14: Integral definida

14
INTEGRAL DEFINIDA
Introducción
En este tema se estudian la integral definida y sus aplicaciones.
En geometría se estudia cómo calcular el área de una figura
plana elemental aplicando un conjunto de fórmulas conocidas.
Cuando la figura plana está limitada por una curva cualquiera,
no se dispone de ninguna fórmula para calcular su área. Este
problema se resuelve gracias al concepto de integral definida
y viene dado por la regla de Barrow, profesor de Newton, que
permite calcular el área de un recinto comprendido entre el eje
X y una función f(x) que es continua y acotada en un intervalo
[a, b]
La primera aplicación que se estudia de la integral definida es
el cálculo de áreas en casos concretos:
• El área comprendida entre el eje X y una función f(x) en el intervalo [a, b]
• El área comprendida entre dos funciones, f(x) y g(x)
• El área comprendida entre el eje X y una función como caso
particular del anterior.
Posteriormente se estudian algunas aplicaciones a la Física,
a la Economía y a la Ecología.
El tema concluye con el estudio del cálculo de volúmenes. Se
aborda, en primer lugar, el cálculo de volúmenes de cuerpos
por secciones, y se sigue con el cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución que se obtienen al girar una función f(x) sobre el eje X. Se aplican estos métodos para deducir el volumen
de los cuerpos elementales: prisma, pirámide, cilindro, cono y
esfera.
Organiza tus ideas
Integral definida
tiene aplicaciones a todas las
regla de Barrow
áreas de conocimiento
• Física
• Medio ambiente
• Economía
• etcétera
que calcula
permite calcular
volúmenes de:
• un cuerpo por
secciones
• cuerpos de
revolución
Tema 14: Integral definida
se expresa mediante la
áreas comprendidas entre:
• el eje X y f(x) en [a, b]
• las funciones f(x) y g(x)
• el eje X y f(x)
273
1. INTEGRAL DEFINIDA
Piensa y calcula
Halla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito es
una unidad cuadrada.
1.1. Integral definida
El símbolo
∫
La integral definida de una función f(x) continua y acotada en el intervalo
[a, b] viene dada por la siguiente regla de Barrow:
b
∫ f(x) dx = F(b) – F(a) siendo F(x) una primitiva de f(x)
a
b
∫ f(x) dx se lee “la integral de f(x) entre a y b”, el número a es el límite ina
ferior y b es el límite superior.
El área verde es la suma de las
áreas de todos los rectángulos cuando el ancho dx tiende a cero y la
altura es el valor de la función.
El símbolo
∫ es una s alargada y
simboliza la palabra suma de las
áreas de los rectángulos para hallar el área bajo la curva.
La interpretación geométrica de la regla de Barrow es que calcula el área comprendida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [a, b]; pero considerando que si
el área está en la parte superior es positiva y si está en la parte inferior es negativa.
1.2. Procedimiento para aplicar la regla de Barrow
a) Dada la función f(x) se halla una primitiva F(x) sin constante.
b) Se calcula F(a) y F(b)
c) Se halla la diferencia F(b) – F(a)
Ejemplo
Calcula la siguiente integral definida aplicando la regla de Barrow.
5
∫ (x – 1) dx
2
∫
2
a) F(x) = (x – 1) dx = x – x
2
b) F(2) = 0, F(5) = 15
2
5
c)
∫ (x – 1) dx = F(5) – F(2) = 152 – 0 = 152 = 7,5 u
2
2
Observa que la figura es un trapecio que tiene de área 7,5 u2. Se
puede obtener contando los cuadraditos del dibujo.
El resultado es positivo porque el área está encima del eje X
Ejemplo
Calcula la siguiente integral definida aplicando la regla de Barrow.
4
∫ (x
∫
a) F(x) = (x2 – 6x + 4) dx =
1
3
x
3
2
– 6x + 4) dx
– 3x2 + 4x
b) F(1) = 4 , F(4) = – 32
3
3
4
∫ (x
– 6x + 4) dx = F(4) – F(1) = – 32 – 4 = –12 u2
3
3
1
El resultado es negativo porque el área está debajo del eje X
c)
274
2
TEMA 14
1.3. Propiedades de la integral definida
Las propiedades más importantes de la integral definida son:
1. Si f(x) es continua y está acotada en el intervalo [a, c] y a < b < c, entonces
se verifica que:
∫
c
f(x) dx =
a
∫
b
c
∫ f(x) dx
f(x) dx +
a
b
Este resultado se desprende de la interpretación geométrica de la integral
definida.
2. Si f(x) y g(x) son funciones continuas y están acotadas en el intervalo [a, c]
y además f(x) ≤ g(x), se verifica que:
∫
b
b
∫ g(x) dx
f(x) dx ≤
a
a
Este resultado se desprende de la interpretación geométrica de la integral
definida.
Ejemplo
Calcula:
∫
4
|x| dx
–4
Aplicando las propiedades de la integral definida se tiene:
∫
∫
4
|x| dx =
–4
∫
4
0
∫ x dx
G(x) = ∫x dx
(–x) dx +
0
–4
Sean F(x) = (– x) dx
2
 – x si x ≤ 0
f(x) = |x| = 
 x si x > 0
Observa que las figuras son dos
triángulos y que cada uno tiene de
área 8 u2
2
G(x) = x
2
G(0) = 0, G(4) = 8
a) F(x) = – x
2
b) F(– 4) = –8, F(0) = 0
c)
∫
∫
4
0
–4
|x| dx =
–4
4
∫ x dx = G(4) – G(0)= 8 u
(– x) dx = F(0) – F(–4)= 8 u2
∫
0
4
(–x) dx +
–4
2
0
∫ x dx = 8 + 8 = 16 u
2
0
1.4. Derivada de una integral
∫
La derivada de una integral con límites variables F(x) =
h(x)
f(t) dt
g(x)
viene dada por: F'(x) = f[h(x)] · h'(x) – f[g(x)] · g'(x)
Ejemplo
Calcula la derivada de la función F(x) =
∫
x3
x2
L t dt
Tema 14: Integral definida
F'(x) = (L x3) 3x2 – (L x2) 2x = 9x2 L x – 4x L x = (9x2 – 4x) L x
Aplica la teoría
∫
2. Calcula ∫ (–2x + 1) dx
2
(5 – x2) dx
1. Calcula
4. Calcula la derivada de F(x) =
∫ L x dx
2
5. Calcula
1
3. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la in-
∫
2
tegral definida
–1
|x| dx
cos t dt
3x
–1
3
1
∫
x2
6. Calcula el valor de
∫
1
0
x dx
2
ex
275
2. CÁLCULO DE ÁREAS
Piensa y calcula
Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del primer dibujo del margen.
