del microscopio de
polarización y de otros dispositivos interferenciales, las radiaciones
que van a interferir están polarizadas en planos perpendiculares.
Fresnel y Aragó estudiaron la interferencia de ondas polarizadas en
ángulo recto y llegaron a las siguientes conclusiones:
a) dos haces polarizados en ángulo recto procedentes de la
misma fuente no producen interferencia apreciable aunque
sean llevados al mismo plano de polarización.
b) dos haces polarizados en ángulo recto, provenientes de luz
ya polarizada, interfieren cuando son llevados al mismo plano
de polarización.
7.2. Superposicón de ondas polarizadas: polarización elíptica
Desde un punto de vista estrictamente matemático, es posible
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Figura 1. Dos ondas de igual frecuencia, con cierto desfase, avanzan sobre el eje x. Su composición en
cada instante dibuja una espiral, cuya projección sobre el plano zy es una elipse. En la figura se han
marcado en naranja algunas de las sumas de los vectores eléctricos de ambas ondas y su resultante.
combinar dos ondas que avanzan a igual velocidad,
polarizadas perpendicularmente. Esta situación es la que
tiene lugar a la salida de una lámina cristalina, en que una
onda previamente polarizada se ha desdoblado en dos, con
planos de polarización perpendiculares entre sí y que
progresan a dintintas velocidades en el interior del cristal
hasta que llegan al exterior (aire u otro medio isótropo),
donde viajan a igual velocidad.
Se refieren ambas ondas a un sistema de coordenadas
de modo que ambas avanzan sobre el eje x, y los vectores
Figura 2. Los dos vectores eléctricos de
dos ondas que avanzan en la dirección de x eléctricos vibran sobre los planos xy y xz. Sean E oy y E oz las
se componen en cada instante dando un
amplitudes de las dos ondas, y E y y E z los respectivos
vector E, que describe una espiral alrededor
de x, cuya proyección sobre el plano yz es vectores eléctricos en un momento dado, que se componen
una elipse.
dando lugar a un vector E, que será el vector de la onda
resultante (Figuras 1 y 2).
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Como E y y E z varían de módulo en cada instante y progresan a
lo largo de x, el vector resultante E describirá una curva espiral
siguiendo x, cuya forma dependerá de las amplitudes E oy y E oz y de la
diferencia de fase entre las dos ondas. A continuación se estudiará la
forma de la curva que describe E proyectándola sobre el plano xy.
Las ecuaciones de las dos ondas que se van a componer, con
una diferencia de fase δ, son
 2π 
E y = E0 y cos
t
 T 
(1)
 2π

Ez = E0 z cos
t + δ
 T

pasando E oy a la izquierda, multiplicando los dos términos de la
primera ecuación por cos δ y desarrollando el coseno de la suma en
la segunda, quedan
 2π 
cosδ = cos
t  ⋅ cosδ
 T 
E0 y
Ey
 2π 
 2π 
E z = E0z cos
t  cosδ − E0 z sen
t  sen δ
 T 
 T 
restando ambas ecuaciones y elevando al cuadrado,
 E
2
E
y
 z

2  2π 
2
 E − E cosδ  = − sen  T t  ⋅ sen δ
0y
 0z

( 2)
Como se trata de proyectar sobre el plano yz, se debería
eliminar el término que incluye el tiempo (t). Para ello, se expresa el
 2π 
t  en función de E oy y E y a partir de la ecuación (1)
 T 
término sen 
2
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2
 Ey 
 2π 

 = 1 − sen2 
t
 T 
 E0 y 
2
y substituyendo en (2):
2
 Ez E y
  Ey 
 sen2 δ − sen2 δ

−
cosδ  = 
 E0 z E0 y
  E0 y 
ecuación que representa una elipse, y por tanto se dice que la onda
resultante es elipticamente polarizada.
De las anteriores expresiones, E = E y + Ez , por lo
2
2
2
que la intensidad de la onda elípticamente polarizada
resultante es I = I y + I z , puesto que la intensidad es
proporcional al cuadrado de la amplitud.
Por otra parte, los valores de E y y E z varian entre +E oy
y -E0y, y entre + E 0z y - E 0z, respectivamente, lo que implica
que la elipse deducida ha de estar necesariamente incrita en
Figura 3
el rectángulo limitado por estos parámetros .
Si las dos ondas están en fase (δ=0, 2π, 4π... 2kπ) la elipse se
convierte en una recta que coincide con una de las diagonales del
rectángulo (Figura 3):
Ey
E0 y
=
Ez
E0 z
.
