artículo - Laboratorio de Señales

RESULTADOS EXPERIMENTALES EN LA RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES DBLP
A PARTIR DE SUS CRUCES POR CERO.
Miguel Melgarejo 1 , Alfredo Restrepo2
(1) [email protected] (2) [email protected]
Laboratorio de Señales, Dpt. Ing. Eléctrica y Electrónica
Universidad de los Andes, Bogota DC.
Resumen -- Este artículo presenta algunos resultados experimentales obtenidos en la
reconstrucción de señales muestreadas del tipo Doble Banda Lateral con Portadora. La
reconstrucción se hace a partir de los cruces por cero de la señal. Según una serie de
simulaciones llevadas a cabo, una señal de este tipo puede reconstruirse, al filtrar la señal
equivalente a su función signo. Se desarrolló un método para reconstruir una señal de voz
con frecuencia superior ωc , dados los cruces por cero de su versión DBLP centrada en ωm =
3ωc, y ancho de banda de una octava. El método reveló un potencial uso en cifrado y
comp resión de señales de voz.
Palabras clave: Cruces por cero, Señales DBLP, Teorema de Logan , Filtros FIR ,
compresión , cifrado.
1.
INTRODUCCIÓN
Logan describió una clase de señales pasa-banda, en
las cuales, sus cruces por cero las determinan
unívocamente, excepto por un factor de multiplicación
(Logan 1977). Los miembros de esta clase podrían
tener ceros complejos, pero es necesario, que no
tenga ceros complejos en común con su transformada
Hilbert, además el ancho de banda de la señal se debe
extender menos de una octava. Las condiciones
mencionadas anteriormente se conocen como teorema
de Logan, y a las señales que cumplen con este
teorema, las llamamos aquí señales de Logan.
En el teorema tan solo se dan condiciones de unicidad,
quedando abierta la pregunta acerca de la posible
reconstrucción de las señales. Trabajos posteriores
(Curtis et al. 1985; Sanz et al. 1989; Zakhor et al. 1990)
han presentado algunos intentos de extender el
teorema de Logan a señales bidimensionales,
igualmente han propuesto algoritmos enfocados a la
reconstrucción de estas señales dados sus cruces por
cero (o información de signo); la mayoría de estos
métodos son iterativos y se centran en aplicaciones de
imágenes y visión artificial. Otros trabajos
(Nayakkankuppam 1994; Arai 1992) tratan el caso
unidimensional empleando técnicas de inteligencia
computacional; los algoritmos de reconstrucción
basados en estas técnicas son computacionalmente
costosos. Finalmente, algunos trabajos inspirados en
el teorema de Logan (Niederjohn 1987; Villegas et al.
2002) presentan aplicaciones y estudios cualitativos
de los cruces por cero de señales de voz .
Teniendo presente el contexto anterior, se llevó a
cabo una serie de simulaciones
sobre un tipo
particular de señal de Logan, la cual se conoce como
señal de Doble Banda Lateral con Potadora (DBLP). Se
consideró un ancho de banda menor a una octava
para estas señales. Las pruebas revelaron que una
señal DBLP se puede reconstruir filtrando la señal
equivalente a su función signo con un filtro FIR
centrado en la banda de la señal. Teniendo en cuenta
que el filtrado es de naturaleza digital, es conveniente
que la señal DBLP se sobremuestrée y cuantifique con
una resolución una alta.
Los resultados de las pruebas motivaron el desarrollo
de un método para reconstruir una señal de voz
limitada en banda, con frecuencia superior ωc , dados
los cruces por cero de su versión DBLP, la cual se
centra ωm = 3ωc y tiene ancho de banda de una octava
[2ωc,4ωc ]. El método planteado no es iterativo, lo cual
hace viable su realización en tiempo real. Algunas
pruebas adicionales revelaron un potencial uso del
método en cifrado y compresión de señales de audio.
El artículo se organiza de la siguiente forma: en la
sección II se detallan las pruebas experimentales
sobre señales DBLP. Se presentan algunos resultados
en el domino del tiempo y frecuencia de Fourier. Se
comparan las señales DBLP originales y las
reconstruidas al filtrar la señal equivalente a su
función signo. Igualmente se muestra el desempeño en
error de esta propuesta de reconstrucción. En la
sección III, se propone un método para reconstruir una
señal de audio a partir de los cruces por cero de su
versión DBLP. En la sección IV, se presentan ciertos
resultados obtenidos en la aplicación del método
sobre señales de voz. Finalmente, se exponen algunas
conclusiones y se comenta el trabajo futuro al
respecto del método.