Cada cuadradito es una unidad cuadrada.
2.1. Área comprendida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [a, b]
a) Se calculan las raíces de la ecuación f(x) = 0 y se toman aquellas que están
en el intervalo [a, b]
b) Se descompone el intervalo [a, b] en los intervalos necesarios: [a, c], [c, d],
[d, b]
c) Dada la función f(x), se halla la primitiva F(x) sin constante.
d) Se calculan F(a), F(c), F(d) y F(b)
e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el
valor absoluto.
f ) Se suman todas las áreas obtenidas.
Ejemplo
Calcula el área del recinto limitado por el eje X y la función f(x) = x2 – 2x – 3
en el intervalo [1, 4]
a) x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x1 = –1, x2 = 3
Sólo se toma x2 = 3 que está en el intervalo [1, 4]
b) Se descompone el intervalo [1, 4] en los intervalos: [1, 3] y [3, 4]
∫
3
a) F(x) = (x2 – 2x – 3) dx = x – x2 – 3x
3
b) F(1) = – 11 , F(3) = –9, F(4) = – 20
3
3
c) A1 =
A2 =
3
∫ (x
∫ (x
|
|
1
4
3
2
– 2x – 3) dx = |F(3) – F(1)| = –9 + 11 = 16 u2
3
3
2
– 2x – 3) dx = |F(4) – F(3)| = – 20 + 9 = 7 u2
3
3
|
|
| |
| |
d) El área es: A = A1 + A2 = 16 + 7 = 23 = 7,67 u2
3
3
3
2.2. Área comprendida entre dos funciones
Diferencia de funciones
Es lo mismo tomar:
f(x) – g(x)
que
g(x) – f(x)
Si se toma como primera función
la que está arriba, el valor de la regla de Barrow es positivo; si no, es
negativo. Como se toma el valor
absoluto, no importa el orden.
276
a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de las dos funciones resolviendo la ecuación f(x) = g(x)
b) Se halla la función diferencia de las dos funciones: f(x) – g(x)
c) Dada la función f(x) – g(x), se halla la primitiva F(x) sin constante.
d) Se calcula F(a), F(b), F(c), ...
e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el
valor absoluto.
f ) Se suman todas las áreas obtenidas.
TEMA 14
Ejemplo
Calcula el área comprendida entre las siguientes funciones:
f(x) = 4 – x2
g(x) = 2x + 1
a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte resolviendo la ecuación:
4 – x2 = 2x + 1 ⇒ x2 + 2x – 3 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = –3
b) Función diferencia: f(x) – g(x) = 4 – x2 – (2x + 1) = –x2 – 2x + 3
∫
3
c) F(x) = (– x2 – 2x + 3) dx = – x – x2 + 3x
3
d) F(– 3) = –9, F(1) = 5
3
e) Área =
∫
|
1
(– x2 – 2x + 3) dx = |F(1) – F(–3)| = 5 + 9 = 32 = 10,67 u2
3
3
–3
|
| |
2.3. Área comprendida entre el eje X y una curva f(x)
Este problema es un caso particular del área comprendida entre dos curvas. En
este caso, se calculan los puntos de corte de la curva f(x) con el eje X resolviendo la ecuación f(x) = 0, y se aplica la regla de Barrow a los intervalos que
se obtienen con dos raíces consecutivas y se toma el valor absoluto.
Ejemplo
Calcula el área comprendida entre el eje X y la siguiente función:
f(x) = –x3 + x2 + 2x
a) Se calculan los puntos de corte de f(x) con el eje X:
x3 – x2 – 2x = 0 ⇒ x(x2 – x – 2) = 0 ⇒ x1 = –1, x2 = 0 y x3 = 2
∫
4
3
b) F(x) = (– x3 + x2 + 2x) dx = – x + x + x2
4
3
c) F(– 1) = 5 , F(0) = 0, F(2) = 8
12
3
d) A1 =
A2 =
0
∫ (– x + x + 2x) dx = |F(0) – F(–1)| = 0 – 125 = 125 u
∫ (– x + x + 2x) dx = |F(2) – F(0)| = 83 – 0 = 83 u
|
|
–1
2
3
3
0
2
2
|
|
| |
| |
2
2
El área total es A = A1 + A2 = 5 + 8 = 37 = 3,08 u2
12 3 12
Aplica la teoría
f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rectas
x = 0, x = 3
8. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2x
y la parábola y = 2x – x2
9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de
y = x3 – 4x y el eje X
10. Calcula el área de la región limitada por la curva
y=
x2
y las rectas y = 0, x = 2, x = 3
–2
x3
11. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja el recinto limitado por las curvas:
y = ex + 2, y = e –x, y = 0
b) Halla el área del recinto considerado en el apartado
anterior.
12. Dada la función, definida en los números reales salvo en
x=0
2
x
Calcula el área de la región plana limitada por la gráfica
de f(x) y el semieje positivo X
f(x) = 3 – x –
277
Tema 14: Integral definida
7. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de
3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Piensa y calcula
Escribe las fórmulas del espacio y de la velocidad de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.)
3.1. Aplicaciones a la física
a) El espacio es la integral de la velocidad.
b) La velocidad es la integral de la aceleración.