Igualmente, si (δ=π, 3π... [2k-1]π) la recta resultante es la
otra diagonal (Figura 4)
Ey
E
=− z
E0 y
E0 z
Figura 4
Cuando se produce esta situación, la onda resultante es
linealmente polarizada y es uno de los casos particulares comentados
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como combinación de ondas en fase al inicio del capítulo anterior.
Otro caso particular se produce cuando δ = (2k − 1) π 2 , en que
la ecuación queda
 E 2  E 2
 y 
 z 
E  +E  =1
 0z 
 0y 
que corresponde a una elipse con los ejes coincidentes con
y y z (Figura 5), si los vectores E oy y E oz tienen igual módulo
(ondas de idéntica amplitud), la resultante es un círculo, y
Figura 5
la luz se denomina circularmente polarizada.
La
gráfica
representación
de
las
elipses
resultantes de la proyección de
la combinación de ondas para
diferencias de fase crecientes se
ha representado en la Figura 6.
Aunque hay que recordar
que si estas ondas elípticamente
polarizadas se proyectan sobre
una pantalla (en términos de
microscopía, de polarización,
se observan sin analizador) no
se aprecia efecto interferencial
alguno
puesto
que
la
composición que se ha hecho es
estrictamente matemática, pero
no se han llevado ambas ondas
Figura 6.
a vibrar sobre el mismo plano.
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Para poner en evidencia el efecto de la interferencia resultante
de la composición de estas dos ondas hay que situar un polarizador
antes de proyectar la luz sobre la pantalla (o colocar el analizador en
el microscopio de polarización).
Al intercalar un polarizador antes de la
proyección, se llevan a vibrar ambas ondas sobre el
plano del polarizador. Supuesto el polarizador en una
posición cualquiera PP’ (Figura 7), deja pasar una
vibración que no coincide ni con los semiejes de la
elipse, ni con E oy o E oz. Se podría considerar la elipse
como resultante de dos vibraciones linealmente
polarizadas según Oa y Ob (resultado de la proyección
de la elipse sobre PP’ y su perpendicular). Por lo tanto,
la vibración que pasa tiene una amplitud proporcional
Figura 7.
a Oa, puesto que Ob es perpendicular al polarizador
PP’.
7.3. Interferencias con luz monocromática
Imaginemos un dispositivo consistente en una lámina de un
material anisótropo transparente, de espesor variable, en forma de
cuña, entre polarizadores en posición cruzada, y el sistema atravesado
por una radiación monocromática. Se propose este caso porque se
asemeja a la situación que ocurre en el microscopio de polarización
con los polarizadores cruzados, pero el lector podrá fácilmente
extrapolar los resultados a cualquier otra situación.
Como se ha supuesto una lámina transparente, la luz que la
atraviesa no sufre absorción, por lo tanto se puede considerar que la
amplitud incidente, y por tanto la intensidad, no varía al atravesar el
cristal. Si se dispone la lámina en su posición de máxima iluminación,
es decir, a 45º de cualquiera de las cuatro posiciones de extinción. De
acuerdo con la luz de la ley de Malus, las amplitudes de las dos ondas
que atraviesan el cristal son iguales y, por lo tanto, los rectángulos
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definidos por E oy y E oz son cuadrados..
La luz que atraviesa la lámina anisótropa se desdobla en dos
ondas polarizadas en planos perpendiculares entre sí, y al emerger
ambas ondas mantendrán constante su diferencia de fase. Sin
embargo, la luz que emerja habiendo atravesado espesores distintos
de la lámina anisótropa tendrá una diferencia de fase (o retardo, si de
expresa en términos de longitudes de onda) que será creciente desde
las zonas más delgadas hasta las más gruesas. Si la luz emergente de
la cuña, después de atravesar el segundo polarizador, se proyecta en
una pantalla, se verá una imagen como la de la Figura 8 donde se
aprecia la variación de la interferencia para diferencias de fase
variables contínuamente.
Figura 8. Cuando la luz monocramática atraviesa una lámina anisótropa de espesor variable, energe con
distintas diferencias de fase, que, observada a través de un polarizador, se traduce en distintas intensidades,
como se muestra en la figura. En la parte superior se ha representado la polarización elíptica de diversos
puntos emergentes, con la posición del polarizador (gris) y la intensidad transmitida en naranja. La imagen de
la parte central representa la imagen que se observaria desde la parte superior de la lámina anisótropa.
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Se observa que para δ=0 o 360º (en términos de longitudes
∆=kλ), la luz transmitida por la lámina está linealmente polarizada
siguiendo una diagonal del cuadrado, y el plano de polarización de la
onda resultante coincide con el del polarizador, por tanto se
transmitirá la totalidad de la intensidad.
