x - Facultad de Ciencias Económicas

FUNCIONES BIOMÉTRICAS
1er QUINQUENIO DE VIDA
CARRIZO Elvira Delia
Dpto. Estadística y Matemática
Facultad Ciencias Económicas
Universidad Nacional de Córdoba
[email protected]
Área Técnica
INTRODUCCION
En el trabajo presentado en las XXXVI Jornadas en la Ciudad de Salta (2015),
”Funciones Biométricas a través del Diagrama de LEXIS” se demostró la utilidad
del diagrama de LEXIS, para facilitar la comprensión de algunas de las funciones
biométricas necesarias en la elaboración de las tablas de vida o tablas de mortalidad,
para el tramo de edades simples y para edades de 5 (cinco) años y más.
En esta oportunidad se intentan explicar dichas funciones biométricas mediante el
mencionado diagrama, utilizando el factor de separación de las defunciones, para el
tramo de edades inferiores a 5 (cinco) años de edad.
A razón de que en el primer quinquenio de la vida humana, al distribuirse las
defunciones irregularmente en el tiempo, la fórmula de los trapecios no proporciona
buenos resultados al calcular la función biométrica L x (para x< 5), su cálculo implica
un procedimiento diferente, para lo cual se utiliza el mencionado factor de separación.
OBJETIVOS
Se pretende explicar mediante el diagrama de LEXIS el comportamiento de las
defunciones en las primeras cinco edades de la vida humana.
Se intenta demostrar, utilizando para el cálculo el factor de separación de las
defunciones, que el número de años vividos por una cohorte inicial dada, entre las
edades 0 y 5 años de edad representa la cantidad de personas vivas de dicha cohorte
antes de cumplir los 5 años de vida.
1
DESARROLLO
Se recuerda que el diagrama de LEXIS está constituido por una grilla
cuadriculada, donde se representan, el tiempo en los ejes horizontales y las edades en
los ejes verticales. Cada una de las personas es representada por una línea de 45
grados a cada uno de los ejes, su origen por lo general es el del nacimiento, fecha que
se registra en el eje horizontal, a la edad cero, edad que se registra en el eje vertical.
Esta línea que se prolonga a medida que transcurre el tiempo se denomina línea de
vida y se interrumpe en el momento del fallecimiento de la persona, determinando la
fecha de la muerte en el eje horizontal y la edad a al que ocurre el evento en el eje
vertical.
En el diagrama, los segmentos representan cantidad de personas vivas. Los
segmentos verticales representan número de personas vivas comprendidas entre dos
edades y los segmentos horizontales cantidad de personas vivas de edad exacta. En
dicho diagrama, las superficies representan número de personas fallecidas.
Se observa en el diagrama de LEXIS (figura 1)
__
AB = cantidad de personas vivas de edad exacta x.
__
DC = cantidad de personas vivas de edad exacta x+1.
__
BC = cantidad de personas vivas que habiendo cumplido x años de edad, todavía no
han cumplido los x + 1 años de vida.
ABCD = Cantidad de defunciones entre las edades x y x+1, ocurridas durante el año z.
Figura 1
X+1
D
x
C
A
año z -1
B
año z
Se expresan los símbolos que representan las defunciones, según sean:
Defunciones ocurridas durante un determinado año calendario correspondientes a
personas de dos cohortes o
Defunciones de personas de la misma generación o cohorte, ocurrido durante dos
años calendarios consecutivos.
 Defunciones entre x y x+1 años de edad, ocurridas durante
un año calendario, correspondientes a personas de dos
cohortes.
Se observa en el diagrama de LEXIS (figura 2) la cantidad de personas fallecidas
entre las edades x y x+1, ocurridas durante el año z, número de personas fallecidas
pertenecientes a dos generaciones consecutivas, se simboliza con D x z:
2
Figura 2
X+1
D
C
D xz
x
A
año z -1
ABCD = D
x
B
año z
z
Las defunciones ocurridas durante el año z, se dividen según la generación a la
que pertenezcan (figura 3), simbolizándolas según las siguientes expresiones:
Dxz =  Dxz +  Dxz
Figura 3
X+1
z
Dx
Dxz
x
año z -1
año z
z
Dx
representa cantidad de personas fallecidas, entre las edades x y x+1, personas
que cumplieron x años de edad el año anterior al año que fallecieron.
 D x z representa personas que fallecen entre las edades x y x+1 en el mismo año en
que cumplen x años de edad.