Ejemplo
Deduce las fórmulas del m.r.u.a. (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)
Un m.r.u.a. se caracteriza por que tiene aceleración constante, a
∫
s(t) = ∫(at + v ) dt = 1 at
2
v(t) = a dt = at + v0
2
0
+ v0t + s0
Ejemplo
Un objeto se deja caer en el vacío. Suponiendo que la gravedad es de 9,8 m/s2,
cuál es la velocidad, v, y el espacio, s, recorrido al cabo de 4 s
v(t) = at + v0
⇒
v(4) = 9,8 · 4 + 0 = 39,2 m/s
s(t) = 1 at2 + v0t + s0
2
⇒
s(4) = 1 9,8 · 42 + 0 · 4 + 0 = 78,4 m
2
3.2. Aplicaciones al medio ambiente
Observa que al partir del reposo
v0 = 0, s0 = 0
Se llama caudal a la velocidad que lleva el agua de un río. Por lo general, el caudal es función de los meses del año, en invierno llevan más agua y en verano
menos.
La cantidad de agua que pasa por un río durante un período de tiempo es igual al
área encerrada por el eje X y la curva en el intervalo de tiempo correspondiente.
Ejemplo
La función que mide el caudal de un río en función de los meses del año viene dado por:
f(x) = 3 + 2 cos πx
6
donde f(x) está dado en miles de hectolitros por segundo, y x, en meses.
¿Qué cantidad de agua pasa por el río en un año?
a) Volumen =
∫
12
0
b)
(
)
3 + 2 cos πx dx
6
∫ ( 3 + 2 cos πx6 ) dx = 3x + 12π sen πx6
c) F(12) = 36, F(0) = 0
d) Volumen = |F(12) – F(0)| = |36 – 0| = 36 miles de hectolitros.
278
TEMA 14
3.3. Aplicaciones a la economía
Si los ingresos, los costes y los beneficios de una empresa, en función de x unidades de producto fabricadas y vendidas, se llaman I(x), C(x) y B(x) se tiene:
Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto, y es la derivada de los ingresos: i(x) = I'(x)
Coste marginal: es el coste adicional necesario para producir una unidad más
de producto, y es la derivada de los costes: c(x) = C'(x)
Beneficio marginal: es el beneficio que se consigue al producir y vender una
unidad más de un producto, y es la derivada del beneficio: b(x) = B'(x)
Si se da una función de ingresos, costes o beneficios marginales, el área que hay
bajo estas funciones es el ingreso, el coste o el beneficio.
Ejemplo
Una fábrica produce chips para ordenadores. La función de ingreso marginal,
viene dada por:
i(x) = 3 +
2
x+1
donde x es el número de chips vendidos e i(x) viene dado en euros. Si vende
10 000 unidades, ¿cuáles son los ingresos obtenidos?
La fórmula del ingreso es:
∫
10 000
0
a) I(x) =
(
3+
2
x+1
)
dx
∫ ( 3 + x +2 1 ) dx = 3x + 2 L |x + 1|
b) I(0) = 0; I(10 000) = 30 018
c)
∫
10 000
0
(
3+
2
x+1
)
dx = I(10 000) – I(0) = 30 018 E
Aplica la teoría
tiempo, según la función:
v(t) = 2t + 1
donde t se mide en segundos. Calcula el espacio que recorre el móvil entre los segundos 2 y 5 del movimiento.
14. Una fábrica produce objetos de decoración. La función
de ingreso marginal viene dada por:
3
x+2
donde x es el número de objetos vendidos e i(x) viene
dado en euros.
¿Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender 100 a vender 200 objetos?
i(x) = 5 +
15. La función que mide el caudal que sale de un depósito
es:
f(x) = 10 – x
donde f(x) está dado en litros por segundo, y x segundos.
¿Qué cantidad de agua sale del depósito entre el segundo 4 y el segundo 8?
16. Una moto cuando arranca lleva un movimiento
uniformemente acelerado, en el que la aceleración es
de 2 m/s2
a) Calcula la velocidad al cabo de 30 segundos.
b) Calcula el espacio que habrá recorrido en esos 30
segundos.
279
Tema 14: Integral definida
13. Un móvil lleva una velocidad en m/s, en función del
4. CÁLCULO DE VOLÚMENES
Piensa y calcula
Escribe las fórmulas del volumen de un prisma, de una pirámide, de un cilindro, de un cono y de una esfera.
4.1. Volumen de un cuerpo por secciones
Para hallar el volumen de un cuerpo por secciones de área A(x) perpendiculares al eje X en el intervalo [a, b], se aplica la fórmula:
b
V=
∫ A(x) dx
a
Ejemplo
Deduce la fórmula del volumen de una pirámide.
Se dibuja una pirámide que tenga el vértice en el origen de coordenadas y la altura sobre el eje X. El intervalo de integración es [0, H], siendo H la altura de
la pirámide.
La sección A(x) es paralela a la base B, por tanto, se tiene:
A(x) = x2 ⇒ A(x) = B x2
B
H2
H2
H
B x2 dx
Volumen =
2
H
0
∫
F(x) =
∫ HB x
2
2
dx =
F(0) = 0, F(H) = 1 BH
3
B x3
3H2
Volumen = |F(H) – F(0)| = 1 BH = 1 BH
3
3
| |
4.2. Volumen de un cuerpo de revolución
Para hallar el volumen de un cuerpo de revolución que se obtiene al girar la
función f(x) sobre el eje X en el intervalo [a, b], se aplica la fórmula:
V=π
b
∫ [f(x)]
2
dx
a
Ejemplo
Calcula el volumen generado por la función f(x) = x cuando gira alrededor
3
del eje X en el intervalo [3, 9]
Cuando el trapecio gira alrededor del eje X genera un tronco de cono.
