Variables de holgura y variables artificiales

7.1. VARIABLES DE HOLGURA
Es el caso más sencillo y se da siempre que tengamos como primera solución
básica la proporcionada por las variables de holgura.
La formulación del problema debe incluir solamente restricciones del tipo ≤ ,
siempre que los coeficientes de las disponibilidades sean no negativos:
max
s.a.:
Z = c1 x1 + + cn xn
a11 x1 + + a1n xn ≤ b1
am1 x1 + + amn xn ≤ bm
xi ≥ 0, i = 1, , n
Introduciendo las variables de holgura para expresar la forma estándar:
max
Z = c1 x1 + + cn xn
s.a.:
a11 x1 + + a1n xn + xnH+1 = b1
am1 x1 + + amn xn + xnH+ m = bm
xi ≥ 0, i = 1, , n , xnH+ i ≥ 0, i = 1, , m
Podemos representar este problema en una tabla como la que sigue:
x2
...
xn
xnH+1
xnH+ 2
...
xnH+ m
xnH+1
b1
a11
a12
...
a1n
1
0
...
0
H
n+2
b2
a21
a22
...
a2 n
0
1
...
0
bm
am1
am 2
...
amn
0
0
...
1
Z
c1
c2
...
cn
0
0
...
0
x
x
16
x1
H
n+m
7.2. VARIABLES ARTIFICIALES Y COSTES MARGINALES
Consideremos el siguiente ejemplo:
max
s.a.:
Z = 5 x1 + 2 x2
6 x1 + x2 ≥ 6
4 x1 + 3x2 ≥ 12
x1 + 2 x2 ≥ 4
x1 , x 2 ≥ 0
Pondremos este problema en forma estándar introduciendo dos tipos de variables
en las restricciones lineales de desigualdad:
Variables de holgura: x3H , x4H y x5H
Variables artificiales: x6A , x7A y x8A .
Se obtiene el siguiente problema:
max
Z = 5 x1 + 2 x2 − Mx6A − Mx7A − Mx8A
s.a.:
6 x1 + x2 − x3H + x6A = 6
4 x1 + 3 x2 − x4H + x7A = 12
x1 + 2 x2 − x5H + x8A = 4
x1 , x2 , x3H , x4H , x5H , x6A , x7A , x8A ≥ 0
La tabla correspondiente a este problema es la siguiente:
x6A
x1
x2
x3H
x4H
x5H
x6A
x7A
x8A
6
6
1
-1
0
0
1
0
0
A
7
12
4
3
0
-1
0
0
1
0
A
8
4
1
2
0
0
-1
0
0
1
5
2
0
0
0
-M
-M
-M
x
x
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La solución factible básica inicial es:
(x
x1 = x2 = x3H = x4H = x5H = 0 ,
A
6
)
, x7A , x8A = (6,12,4)
Como se observa, los costes en la función objetivo de esta base no son nulos, por lo
que no podemos aplicar sin más el algoritmo que hemos desarrollado hasta ahora;
será preciso introducir la siguiente definición:
Definición:
Llamaremos costes marginales a la diferencia c k = ck − z k , donde z k =
∑c a
j
jk
,
j∈B
siendo B el conjunto formado por los índices de las variables básicas.
Es decir, z k es el producto escalar de los elementos de la columna de los costes en
la función objetivo de la base por los elementos de cada columna k-ésima de la
matriz de coeficientes A.
Para hacer esta operación en la práctica, en la tabla anterior añadimos a la derecha
la columna correspondiente a los costes en la función objetivo de la base y una
última fila con el resultado obtenido para los costes marginales.
x1
x2
x3H
x4H
x5H
x6A
x7A
x8A
6
6
1
-1
0
0
1
0
0
-M
x
12
4
3
0
-1
0
0
1
0
-M
x
4
1
2
0
0
-1
0
0
1
-M
5
2
0
0
0
-M
-M
-M
11M + 5
6M + 2
-M
-M
-M
0
0
0
x6A
A
7
A
8
En general, lo que logramos con la introducción de los costes marginales en la
primera tabla es anular los costes de las variables básicas. Además, este caso no es
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más que la generalización del anterior: si únicamente es preciso añadir variables de
holgura, para éstas los correspondientes z k son cero y, por tanto, c k = ck , esto es,
los costes marginales coinciden con los costes en la función objetivo.
En este caso, la distribución de los datos del problema en la tabla será:
A
B
C
F
D
E
A: base actual ( x j )
B: valor de las variables básicas actuales ( bi )
C: matriz de los coeficientes en las restricciones ( aij ), que se modifican
sucesivamente al pivotar.
D: costes iniciales de todas las variables en la función objetivo ( c j )
E: costes marginales para cada iteración ( c j )
F: columna auxiliar con los costes iniciales en la función objetivo de las
variables básicas actuales.
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