 Defunciones entre los x y x+1 años de edad, de personas
de la misma generación, ocurrido durante dos años
calendarios consecutivos.
Se observa en el diagrama de LEXIS (figura 4) la cantidad de personas fallecidas
entre las edades x y x+1, defunciones de personas de la misma cohorte, ocurridas
durante dos años calendarios consecutivos. Se simboliza por d x, la cual (según tablas
de vida o mortalidad) representa la diferencia entre la cantidad de personas vivas de
edad exactas x y x+1. Se simbolizan según las siguientes expresiones:
Figura 4
X+1
dx
dx
dx
x
año z -1
año z
3
dx =dx+dx
(1)
La expresión (1) representa la cantidad de personas fallecidas entre los x y x+1
años de edad, defunciones de personas de la misma cohorte o generación, ocurridas
durante dos años calendarios consecutivos
 d x representa la cantidad de personas que fallecen en el año en que cumplieron x
año de edad.
 d x representa el número de personas fallecidas que cumplieron x años de edad en el
año anterior al año en el cual mueren.
Proporción de las defunciones ocurridas en un año, según la
generación a la que corresponda
En personas de 5 y más años de edad, se considera la distribución uniforme de
las defunciones en el tiempo, por lo que la proporción de los fallecimientos ocurridos en
un año calendario, según sea la generación a la que corresponda, es la misma y
supone ½ de las defunciones para cada una de las generaciones o cohortes.
 D x z = 0,50
D xz
Dx
 D x z = 0,50
D xz
= ½ D xz
z
y
Dx
z
= ½ D xz
Para edades inferiores a 5 años de edad, la proporción
correspondiente a cada una de las generaciones no es la misma.
de defunciones
La proporción de fallecidos entre las edades x y x+1 correspondientes a personas
que cumplieron x años de edad el año anterior al año que fallecieron, es menor a la
proporción correspondiente al número de fallecidos que cumplieron los x años de edad
en el año que fallecieron.
 D xz
D xz
 D xz
Dx
z
<
 D xz
D xz
< 0,50
(2)
 D xz
Dx
> 0,50
(3)
z
FACTOR DE SEPARACIÓN DE LAS DEFUNCIONES
A la expresión (2) se la denomina factor de separación de las defunciones, y se
simboliza f x, la expresión (3) representa el complemento del mencionado factor de
separación (1- f x ).
4
El factor de separación de las defunciones es un artificio matemático, que permite
imputar los fallecimientos al grupo de personas que les dio origen. Cuando no se cuenta
con los registros de las defunciones según fecha de nacimiento, el factor de separación
de las defunciones fracciona los fallecimientos de un determinado año calendario en
dos, según sea la generación o cohorte a la que correspondan
 Dxz = f x < 0,50
Dxz
El factor de separación de las defunciones para la edad x, expresión (2),
representa la proporción de fallecidos que cumplieron los x años de edad el año anterior
al año que fallecen.
El complemento del factor de separación de las defunciones, expresión (3),
representa la proporción de fallecidos que cumplieron los x años de edad en el año que
fallecen.
 Dxz = (1 - f x)
> 0,50
Dxz
Cuando no se cuenta con los registros de las defunciones según fecha de
nacimiento (se dispone de la edad de fallecimiento y no la fecha de nacimiento), en
algunas tablas de vida, para calcular las funciones biométricas en edades inferiores a 5
años se supone distribución uniforme de los fallecimiento en el tiempo (conscientes de
que proporciona resultados no precisos). Otras tablas utilizan los factores de
separación de GLOVER, los que corresponden a la población Alemana de comienzos
del siglo XX, estos factores asumen (según las características de mortalidad) los
siguientes valores, para los 0, 1, 2, 3 y 4 años de edad respectivamente:
f0 entre 0,10 y 0,35, f1 = 0,41, f2 = 0,47, f3 = 0,48 y f4 = 0,48
Cuando la exposición al riesgo de muerte no es uniforme en el tiempo, el factor
de separación de las defunciones, permite atribuir los fallecimientos ocurridos durante
un año calendario, haciendo corresponder las defunciones a la generación o cohorte a
la que pertenezcan.
En el diagrama de LEXIS, Figura 5, se observan las defunciones ocurridas
durante un año calendario, fraccionadas según sea la generación a la que pertenecen,
utilizando el factor de separación de las defunciones.