Para una diferencia de fase δ =
1
4
π (o ∆ =
1
8
λ ) la onda
resultante es una elipse con el eje mayor orientado siguiendo la
diagonal del cuadrado, y la intensidad transmitida por el polarizador
es algo menor que que en el caso anterior.
Para
δ =
1
2
π
( ∆ =
1
4
λ ) la polarización es circular, y su
proyección sobre el plano del polarizador da un segmento
(equivalente a la intensidad transmitida) menor que en el caso
precedente. Donde la diferencia entre ambas ondas a la salida de la
lámina sea
δ =
3
4
π (∆ =
3
8
λ
) la elipse estará inclinada hacia la
otra diagonal del cuadrado y la intensidad final será aún menor. Y ésta
es nula cuando
δ = π (∆ =
1
2
λ
) ya que la recta resultante sigue
la diagonal del cuadrado y es perpendicular al plano de polarización
del polarizador: no transmitirá luz. Es decir que se ha pasado
gradualmente de una zona de máxima luminosidad (para retardo nulo)
a una de máxima obscuridad (retardo de media longitud de onda).
Progresando
δ =
5
4
π (∆ =
5
8
a
λ
lo
largo
de
la
cuña
se
llega
a
), que da como resultante una elipse alargada
según la diagonal del cuadrado, y la intensidad transmitida crece
ligeramente respecto del caso anterior. Igualmente, cuando
δ =
6
4
π (∆ =
3
4
λ
) la luz vuelve a ser circularmente polarizada
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y la intensidad de luz transmitida aumenta. A medida que el retardo
crezca, la intensidad final será progresivamente mayor hasta que para
δ=k(2π) o ∆=kλ vuelva a aparecer una franja obscura.
Si la cuña anisótropa fuera lo suficientemente grande como
para que a su largo se dispusiera de varios ciclos como el que se ha
descrito, el resultado de la intensidad final transmitida serían una
serie de bandas claras y obscuras que pasarían del negro (franja
obscura) al color de la longitud de onda utilizada en la experiencia.
La interferencia se pone de manifiesto sea cual sea la posición
del segundo polarizador, de modo que si estuviera a 90º de la actual
posición, simplemente las bandas claras serían negras y las negras del
color de la radiación incidente. En cualquier posición intermedia, las
bandas oscilarían entre zonas claras y zonas ligeramente obscuras, sin
llegar a extinguir completamente la onda emergente de la lámina
anisótropa.
Es de notar que, como la fase depende de la frecuencia y el
retardo de la longitud de onda, que son distintas para distintas
radiaciones, las franjas obscuras y claras ocuparán posiciones
diferentes para las distintas radiaciones monocromáticas que se
utilicen en esta experiencia. La Figura 9 muestra las bandas de
interferencia obtenidas con luces monocromáticas azul (450nm),
verde (550 nm) y roja (630
nm): nótese que ocupan
posiciones diferentes en la
misma lámina acuñada, y
que el espacio entre bandas
para longitudes de onda más
largas (rojo) es mayor.
Figura 9: Imagen de una lámina anisótropa de espesor variable en forma de
cuña, observada entre polarizadores con luz monocromática (450nm, 550nm
y 650nm, respectivamente).
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7.4. Interferencias con luz blanca: colores de interferencia
Imaginemos el mismo dispositivo del caso anterior (lámina
anisótropa en forma de cuña entre polarizadores cruzados a 90º en la
posición de máxima luminosidad), pero iluminando con luz blanca en
lugar de monocromática. Una condición necesaria para la
interferencia es que las ondas tengan la misma frecuencia, por tanto
hay que considerar la luz blanca como una superposición de trenes de
ondas de frecuencias diferentes, de las cuales interferirán aquellas que
cumplan las condiciones adecuadas. De modo que, en general, al final
no obtendremos luz blanca, sino que faltará el color cuya frecuencia
que interfiera destructivamente (que diera lugar a una franja negra en
la experiencia anterior). Los colores resultantes son los denominados
colores de interferencia, cuya génesis se analiza continuación.
