Ejercicio 3 - Métodos Matemáticos III

Ejercicio 3:
Por ser el “término inhomogéneo” una constante, podemos emplear el método de los coeficientes
indeterminados para hallar una solución particular de la inhomogénea. Para ello, ensayamos una
solución del tipo x p= Ax2+Bx+C . Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial,
obtenemos lo siguiente:
2 A+ω 02 [ Ax2 +Bx+C ]=f 0
Identificando coeficientes, obtenemos que A = B = 0 y C=
particular de la inhomogénea será
x p=
f0
ω0 2
f0
ω0 2
. Por tanto, una solución
.
Como el término homogéneo corresponde a la ecuación de un oscilador armónico, la solución
general de la homogénea vendrá dada por:
x gh=C 1 cos (ω0 t)+C2 sin(ω 0 t)
Por tanto, una solución particular del sistema será la suma de la solución general de la homogénea y
la particular de la inhomogénea, dando valores arbitrarios a las constantes C1 y C2, por ejemplo la
siguiente:
x ps =2cos(ω0 t )+sin(ω0 t)+
f0
ω02
Para hallar la solución particular correspondiente a las condiciones iniciales dadas, evaluamos la
solución general del sistema y su derivada en t=0, obteniendo lo siguiente:
x 0=C 1+
f0
ω0
2
→C 1=x 0−
v 0 =C2 ω0 → C 2=
v0
ω0
f0
ω02
Por tanto, la solución del sistema será:
x=[x 0−
f0
ω0
]cos( ω0 t )+
2
v0
f
sin (ω0 t )+ 02
ω0
ω0
Ejercicio 4
Inmediatamente antes del golpe, la partícula llevará la velocidad con la que se moviese libremente,
ya que aún no ha actuado la fuerza sobre ella. Después del golpe, la velocidad se podría calcular
mediante la segunda ley de Newton, ya que:
dv
F=m → F dt=m dv →
dt
t0+ Δt
∫
t0
v
F dt=∫ mdv
v0
Si suponemos que el tiempo que actúa la fuerza es muy pequeño, podemos considerar el límite
Δt → 0, quedando lo siguiente:
t 0+Δ t
mv −mv 0= lim
Δt →0
∫
t0
1
F dt → v =v 0 + lim
m Δt → 0
t 0+Δ t
∫
F dt
t0
Para la posición, podemos seguir un razonamiento similar: la posición antes del golpe sería la que
tuviese si la fuerza no existiera; y después del golpe podemos calcularla integrando la velocidad
entre t0 y t0 + Δt y tomando el límite Δt → 0.
Por tanto, el golpe puede cambiar tanto la velocidad como la posición de la partícula de forma
notable si la fuerza es suficientemente intensa.
Podemos modelizar la fuerza matemáticamente mediante una función definida a trozos, similar a la
siguiente:
F( t)= lim
Δt →0
{
f (t ) si t 0<t<t 0 +Δ t
0 si t<t 0 o t>t 0+Δ t
}
La dependencia temporal debe ser una fuerza muy grande en un tiempo determinado que decae muy
fuertemente a 0.