Figura 5
X+1
f x. Dxz
(1-fx)Dxz
x
A través del factor de separación de las defunciones para la edad x, se calcula el
número de defunciones entre las edades x y x+1, correspondiente a personas fallecidas
5
que cumplieron x años de edad el año anterior al que fallecieron, representado en figura
z
3 con el símbolo  D x
Dzx= Dzx.fx
A través del complemento del mencionado factor de separación, se calcula el
número de defunciones correspondiente a personas fallecidas que cumplieron x años de
edad en el año que fallecieron, representado en figura 3 con el símbolo  D x z
 D x z = D x z. (1- f x)
Se analizan las defunciones de personas menores a 5 años de edad,
pertenecientes a la misma cohorte o generación. Estos fallecimientos no se distribuyen
uniformemente en el tiempo. A través del factor de separación de las defunciones para
la edad x, se calculan los fallecimientos que ocurren en cada uno de los años
calendarios, la expresión (1) se puede expresar de la siguiente manera:
d x = (1- f x). d x + f x d x
(4)
La cantidad de personas de la misma cohorte, fallecidas entre las edades x y x+1,
expresadas en (1) y (4) representa la suma de las defunciones ocurridas durante dos
años consecutivos.
(1- f x ) d x =  d x
(5)
La igualdad expresada en (5) representa el número de personas que fallecen en el
año en que cumplieron x año de edad. La igualdad expresada en (6) representa el
número de personas fallecidas que cumplieron x años de edad en el año anterior al año
en el cual mueren.
.
f x d x=  d x
(6)
Figura 6
X+1
fx d x
dx
(1- fx) d x
x
Se observa en el diagrama de LEXIS figura 6, las defunciones de personas de la
misma cohorte o generación, calculadas mediante el factor de separación
correspondiente
ANÁLISIS DE FUNCIONES
INFERIORES A 5 AÑOS
BIOMÉTRICAS
EN
EDADES
Función biométrica d x según tablas de vida
Se analiza el comportamiento de las defunciones entre dos edades en el primer
quinquenio de vida.
6
d x representa la cantidad de fallecidos entre x y x+1 año de edad, niños que habiendo
cumplido x años de edad no llegan a cumplir los x+1 año de vida, según tabla de
mortalidad.
d x = l x – l x+1
(7)
El número de defunciones de personas entre los x y x+1 año de edad, sabemos
según tabla de vida, surge de la diferencia entre la cantidad de personas de edad exacta
x y la cantidad de personas de edad exacta x+1
Las expresiones (4) y (7), representan la cantidad de fallecidos que habiendo
cumplido x años de edad, no llegan a cumplir los x+1 año de vida, cantidad de
fallecimientos de personas de la misma cohorte, fraccionadas según el año en que
fallecen.
l x – l x+1 = (1- f x ) d x + f x d x
Función biométrica L x según tablas de vida
Se analiza la función biométrica L x , función que representa una población
dinámica, su valor se puede relacionar con los sobrevivientes l x de una tabla de
mortalidad. Para trabajar esta función biométrica, supondremos que los l 0 como grupo
inicial de la tabla de mortalidad se han distribuido uniformemente dentro del año.
La función biométrica L


x
se conceptualiza de dos maneras a saber:
Números de años vividos por la generación l 0 entre las edades x y x+1.
Cantidad de personas vivas comprendidas entre las edades x y x+1.
Números de años vividos por la generación l 0 entre las edades x y x+1, es
el tiempo vivido dentro de dicho intervalo por los integrantes del grupo inicial, desde la
edad exacta x hasta la edad exacta x+1.
Cada una de las personas de x años de edad que llegan a cumplir x+1 año de
vida, vive un año, el número de años vividos por todos los integrantes del grupo es igual
a l x+1 años, (un año por cada uno de los integrantes), l x+1 representa los años enteros
que vive el grupo.