∫
9
( )
x 2 dx = π
3 3
2
3
F(x) = x dx = x
9
27
F(3) = 1, F(9) = 27
|F(9) – F(3)| = |27 – 1| = 26
Volumen = 26π u3
Volumen = π
∫
280
∫
9 2
x
3
9
dx
TEMA 14
4.3. Volumen generado entre dos curvas
Para hallar el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar la superficie comprendida entre dos curvas sobre el eje X en el intervalo [a, b] se sigue el procedimiento:
a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de las dos funciones, resolviendo la ecuación f(x) = g(x)
b) En cada uno de los intervalos resultantes [a, b] se aplica la fórmula:
V=π
b
∫ ([f(x)]
|
2
– [g(x)]2) dx
a
|
Ejemplo
Calcula el volumen generado por la superficie comprendida entre las siguientes funciones cuando giran alrededor del eje X:
f(x) = 6
g(x) = – x + 4
x
2
Es la superficie comprendida entre una hipérbola y una recta.
a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de f(x) con g(x):
6 = – x + 4 ⇒ x2 – 8x + 12 = 0 ⇒ x = 2, x = 6
1
2
x
2
| [( ) ( ) ]
( ) ( )
)
∫(
Volumen = π
∫
6
6
x
2
6
x
2
F(x) =
– – x +4
2
2
2
– – x +4
2
2
dx
2
= 362 – x + 4x – 16
4
x
|
36 – x2 + 4x – 16 dx = – 36 – x3 + 2x2 – 16x
4
12
x
x2
F(2) = – 128 , F(6) = –48
3
|F(6) – F(2)| = –48 + 128 = 16
3
3
|
|
Volumen = 16π = 16,76 u3
3
Aplica la teoría
17. Deduce la fórmula del volumen del prisma.
19. Calcula el volumen generado por la superficie comprendida entre las siguientes funciones cuando giran alrededor del eje X:
f(x) = √x
g(x) = x
Tema 14: Integral definida
20. Deduce la fórmula del volumen de un cono.
18. Calcula el volumen generado por la función:
f(x) = √x
cuando gira alrededor del eje X en el intervalo [0, 4]
281
Profundización: demostraciones
1. Integral de Riemann
Dada una función f(x) continua en [a, b] y positiva, se puede hacer una aproximación del área
comprendida entre el eje X y la gráfica de la función en el intervalo [a, b] del siguiente modo:
a) Partimos el intervalo [a, b] en n partes iguales:
a = x0 < x1 < x2 < … < xn – 1 < xn = b
b) La función f(x) es continua en los intervalos [xi , xi + 1] ya que lo es en [a, b]. Por el teorema
de Weierstrass, se puede garantizar que la función alcanza un valor máximo, Mi, y un valor
mínimo, mi, en cada intervalo [xi , xi + 1]
c) Se dibuja los rectángulos inferiores de base xi + 1 – xi y de altura mi
d) Se dibuja los rectángulos superiores de base xi + 1 – xi y de altura Mi
e) Se suma el área de los rectángulos inferiores y se obtiene una aproximación del área por defecto.
Área por defecto = (x1 – x0)m1 + (x2 – x1)m2 + (x3 – x2)m3 + … +(xn – xn – 1)mn
Se llaman sumas inferiores a las distintas aproximaciones del área por defecto que se puede
calcular del recinto según el número de intervalos que se tomen. Se representan por:
n
sn =
Σ mi + 1(xi + 1 – xi)
i=0
f ) Se suma el área de los rectángulos superiores y se obtiene una aproximación del área por exceso.
Área por exceso = (x1 – x0)M1 + (x2 – x1)M2 + (x3 – x2)M3 + … +(xn – xn – 1)Mn
Se llaman sumas superiores a las distintas aproximaciones del área por exceso que se puede
calcular del recinto según el número de intervalos que se tomen. Se representan por:
n
Sn =
Σ Mi + 1(xi + 1 – xi)
i=0
Las sumas inferiores y superiores dependen de n, es decir, del número de intervalos que se
tomen en [a, b] y se tiene entonces que:
g) Las sumas inferiores son una sucesión s1, s2, s3 …, sn … que corresponderán a las distintas
divisiones que se hagan del intervalo [a, b]
h) Las sumas superiores son una sucesión S1, S2, S3 …, Sn … que corresponderán a las distintas divisiones que se haga del intervalo [a, b]
Se puede asegurar que el área del recinto está comprendida entre estas dos aproximaciones.
n
sn =
282
n
Σ mi + 1(xi – 1 – xi) ≤ Área del recinto ≤ sn = iΣ= 0 Mi + 1(xi – 1 – xi)
i=0
TEMA 14
Si se hacen cada vez más intervalos en [a, b], es decir, que n tienda a infinito; entonces, los
valores Mi y mi de cada intervalo se aproximarán
lím (Sn – sn) = 0
n →∞
y entonces tendremos que el área será:
Área = lím sn = lím Sn
n →∞
n →∞
Se define la integral definida en el intervalo [a, b] y se representa por:
b
∫ f(x) dx =
a
lím sn = lím Sn
n →∞
n →∞
al límite, cuando n tiende a infinito, de las sumas inferiores o superiores:
2. Teorema del valor medio del cálculo integral
Si f(x) es una función continua y acotada en el intervalo [a, b], existe un punto c ∈[a, b], tal que:
b
∫ f(x) dx = (b – a) · f(c)
a
Demostración
Como f(x) es continua y está acotada en el intervalo cerrado [a, b], se puede garantizar, por el
teorema de Weierstrass, que la función alcanza su valor máximo, M, y su valor mínimo, m en
dicho intervalo cerrado [a, b]
Por tanto, la integral:
b
∫ f(x) dx
a
estará comprendida entre las áreas de los rectángulos de base b – a y alturas m y M respectivamente:
(b – a) · m ≤
b
∫ f(x) dx ≤ (b – a) · M
a
Tema 14: Integral definida
Dividiendo por b – a, se tiene:
b
1
f(x) dx ≤ M
b–a a
Por el teorema de los valores intermedios, existirá un c ∈(a, b), tal que:
m≤
f(c) =
De donde se deduce que:
∫
1
b–a
b
∫ f(x) dx
a
b
∫ f(x) dx = (b – a) · f(c)
a
283
Profundización: demostraciones
Interpretación geométrica
El área del recinto limitado por el eje X y la gráfica de f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es igual al área del rectángulo de base b – a y altura f(c)
3. La función área
Sea f(x) una función continua y acotada en el intervalo cerrado [a, b]. Se llama función área
o función integral a la función:
x
F(x) =
∫ f(t) dt
a
que está definida en el intervalo cerrado [a, b]
Interpretación geométrica
Esta función calcula el área del recinto limitado por la función f(x) en todo
intervalo cerrado [a, x], siendo x ∈[a, b]
Si en la función F(x) aparece la x en el límite de integración, no se puede poner en el integrando. Por esta razón, aparece otra letra que es la t y que recorre los valores desde a hasta x
4. Teorema fundamental del cálculo integral
Si f es una función continua y acotada en el intervalo cerrado [a, b], entonces la función:
x
F(x) =
∫ f(t) dt para todo x ∈[a, b]
a
es derivable y su derivada es F'(x) = f(x)
Demostración
F'(x) = lím F(x + h) – F(x) = lím
h
h →0
h →0
∫
x+h
f(t) dt –
a
∫
x
f(t) dt
a
= lím
h →0
h
∫
x+h
f(t) dt
x
h
Por el teorema del valor medio del cálculo integral existe un c ∈[x, x + h] tal que:
∫
x+h
f(t) dt = f(c)(x + h – x) = f(c) · h
x
Por tanto, se tiene:
F'(x) = lím F(x + h) – F(x) = lím
h
h →0
h →0
∫
x+h
f(t) dt
x
h
= lím f(c) · h = lím f(c)
h
h →0
h →0
Como c ∈[x, x + h] y f(t) es función continua, cuando h → 0, f(c) tiende a f(x)
De donde se deduce que:
F'(x) = f(x)
284
TEMA 14
5. Volumen de un cuerpo de revolución
Demostración
Un cuerpo de revolución es el que se obtiene al girar un recinto plano alrededor de una recta.