II PRUEBAS EXPERIMENTALES DESARROLLADAS
SOBRE SEÑALES DBLP.
Las pruebas experimentales se enfocaron en observar
el comportamiento en frecuencia de Fourier de la
función signo de una señal
de Logan
sobremuestreada. La metodología empleada consistió
en generar la señal sobremuestreada, obtener la señal
equivalente de su función signo y luego llevar a cabo
u n análisis espectral por medio de DFT (Oppenheim,
1999) para las dos señales, esto con el fin de comparar
sus funciones de amplitud y fase.
Las señales elegidas para estas pruebas fueron del
tipo Doble Banda Lateral con Portadora [Logan] :
y(t) = cos( vt) − p(t) ⋅ sin(vt)
(1)
donde p(t) es una señal real, limitada en banda y
ancho de banda λ/2; además se cumple que v es
mayor a λ/2. A modo de ejemplo y para ilustrar un
resultado puntual de las pruebas, se presenta x[nT] en
Fig. 1, donde x[nT] es la versión sobremuestreada a
15KHz de y(t), la cual tiene la forma especificada en
(2), además v=300π rad/s y p(t)=sin(ut) con u=86π
rad/s.
x (t) = cos( vt) − sin( ut ) ⋅ sin( vt)
( 2)
En Fig. 1, se muestra igualmente la señal equivalente
de la función signo de x(nT). Nótese que el
sobremuestreo se hace necesario con el fin de
minimizar el error entre la posición de los ceros de la
señal análoga y la posición de de los ceros de la señal
sobremuestreada.
Fig. 1. Ejemplo de una señal DBLP y sus cruces por cero
marcados por la función signo.
principio un filtro no recursivo con respuesta simétrica
al impulso , dado que esta clase de filtros no introduce
distorsión de fase (Oppenheim 1999).
Fig.3 Señal original (azul) y señal reconstruida (rojo).
(a)
En Fig. 3 se presentan los resultados de
reconstrucción de una señal DBLP, descrita por (2),
empleando la propuesta anterior. Como en todo
método de reconstrucción se presenta un error en el
resultado final. En este caso particular, debe notarse
que el filtrado de la señal equivalente a la función
signo se esta llevando a cabo por medio de un filtro
digital no ideal, el cual tiene atenuación diferente a
cero en la banda de rechazo.
Fig 2. Magnitud y fase de las transformadas de Fourier
de : (a). señal x(nT) , Fig. 1. (b) Señal equivalente a su
función signo.
En Fig. 2. se presentan la magnitud y fase de las
transformadas de Fourier de la señal sobremuestreada
x[nT] y su función signo (mostradas en Fig.
1).Obsérvese que la función signo conserva la
información en la banda de la señal x[nT], es decir la
información de magnitud y fase entre 0.0448 a 0.0843
rad/muestra.
En general se observó que la señal equivalente a la
función signo de una señal (2), con ancho de banda
menor a una octava, conserva la información de
magnitud y fase en la banda de interés. En ese sentido,
bastaría con aplicar un filtro pasa-banda para eliminar
la componente armónica fuera de la banda y de esta
forma reconstruir la señal original. Se supone en
El desempeño en error del método se resume en Fig.4,
donde se muestra el error absoluto promedio obtenido
en función de la relación (u/v) y dejando fija la banda
de paso del filtro. Igualmente, se consideró la
incidencia del factor de sobremuestreo:
D=
2π f s
u+v
(3)
Posteriormente, se genera una señal DBLP (1)
centrada en 3ωc , esto con el fin de obtener un ancho
de banda de una octava entre 2ωc y 4ωc. Finalmente, la
señal DBLP construida se pasa por un detector de
signo.
En la etapa de reconstrucción , la señal equivalente a la
función signo de la señal DBLP se filtra por medio de
un filtro FIR (Finite Length Impulse Response) con
respuesta frecuencial pasa-banda equiriple, respuesta
impulsional simétrica y longitud de 100 coeficientes. La
salida de este filtro se remodula y la replica de alta
frecuencia debida a la demodulación se elimina por
medio de un filtro pasa-bajos de bajo orden con
frecuencia de rechazo ωc.
IV. RESULTADOS OBTENIDOS.
Fig. 4. Desempeño en error del método.
donde fs es la frecuencia de muestreo y de la cual
depende la precisión con que se capturen los cruces
por cero de la señal DBLP analógica.