Además hay que considerar, la cantidad de años que viven los que fallecen entre
las edades x y x+1 año. Para edades iguales o mayores a 5 años, se supone que los
fallecidos viven ½ año en el año en que mueren. Al analizar las edades menores a 5
años, donde las defunciones no se distribuyen uniformemente en el tiempo, debe
considerarse la proporción correspondiente, en este caso, f x de los fallecidos, por lo
que, f x. d x simbolizado por dx , representa los años vividos por los fallecidos. Se lo
observa en la figura 7
Figura 7
l x+1
dx
Lx
lx
7
El número de años vividos por la generación l 0 entre los x y x+1 año de edad,
surge de la suma de los años enteros que vive el grupo, más la proporción de años
vividos por los fallecidos, expresado en (8)
L x = l x+1 + dx
(8)
En la expresión (8) se reemplaza dx según expresión (6)
Lx = l x+1 + f x .d x
(9)
En la expresión (9) se reemplaza dx según expresión (7), y se obtiene
L x = l x+1 + f x .( l x – l x+1) = l x+1 + f x . l x – f x .l x+1
Se concluye en la expresión (10)
Lx = l x .f x + (1- f x). l x+1
(10)
Representa el número de años vividos por la generación inicial, entre los x y x+1
año de edad.
Cantidad de personas vivas comprendidas entre las edades exactas x y
x+1 años de edad El número de personas de un grupo inicial dado que habiendo
cumplido x años de edad, no han cumplido aún los x+1 años de vida, es el número de
personas vivas en un momento determinado en el tiempo, habrá un grupo de personas
con edades entre x y x+1 años de vida, representado por Lx, menor al grupo lx, algunas
de las personas de edad exacta x, habrán fallecido durante ese año.
Si el análisis corresponde a edades iguales o mayores a 5 años, al distribuirse las
defunciones en dichas edades uniformemente en el tiempo, se consideran ½ de los
fallecidos.
Para edades menores a 5 años, como los integrantes del grupo no estuvieron de
igual manera expuestos al riesgo de morir durante ese año, debe considerarse la
proporción de los fallecidos que corresponda, en esta situación, (1-fx).d x de las
defunciones, simbolizado por dx. Se observa en la figura 8
Figura 8
lx+1
Lx
dx
lx
Entonces, el número de personas de un grupo inicial dado que habiendo cumplido
x años de edad no han cumplido aún x+1 años de vida, se obtiene mediante la
diferencia entre, el número de personas de edad exacta x, menos la cantidad de
fallecidos entre x y x+1 año de edad que corresponde. Expresado en (11)
8
Lx = lx -dx
(11)
En la expresión (11) se reemplaza dx según expresión (5)
Lx = l x - (1- f x) .d x
(12)
En la expresión (12) se reemplaza dx según expresión (7) y se obtiene
L x = l x - (1- f x) .( l x – lx+1)
Se resuelve
Lx = l x - (lx - l x+1 - l x .f x + l x+1. f x) = l x - lx + l x+1 + l x .f x - l x+1. f x)
Se concluye en la expresión (13)
Lx = l x .f x + (1- f x). l x+1
(13)
Número de personas vivas de un grupo inicial dado que habiendo cumplido x años de
edad, todavía no han cumplido x+1 años de vida
CONCLUSIÓN
En la función biométrica Lx como función imaginaria, para edades inferiores a 5
años de edad, donde los fallecimientos no se distribuyen uniformemente en el tiempo,
por lo que la fórmula de los trapecios no proporciona resultados certeros en su cálculo,
para solucionarlo es necesario utilizar el factores de separación de las defunciones, el
cual permite atribuir los fallecimientos a la generación a la que pertenecen.
Se demuestra que el número de años vividos por la generación l 0 entre dos
edades, expresado por (l x+1 + f x .d x), es igual a la cantidad de personas vivas
comprendidas entre esas dos edades, expresado por [ l x - (1- f x) .d x ],
Ambas representan el valor de Lx, esta igualdad se visualiza en el diagrama de
LEXIS Figura 9 sin dificultad, facilitando así la comprensión de esta función biométrica a
través de cualquiera de los dos conceptos que la definen.
Figura 9
l x+1
fx dx
(1-fx) dx
lx
Lx = l x .f x + (1- f x). l x+1
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BIBLIOGRAFÍA
CARRIZO, José F. “Matemática Financiera. Segunda Parte”. Córdoba. Facultad de Ciencias
Económicas U.N.C. (2001).
YASUKAWA, Alberto M. “Matemática Actuarial y Valuaciones Actuariales”. Córdoba. LDM
Editorial (2007).
ORTEGA, Antonio “Tablas de Mortalidad”. Costa Rica. Centro Latinoamericano de Demografía
(1987).
LEVI, Eugenio “Curso de Matemática Financiera y Actuarial Volumen II” Barcelona. Casa
Editorial-Barcelona (1973)
LEXIS, Wilhem “Introducción a la teoría de la estadística demográfica”, (1875).
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