Se considera una función continua y = f(x) en el intervalo [a, b]. La gráfica de esta función
determina con las rectas x = a y x = b un recinto que se llama R
Si se hace girar el recinto R alrededor del eje X, se obtiene un cuerpo de revolución.
Cálculo del volumen
Una aproximación del volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar sobre el
eje X el recinto R engendrado por la función f(x) y las rectas x = a y x = b, se puede obtener siguiendo el procedimiento:
a) Se hace una partición del intervalo [a, b]:
a = x0 < x1 < x2 < … < xi < xi + 1 < … < xn = b
b) Tomamos un punto ci ∈[xi, xi + 1] y se calcula f(ci )
c) Se construyen los cilindros con altura, xi + 1 – xi, y radio de la base, f(ci) y cuyo volumen es:
Vi = π(xi + 1 – xi) f 2(ci )
Tema 14: Integral definida
d) Se suman todos los volúmenes así conseguidos y se tiene una aproximación del volumen total:
n
Volumen aproximado =
Σ π(xi + 1 – xi ) f 2(ci )
i=1
Si se hace que el número de intervalos tienda a infinito, se puede definir el volumen como
el límite de una suma de volúmenes cuya altura tiende a cero:
n
V = lím
n →∞
Σ π(xi + 1 – xi ) f 2(ci )
i=1
Se define:
V=π
b
∫ [f(x)]
2
dx
a
285
Ejercicios y problemas
1. Integral definida
∫ ( 2 + 1) dx
5
21. Calcula
3. Aplicaciones de la integral definida
33. La recta de ecuación y = –4x + 2 representa la tra-
x
yectoria de un móvil A. Otro móvil B se desplaza según la trayectoria dada por la curva de ecuación
y = g(x) donde g : R → R es la función definida por:
2
∫ (x – 2x – 4) dx
3
22. Calcula
2
g(x) = –x2 + 2x + c
1
23. Sea f : R → R la función definida por f(x) = |x2 – 1|
a) Esboza la gráfica de f
b) Calcula
∫
2
b) ¿Coinciden ambas trayectorias en algún otro
punto? En tal caso, dibuja la región limitada por
ambas trayectorias y calcula su área.
f(x) dx
0
24. Calcula la derivada de F(x) =
∫
x2 + 1
L t dt
2
34. La velocidad de un móvil que parte del origen viene
dada en m/s por la gráfica siguiente:
∫ x L x dx
e
25. Calcula
a) Halla el valor de c sabiendo que ambas trayectorias coinciden en el punto en el que la función
g(x) tiene un máximo local.
2
1
26. Considera la función f(x) definida para x ≠ –2 por la
relación:
f(x) =
4x2 + 3x – 9
x+2
∫ f(x) dx
6
Calcula
a) Calcula la función espacio recorrido.
2
b) Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido.
c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido.
2. Cálculo de áreas
27. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f(x) = x3 – 4x, el eje de abscisas y las rectas
x = –1, x = 2
28. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de
las funciones
y = 2 – x4
y = x2
29. Dada la función f(x) = 4 – x2, calcula el área encerrada entre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.
30. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de
35. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada por la
1
curva y = √x – 1 y la recta y = (x – 1)
2
Calcula el área de la parcela.
4. Cálculo de volúmenes
36. Deduce la fórmula del volumen de un cilindro.
la función f(x) = –4x3 + 5, el eje de abscisas, la recta
x = –1 y la recta x = 1
31. Calcula el área de la región limitada por las curvas
y=
x2
1
, y= 2
2
x +1
32. Dada la función f(x) = x √5 – x2 , calcula el área encerrada entre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.
286
TEMA 14
37. Calcula el volumen generado
38. Calcula el volumen generado
por la función:
por la función:
f(x) = √3x
cuando gira alrededor del eje X
en el intervalo [0, 3]
x
f(x) =
+1
2
cuando gira alrededor del eje X
en el intervalo [2, 6]
39. Deduce la fórmula del volumen
de una esfera.
Para ampliar
∫
3
0
1
dx
x+1
41. Sea la función f(x) = 2x3 + bx2 + ax – 5
a) Halla los valores de a y b, de forma que f(x) tenga
un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2
b) Halla el área de la región limitada por la gráfica
f(x) y el eje X entre x = 0, x = 3
42. Sea la función f(x) = 3x – x3
a) Esboza la gráfica de f(x)
b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de
f(x) y el eje de abscisas.