De las frecuencias que forman la luz blanca se anulan las que
cumplan que
δ = (2 k − 1)π [ ∆ = (2 k − 1) λ 2 ]
y en cada caso pasa el color complementario; es decir, el conjunto de
frecuencias que forman la luz blanca excepto la que cumple esta
condición. En realidad, cada una de las frecuencias transmitidas
tendrá una intensidad distinta, pero a efectos de deducir el color esta
aproximación es suficiente. Consecuentemente, si la frecuencia
anulada corresponde a luz verde (un retardo de 550 nm, por ejemplo)
el color resultante es violeta (la suma de todos los colores del espectro
excepto una franja del verde). Si se anula en amarillo (p.e. 589 nm),
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el color de interferencia es un azul, y si se anula el azul (p.e. 450 nm)
se obtiene un color de interferencia anaranjado. Además, estos colores
serán bastante saturados porque las frecuencias cercanas a la que se
anula transmitirán con muy poca intensidad (recordar las franjas
progresivas del negro al claro de la experiencia anterior).
En la lámina anisótropa en forma de cuña, para diferencias de
fase, o retardos, crecientes se obtendrá una sucesión de colores de
interferencia que no se corresponde con los del arco iris, sino que son
los respectivos complementarios (Figura 10). Y esta sucesión de
colores se repite, como se repetían las bandas claras y obscuras en la
experiencia con radiación monocromática.
Figura 10. La parte superior representa la serie de colores de interferencia que se producen en una cuña de un
material cristalino entre polarizadores cruzados: a la izquierda aparecen los grises de primer order (retardos
pequeños) y los colores se van haciendo más “pastel” a medida que los retardos són mayores.
La banda de la parte inferior representa la misma cuña entre polarizadores paralelos. Los colores son los
complementarios de los anteriores.
Analizando qué ocurre en la cuña desde retardo cero hasta
retardos relativamente altos, se observa que se parte de una franja
negra correspondiente a δ=0 (∆=0), puesto que para k=0 todas las
frecuencias cumplen la condición de interferencia
λ
δ = ( 2 k − 1) π [ ∆ = ( 2 k − 1) 2 ] .
Para retardos crecientes entre 0 y 400 nm, las radiaciones que
cumplen la anterior condición están fuera del rango visible del
espectro electromagnético, por lo tanto se obtiene una secuencia de
grises denominada grises de primer orden.
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Las primeras longitudes de onda del visible que cumplen esta
condición son las del azul (400nm), de modo que los primeros colores
que se obtienen son anaranjados (complementarios del azul en la luz
blanca) para pasar progresivamente a rojo (complementario del azulverde espectral), violeta (complementario del verde), verdes y azules
(complementarios del naranja y rojo, respectivamente). Este conjunto
de colores de interferencia constituyen los llamados colores de primer
orden, porque todos ellos cumplen la expresión anterior para k=1.
La misma secuencia se repite en sucesivos órdenes de colores
de interferencia siguiendo las frecuencias que van cumpliendo la
expresión citada para k=1. 2. 3... etc. Sin embargo, a medida que
vamos hacia órdenes superiores, los colores de interferencia son
menos saturados (se vuelven colores “pastel”), hasta tal punto que
para órdenes elevados (6,7...) los colores son prácticamente grises,
son los denominados grises de orden superior.
Analicemos qué ocurre para retardos mayores: en el caso de
∆=1080nm la condición (2 k − 1) λ 2 de extinción se cumple para
2160nm (k=1), 720nm (k=2) y 440nm (k=3); y la de trasmisión total
kλ para 1080nm (k=1) y 540nm (k=2); es decir sólo una radiación
visible es anulada (440nm), por lo tanto el color de interferencia
resultate es de esperar que sea bastante saturado.
Para un retardo tan elevado como 3780nm, la condición de
extinción se cumple para las radiaciones visibles 581nm (rojo),
504nm (verde) y 444nm (azul); y la transmisión total para 630nm
(rojo), 540nm (verde) y 472nm (azul). Es decir existen radiaciones
azules, verdes y rojas que son totalmente transmitidas y totalmente
anuladas, cosa que no ocurría en los colores de primer orden, en los
que se anulaba una frecuencia del visible, pero todas las frecuencias
cercanas transmitían con muy baja intensidad. En este caso hay
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transmisión de frecuencias de todos los colores del espectro visible y,
por tanto, el color resultate es un color más cercano al blanco (menos
saturado), de ahí los llamados grises de orden superior.
Como en el caso anterior, hay que recordar que estos colores
aparecen con el polarizador (analizador) en una posición determinada.
No obstante, un giro de 90º daría como resultado los correspondientes
colores complementarios de los obtenidos en estas condiciones.
Iigualmente, una posición intermedia del polarizador no anularía
completamente ninguna de las radiaciones del visible y se obtendría
una gama de grises o, en todo caso, colores de muy baja intensidad,
dependiendo del ángulo de polarización.
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