Potencias y Raíces de Números Complejos

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Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a:
Potencias y Raı́ces de Números Complejos
Forma polar
Ventajas
Potencias y
raı́ces
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MA3002
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Potencias y Raı́ces de Números Complejos
Las potencias y las raı́ces enteras de números complejos son
muy fáciles de calcular cuando el número complejo está en la
forma polar. Primeramente, veremos la forma polar de un
número complejo y posteriormente veremos la fórmula de De
Moivre para obtener potencias y raı́ces.
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Forma polar
La forma polar de un número complejo z = x + y i corresponde
precisamente a su representación en coordenadas polares,
donde los referentes para la ubicación de un punto en el plano
son: la distancia del punto al origen y el ángulo que forma la
parte positiva del eje real con el rayo que va del origen al
punto, medido en forma contraria a las manecillas del reloj.
y
Potencias y
raı́ces
z =x +yi
r
θ
r cos(θ)
r sen(θ)
x
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Si (r , θ) son las coordenadas polares del complejo z = x + y i,
diremos que θ es el argumento de z o que arg(z) = θ: si se
exige que −π < θ ≤ π se dice que θ es el argumento principal
de z, Arg(z) = θ. Para nosotros, argumento significa
argumento principal.
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raı́ces
z
=
=
=
=
=
x +yi
(r cos(θ)) + (r sen(θ)) i
r (cos(θ) + i sen(θ))
r cis(θ)
r e θ i ← Notación de Euler
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Calcule los argumentos principales de los complejos:
• z1 = +1 + 1 i
• z2 = −1 + 1 i
• z3 = −1 − 1 i
• z4 = +1 − 1 i
Observe que debe ubicar el cuadrante donde se encuentra el
número complejo para corregir el valor que entrega
θ = tan−1 (y /x).
• z1 : 1er cuadrante, θ = tan−1 (+1/ + 1) = π/4
• z2 : 2o cuadrante,
θ = tan−1 (+1/ − 1) + π = −π/4 + π = 3/4 π
• z3 : 3o cuadrante,
θ = tan−1 (−1/ − 1) − π = π/4 − π = −3/4 π
• z4 : 4o cuadrante, θ = tan−1 (−1/1) = −π/4
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Ventaja de la forma polar
Si se tienen dos complejos en la forma polar:
z1 = r1 (cos(θ1 ) + i sen(θ1 )) , z2 = r2 (cos(θ2 ) + i sen(θ2 ))
Por identidades trigonométricas se comprueba:
Introducción
z1 · z2 = r1 · r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 ))
Forma polar
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Potencias y
raı́ces
y
r1
z1
= (cos(θ1 − θ2 ) + i sen(θ1 − θ2 ))
z2
r2
Ası́
arg (z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) y arg
z1
z2
= arg(z1 ) − arg(z2 )
pero estas fórmulas pueden ser incorrectas para Arg.
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Potencias y Raı́ces
Las potencias y las raı́ces de un número complejo son fáciles de
calcular cuando el complejo está en su notación polar:
n
r · e θ i = r n · e n·θ i
√
n
r · eθ i =
√
n
θ
r ·en i
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Potencias y Raı́ces
Las potencias y las raı́ces de un número complejo son fáciles de
calcular cuando el complejo está en su notación polar:
n
r · e θ i = r n · e n·θ i
Introducción
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Potencias y
raı́ces
√
n
r · eθ i =
√
n
θ
r ·en i
Todas las raı́ces de una número complejo z = r CIS(θ) pueden
ser calculadas por la fórmula:
√
θ + 2k π
n
zk = r CIS
para k = 0, 1, . . . , n − 1
n
A zk=0 se le llama raı́z principal.
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Ejemplo
√
Si z = 1 + 2 i, calcule z 4 y la raı́z principal
de 5 z.
√
Usamos que el módulo de z es r = 5 ≈ 2.2360 y que el
argumento es θ = tan−1 ( 21 ) ≈ 1.10714 radianes y aplicamos la
fórmula anterior:
4
(1 + 2 i)4 ≈ 2.2360e 1.10714 i
≈ 2.23604 e 4×1.10714 i
≈ 25 e 4.4285 i
≈ 25 cos(4.4285) + 25 sen(4.4285) i
≈ −6.99999 − 24 i
√
5
1 + 2i ≈
≈
≈
≈
≈
√
5
2.2360e 1.10714 i
√
1.10714
5
2.2360 e 5 i
1.1746 e 0.22142 i
1.1746 cos(0.22142) + 1.1746 sen(0.22142) i
1.14593 + 0.25797 i
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Ejercicio
Encuentre todas las raı́ces de z 3 = 1.
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Ejercicio
Encuentre todas las raı́ces de z 3 = 1. Debemos escribir c = 1
en su forma polar: como 1 queda sobre la parte positiva del eje
real, su argumento principal es cero y su módulo es c:
Si c = 1 , entonces Arg(c) = θ = 0 , |c| = 1
• Para k = 0: Raı́z cúbica principal
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z0 =
√
3
0
1 · cis
= 1 · cis (0) = 1 · cos(0) + 1 · sin(0) i = 1
3
• Para k = 1: Segunda raı́z cúbica
z1 =
√
3
1 · cis
0 + 1 · 2π
3
√
3
1
i
=− +
2
2
• Para k = 2: Tercera raı́z cúbica
z2 =
√
3
1 · cis
0 + 2 · 2π
3
√
3
1
== − −
i
2
2