46. Calcula el valor de a, positivo, para que el área encerrada entre la curva y = ax – x2 y el eje de abscisas
sea 36. Representa la curva que se obtienen para dicho valor de a
47. Resuelve las siguientes cuestiones:
Halla el área de la región limitada por el eje X y dicha función.
a) Dibuja la región limitada por la curva de ecuación
y = x(3 – x), y la recta de ecuación y = 2x – 2
43. Considera las funciones f, g : R → R definidas por:
b) Halla el área de la región descrita en el apartado
anterior.
f(x) = 6 – x2, g(x) = |x|, x ∈R
a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
44. Sea f : R → R la función definida por:
 5x + 10
si x ≤ –1
f(x) =  2
–
2x
+
2
si x > –1
x

a) Esboza la gráfica de f(x)
b) Calcula el área de la región limitada por la grafica
f(x), el eje de abscisas y la recta x = 3
45. Considera la función f : [0, 4] → R definida por:
 4x
si 0 ≤ x ≤ 1

16

f(x) =  —2 si 1 < x < 3
 (x + 1)
4–x
si 3 ≤ x ≤ 4

48. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Esboza la gráfica de la función f : R → R dada por:
 2x + 2 si x ≤ –1
f(x) =  3
 x – 2 si x > –1
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica
f(x), el eje X y las rectas de ecuaciones x + 2 = 0
y 2x – 1 = 0
49. Halla los valores de m para que el área de la región
limitada por la parábola y2 = x y la recta y = mx sea 1
50. Sea la función f(x) = x cos x. Calcula la integral de f
entre x = 0 y el primer cero positivo que tiene la
función.
Nota: se llaman ceros de una función a los valores
para los que ésta se anula.
287
Tema 14: Integral definida
40. Calcula
Ejercicios y problemas
51. Se tiene la función f(x) definida para todo número
∫ f(x) dx = 0? Razona la respuesta con un ejemplo.
 1 si 0 ≤ x ≤ 1
 1
f(x) =  —
 x2 si x > 1

Halla
55. Si f es una función continua en [a, b], ¿puede ser
b
real no negativo y dada por:
a
∫
x
3
1
dt, y sean a, b ∈ R +. Demuestra que
1 t
f(a · b) = f(a) · f(b)
0
57. Mediante argumentos geométricos, demuestra que
56. Sea f(x) =
∫ f(x) dx
Interpreta geométricamente el resultado.
52. Calcula el área de la región limitada por la curva
si f(x) y g(x) son funciones positivas en el intervalo
[a, b] y f(x) ≤ g(x) para todo x de dicho intervalo,
entonces se cumple que:
∫
y = L x y las rectas y = 0, y = L 3, x = 0
f(x) dx ≤
a
53. Halla el valor del parámetro a sabiendo que el área
limitada por la gráfica de la parábola y = x2 – ax y el
32
eje X es
3
b
∫ g(x) dx
b
a
58. Si f(x) en una función continua positiva en el intervalo [a, b], justifica, mediante argumentos geométricos, si la siguiente afirmación es cierta.
∫ f(x) dx ≥ 0
b
54. Dibuja la figura limitada por las curvas cuyas ecuaciones son:
a
Si es falsa pon un contraejemplo.
 y = 2 – x2

 y = |x|
59. Encuentra el área de la región determinada por la
curva y =
y halla el área de la misma.
x2
, el eje X y las rectas x = 1 y x = –1
4 – x2
Problemas
60. Se considera la función real de variable real definida
por:
f(x) =
x
x2 + 3
a) Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente
en el punto de inflexión de abscisa positiva de la
gráfica f(x)
b) Calcula el área del recinto plano acotado por la
gráfica f(x), la recta anterior y el eje x = 0
61. Se considera la función real de variable real definida
por:
f(x) =
x
x2 + 1
64. Sea la función real de variable real definida por:
 (2 – x)3 si x ≤ 1
f(x) =  2
si x > 1
x
Determina el área encerrada por la gráfica f(x) y
por las rectas y = 8, x = 0, x = 2
65. Se consideran las funciones f(x) = x2 – 2x + 3,
g(x) = ax2 + b
a) Calcula a y b para que las gráficas f(x) y g(x) sean
tangentes en el punto de abscisa x = 2
b) Para los mismos valores de a y b, halla el área limitada por las graficas de las funciones y el eje
vertical Y
Calcula el valor de a > 0 para el cual se verifica la
igualdad
∫
a
66. Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b, g(x) = –x2 + c
f(x) dx = 1
0
62. Calcula el valor de a > 0, para que
∫
a
0
1
dx = 3
x+1
63. Sea la función f(x) = sen x. Calcula a > 0 tal que el
área encerrada por la gráfica f(x), el eje y = 0, y la
1
recta x = a, sea
2
288
a) Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas
de ambas funciones se cortan en los puntos
(–2, –3) y (1, 0)
b) Calcula el área de la región limitada por las gráficas f(x) y g(x)
67. Halla el área del recinto delimitado por la curva
y = x2 + 4x + 5 y la recta y = 5
TEMA 14
a) Determina m sabiendo que f(x) es derivable.
 –2x
si x ≤ 0
68. Sea la función f(x) =  x – 1 si 0 < x ≤ 2
 3x – 5 si x > 2

b) Calcula
69. Sea la función f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x
Calcula el área determinada por la gráfica f(x), el eje
horizontal y las rectas x = –1 y x = 2
∫
77. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas:
2
ey=x–1
y = x2 + 1, y =
x
b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.
2π
|x| sen x dx
–π
∫ (x + 5) e
2
78. Resuelve las siguientes cuestiones:
9 – x2
,
4
la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa x = 1 y el eje de abscisas.
b) Calcula el área del recinto considerado en el
apartado anterior.
a) Dibuja el recinto limitado por la curva y =
3
71. Calcula el valor de la integral
f(x) dx
0
Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = –1
yx=3
70. Calcula el valor de la integral
∫
1
–x
dx
0
72. Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual
área mediante una recta y = a. Halla el valor de a
73. Halla el área del recinto coloreado que aparece en
la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene
2x + 2
como ecuación y =
1–x
79. De la función f : R → R definida por:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
se sabe que tienen un máximo relativo en x = 1, un
4
5
punto de inflexión en (0, 0) y que: f(x) dx =
4
0
Calcula a, b, c y d
∫
80. Considera la función f : R → R definida por:
f(x) = xe2x
Determina el valor de la integral:
considera la función f : (–1, +∞) → R definida por
 a(x – 1) si –1 < x ≤ 1
f(x) = 
si x > 1
x L x
a) Determina el valor de a sabiendo que f(x) es derivable.