Nótese que hay un incremento considerable en el error
cuando la frecuencia de la moduladora se encuentra
por debajo del 20% de la frecuencia de la portadora, o
en otros términos, cuando las componentes laterales
de la señal DBLP se acercan a la componente central.
III. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO PROPUESTO.
Los resultados de las pruebas experimentales
motivaron el desarrollo de un método para reconstruir
una señal de voz limitada en banda , con frecuencia
superior ωc , dados los cruces por cero de su versión
DBLP centrada ωm = 3ωc y ancho de banda de una
octava [2ωc,4ωc ].
En Fig. 5 se presenta un diagrama de bloques que
recopila las dos etapas del método planteado. En la
etapa de obtención de cruces por cero, la señal de
audio se limita en banda por medio de un filtro
analógico con frecuencia de rechazo ωc., luego la señal
de salida del filtro se sobremuestrea a 10ωc y
digitalizada a una resolución de 16 bits.
El método se aplicó en señales de voz
correspondientes a palabras y frases cortas (cinco
palabras en promedio). Algunos resultados obtenidos
se presentan en Fig.6. En estos dos ejemplos, se
compara el espectro de la señal original y el espectro
de la señal reconstruida (en magnitud). Obsérvese que
la señal reconstruida presenta contaminación por
armónicos con frecuencia superior a 0.3 (rad/muestra).
Desde un punto de vista cualitativo, la señal
reconstruida conserva el mensaje y una gran parte de
los matices de la voz. Sin embargo, la contaminación
por armónicos se hace evidente.
4.1.Resultados en compresión de señales.
Si de una señal de audio se toman M muestras a N bits,
el numero total de bits necesarios para su
almacenamiento es b=MxN. Nótese que la señal
equivalente a la función signo de la versión DBLP de
esa misma señal de audio, puede considerarse como
una señal cuantificada a un bit, por lo tanto el numero
total de bits necesarios para su almacenamiento es M.
En ese sentido, el método propuesto podría emplearse
para reducir la cantidad de memoria efectiva al
almacenar una señal de audio, con la condición de
tener perdida de calidad .
Fig. 5. Diagrama de bloques del método propuesto.
(a )
(b)
Fig. 6. Resultados de reconstrucción. (a) Frase de cinco palabras, (b) Frase de siete palabras.
Teniendo en cuenta que la señal de cruces por cero se
compone de dos únicos valores, su compresión
debería facilitarse. Para validar esta hipótesis, las
señales equivalentes a la función signo de las señales
DBLP obtenidas se llevaron a un compresor de datos
tradicional como WinZip® . Los resultados muestran
que para estas señales, se obtienen mejores factores
de compresión, con respecto a los obtenidos para las
señales de voz originales. Algunos resultados se
muestran en la tabla I.
CONCLUSIONES
1. Experimentalmente se observó que señales DBLP
con ancho de banda de una octava pueden
reconstruirse, con un error relativamente bajo, filtrando
la señal equivalente a su función signo con un filtro
FIR centrado en la banda de la señal DBLP.
2. Se ha propuesto un método para reconstruir una
señal de audio con frecuencia máxima ωc , dados los
cruces por cero de su versión DBLP centrada en 3ωc y
ancho de banda de una octava. La señal equivalente a
la función signo de la señal DBLP puede considerarse
como una versión cifrada de la versión original.
3. Pruebas experimentales complementarias revelaron
que el método puede facilitar la compresión de señales
de voz. A la fecha otras aplicaciones del método han
sido visualizadas, por ejemplo re-cuantificación de
señales y conversión analógico digital.
4. Estos hechos sugieren llevar a cabo un estudio
teórico tanto del método como de su aplicabilidad en
compresión de señales de audio.
Tabla I. Resultados en compresión de señales.
Tamaño
señal de
audio
Tamaño
señal de
audio
comprimida
Tamaño señal
cruces por cero
DBLP
65.3 KB
128 KB
273 KB
21.3 KB
38.5 KB
66.9 KB
65.3 KB
128 KB
273 KB
Tamaño
señal
cruces por
cero DBLP
comprimida
1.97 KB
4.75 KB
8.99 KB
REFERENCIAS.
Logan, B.F.., ” Information in the zero crossing of bandpass
signals”, Bell Syst. Tech J., vol. 56, pp 487-510, Apr.
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Curtis S. R., Oppenheim A. V,. Lim J. S, “ Signal
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Villegas J.,Restrepo A. , “ Sistemas para el reconocimiento de
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Oppenheim A.V. and Schafer R.W., with J.R. Buck. DiscreteTime Signal Processing, Second Edition. Prentice-Hall,
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