∫ f(x) dx
2
b) Calcula
0
75. Sea f : R → R la función definida por:
f(x) = –2x3 – 9x2 – 12x
Determina los extremos relativos α y β de f(x) con
α < β y calcula
β
∫ f(x) dx
∫
(1 + f(x)) dx
0
81. La recta de ecuación 3x – y + 2 = 0 es tangente a la
parábola de ecuación y = ax2 + c en el punto P(1, 5)
a) Calcula las constantes a y c de la ecuación de la
parábola describiendo el procedimiento que sigas.
b) Dibuja la región plana limitada por el eje Y, la parábola y la recta tangente.
c) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.
82. Calcula el área de la región coloreada en la figura y
justifica el procedimiento empleado (L x es el logaritmo neperiano de x)
α
76. Sea f : R → R la función definida por:
1
—
si x < 0

f(x) =  1 – x
 1 – mx – x2 si x ≥ 0

289
Tema 14: Integral definida
74. Sabiendo que L x es el logaritmo neperiano de x,
1/2
Ejercicios y problemas
83. Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = sen x, y = cos x, x = 0, x = π/3
Calcula el área del recinto descrito en el apartado
anterior.
84. La figura siguiente representa la gráfica de una función f : [0, 7] → R
90. Representa gráficamente el recinto plano limitado
por la curva y = x3 – x y su recta tangente en el
punto de abscisa x = 1. Calcula su área.
∫
91. Calcula
√3
x √1 + x2 dx
0
92. Calcula el área determinada por la curva y = tg x, el
eje X y la recta x =
π
3
93. Sin hacer ningún cálculo, di cuál de las siguientes integrales es mayor:
∫
∫
x
f(t) dt
0
a) Calcula F(4) y F(7)
b) Dibuja la gráfica F(x) explicando cómo lo haces.
85. Halla la recta tangente a la curva de ecuación
y = x3 – 3x en el punto de abscisa x = –1
Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y
la curva dada y calcula su área.
1
x2 sen2 x dx
0
94. Calcula el área determinada por la curva y = L x, el
eje X y la recta x = e
95. Calcula el área determinada por la curva y =
el eje X y las rectas x = –
87. En la figura aparece una curva que representa a una
función polinómica de grado 2. Los puntos de intersección de la curva con el eje X son el A(1, 0) y el
B(3, 0). Además, el área limitada por la curva y los
dos ejes coordenados vale 4/3. Halla la expresión de
dicha función
1
1
,x =
2
2
1
,
1 – x2
96. Encuentra el área del recinto determinado por las
curvas:
y = –x2 + 4x – 2
y = |x – 2|
97. Demuestra que 0 ≤
86. Calcula el área de la región limitada por las curvas
y = ex, y = e –x y la recta x = 1
2
0
Sea F : [0, 7] → R la función definida por:
F(x) =
∫ x sen x dx
1
∫
π/2
0
sen x
dx ≤ 1
1 + x2
98. Calcula el área del recinto determinado por la curva
y=
1
, las rectas x = 2, x = –2 y el eje de abscisas.
1 + x2
99. Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas positivas
en el intervalo [a, b], justifica, mediante argumentos
geométricos si la siguiente afirmación es cierta.
∫
b
(f(x) + g(x)) dx =
a
∫
b
f(x) dx +
a
∫ g(x) dx
b
a
Si es falsa, pon un contraejemplo.
100. Determina el área comprendida entre las curvas
y = x2, y = √x y la recta que pasa por los puntos
A(2, 4) y B(4, 2)
101. Demuestra que si m es un número cualquiera ma88. Dibujar, con la mayor exactitud posible las gráficas
de las funciones f(x) = 3x2 – 6x y g(x) = –x2 + 6x – 8.
Representa el recinto limitado por ambas funciones
y obtén su área.
89. Calcula una primitiva de la función:
f(x) = x L (1 + x2)
Determina el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje X y la recta x = 1
290
yor que 1, y k un número natural cualquiera mayor
que uno, se cumple que:
m
xk + 1
dx < m
k+1
+1
l x
∫

102. Dada la función f(x) =  x L x si x > 0
si x = 0
0
calcula el área de la región limitada por la gráfica
de la función y el eje X, desde x = 0 hasta x = b,
siendo b la abscisa del mínimo de la función.
TEMA 14
103. Calcula la integral definida
∫
π/2
π/4
x sen x dx
104. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Obtén el área de la superficie S, limitada por el
eje X, la curva y = x2, con 0 ≤ x ≤ 2, y la recta
x=2
b) Calcula el volumen generado por la superficie S
al dar una vuelta completa alrededor del eje X
y2
x2
+
= 1 alrededor del eje X,
25
9
ésta genera una superficie parecida a un huevo,
que se llama elipsoide. Halla el volumen de dicho
elipsoide.
105. Al girar la elipse
Para profundizar
1
0
107. Sea la función f(x) = sen x
a) Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica
π
f(x) en el punto de abscisa x =
4
b) Calcula el área de la superficie encerrada por la
tangente anterior, la gráfica de la función f(x) y
π
3π
las rectas x = , x =
4
4
108. Sea la función f(t) =
1
1 + et
∫ f(t) dt
x
0
x →0
1
+ cos x,
2
los ejes de coordenadas y la recta x = π
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
a) Dibuja el recinto limitado por y =
112. Considera la función f : R → R definida por
f(x) = 2 + x – x2. Calcula a, a < 2, de forma que
2
9
f(x) dx =
2
a
113. Calcula la siguiente integral definida:
∫
∫ f(x) dx =
g(x)
x
dx
x2 + 4x + 3
¿Qué representa geométricamente?
Representa el área comprendida entre el eje X y la
curva en el intervalo [0, 2]
0
114. Considera la función f : R → R definida en la forma
f(x) = 1 + x |x|
Calcula
∫
2
f(x) dx
–1
115. De la gráfica de la función polinómica f : R → R
dada por:
f(x) = x3 + ax2 + bx + c
se conocen los siguientes datos: que pasa por el
origen de coordenadas y que en los puntos de
abscisas 1 y –3 tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.
a) Calcula a, b y c
b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la
función f(x) y el eje de abscisas y calcula su área.
109. Se consideran las curvas y = x2 e y = a, donde a es
116. Determina una constante positiva a sabiendo que la
un número real comprendido entre 0 y 1(0 < a < 1).
Ambas curvas se cortan en el punto (x0, y0) con
abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde x = 0 hasta x = x0
es igual a la encerrada entre ellas desde x = x0 hasta x = 1
figura plana limitada por la parábola y = 3ax2 + 2x,
la recta y = 0 y la recta x = a tiene área (a2 – 1)2
 –x – 2 si x < –1
110. Sea la función f(x) =  a – 2x2 si –1 ≤ x ≤ 1
 b/x
si x > 1

a) Determina los valores de a y b para que f(x) sea
continua en toda la recta real.
117. Justifica geométricamente que si f(x) es una función
positiva definida en el intervalo [a, b] y c ∈ [a, b],
entonces se cumple:
∫
c
a
f(x) dx +
∫
b
c
f(x) dx =
∫ f(x) dx
b
a
118. Halla el área del recinto limitado por la curva
y = xex, el eje X y la recta paralela al eje Y que pasa por el punto donde la curva tiene un mínimo
relativo.
291
Tema 14: Integral definida
∫ x + a dx = 5
3
Calcula lím
111. Resuelve las siguientes cuestiones:
2
106. Calcula el valor de a > 0, para que:
Se define: g(x) =
b) Con los valores de a y b determinados en el
apartado anterior, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje de abscisas,
en el intervalo [0, 2]
Derive
Paso a paso
119. Dibuja y calcula el recinto limitado por el eje
X y la función:
4
f(x) =
en el intervalo [1, 4]
x2
– 2x – 3
Solución:
a) Representa las rectas x = 1, x = 4 que limitan el
intervalo.
b) Representa la función.
c) Resuelve la ecuación correspondiente para hallar
las abscisas de los puntos de corte con el eje X
x = 3 ∨ x = –1
d) Rellena la 1ª región:
En la Entrada de Expresiones escribe:
1 < x < 3 ∧ x^2 – 2x – 3 < y < 0
Elige
h) Calcula el área correspondiente a la 2ª región:
Introducir Expresión.
Activa la ventana Gráficos-2D y haz clic en
Representar Expresión.
e) Rellena la 2ª región:
3 < x < 4 ∧ 0 < y < x^2 – 2x – 3
∫ (x
– 2x – 3) dx = 7
3
3
i) Suma los valores absolutos obtenidos y aproxima
el resultado:
|– 16/3| + |7/3|
Área = 23 = 7,6666666
3
2
120. Dibuja el recinto limitado por las siguientes
funciones y calcula el volumen que genera dicho recinto cuando gira alrededor del eje X:
y= 6
y=– x +4
x
2
Solución:
a) Resuelve el sistema formado por ambas funciones.
[x = 2 ∧ y = 3, x = 6 ∧ y = 1]
b) Representa las dos funciones.
c) Rellena la región limitada por las dos funciones.
2<x<6∧ 6 <y<– x +4
x
2
f ) Calcula el área correspondiente a la 1ª región:
Selecciona en la ventana Álgebra la función:
x^2 – 2x – 3
g) Elige
Integrales. Activa el botón de opción
Definida, en Límite inferior escribe 1, en Límite superior escribe 3 y haz clic en el botón Simplificar.
3
∫ (x
1
292
2
– 2x – 3) dx = – 16
3
d) Calcula la siguiente integral y aproxima el resultado.
π
∫
6
2
(( ) (
6
x
2
– – x +4
2
))
2
dx
Volumen = 16π = 16,76 u3
3
121. Internet. Abre la página web: www.algaida.es
y elige Matemáticas, curso y tema.
TEMA 14
Así funciona
Integral definida
Se elige
Integrales. Se activa el botón de opción Definida, en Límite inferior y en Límite superior se escriben los valores correspondientes y se hace clic en el botón Simplificar.
Representar funciones
Si la función es y = f(x), no es necesario escribir y =; por el contrario, si es una recta vertical de
la forma x = k, es obligatorio escribir el x =
Hallar puntos de corte de dos funciones
Se resuelve el sistema correspondiente a las dos funciones
Rellenar regiones
Se rellena trozo por trozo. Para cada uno de los trozos se escriben las desigualdades correspondientes a las abscisas y a las ordenadas, unidas por el signo de conjunción lógica y que es ∧
Practica
122. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la
128. La función que mide el caudal de un río en fun-
siguiente integral definida:
ción de los meses del año, viene dada por:
f(x) = 3 + 2 cos πx
6
donde f(x) está dado en miles de hectolitros por segundo, y x en meses.
¿Qué cantidad de agua pasa por el río en un año?
Dibuja la región correspondiente a la cantidad de
agua que lleva el río.
∫ (x – 1) dx
2
Observa y justifica el signo del valor obtenido.
123. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la
siguiente integral definida:
4
∫ (x
2
– 6x + 4) dx
1
Observa y justifica el signo del valor obtenido.
124. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la
siguiente integral definida:
∫
4
|x| dx
–4
125. Dibuja el recinto limitado por las siguientes
funciones y calcula su área:
f(x) = 4 – x2
g(x) = 2x + 1
126. Dibuja el recinto limitado por el eje X y la función:
129. Una fábrica produce chips para ordenadores.
La función de ingreso marginal viene dada por:
i(x) = 3 + 2
x+1
donde x es el número de chips vendidos e i(x) viene
dado en euros. Si vende 10 000 unidades, ¿cuáles
son los ingresos obtenidos?
Dibuja la región correspondiente a los ingresos obtenidos.
130. Deduce la fórmula del volumen de una pirámide.
f(x) = – x3 + x2 + 2x
131. Representa la región comprendido entre el eje
127. Un objeto se deja caer en el vacío. Suponiendo
f(x) = x
3
que la gravedad es de 9,8 m/s2, calcula la velocidad
que lleva al cabo de 4 s, y el espacio recorrido. Dibuja las funciones correspondientes a la velocidad y a la
aceleración.
X y la función:
en el intervalo [3, 9]
Calcula el volumen generado por dicha región
cuando gira alrededor del eje X
293
Tema 14: Integral definida
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